В \( \S 45 \) мы оставили открытым следующий вопрос: носят ли квантовый характер (в случайно вырожденном исходном движении) при любом приближении движения со степенью периодичности, равной степени исходного движения. Решение этого вопроса мы дадим здесь, использовав при этом метод вычислений, примененный нами для предельного вырождения.

Сформулируем еще раз поставленную нами задачу: нужно исследовать такие движения механической системы, имеющей функцию Гамильтона:
\[
H=H_{0}\left(J_{k}^{0}\right)+\lambda H_{1}\left(J_{k}^{0}, w_{k}^{0}\right)+\ldots \quad . \quad(k=1 \ldots f)
\]

которые представляют собой случайно вырожденные движения невозмущенной системы, т. е. такие движения, для которых вследствие подходящего подбора постоянных интеграций исчезают некоторые частоты
\[

u_{p}^{0}=\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{p}^{0}}=0 . \quad(\rho=s+1 \ldots f)
\]

Тогда траектория движения невозмущенной системы (в силу постоянства \( w_{\rho}^{0} \) ) заполняет собой область только \( s \) измерений \( (s<j) \).

Предположим, что возмущенное движение примыкает к определенному невозмущенному движению, при котором
\[
J_{\rho}^{0}=J_{\rho}^{*}, w_{\rho}^{0}=w_{\rho}^{*} .
\]

Тот факт, что \( J_{p}^{0} \) для исходного движения должна иметь определенные значения, вытекает из допущения случайного вырождения.

Решая уравнение (2), можно определить \( J_{\rho}^{*} \). Все они будут функциями \( J_{p}^{0} \).

Следующим нашим допущением является то, что \( w_{p}^{0} \) для исходного движения должно принимать определенные дискретные значения.

Итак, допустим, что возможны только отдельные определенные исходные движения; тогда \( J_{p}^{*} \) и w \( _{p}^{*} \) опгеделяются, как известные функции \( J_{\alpha}^{0} \); \( w_{p}^{*}\left(J_{\alpha}\right) \) нам еще неизвестно, но мы получим его в процессе наших исследований.
Введем теперь новые переменные
\[
\xi_{\rho}^{0}=J_{\rho}^{0}-J_{\rho}^{*}\left(J_{\alpha}^{0}\right), \eta_{\rho}^{0}=w_{\rho}^{0}-w_{\rho}^{*}\left(J_{\alpha}^{0}\right) .
\]

Это производится посредством канонического преобразования с производящими функциями
\[
\sum_{\alpha} w_{\alpha}^{0} J_{\alpha}^{0}+\sum_{p}\left[w_{\rho}^{0} J_{p}^{*}+\xi_{p}^{0}\left(w_{\rho}^{0}-w_{p}^{*}\right)\right] .
\]

Уравнения преобразования запишутся:
1) \( J_{\alpha}^{0}=\overline{J_{\alpha}^{0}} \);
2) \( J_{\rho}^{0}=J_{\rho}^{*}+\xi_{\rho}^{0} \);
3) \( \bar{w}_{\alpha}^{0}=w_{\alpha}^{0}+\sum_{\rho}\left(\frac{\partial J_{p}^{*}}{\partial J_{\alpha}^{0}} w_{p}^{0}-\xi_{\rho}^{0} \frac{\partial w_{p}^{*}}{\partial J_{\alpha}^{0}}\right) \)
4) \( \eta_{p}^{0}=w_{\rho}^{0}-w_{\rho}^{*} \).

Здесь новые \( \bar{J}_{\alpha}^{0} \) равны первоначальным \( J_{\alpha}^{0} \) между тем, как \( \bar{w}_{\alpha}^{0} \) отличаются от \( w_{\alpha}^{0} \) на постоянные для невозмущенного движения величины; они имеют характер угловых переменных и переменных действия. В случае исчезающе малого возмущения, \( \xi_{p}^{0} \) и \( \eta_{p}^{0} \) стремятся к нулю. Развернем теперь функцию Гам ильтона по \( \xi_{p}^{0}, \eta_{\rho}^{0} \) в ряд, а именно:
(6)
\[
H=H_{0}^{\prime}+\lambda H_{1}^{\prime}+\lambda^{2} H_{2}^{\prime}+\ldots
\]

Опуская штрихи при \( \vec{w}_{\alpha}^{0} \) имеем:
\[
\begin{array}{c}
H_{0}^{\prime}=H_{00}\left(J_{\alpha}^{0}, J_{\rho}^{*}\right)+\sum_{\rho \sigma} c_{0}^{\rho \sigma} \xi_{\rho}^{0} \xi_{\sigma}^{0}+\ldots \\
H_{1}^{\prime}=H_{10}\left(w_{\alpha}^{0}, w_{\rho}^{*}, J_{\alpha}^{0}, J_{\rho}^{*}\right)+\sum_{\rho}^{2}\left(a_{1}^{\rho} \varepsilon_{\rho}^{0}+b_{1}^{\rho} \eta_{\rho}^{0}\right)+\ldots
\end{array}
\]

В силу (5) мы имеем:
\[
\begin{array}{l}
c_{0}^{\rho \sigma}=\frac{1}{2 !} \frac{\partial^{2} H_{00}}{\partial J_{\rho}^{*}} \frac{\partial J_{\sigma}^{*}}{\partial} \\
a_{1}^{\rho}=-\frac{\partial H_{10}}{\partial J_{\rho}^{*}}+\sum_{\alpha} \frac{\partial H_{1}}{\partial w_{\alpha}^{0}} \frac{\partial w_{\rho}^{*}}{\partial J_{\alpha}^{0}} \\
b_{1}^{\rho}=-\frac{\partial H_{10}}{\partial w_{\rho}^{*}}-\sum_{\alpha} \frac{\partial H_{10}}{\partial w_{\alpha}^{0}} \frac{\partial J_{\rho}^{*}}{\partial J_{\alpha}^{0}}, \\
\end{array}
\]

между тем, как выражения \( H_{00}, H_{10} \ldots \) вытекают из (1) вследствие простой подстановки вместо \( J_{\rho}^{0} \), \( w_{\rho}^{0} \) переменных \( J_{o}^{*}, w_{\rho}^{*} \). Таким образом (6) теперь принимает вполне аналогичную форму (2) \( \S 46 \), и поэтому здесь можно производить наши вычисления таким же путем, как это мы делали там.

Единственная разница заключается в том, что \( \eta_{\rho} \) в выражение \( H_{0}^{\prime} \) вообще не входят; потому мы делаем предположение (16) § 46 и находим уравнения для определения \( A_{1}^{p} \) и \( B_{1}^{p} \) в следующем виде (ср. (10) \( \S 46 \) ):
\[
\begin{aligned}
\sum_{\alpha} \frac{\partial H_{00}}{\partial J_{\alpha}} \frac{\partial B_{1}^{\rho}}{\partial w_{\alpha}^{0}}+a_{1}^{\rho}+2 \sum_{\alpha} c_{0}^{\rho \jmath} A_{1}^{\rho} & =0 \\
-\sum_{\alpha} \frac{\partial H_{00}}{\partial J_{\alpha}} \frac{\partial A_{1}^{\rho}}{\partial w_{\alpha}^{0}}+b_{1}^{\rho} & =0
\end{aligned}
\]

Из этих уравнений следует, что среднее значение \( \bar{b}_{1}^{p} \) исчезает.
Наконец, мы получаем функцию Гамильтона в форме
\[
H=V\left(J_{\alpha}\right)+R\left(J_{\alpha}, \xi_{p}, \eta_{p p}\right),
\]

где ряд для \( R \) по \( \xi_{p}, \eta_{p} \) начинается с квадратических членов. Для малых \( \xi_{p}, \eta_{\rho} \), которые мы только и имеем в виду, \( H \) разделима и приводит к единственному следующему решению, удовлетворяющему квантовым условиям
\[
\xi_{p}=\eta_{p}=0 .
\]

Таким образом, возмущенное движение обладает степенью периодичности, равной степени невозмущенного движения.

В смысле обыкновенной механики оно только в том случае будет устойчивым, если квадратическая форма \( \xi_{\rho}, \eta_{p} \) (9) вполне определена.
Условие
\[
\bar{b}_{1}^{\text {}}=0
\]

является определением \( w_{p}^{*} \). В силу того, что средние значения \( \frac{\partial H_{10}}{\partial w_{\alpha}^{0}} \), представляющие чисто периодические функции без постоянного члена, исчезают, – по (8) следует
\[
\frac{\partial \bar{H}_{10}}{\partial w_{\rho}^{*}}=0 .
\]

Но это уравнение дает фазовые соотношения \( w_{p}^{*} \). Так как \( H_{10} \) в наших обозначениях тождественно с \( H_{2} \S 45 \), то это уравнение собственно тождественно (13) \( \S 45 \).

Пример одной случайно вырожденной степени свободы мы уже рассматривали подробно в § 45: теперь только прибавим к нему наши общие соображения об устойчивости. Уравнение (5′) \( \S 45\left(H_{2}\right. \) обозначает наше \( \left.H_{10}\right) \) :
\[
\frac{1}{2 !} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{f}^{2}}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial w_{f}^{0}}\right)^{2}+\bar{H}_{2}\left(w_{f}^{0}\right)=W_{2}
\]
(для движений в области решения уравнения \( \frac{\partial \overrightarrow{H_{2}}}{\partial w_{f}^{0}}=0 \) ) равнозначно уравнению
\[
\frac{1}{2 !} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{f}^{2}} \xi+d \cdot \eta^{2}=\text { const. }
\]

Если \( \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{f}^{2}} \) положительно, квадратическая форма для области устойчиввого решения ( \( \bar{H}_{2} \) имеет минимум) определяется положительно; вблизи неустойчивого решения ( \( \bar{H}_{2} \) – максимум) оно неопределено совсем.

Если \( \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{f}^{2}} \) отрицательно, то форма для области устойчивого решения определяется со знаком минус ( \( \bar{H}_{2} \) – максимум) и совсем не определяется вблизи неустойчивого решения ( \( \bar{H}_{2}- \) минимум).

Перейдем теперь к рассмотрению случаев, комбинаций различных вырождений. Из того, что и случайное и предельное вырождение, как это было показано выше, исследуются одним и тем же способом, можно сделать вывод, что они, очевидно, не возмущают взаимно друг друга.
Увеличивается только число переменных ڤ, \( \eta \).
Что касается комбинации собственно вырождения с предельным вырождением, то она также не представляет никакого затруднения. Вычисляются сперва вековые движения собственно вырождаемых переменных, затем поступают так, как в \( \$ 46^{1} \) ).

Само собою разумеется, специальные случаи, при которых, например, при усреднении по невырождаемым переменным совершенно выпадает зависимость от вырожденных переменных (напр. \( \bar{H}_{1}=0 \) ), в каждом частном случае исследуют особо.

Итак, мы достигли цели, поставленной в § 40 , а именно доказать, что стационарные состояния главным образом имеют место среди особенно простых типов движений, исследование которых производится сравнительно простым приближенным методом.

Вооружившись этим математическим аппаратом, перейдем теперь к исследованию простейшого после водорода атома гелия. Мы покажем (как было упомянуто в § 40), что результаты наших вычислений не совпадают с опытом, но мы нашим примером облегчим путь тем опытам, которые будут направлены на установление окончательных законов квантовой механики.