Простейший объект применения положений § 21 представляет атом, состоящий только из одного (заряженного \( Z \)-кратно) ядра и одного электрона. Вопрос, следовательно, сводится к движению двух тел под влиянием взаимного притяжения с потенциальной энергией.
\[
U(r)=-\frac{e^{2} Z}{r} .
\]
Займемся исследованием этого движения.
Интеграл действия \( J_{r}(6) \S 21 \) получает форму
\[
J_{r}=\oint \sqrt{-A+2 \frac{B}{r}-\frac{C}{r^{2}}} d r .
\]
При этом
\[
\begin{array}{l}
A=2 \mu(-W) \\
B=\mu e^{2} Z \\
C=\frac{\left(J_{\vartheta}+J_{\varphi}\right)^{2}}{(2 \pi)}=\left(\frac{J_{2}}{2 \pi}\right)^{2} .
\end{array}
\]
Легко видеть, что подрадикальное выражение может иметь два нулевых положения между \( r=0 \) и \( r=\infty \), замыкающих положительную область только при том условии, если \( W \) отрицательное. Величины \( A, B \) и \( C \) поэтому положительные числа. С помощью комплексного интегрирования мы получаем (срав. (5) приложения (II) ):
\[
\begin{array}{c}
J_{r}=2 \pi\left(-\sqrt{C}+\frac{B}{\sqrt{A}}\right) \\
J_{r}=2 \pi \frac{\sqrt{\mu e^{2} Z}}{\sqrt{-2 W}}-J_{\vartheta}-J_{\varphi} .
\end{array}
\]
После этого можно выразить энергию \( W \) через переменные действия следующим образом:
\[
W=-\frac{2 \pi^{2} \mu e^{4} Z^{2}}{\left(J_{r}+J_{\theta}+J_{\varphi}\right)^{2}}=-\frac{\dot{2} \pi^{2} \mu e^{4} Z^{2}}{J_{1}^{2}} .
\]
Итак, движение является вдвойне вырожденным, ибо энергия не зависит также от \( J_{2} \) (импульса вращения). Не только узловая длина, но и расстояние перигелия от узла остается неизменным. Мы имеем только одно квантовое условие
\[
J_{1}=n h
\]
и, выражая через него энергию, получим
\[
W=-\frac{2 \pi^{2} \mu e^{4} Z^{2}}{h^{2}} \frac{1}{n^{2}} .
\]
Движение обладает только одной частотой, отличной от ну ля. Она получается из (3) в виде
\[
u_{1}=\frac{\partial W}{\partial J_{1}}=\frac{4 \pi^{2} \mu e^{4} Z^{2}}{J_{1}^{3}}=\frac{4 \pi^{2} \mu e^{4} Z^{2}}{h^{3} n^{3}} .
\]
Следовательно, время одного оборота равно
\[
\frac{1}{
u_{1}}=\frac{h^{2} n^{3}}{4 \pi^{2} \mu e^{4} Z^{2}} .
\]
Выразим путь движения опять в координатах \( r \), \( \psi \) плоскости траектории. По (12) § 21 мы получим траекторию в виде диференциального уравнения:
\[
\frac{d \hookleftarrow}{d r}=\frac{\sqrt{\bar{C}}}{r^{2} \sqrt{-A+2 \frac{B}{r}-\frac{C}{r^{2}}}},
\]
где \( A, B \) и \( C \) имеют значение (2′).
Интегрируя, имеем
\[
\psi-\psi_{0}=\arccos \frac{C-B r}{r V \overline{B^{2}-A C}}
\]
и, если решить относительно \( r \), то:
\[
r=\frac{C}{B+\sqrt{B^{2}-A C} \cos \left(\psi-\psi_{0}\right)} .
\]
Если для сокращения положить
\[
\begin{array}{c}
\frac{C}{B}=q \\
1-\frac{A C}{B^{2}}=\varepsilon^{2},
\end{array}
\]
то получается изв гстная форма уравнения эллипса, фокус которого совпадает с началом координат:
\[
r=\frac{q}{1+\varepsilon \cos \left(\varphi-\psi_{0}\right)} .
\]
\( \varepsilon \) обозначает числовую величину эксцентрицитета и \( q-{ }_{n} n a \) раметр“.
Выразим их через переменные действия следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\varepsilon^{2}=1-\frac{J_{2}^{2}}{J_{1}^{2}} \\
q=\frac{J_{2}^{2}}{4 \pi^{2} \mu e^{2} Z}
\end{array}
\]
Этими двумя величинами определяется вид эллиптической траектории. Так как обыкновенно эллипс определяется большой полуосью \( a \) и эксцентрицитетом \( \varepsilon \) или обеими полуосями \( a \) и \( b \), выразим еще \( a \) и \( b \) через переменные действия. Тогда имеем:
\[
\begin{array}{c}
a=\frac{q}{1-\varepsilon^{2}}=\frac{J_{1}^{2}}{4 \pi^{2} \mu e^{2} Z} \\
b=a \sqrt{1-\varepsilon^{2}}=\frac{J_{1} J_{2}}{4 \pi^{2} \mu e^{2} Z} .
\end{array}
\]
Квантовое условие определяет из этих величин только \( a \); \( \varepsilon \) и, следовательно, \( q \) и \( b \) будут принимать все значения, соответствующие значениям \( a \). Связь \( a \) с величинами \( W \) и \(
u_{1} \) детерминированными также квантовым условиям, мы можем записать следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
W=-\frac{e^{2} Z}{2 a} \\
u_{1}=\frac{e \sqrt{Z}}{2 \pi \sqrt{\mu}} a^{-8 / 2} .
\end{array}
\]
Уравнение (13) есть не что иное, как третий закон Кеплера. Уравнение (12) выражает для случая круговой траектории тот факт, что энергия пути равна половине потенциальной энергии. Она равна в общем случае, как мы сейчас увидим, половине усредненного по времени значения потенциальной энергии.
Рассмотрим процесс протекания движения во времени. Для \( w_{1} \) по (10) \( \S 21 \) можно записать
\[
w_{1}=
u_{1} t+\delta_{1}=\int \frac{\mu
u_{1} d r}{\sqrt{-A+2 \frac{B}{r}-\frac{C}{r^{2}}}} .
\]
Если разложить подрадикальное выражение на его линейные множители, мы получим
\[
w_{1}=\int \frac{\mu r
u_{1} d r}{\sqrt{\bar{A} V} \frac{}{[a(1+\varepsilon)-r][r-a(1-\varepsilon)]}},
\]
ибо \( a(1+\varepsilon) \) и \( a(1-\varepsilon) \) представляют границы либрации \( r \).
Далее, в результате подстановки
\[
r=a(1-\varepsilon \cos u) .
\]
интеграл сводится к виду:
\[
\begin{array}{c}
w_{1}=\frac{\mu
u_{1} a}{v \bar{A}} \int(1-\varepsilon \cos u) d u \\
2 \pi w_{1}=u-\varepsilon \sin u .
\end{array}
\]
С целью выяснения геометрического значения \( u \), введем с пэмощью
\[
\begin{array}{l}
\xi=r \cos \left(\psi-\psi_{0}\right) \\
\eta=r \sin \left(\psi-\psi_{0}\right)
\end{array}
\]
прямоугольные переменные, в координатной системе которых ось \( \xi \) будет служить большой осью пути и начало будет в силовом центре. Тогда из (7) и (14) вытекает
(16) \( \quad \varepsilon=\frac{q-r}{\varepsilon}=a \cos u-\frac{a-q}{\varepsilon}=a(\cos u-\varepsilon) \)
Рис. 13.
\[
\begin{array}{c}
\eta^{2}=r^{2}-\xi^{2}=a^{2}\left(1-\varepsilon^{2}\right)\left(1-\cos ^{2} u\right) \\
\eta=a \sqrt{1-\varepsilon^{2}} \sin u .
\end{array}
\]
На рисунке \( O N=a, Z Q=\xi=a[\cos (Z O N)-\varepsilon] \) и \( Q M=\eta= \) \( =\sqrt{1-\varepsilon^{2}} \cdot Q N=a \sqrt{1-\varepsilon^{2}} \sin (Z O N) \). Угол \( Z O N \) есть вспомогательная величина \( u \). Благодаря этому значению \( u \) называется эксиентрической аномалией.
Найдя таким образом все величины, имеющие решающие значение для Кеплеровского движения, сопоставим их еще раз. Энергия движения
\[
W=-\frac{2 \pi^{2} \mu e^{4} Z^{2}}{J_{1}^{2}}
\]
Движение происходит по эллипсу с полуосями
\[
a=\frac{J_{1}^{2}}{4 \pi^{2} \mu e^{2} Z}
\]
\[
b=\frac{J_{1} J_{2}}{4 \pi^{2} \mu e^{2} Z}
\]
и параметром
\[
q=\frac{J_{2}{ }^{2}}{4 \pi^{2} \mu e^{\prime} Z} .
\]
Эксцентрицитет
\[
\varepsilon=\sqrt{1-\frac{J_{2}^{2}}{J_{1}^{2}}}
\]
Барн-409-10
и направление нормали, определяющееся посредством формулы
\[
\cos i=\frac{J_{3}}{J_{2}}
\]
Процесс движения определяется с помощью
\[
\begin{array}{l}
r=a(1-\varepsilon \cos u) \\
\xi=a(\cos u-\varepsilon) \\
\eta=a \sqrt{1-\varepsilon^{2}} \sin u
\end{array}
\]
причем \( u \) находится из
\[
2 \pi
u_{1} t=u-\varepsilon \sin u,
\]
где
\[
\gamma_{1}=\frac{4 \pi^{2} \mu e^{4} Z^{2}}{J_{1}^{8}}
\]
и \( t \) отсчитывается от момента времени прохождения через перигелий. Зная, как движение происходит во времени, можно вычислить средние значения известных величин. Ниже нам придется часто пользоваться средними значениями величин \( \frac{1}{r} \) разных степеней; поэтому вычислим ее в общем виде, а именно:
\[
\frac{\overline{1}}{r^{n}}=\int \frac{
u_{1} d t}{r^{n}}=\int \frac{1}{r^{n-2}} \cdot \frac{
u_{1} d t}{r^{2}} .
\]
Здесь плоскостная скорость \( r^{2} \dot{p} \) равна площади эллипсоида, умноженной на \( 2 v_{1} \), из чего следует
\[
\frac{
u_{1} d t}{r^{2}}=\frac{d \psi}{2 \pi a b}
\]
и
\[
\frac{\overline{1}}{r^{n}}=\frac{1}{2 \pi a b} \int_{0}^{2 \pi} \frac{d \psi}{r^{n-2}} .
\]
Для \( n \geqq 2 \) можно найти среднее значение очень легко, беря предварительно значение \( \frac{1}{r} \) из уравнения эллипса (7)
\[
\frac{1}{r}=\frac{1}{q}+\frac{\varepsilon}{q} \cos \psi \text {. }
\]
Так мы получаем:
\[
\overline{\overline{1}}=\frac{1}{a b}, \quad \overline{1}=\frac{1}{r^{3}}=\frac{1}{b^{3}}
\]
\[
\begin{array}{c}
\frac{\overline{1}}{r^{4}}=\frac{1+\frac{\varepsilon^{2}}{2}}{a^{4} \sqrt{1-\varepsilon^{2}}}=\frac{a\left(1+\frac{\varepsilon^{2}}{2}\right)}{b^{5}} \\
\frac{1}{r^{5}}=\frac{1+\frac{3}{2} \cdot \varepsilon^{2}}{a^{5} \sqrt{1-\varepsilon^{2}}}=\frac{a^{2}\left(1+\frac{3}{2}\right)}{b^{7}} .
\end{array}
\]
Средние значения \( \frac{\overline{1}}{r}, \bar{r}, \overline{r^{2}} \)..вычисляются с помощью эксцентрической аномалии следующим способом (использовывая (14) и (15):
\[
\overline{r^{n}}=\int r^{n}
u_{1} d t=a^{n} \frac{1}{2 \pi} \int(1-\varepsilon \cos u)^{n+1} d u ;
\]
Следовательно, имеем
\[
\frac{\overrightarrow{1}}{r}=\frac{1}{a}
\]
\[
\begin{array}{c}
r=a\left(1+\frac{\varepsilon^{2}}{2}\right) \\
\overline{r^{2}}=a^{2}\left(1+\frac{3}{2} \varepsilon^{2}\right)
\end{array}
\]
Среднее значение выражения \( \overline{r^{n} \cos ^{m} \phi}(m>0) \) вычисляется для \( n \leqq-2 \) посредством уравнения өллипса ( \( 7^{\prime} \) ); для \( n \geqq m-1- \) с помощью эксцентрической аномалии. Принимая во внимание (18), получаем
\[
\overline{r^{n} \cos ^{m} \psi}=\frac{1}{2 \pi a b} \int r^{n+2} \cos ^{m} \psi d \psi
\]
а с помощью (14), (15) и (16)
\[
\overline{r^{n} \cos ^{m} \psi}=a^{n} \frac{1}{2 \pi} \int(1-\varepsilon \cos u)^{n-m+1}(\cos u-\varepsilon)^{m} d u .
\]
Так что
\[
\overline{\cos \phi}=-\varepsilon
\]
\[
\bar{\varepsilon}=\overline{r \cos \phi}=-\frac{3}{2} \varepsilon \cdot a
\]
\[
\overline{r^{2} \cos \psi}=-\left(2+\frac{\varepsilon^{2}}{2}\right) \varepsilon \cdot a^{2}
\]
Среднее значение выражения \( \overline{r^{n} \cos ^{*}} \psi \overline{\sin ^{2} \psi} \) исчезает для нечетных \( l \). Для четного \( l \) можно \( \sin ^{2} \psi \) заменить через 1 – \( \cos ^{2} \psi \), и среднее значение сводится к среднему значению формы, рассмотренной выше. В частности
Определим теперь среднее значение потенциальной энергии во времени:
\[
\bar{U}=-e^{2} Z \cdot \frac{\overline{1}}{r}=-\frac{e^{2} Z}{a}=2 W .
\]
Следовательно, \( \bar{U} \) равна удвоенной энергии пути.
Средняя кинетическая энергия будет равна
\[
\bar{T}=-\frac{\bar{U}}{2} .
\]
Эта формула выражает тот факт, что средняя кинетическая энергия равна половине величины средней потенциальной энергии и сохраняет свое значение вообще для си́стемы электрических зарядов, взаимодействующих по кулоновскому закону. Далее, пусть координаты электр ческого цент ра пяжести определяют электрический заряд, движющийся по кеплеровскому эллипсу. Они представляют собой не что иное, как усредненные по времени координаты \( \xi \) и \( \eta \). Следовательно
\[
\bar{\xi}=-\frac{3}{2} \varepsilon \cdot a \text {. }
\]
На основании симметрии
\[
\bar{\eta}=0
\]
следует, что электрический центр тяжести лежит на большой оси в середине между центром эллипса и фокусом, не принимаемым за центр сил.
В случае кеплеровских движений можно относительно легко образовать ряды Фурье прямоугольных координат \( \xi \) и \( \eta \) расстояния \( r \). Если \( \frac{r}{a} \) и \( \frac{\xi}{a} \) – четные функции \( u \) и \( \frac{\eta}{a} \) – нечетная функшия \( u \) и, следовательно, \( w_{1} \), то тогда можно положить:
\[
\begin{array}{c}
\frac{r}{a}=\frac{1}{2} B_{0}+\sum_{\tau} B_{\tau} \cos \left(2 \pi w_{1} \tau\right) \\
\frac{\xi}{a}=\frac{1}{2} C_{0}+\sum_{r} C_{\tau} \cos \left(2 \pi w_{1} \tau\right) \\
\frac{\eta}{a}=\sqrt{1-\varepsilon^{2}}\left[\frac{1}{2} D_{0}+\sum D_{\tau} \sin \left(2 \pi w_{1} \tau\right)\right] .
\end{array}
\]
Для коэфициентов получаются интегралы:
\[
\begin{array}{c}
B_{\tau}=4 \int_{0}^{1 / 2} \frac{r}{a} \cos \left(2 \pi w_{1} \tau\right) d w_{1} \\
C_{\tau}=4 \int_{0}^{1 / 2} \frac{\xi}{a} \cos \left(2 \pi w_{1} \tau\right) d w_{1} \\
D_{\tau}=4 \int_{0}^{1 / a} \frac{\eta}{a \sqrt{1-\varepsilon^{2}}} \sin \left(2 \pi w_{1} \tau\right) d w_{1} .
\end{array}
\]
Интегрируя по частям, получаем:
\[
\begin{array}{c}
B_{\tau}=-\frac{2}{\pi \tau} \int_{0}^{1 / 2} \sin \left(2 \pi w_{1} \tau\right) d\left(\frac{r}{a}\right) \\
C_{\tau}=-\frac{2}{\pi \tau} \int_{0}^{1 / 2} \sin \left(2 \pi w_{1} \tau\right) d\left(\frac{\xi}{a}\right) \\
D_{\tau}=+\frac{2}{\pi \tau} \int_{0}^{1 / 3} \cos \left(2 \pi w_{1} \tau\right) d\left(\frac{\eta}{a \sqrt{1-\varepsilon^{2}}}\right) .
\end{array}
\]
Теперь по (16) и (17):
\[
\begin{array}{c}
d\left(\frac{r}{a}\right)=\varepsilon \sin u d u \\
d\left(\frac{\xi}{a}\right)=-\sin u d u \\
d\left(\frac{\eta}{a \sqrt{1-\varepsilon^{2}}}\right)=\cos u d u .
\end{array}
\]
Введем \( u \), как переменную интегрирования; тогда получим:
\[
\begin{array}{l}
B_{\tau}=-\frac{2 \varepsilon}{\pi \tau} \int_{0}^{\pi} \sin [\tau(u-\varepsilon \sin u)] \sin u d u \\
C_{\tau}=\frac{2}{\pi \tau} \int_{0}^{\pi} \sin [\tau(u-\varepsilon \sin u)] \sin u d u \\
D_{\tau}=\frac{2}{\pi \tau} \int_{0}^{\pi} \cos [\tau(u-\varepsilon \sin u)] \cos u d u .
\end{array}
\]
Простое тригонометрическое преобразование приводит к:
\[
\begin{array}{l}
B_{\tau}=\frac{\varepsilon}{\pi \tau}\left\{\int_{0}^{\pi} \cos [(\tau+1) u-\tau \varepsilon \sin u] d u-\int_{0}^{\pi} \cos [(\tau-1) u-\tau \varepsilon \sin u] d u\right\} \\
C_{\tau}=\frac{1}{\pi \tau}\left\{-\int_{0}^{\pi} \cos [(\tau+1) u-\tau \varepsilon \sin u] d u+\int_{0}^{\pi} \cos [(\tau-1) u-\tau \varepsilon \sin u] d u\right\} \\
D_{\tau}=\frac{1}{\pi \tau}\left\{\int_{0}^{\pi} \cos [(\tau+1) u-\tau \varepsilon \sin u] d u+\int_{0}^{\pi} \cos [(\tau-1) u-\tau \varepsilon \sin u] d u\right\}
\end{array}
\]
Получившиеся здесь интегралы суть функции Бесселя определяющиеся посредством
\[
\mathfrak{J}_{\tau}(x)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos (\tau u-x \sin u) d u .
\]
Таким образом приходим:
\[
\begin{array}{l}
B_{\tau}=\frac{\varepsilon}{\tau}\left[\mathfrak{J}_{\tau+1}(\tau \varepsilon)-\Im_{\tau-1}(\tau \varepsilon)\right] \\
C_{\tau}=\frac{1}{\tau}\left[\mathfrak{J}_{\tau-1}(\tau \varepsilon)-\mathfrak{J}_{\tau+1}(\tau \varepsilon)\right] \\
D_{\tau}=\frac{1}{\tau}\left[\mathfrak{J}_{\tau+1}(\tau \varepsilon)-\mathfrak{F}_{\tau-1}(\tau \varepsilon)\right] . \\
\end{array}
\]
Поскольку эти формулы для \( \tau=0 \) непригодны, мы должны еще вычислить \( B_{0}, C_{0}, D_{0} \) по (25). Это мы проделаем следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
B_{0}=4 \int_{0}^{1 / 2} \frac{r}{a} d w_{1}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}(1-\varepsilon \cos u)^{2} d u=2+\varepsilon^{2} \\
C_{0}=4 \int_{0}^{1 / 2} \frac{\xi}{a} d w_{1}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi}(\cos u-\varepsilon)(1-\varepsilon \cos u) d u=-3 e \\
D_{0}=0 .
\end{array}
\]
И, наконец, подставляя вычисленные значения коэфициентов в ряд (24), мы приходим к формулам:
\[
\frac{r}{a}=1+\frac{\varepsilon^{2}}{2}+\sum_{\tau=1}^{\infty} \frac{1}{\tau}\left[\Im_{\tau+1}(\tau \varepsilon)-\Im_{\tau}-1(\tau \varepsilon)\right] \cos \left(2 \pi w_{1} \tau\right)
\]
\[
\begin{array}{l}
\frac{\xi}{2}=-\frac{3}{2} \varepsilon+\sum_{\tau=1}^{\infty} \frac{1}{\tau}\left[\Im_{\tau+1}(\tau \varepsilon)-\Im_{\tau+1}(\tau \varepsilon)\right] \cos \left(2 \pi w_{1} \tau\right) \\
\frac{r_{1}}{a}=\sqrt{1-\varepsilon^{2}} \cdot \sum_{\tau=1}^{\infty} \frac{1}{\tau}\left[\mathfrak{J}_{\tau+1}(\tau \varepsilon)+\mathfrak{J}_{\tau-1}(\tau \varepsilon)\right] \sin \left(2 \pi w_{1} \tilde{\tau}\right) . \\
\end{array}
\]
