С помощью незначительных воздействий или изменений условий можно часто многопериодическую вырожденную систему превратить в невырожденную систему. Мы рассмотрим сейчас особенно простой случай, когда функция энергии содержит параметр $\lambda$, при значении которого $\lambda =0$ она вырождается.

Представим себе функцию энергии $H$, развернутую по степеням $\lambda$; тогда для достаточно малых $\lambda$ можно ограничиться двумя членами разложения
$$H=H_0+\lambda H_1.$$

Следовательно, в этом приближении факт возмущения „невозмущенной “ системы, обозначенной через $H_0$, отмечается как бы, аддитивным прибавлением некоторой возмущающей функции $\lambda H_1$.

Вопрос о том, какое влияние оказывает возмущающая функция на движение, если $H_0$ не вырождается, будет нами исследован ниже. Здесь же мы рассмотрим только случай вырождения $H_0$. Представим себе, что проблема невозмущенной системы решена и посредством канонической подстановки введены угловая переменная и переменная действия $w_k^o{J}_k^o$. Благодаря вырождению, $H_0$ будет зависеть только от своих собственных переменных действия $J_{\alpha }^0(\alpha =1,2\cdots s)$ и будет функцией всех $w_k^0$ и $J_k^0$; следовательно:
$$H=H_0\left(J_a^0\right)+\lambda H_1(J_k^0,w_k^0).$$

К приближенному решению ,проблемь возмущения\» мы придем посредством следующего наглядного рассуждения, которое математически будет нами обосновано ниже в общей связи с другими явлениями.

При возмущенном движении $w_p^0$ все постоянны; $w_{\alpha }$ изменяются во времени. Влияние некоторого незначительного возмущения будет сказываться в том, что жр будут также изменяться во времени, но таким образом, что их скорость изменения будет мала, т. е. одновременно с $\lambda$ стремиться к нулю. Вследствие тoro, что координаты $q_k{p}_k$ представляют периодические функции всех $w_k^0$ с периодом 1 , -система, за время изменения $w$

на какую-либо величину, проделает относительно ${}_{\alpha }^0$ большое число периодов (вращение или либрация).

Связь между движениями $w_{\alpha }$ и $w_{\rho }$ выражается при усреднении функции энергии по невозбужденному движению $w_a^o$, а именно:
$$\overline{H}={\overline{H}}_0\left(J_{\alpha }^0\right)+\lambda {\overline{H}}_1(J_{\alpha }^0,w_{\rho }^0,J_{\rho }^0).$$

В этом выражени $J_{\alpha }^0$ выступают только как параметры. Единственные переменные-это $w_{\rho }^0{J}_{\rho }^0$. Соответствующие им канонические уравнения следующие:
$$\begin{array}{l}{\dot{\omega }}_0^0=\lambda \frac{\partial {\overline{H}}_1}{\partial J_{\rho }^0}\\ J_{\rho }^0=-\lambda \frac{\partial {\overline{H}}_1}{\partial w_p^0}\end{array}$$

В квантовой теории рассматриваются решения, имеющие только многопериодический характер.

Предположим поэтому, что существует функция действия вида
$$S=\sum _{k-1}^f{w}_k^0{J}_{\dot{k}}+F(w_{\rho }^0,J_{\rho })$$

где $F$ — периодическая функция $w_p^0$ с простым периодом. Канонические преобразования с производящей функцией $S$ :
$$w_{\alpha }=w_{\alpha }^0{J}_{\alpha }^0=J_{\alpha }$$
$$w_{\rho }=w_{\rho }^0+\frac{\partial F}{\partial J_{\rho }}{J}_{\rho }^0=J_{\rho }+\frac{\partial F}{\partial w_{\rho }^0}.$$

Функцию ${\overline{H}}_1$ приводим к функции одних $J_k$
$${\overline{H}}_1(J_{\alpha }^0;w_{\rho }^0{J}_{\rho }^0)=W_1(J_{\alpha },J_{\rho }).$$

Часть $S$, зависящая от $w_p^0,J_{\rho }$,
$$S_1=S-\sum _{\alpha =1}^S{w}_{\alpha }^0{J}_{\alpha }.$$

удовлетворяет диференциальному уравнению ГамильтонаЯкоби в частных производных
$${\overline{H}}_1(J_{\alpha };w_{\rho }^0,\frac{\partial S_1}{\partial w_{\rho }^0})=W_1.$$

Таким образом, движения, выраженные при помощи переменных $w_{\rho }^0{J}_{\rho }^0$, определяются из усредненной функции возмущения подобно первоначальным координатам системы из общей функции энергии. Решение в нашем приближении имеет форму
$$\begin{array}{ll}{J}_{\alpha }=\text{ const }& w_{\alpha }=u_{\alpha }t+{\delta }_{\alpha }\\ J_{\rho }=\text{ const }& w_{\rho }=u_{\rho }t+{\delta }_{\rho },\end{array}$$

где имеют значения
\[
\begin{array}{l}

u_{\alpha}=\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{\alpha}}+\lambda \frac{\partial \bar{H}_{1}}{\partial J_{\alpha}} \

u_{p}=\lambda \frac{\partial \bar{H}_{1}}{\partial J_{p}} .
\end{array}
\]

Итак, скорость изменения $u_{\rho }$ действительно мала по сравнению со скоростью $u_{\alpha }$ и для $\lambda =0$ она исчезает.

Для таких медленных движений в небесной механике введено название \»вековых возмущений\».

В (6) легко заметить, что первоначальные координаты системы $q$ и $p$ также являются периодическими функциями новых угловых переменных.

В движениях, выраженных уравнением (8), мы будем отличать следующие случаи: либрация, вращение или движение в пределе ограничения.

Практически проблема решается только при условии разделения переменных $w_{\rho }^0$ в диференциальном уравнении (8) или при условии отыскания новых разделимых переменных. Это, напр. имеет место, если все переменные — w ${}_{\rho }^0$, или все, кроме одной, циклические. Простейший случай этого наступает при существовании, вообще говоря, одной переменной $w_p^0$, т. е. если невозбужденная система просто выражена.

Далее, может случиться, что проблема, описываемая с помощью $\overline{H}$, относительно известных $w_{\rho }$ является вырожденной, тогда эти $w_p$ во время движения остаются постоянными. Конечно, если прибавить следующую функцию возмущения, то эти $w_p$. могут изменяться.

Нахождение среднего значения функции возмущения $H$ часто производится с помощью первоначальных переменных $q,p$ (усреднение по проистеканию во времени) подоб́но тому, как это делается посредством угловых переменных.

Постоянные траектории невозмущенного движения, входящие в среднее значение ${\overline{H}}_1$, выражаются затем через вырожденные угловые переменные $w_{\rho }^0$ и через переменные действия $J_{\rho }^0$. Для системы, подверженной воздействию только внутренних сил, азимут произвольной прямой в пространстве и плоскости, проведенной черезэту прямую и ось общего импульса, в этом случае будет вырожденный. Если на эту систему действует слабое однородное поле по направлению этой прямой, то усредненное значение функции возмущения $\lambda H_1$ не зависит от такого азимута. Если теперь нет никакой другой вырожденной переменной невозмущенной системы, изменяющейся благодаря функции векового возмущения, как например, для атома водорода в электрическом поле (срав. § 37), то остается единственное вызванное внешним полем вековое движение прецессии общего импульса вращения вокруг направления поля с частотой
\[

u_{\varphi}=\lambda \frac{\partial \bar{H}_{1}}{\partial J_{\varphi}} .
\]

Таким образом, мы осуществили рассмотренный в предыдущем параграфе случай пространственного квантования. Точное движение отличается от описанного наложением малых колебаний, это — так называемая „псевдорегулярная прецессия“.