С помощью незначительных воздействий или изменений условий можно часто многопериодическую вырожденную систему превратить в невырожденную систему. Мы рассмотрим сейчас особенно простой случай, когда функция энергии содержит параметр \( \lambda \), при значении которого \( \lambda=0 \) она вырождается.

Представим себе функцию энергии \( H \), развернутую по степеням \( \lambda \); тогда для достаточно малых \( \lambda \) можно ограничиться двумя членами разложения
\[
H=H_{0}+\lambda H_{1} .
\]

Следовательно, в этом приближении факт возмущения „невозмущенной “ системы, обозначенной через \( H_{0} \), отмечается как бы, аддитивным прибавлением некоторой возмущающей функции \( \lambda H_{1} \).

Вопрос о том, какое влияние оказывает возмущающая функция на движение, если \( H_{0} \) не вырождается, будет нами исследован ниже. Здесь же мы рассмотрим только случай вырождения \( H_{0} \). Представим себе, что проблема невозмущенной системы решена и посредством канонической подстановки введены угловая переменная и переменная действия \( w_{k}^{o} J_{k}^{o} \). Благодаря вырождению, \( H_{0} \) будет зависеть только от своих собственных переменных действия \( J_{\alpha}^{0}(\alpha=1,2 \cdots s) \) и будет функцией всех \( w_{k}^{0} \) и \( J_{k}^{0} \); следовательно:
\[
H=H_{0}\left(J_{a}^{0}\right)+\lambda H_{1}\left(J_{k}^{0}, w_{k}^{0}\right) .
\]

К приближенному решению ,проблемь возмущения\” мы придем посредством следующего наглядного рассуждения, которое математически будет нами обосновано ниже в общей связи с другими явлениями.

При возмущенном движении \( w_{p}^{0} \) все постоянны; \( w_{\alpha} \) изменяются во времени. Влияние некоторого незначительного возмущения будет сказываться в том, что жр будут также изменяться во времени, но таким образом, что их скорость изменения будет мала, т. е. одновременно с \( \lambda \) стремиться к нулю. Вследствие тoro, что координаты \( q_{k} p_{k} \) представляют периодические функции всех \( w_{k}^{0} \) с периодом 1 , -система, за время изменения \( w \)

на какую-либо величину, проделает относительно \( { }_{\alpha}^{0} \) большое число периодов (вращение или либрация).

Связь между движениями \( w_{\alpha} \) и \( w_{\rho} \) выражается при усреднении функции энергии по невозбужденному движению \( w_{a}^{o} \), а именно:
\[
\bar{H}=\bar{H}_{0}\left(J_{\alpha}^{0}\right)+\lambda \bar{H}_{1}\left(J_{\alpha}^{0}, w_{\rho}^{0}, J_{\rho}^{0}\right) .
\]

В этом выражени \( J_{\alpha}^{0} \) выступают только как параметры. Единственные переменные-это \( w_{\rho}^{0} J_{\rho}^{0} \). Соответствующие им канонические уравнения следующие:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\omega}_{0}^{0}=\lambda \frac{\partial \bar{H}_{1}}{\partial J_{\rho}^{0}} \\
J_{\rho}^{0}=-\lambda \frac{\partial \bar{H}_{1}}{\partial w_{p}^{0}}
\end{array}
\]

В квантовой теории рассматриваются решения, имеющие только многопериодический характер.

Предположим поэтому, что существует функция действия вида
\[
S=\sum_{k-1}^{f} w_{k}^{0} J_{\dot{k}}+F\left(w_{\rho}^{0}, J_{\rho}\right)
\]

где \( F \) – периодическая функция \( w_{p}^{0} \) с простым периодом. Канонические преобразования с производящей функцией \( S \) :
\[
w_{\alpha}=w_{\alpha}^{0} \quad J_{\alpha}^{0}=J_{\alpha}
\]
\[
w_{\rho}=w_{\rho}^{0}+\frac{\partial F}{\partial J_{\rho}} \quad J_{\rho}^{0}=J_{\rho}+\frac{\partial F}{\partial w_{\rho}^{0}} .
\]

Функцию \( \bar{H}_{1} \) приводим к функции одних \( J_{k} \)
\[
\bar{H}_{1}\left(J_{\alpha}^{0} ; w_{\rho}^{0} J_{\rho}^{0}\right)=W_{1}\left(J_{\alpha}, J_{\rho}\right) .
\]

Часть \( S \), зависящая от \( w_{p}^{0}, J_{\rho} \),
\[
S_{1}=S-\sum_{\alpha=1}^{S} w_{\alpha}^{0} J_{\alpha} .
\]

удовлетворяет диференциальному уравнению ГамильтонаЯкоби в частных производных
\[
\bar{H}_{1}\left(J_{\alpha} ; w_{\rho}^{0}, \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{\rho}^{0}}\right)=W_{1} .
\]

Таким образом, движения, выраженные при помощи переменных \( w_{\rho}^{0} J_{\rho}^{0} \), определяются из усредненной функции возмущения подобно первоначальным координатам системы из общей функции энергии. Решение в нашем приближении имеет форму
\[
\begin{array}{ll}
J_{\alpha}=\text { const } & w_{\alpha}=
u_{\alpha} t+\delta_{\alpha} \\
J_{\rho}=\text { const } & w_{\rho}=
u_{\rho} t+\delta_{\rho},
\end{array}
\]

где имеют значения
\[
\begin{array}{l}

u_{\alpha}=\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{\alpha}}+\lambda \frac{\partial \bar{H}_{1}}{\partial J_{\alpha}} \\

u_{p}=\lambda \frac{\partial \bar{H}_{1}}{\partial J_{p}} .
\end{array}
\]

Итак, скорость изменения \(
u_{\rho} \) действительно мала по сравнению со скоростью \(
u_{\alpha} \) и для \( \lambda=0 \) она исчезает.

Для таких медленных движений в небесной механике введено название \”вековых возмущений\”.

В (6) легко заметить, что первоначальные координаты системы \( q \) и \( p \) также являются периодическими функциями новых угловых переменных.

В движениях, выраженных уравнением (8), мы будем отличать следующие случаи: либрация, вращение или движение в пределе ограничения.

Практически проблема решается только при условии разделения переменных \( w_{\rho}^{0} \) в диференциальном уравнении (8) или при условии отыскания новых разделимых переменных. Это, напр. имеет место, если все переменные – w \( _{\rho}^{0} \), или все, кроме одной, циклические. Простейший случай этого наступает при существовании, вообще говоря, одной переменной \( w_{p}^{0} \), т. е. если невозбужденная система просто выражена.

Далее, может случиться, что проблема, описываемая с помощью \( \bar{H} \), относительно известных \( w_{\rho} \) является вырожденной, тогда эти \( w_{p} \) во время движения остаются постоянными. Конечно, если прибавить следующую функцию возмущения, то эти \( w_{p} \). могут изменяться.

Нахождение среднего значения функции возмущения \( H \) часто производится с помощью первоначальных переменных \( q, p \) (усреднение по проистеканию во времени) подоб́но тому, как это делается посредством угловых переменных.

Постоянные траектории невозмущенного движения, входящие в среднее значение \( \bar{H}_{1} \), выражаются затем через вырожденные угловые переменные \( w_{\rho}^{0} \) и через переменные действия \( J_{\rho}^{0} \). Для системы, подверженной воздействию только внутренних сил, азимут произвольной прямой в пространстве и плоскости, проведенной черезэту прямую и ось общего импульса, в этом случае будет вырожденный. Если на эту систему действует слабое однородное поле по направлению этой прямой, то усредненное значение функции возмущения \( \lambda H_{1} \) не зависит от такого азимута. Если теперь нет никакой другой вырожденной переменной невозмущенной системы, изменяющейся благодаря функции векового возмущения, как например, для атома водорода в электрическом поле (срав. § 37), то остается единственное вызванное внешним полем вековое движение прецессии общего импульса вращения вокруг направления поля с частотой
\[

u_{\varphi}=\lambda \frac{\partial \bar{H}_{1}}{\partial J_{\varphi}} .
\]

Таким образом, мы осуществили рассмотренный в предыдущем параграфе случай пространственного квантования. Точное движение отличается от описанного наложением малых колебаний, это – так называемая „псевдорегулярная прецессия“.