Первая наша задача состоит в том, чтобы перенести отношения, найденные для периодических систем с одной степенью свободы, на системы со многими степенями свободы. Для вполне произвольных систем введение угловых и действующих переменных не имеет никакого смысла, так как они связаны со свойством периодичности.

Рассмотрим простой случай, когда функция Гамильтона для системы распадается на сумму членов, каждый из которых содержит только одну пару переменных \( q_{b}, p_{k} \)
\[
H=H_{1}\left(q_{1}, p_{1}\right)+\cdots+H_{f}\left(q_{f}, p_{f}\right) .
\]

Тогда уравнение Гам ильтона – Якоби решается разделением переменных.
Положим
\[
H_{k}\left(q_{k} \frac{\partial S_{k}}{\partial \dot{q}_{k}}\right)=W_{k},
\]

где между \( W_{k} \) существует зависимость:
\[
W_{1}+\cdots+W_{f}=W .
\]

Здесь видим, что движение соответствует совершенно независимым \( f \)-системам, каждая из которых имеет одну степень свободы. Рассмотрим случай, когда изменение каждой переменной \( q_{k} \) происходит периодически во времени. Тогда мы можем обобщить вышеприведенный метод, а именно переменные действия определить, как
\[
J_{k}=\oint p_{k} d q_{k}
\]

и функцию \( S_{k} \) выразить через \( q_{k} \) и \( J_{k} \)
\[
w_{k}=\frac{\partial S_{k}}{\partial J_{k}} .
\]

Пример. Пространственный осџиллятор. Пусть материальная точка с помощью каких-либо сил находится в устойчивом положении равновесия (например, легкий атом в некоторой молекуле, состоящей из относительно недвижущихся тяжелых атомов). То1 да потенцильная энергия малых смещений представляет положительную квадратическую форму компонент. Тогда можно всегда расположить оси координатн й системы \( (x, y, z) \) по главным осям эллипсоида, соответствующего этой квадратической форме. Функция Гамильтона тогда будет
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{x}^{2}+p_{y}{ }^{2}+p_{z}{ }^{2}\right)+\frac{m}{2}\left(\omega_{x} x^{2}+\omega_{y}{ }^{2} y^{2}+\omega_{2}{ }^{2} z^{2}\right) .
\]

Поэтому движение можно рассматривать, как результат колебаний трехлинейных осцилляторов по координатным осям. Благодаря этому по (9) и (10) § 9:
\[
\begin{array}{ll}
\boldsymbol{x}=\sqrt{\frac{J_{x}}{2 \pi^{2}
u_{x} m}} \sin 2 \pi w_{x} & p_{x}=\sqrt{2
u_{x} m J_{x}} \cos 2 \pi w_{x} \\
y=\sqrt{\frac{J_{y}}{2 \pi^{2}
u_{y} m}} \sin 2 \pi w_{y} & p_{y}=\sqrt{2 v_{y} m J_{y}} \cos 2 \pi w_{y} \\
z=\sqrt{\frac{J_{z}}{2 \pi^{2}
u_{z} m}} \sin 2 \pi w_{z} & p_{z}=\sqrt{2 v_{z} m J_{z}} \cos 2 \pi \omega_{z}
\end{array}
\]

где
\[
w_{x}=
u_{x} t+\hat{\delta}_{x}, \quad
u_{x}=\frac{\omega_{x}}{2 \pi}
\]

Энергия составляет (5)
\[
W=
u_{x} J_{x}+
u_{y} J_{y}+
u_{z} J_{s} .
\]

Двшжение имеет тот или другой вид в зависимости от того, существует ли между у линейная целочисленная зависимость или вет.
\[
\tau_{x}
u_{x}+\tau_{y}
u_{y}+\tau_{z}
u_{s}=0 .
\]

Предположим сперва, что этого случая не наблюдается. Мы докажем (см. приложение 1), что в этих случаях, војбще говоря, траектория движения заполняет всю область, имеюшую столько измерений, сколько существует степеней свободы. (К каждой точке траектория может подходить произвольно близко).

Сошлемся здесь предварительно для наглядности на то, что траекторня движения может подходить произвольно близко к каждой точке квадрата, параллельного координатным осям и имеющего длины сторон:
\[
\sqrt{\frac{2}{\pi^{2} m v_{x}}} \cdot \sqrt{J_{x}} ; \sqrt{\frac{2}{\pi^{2} m
u_{y}}} \cdot \sqrt{J_{y}} ; \sqrt{\frac{2}{\pi^{2} m v_{z}}} \cdot \sqrt{J_{z}}
\]
(пространственные фигуры Лиссаж у).
Чтобы объяснить особенности, встречающиеся при условии наличия соизмеримости среди \(
u \), рассмотрим простои случай, когда \( v_{x}=v_{y} \). Он наступит, если потенциальная энергия имеет соответствующий эллипсоид вращения, симметричный относительно оси \( z \). Тогда траектория проходит по эллиптическому цилиндру, охватывающему ось \( z \). Теперь определенному движению не соответствуют определенные значения \( J_{x} \) и \( J \), так как мы можем произвольным образом вращать координатную систему вокруг оси \( z \), причем изменяются длины перпендикулярных оси \( z \) сторон квадрата, кастащегося траекторий. Напротив, \( J_{3} \) остается определеннюм однозначно, как высота эллиптического цилиндра, на котором проходит траектория (если при этом не встретятся новые соизмеримости).
Так как энергия \( W \) равна
\[
W=
u\left(J_{x}+J_{y}\right)+
u_{z} J_{x} \quad\left(
u_{x}=
u_{y}=v\right) .
\]

то благодаря движению можно определить лишь сумму \( J_{x}+J_{y} \).
Если все три частоты равны между собой, то движение происходит по эллипсу, и все три \( J \) определены не однозначно, так как координатная система может произвольно вращаться. Энергия равна
\[
W=
u\left(J_{x}+J_{y}+J_{2}\right),
\]

вследствие чего сумма \( J \) при таком вращении не изменяется.
Перейдем теперь к вопросу о квантовых условиях такой снстемы со многими степенями свободы. Первым долгом полагаем
\[
J_{k}=n_{k} h .
\]

В случае осциллятора с двумя равными частотами \( \vee_{x}=\vee_{y} \) условия
\[
J_{x}=n_{x} h ; J_{y}=n_{y} h,
\]

очевидно, не имеют никакого смысла. А именно, если мы имеем движение, для которого при некотором расположении \( x \) и \( y \) осей \( J_{x} \) и \( J_{y} \) – делье кратные числа \( h \), то мы можем координатную систему всегда повернуть так, что это свойство нарушится, но сумма \( J_{x}+J_{y} \) останется целым числом. Таким образом имело бы смысл положить
\[
J_{x}+J_{y}=n h .
\]

Так как в выражении энергии \( J_{x} \) и \( J_{y} \) встречаются лишь в этой комбинации, то это квантовое условие не приводит к однозначному определению траектории движения, что имеет место в отношении энергии.
Для \( J_{z} \) квантовое условие

бессмьсленно. Итак, пример говорит о том, что необходимо наяичие стольких квантовых условий, сколько существует различных друг от друга периодов. Если все три частоты сливаются, то остается лишь одно условие
\[
J_{z}=n_{s} h
\]

При этом условии энергия вновь определяется однозначно.
Исследуем по возможности точно измененйе условий переменных \( v_{x}=v_{y} \) при вращении координатной системы.
К. прямоугольным координатам \( x \) и \( y \) могут принадлежать также и переменные действия \( J_{x}, J_{y} \), а к координатам
\[
\begin{array}{l}
\bar{x}=x \cos \alpha-y \sin \alpha \\
\bar{y}=x \sin \alpha+y \cos \alpha
\end{array}
\]

переменные действия.
Выразим в уравнениях
\[
\sqrt{\bar{x}}, \sqrt{\bar{y}}
\]
\[
\begin{array}{l}
\vee J_{\bar{x}}=\frac{1}{2 m} p_{\bar{x}}^{2}+\frac{m}{2} \omega^{2} x^{2} \\
\vee J_{\bar{y}}=\frac{1}{2 m} p_{\bar{y}}^{2}+\frac{m}{2} \omega^{\overline{2} y^{2}}
\end{array}
\]

координаты и импульсы с черточками через координаты и импульсы без черточек (импульсы преобразовываются так же, как и координаты); тогда будем иметь:
\[
\begin{array}{c}

u_{\bar{x}}=\left(\frac{1}{2 m} p_{x}^{2}+\frac{m}{2} \omega^{2} x^{2}\right) \cos \alpha+\left(\frac{1}{2 m} p_{y}^{2}+\frac{m}{2} \omega^{2} y^{2}\right) \sin ^{2} \alpha- \\
-\left(\frac{1}{m} p_{x} p_{y}+m \omega^{2} x y\right) \sin \alpha \cos \alpha \\
\vee J_{\bar{y}}=\left(\frac{1}{2 m} p_{x}^{2}+\frac{m}{2} \omega^{2} x^{2}\right) \sin ^{2} \alpha+\left(\frac{1}{2 m} p_{y}^{2}+\frac{m}{2} \omega^{2} y^{2}\right) \cos ^{2} \alpha+ \\
+\left(\frac{1}{m} p_{x} p_{y}+m \omega^{2} x y\right) \sin \alpha \cos \alpha,
\end{array}
\]

Коэфициенты при \( \cos ^{2} \alpha \) и \( \sin ^{2} \alpha \) – величины \( v J_{x} \) и \( v J_{y} \). Коэфициенты при \( \sin \alpha \cos \alpha \) определяются из уравнений преобразований (4) и мы получим
\[
\begin{array}{l}
J_{\bar{x}}=J_{x} \cos ^{2} \alpha+J_{y} \sin ^{2} \alpha-2 \sqrt{J_{x} J_{y}} \cos \left(w_{x}-w_{y}\right) \sin \alpha \cos \alpha \\
J_{\bar{y}}=J_{x} \sin ^{2} \alpha+J_{y} \cos ^{2} \alpha+2 \sqrt{J_{x} J_{y}} \cos \left(w_{x}-w_{y}\right) \sin \alpha \cos \alpha .
\end{array}
\]

где в нашем случае \( w_{x}-w_{y} \) представляет постоянную; постоянные \( J_{x} \) и \( J_{y} \) должны перейти в постоянные \( J_{\bar{x}}, J \frac{1}{y} \).

Преобразование, сводящее угловые переменные и переменные действия одной прямоугольной координатной скстемы к таковым другой системы, ве представляют возможности преобразования угловых координат и координат действия между собой. Более того, понвляется постоянная разница угловых переменных в уравнении преобразования для \( J \).

Такой способ преобразований мы еще встретим в другом месте и ниже, в более общем виде, в случае вырождения.

Может оказаться, что функция Гамильтона не распадается аддитивно на члены, каждый из которых зависит от пары переменных \( q_{k} p_{k} \), но уравнение Гамильтона-Якоби можно при этом решить с помощью разделения переменных, т.е.с помощью формулы

Тогда
\[
S=S_{1}\left(q_{1}\right)+S_{2}\left(q_{2}\right)+\ldots+S_{f}\left(q_{f}\right) .
\]
\[
p_{k}=\frac{\partial S_{k}}{\partial q_{k}} \text { функция только одного } q_{k} \text {. }
\]

Предположим теперь, что каждая из координат \( q_{k} \) ведет себя так, как это мы имели ввиду выше ( \( (9 \) ), рассматривая системы с одной степенью свободы, т. е. \( q_{k} \) периодически во времени колеблется между двумя пределами либрации или соответствующая \( p_{k} \) есть периодическая функция \( q_{k} \) (случай либрации и вращения). Так как интегралы, взятые по всему периоду
\[
J_{k}=\oint p_{k} d q_{k}
\]

являются постоянными, мы можем ввести \( J_{z} \), вместо \( \alpha_{1} \alpha_{2} \ldots \). как постоянные импульсы.

Тогда функция \( H \) зависит лишь от \( J_{k} ; S \) можно записать, как функцию \( q_{k} \) и \( J_{k} \). Теперь вместо \( q_{k} \) вводятся по отношению \( J_{k} \) сопряженные величины \( w_{k} \), связанные с \( q_{k} \) следующим уравнением:
\[
w_{k}=\frac{\partial S}{\partial J_{k}}=\sum_{l} \frac{\partial S_{l}}{\partial J_{k}}
\]

Теперь мы утверждаем, что таким образом введенные переменные \( w_{k} J_{k} \) обладают теми самыми свойствами, что и \( w \) и в случае одной степени свободы, а именно что \( q_{k} \) многопериодические функции \( w_{k} \) с простой системой периодов
\[
\begin{array}{r}
(1,0,0 \ldots \ldots 0) \\
(0,1,0 \ldots \ldots 0) \\
(0,0,1 \ldots \ldots 0) \\
\hline \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{array}
\]

Найдем изменение \( w_{l} \) за время полного цикла изменения координаты \( q_{k} \), при условии постоянства всех остальных координат:
\[
\Delta_{h} w_{k}=\oint \frac{\partial w_{k}}{\partial q_{h}} d q_{h}
\]

Произведя диференцирование в частных производных уравнениях (13)
\[
\frac{\partial w_{k}}{\partial q_{h}}=\sum_{l} \frac{\partial S_{l}}{\partial J_{k} \partial q_{h}}=\frac{\partial}{\partial J_{k}} \sum_{l} \frac{\partial S_{l}}{\partial q_{h}}=\frac{\partial}{\partial J_{k}} \frac{\partial S_{h}}{\partial q_{h}}
\]

и, интегрируя, имеем
\[
\Delta_{h} w_{k}=\frac{\partial}{\partial J_{k}} \oint \frac{\partial S_{h}}{\partial q_{h}^{\mu}} d q_{h}=\frac{\partial J_{h}}{\partial J_{k}}=\left\{\begin{array}{l}
1(h=k) \\
0(h
eq k)
\end{array}\right.
\]

Принимая во внимание функции \( q_{l}\left(w_{1} \ldots w_{f}\right) \), увеличивая \( w_{k} \) на 1 и оставляя при этом другие \( w \) неизменными, мы заставляем \( q_{k} \) пробегать один период, но другие \( q \), хотя могут и не зависеть от \( w_{k} \), но возвращаются в исходную точку, не проходя периода (например, если бы \( q_{l} \) проходили один период, то \( w_{l} \) увеличились бы на 1). Из этого исходит наше утверждение.

При этом может случиться, что определенное \( q \) зависит не только от \( w_{k} \), следовательно, она не вполне \( f \) – кратно периодическая; тогда система всех \( q \), конечно, будет все же зависеть от всех \( w_{k} \).

Например, в нашем рассмотрении пространственного осциллятора каждая из координат зазисит лишь от одного w.

При любых обстоятельствах \( q_{k} \) можно представить в виде ряда Фурье
\[
q_{k}=\sum_{\tau} C_{\tau}^{(k)} \cdot e^{2 \pi i(\tau w)} .
\]

Из канонических уравнений получаем \( w \), как функцию времени
\[
w_{k}=
u_{k} t+\delta_{k}, \quad
u_{k}=\frac{\partial H}{\partial J_{k}} .
\]

В общем случае записанная, как функция времени \( t \)
\[
\begin{aligned}
q_{k} & =\sum C_{\tau}(k) \cdot e^{2 \pi i[(\tau v) t+(\tau \delta)]} \\
(\tau
u) & =\tau_{1}
u_{1}+\tau_{2}
u_{2}+\ldots+\tau_{f}
u_{f} \\
(\tau \delta) & =\tau_{1} \delta_{1}+\tau_{2} \delta_{2}+\ldots+\tau_{f} \delta_{f}
\end{aligned}
\]

не будет периодической; это будет иметь место только тогда, если между, существует \( f-1 \) рациональных соотношений (напр., когда все у равны друг другу). Именно периодичность движения обозначает, что отдельные периоды \( \frac{1}{\gamma_{k}} \) имеют общее кратное число (скажем \( \left.\frac{1}{v}\right) \), т. е., что существует соотношение
\[
\frac{
u_{1}}{\tau_{1}^{\prime}}=\frac{
u_{2}}{\tau_{2}^{\prime}}=\ldots=\frac{
u_{f}}{\tau_{f}^{\prime}}=
u,
\]

но это и есть ( \( f-1 \) ) рациональные соотношения между v.
Наоборот, из ( \( f-1 \) ) независимых линейных однородных уравнений с целыми коэфициентами
\[
\begin{array}{c}
\tau_{11}
u_{1}+\tau_{12}
u_{2}+\ldots+\tau_{1 f}
u_{f}=0 \\
\tau_{21}
u_{1}+\tau_{22}
u_{2}+\ldots \cdot+\tau_{2 f}
u_{f}=0 \\
\cdot v_{f-1,1}
u_{1}+\tau_{f-1,2}
u_{2}+\ldots \cdot+\dot{\tau}_{f-1}, \dot{f}_{f}=0
\end{array}
\]

можно определить \(
u_{k} \) с точностью произвольного множителя \(
u \)
\[

u_{k}=
u \tau_{k}^{\prime},
\]

где \( \tau_{k}{ }^{\prime} \) можно выбрать целым числом.
В этом случае ряд Фурье для \( q_{k} \) получает вид
\[
q_{k}=\sum_{\tau} C_{\tau_{1} \ldots \tau f}^{(k)} e^{2 \pi i\left[\left(\tau_{1} \tau_{1}^{\prime}+\tau_{2} \tau_{2}^{\prime}+\ldots+\tau_{f}^{\prime} \tau^{\prime} f\right) v t+(\tau \hat{\delta})\right]} .
\]

И здесь также ясно видна их периодичность.
В случае непериодичности, движение аналогично движению носящему при двух измерениях название движения Лиссажу, замыкающегося лишь при условии существоьания некоторого рационального соотношения между \(
u \); это значит, что траектория движения в w-пространстве подходит произвольно близко к любой точке единичного куба (что доказывается в приложении 1), и если по этой причине она ограничена этим кубом, то каждая точка траектории заменяется эквивалентной точкой единичного куба. Переход от \( w \)-пространства к \( q \)-пространству означает непрерывное отображение; при этом путь движения \( q \)-пространства проходит произвольно близко возле каждой точки \( f \)-измерительной области.
Астрономы называют такие движения условно периодическими. Из того факта, что функция \( S \) после каждого раза возрастает, если координата \( q_{k} \) пробегает период, а другие \( q \) остаются неизменными, можно заключить, что функция
\[
S^{*}=S-\sum_{k} w_{k} J_{k}
\]

представляет многопериодическую функцию ш с простым периодом 1 .

В самом деле, если \( w_{k} \) изменяется на 1 , а другие остаются неизменными, то \( q_{k} \) пробегает период, и другие \( q \) возвращаются к исходному своему значению, не пробежав периода, т. е. \( S \) увеличивается на \( J_{k} \), и \( S^{*} \) остается неизменной.
\( S^{*} \) можно рассматривать вместо \( S \), как производную функцию канонических преобразований, сводящих \( q_{k} \) и \( p_{k} \) к \( w_{k} \) и \( J_{k} \).
Так, например, уравнение
\[
\sum p_{k} \dot{q}_{k}=-\Sigma w_{k} \dot{J}_{k}+\frac{\partial S}{\partial t}
\]

равнозначно уравнению
\[
\sum p_{k} \dot{q}_{k}=\Sigma J_{k} \dot{w}_{k}+\frac{\partial S^{*}}{\partial t}
\]

и это дает преобразование
\[
\begin{array}{c}
J_{k}=-\frac{\partial}{\partial w_{k}} S^{*}(q, w) \\
p_{k}=\frac{\partial}{\partial q_{k}} S^{*}(q, w) .
\end{array}
\]

Исходя из этого, можно вывести простое выражение для среднего значения кинетической энергии в случае неотносительной механики, а именно:
\[
\begin{aligned}
2 \bar{T}=\frac{1}{t_{2}-t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum p_{k} \dot{q}_{k} d t & =\frac{1}{t_{2}-t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{k} p_{k} d q_{k}=\frac{1}{t_{2}-t_{1}} \int_{t_{2}}^{t_{2}} \sum J_{k} d w_{k}+ \\
& +\frac{1}{t_{2}-\dot{t}_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{2}} d S^{*}
\end{aligned}
\]

Выбирая отрезок времени \( \left(t_{1}, t_{0}\right) \) достаточно продолжительным, получим
\[
\begin{array}{l}
\overline{2 T}=\frac{1}{t_{2}-t_{1}} \int_{t_{1}}^{t_{5}} \sum J_{k}
u_{k} d t \\
2 T=\Sigma J_{k}
u_{k} . \\
\end{array}
\]

Введенные здесь интегралы \( J_{k}(12) \), казалось бы, представляют возможность формулирования кеантовых условий в форме \( J_{k}=n_{k} h \).

Но по самому определенню они связаны с координатной системой \( (q, p) \); поэтому необходимо сначала исследовать условия, при которых эта координатная система определяется однозначно. Итак, исследуем, существуют ли преобразования точек (т. е. преобразования между координатами), сводящие разделимые переменные в разделимые.
Предположим, что существует координатная система, в ко-
Рис. 7. торой уравнение \( \mathrm{F} \) ами л втон а-Я к о б и рассматриваемого движения разделяется.
Далее предположим, что между периодами движения нет никакой, скажем, тождественной соизмеримости, не зависящей от начальных условий. Тогда мы можем начальные условия выбрать так, что путь не будет замыкаться. Если переменная \( q_{k} \) испытывает либрацию, то движение происходит между двумя определенными ( \( f-1 \) ) измерительными плоскостями \( q_{k}= \) const, прикасаясь к ним попеременно.

Но если \( q_{k} \) осуществляет вращение, то ее изменение ограничивается областью от 0 до \( \tilde{\omega}_{k} \), где \( \tilde{\omega}_{k} \) – соответс́твующий период; при этом откладываем части траектории отрезков
\[
\left(\tau \tilde{\omega}_{k},(\tau+1) \tilde{\omega}_{k}\right)
\]

с помощью отрезка ( \( \left.0, \tilde{\omega}_{k}\right) \);
Тогда вся траектория будет проходить внутри квадрата \( f \) измерений, ориентированного по координатным осям.
\( (f-1) \) измерений плоскости, ограничивающие квадрат, имеют независимое от координатной системы значение. Изменяя с помощью начальных условий размеры квадрата, можно сместить инвариантные плоскости.

Из этого мы можем сделать заключение, что направления координат имеют инвариантное значение, и только может изменяться шкала каждой отдельной из переменных.

\( B \) случае тождественности соизмерений все координатные системы, в которых возможно разделение переменных, связаны преобразованием следующего вида
\[
\bar{q}_{k}=f_{k}\left(q_{k}\right) .
\]

Соответствующие импульсы преобразовываются с помощью уравнения (10) \( \S 7 \).
\[
p_{k}=\bar{p}_{k} \frac{d f_{k}}{d q_{k}}+g_{k}\left(q_{1} \cdots q_{f}\right)
\]

Таким образом
\[
\oint p_{k} d q_{k}=\oint \vec{p}_{k} \frac{d f_{k}}{d q_{k}} d q_{k}+\oint g_{k} d q_{k} .
\]

Второй интеграл с правой стороны исчезает (замкнутость пути интегрирования, а первый интеграл равен
\[
\oint \vec{p}_{k} d \overrightarrow{q_{k}}
\]

Итак, интегралы \( J_{k} \) действительно определены однозначно. В случае пространственного осциллятора, траектория движення, вообе говоря, действительно заполняет квадрат. Таким образом в случае отсутствия тождественных соизмеримостей, прямоугольные координаты или их функции представляют отдельные разделимые переменные, и интегралы \( J_{x}, J_{y}, J_{z} \) имеют инвариантное значение.

При наличии существования тождественных соизмерений, кривая движения в \( q \)-пространстве не заполняет полностью квадрат, и координатные направления не должны обязательно иметь инвариантное значение.
Тогда Ј могут быть и неоднозначны.
Так мы можем в случае пространственного осциллятора, при условии, что \( v_{x}=\gamma_{y} \), координатную систему произвольно вращать вокруг \( z \), не нарушая этим разделяемости координат, при этом в различных координатных системах мы получаем различные \( J_{x} \) и \( J_{y} \).

Далее, прямоугольные координаты не являются единственными, для которых при \( y_{x}=v_{g} \) в случае осциллятора возможно разделение переменных.

Для того, чтобы показать это и одновременно дать пример для решения уравнения Гамильтона-якоб и способом разделения для случая, когда ово не распадается аддитивно,- применим для пространственного осциллятора, при наличии \( \gamma_{x}=
u_{y}=\gamma_{z} \), цилиндр иг эские координаты. Каноническое преобразованве (12) \( \S 7: \)
\[
\begin{array}{ll}
x=r \cos \varphi & p_{r}=p_{x} \cos \varphi+p_{y} \sin \varphi \\
y=r \sin \varphi & p_{\varphi}=-p_{x} r \sin \varphi+p_{y} r \cos \varphi \\
z=z & p_{z}=p_{z}
\end{array}
\]

приводит функцию Гамильтона к виду.
\[
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{r}^{2}+p_{z}^{2}+\frac{1}{r^{2}} p_{\varphi}^{2}\right)+\frac{m}{2}\left(\omega^{2} r^{2}+\omega z_{z}^{2} z^{2}\right) .
\]

Попытаемся уравнение Гамильтона-Якоби
\[
\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2}+\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial S}{\partial \varphi}\right)^{2}+m^{2}\left(\omega^{2} r^{2}+\omega_{z}^{2} z^{2}\right)=2 m W
\]

решить с помощью формулы
\[
S=S_{r}(r)+S_{\varphi}(\varphi)+S_{2}(z),
\]

так как \( \varphi \) представляет циклическую координату, то
\[
S_{\varphi}=\alpha_{\varphi} \varphi \text {. }
\]

Соберем теперь все члены, зависящие от \( z \), и положим их равными постоянной \( m^{2} \omega_{z}^{2} \alpha_{z}^{2} \) :
\[
\left(-\frac{d S_{2}}{d z}\right)^{2}+m^{2} \omega_{z}^{2} z^{2} m^{2} w_{z}^{2} \alpha_{z}^{2}
\]

Тогда для всех зависящих от \( r \) членов остается:
\[
\left(\frac{d S_{r}}{d r}\right)^{2}+\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{r^{2}}+m^{2} \omega^{2} r^{2}=2 m W-m^{2} \omega_{z}^{2} a_{z^{*}}^{2}
\]

Образуем три интеграла действия, при этом два из них можно вычислить сразу и при этом \( J_{z} \) введением дополнительной переменной \( \downarrow=\arcsin \frac{z}{\alpha_{z}} \), подобно тому как то было в § 9. Мы полугаем:
\[
J_{r} \leftharpoondown m \omega \oint \sqrt{-r^{4}+\frac{2 W-m \omega_{z}^{2} \alpha_{z}}{m \omega^{2}} r^{2}-\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{m^{2} \omega^{2}} \cdot \frac{d r}{r}}
\]
\[
J_{\varphi}=2 \pi \alpha_{\varphi} ; \quad J_{z}=m \omega_{z} \oint \sqrt{\alpha_{z}^{2}-z^{2}} d z=\pi m \omega_{z} \alpha_{z}^{2} .
\]

Первый интеграл с помощью подстановки \( r^{2}=x \) примет форму:
\[
J_{r}=\frac{m \omega}{2} \oint \sqrt{-a+2 b x-x^{2}} \frac{d x}{x},
\]

где
\[
a=\frac{\alpha^{2} \varphi}{m^{2} \omega^{2}} ; \quad b=\frac{W-\frac{1}{2} m \omega_{2}^{2} \alpha_{z}^{2}}{m \dot{\omega}^{2}} .
\]

Этот интеграл можно вычислить методом, приведенным в приложении. Итак получаем (сравн. 5) в-приложении II:
\[
J_{\mathrm{r}}=\frac{m \omega}{2} \cdot 2 \pi(b-\sqrt{a})=\pi\left(\frac{w}{\omega}-\alpha_{\varphi}-\frac{m \omega_{z}^{2} \alpha_{z}^{2}}{2 \omega}\right) .
\]

Выражая здесь \( \alpha_{\varphi} \) и \( \alpha_{g} \) через \( J_{\varphi} \) и \( J_{\varepsilon} \), получаем для энергии
\[
W=
u\left(2 J_{r}+J_{\varphi}\right)+\dot{
u}_{g} J_{z} ; \quad
u=\frac{\omega}{2 \pi}, \quad
u_{z}=\frac{\omega_{g}}{2 \pi} .
\]

Из уравнений (19) видно, что \( J_{r} \) и \( J_{\varphi} \) имеют совершенно другое значение, чем величины \( J_{x} \) и \( J_{y} \) в случае разделения в прямоугольных координатах; например, если \( J_{\varphi} \) представляет двухкратный импульс вращщения вокруг оси \( z \),

то \( J_{s} \) будет иметь прежнее значение; далее, множитель при \( v \), именно \( 2 J_{r}+J \varphi_{r} \) обозначает то же самое, что и раньше \( J_{x}+J_{y} \) (он составляет \(
u \)-тую часть энергии осциллятора, где в обоих случаях одного и того же значения величина \( J_{z} \) равна 0 ).
Таким образом, здесь имели бы смысл квантовые услівия
\[
\begin{aligned}
2 J_{r}+J_{\varphi} & =n h \\
J_{z} & =n_{z} h .
\end{aligned}
\]

Напротив, определение \( J_{q} \) и \( J_{\varphi} \) в отдельности, с помощью таких условий, приводит к совершенно другим квантовым путям, чем соответственное определение \( J_{x} \) и \( J_{y} \) в случае определенной прямоугольной координатной системы.’

Рассмотрим теперь более подробно связь между \( w_{,}, w_{y}, J_{x}, J_{y} \) и \( w_{r}, w_{\varphi}, J_{r}, J_{\varphi} \) Во-первых
\[
J_{\varphi}=2 \pi p_{\varphi},
\]

где \( p_{\varphi}=m(x \dot{y}-y \dot{x}) \) – компоненты импульса вращения вокруг оси \( z \).
Выражая здесь по (9) \( \S 9 x \) и \( y \) через угловые переменные и переменные действия, имеем:
\[
J_{\varphi}=\frac{2}{
u} \sqrt{J_{x} J_{y}} \sin 2 \pi\left(w_{x}-w_{y}\right) .
\]

Здесь \( w_{x}-w_{y}=\hat{\delta}_{x}-\delta_{y}- \) константа. Напротив
\[
\frac{w_{x}+w_{y}}{2}=t+\frac{\delta_{x}+\delta_{y}}{2}
\]

равно переменяым \( w_{\varphi}=\frac{\varphi}{2 \pi} \), сопряженным относительно. \( J_{\varphi} \).
Выражение для \( J_{i} \) мы получаем из уравнения

а именно
\[
2 J_{r}+J_{\varphi}-J_{x}+J_{y}
\]
\[
J_{r}=\frac{1}{2}\left(J_{x}+J_{y}\right)-\frac{1}{\vee} \sqrt{J_{x} J_{y}} \sin 2 \pi\left(w_{x}-w_{y}\right) .
\]

Наконец, уравнение для \( w_{r} \) можно получить из уравнений движений, если предварительно подставить вместо \( J_{r} \) и \( J_{\varphi} \) найденные для них выражения. Тоже самое и здесь: преобразование, связывающее систему переменных \( w_{r} w_{\varphi} J_{r} J_{\varphi} \) с системой \( w_{x} w_{y} J_{x} J_{y} \), не устанавливает никакой зависимости между \( w \) и \( J \); напротив того, в отношение, связывающее \( J_{\varphi} J_{r} \) и \( J_{x} J_{y} \); входит постоянная разница \( w_{x}-w \).
Мы ниже увидим, что такое свойство имеет любая вырожденная система.