Гелий, как мы выяснили в § 32 , в нормальном состоянии имеет две одноквантовых электронных траектории.

Нашей задачей будет исследовать их конфигурацию в одном атоме. В качестве невозмущенного движения мы будем рассматривать движение электронов, находящихся под влиянием одного только ( \( Z \)-кратно заряженного) ядра.

Пусть для первого электрона угловые переменные и переменные действия будут \( w_{1}, w_{2}, w_{3}, J_{1}, J_{2}, J_{3} \).

1 Случай, когда предельно вырожденные степени свободы являются одновременно собств енно вырожденными, исследовал L. Nordhel m, Zeltschr. t. Physik, Bd. 17, S. 316, 1923.

Эти величины для второго электрона мы будем отмечать сверху черточкой.
Энергия невозмущенного движения запишется

где
\[
H_{0}=-A\left(\frac{1}{J_{1}^{2}}+\frac{1}{J_{1}^{\prime 2}}\right)
\]
\[
A=2 \pi^{2} e^{4} m Z^{2} .
\]

Функция возмущения представляет взаимную потенциальную энергию электронов
\[
\gamma H_{1}=\frac{e^{2}}{R}=\frac{e^{2}}{\sqrt{\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2}}} .
\]

Здесь \( R \) обозначает расстояние, \( x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime} \)-прямоугольные координаты электронов в какой-либо координатной системе с началом, совпадающим с ядром. Вводя развернутые картезианские координаты, как функции угловых переменных (вычисляем из (26) § 22), – мы получаем исходную точку для всех дальнейших вычислений возмущений. При этом нельзя упускать из виду еще следующего: при невозмущенном кеплеровском движении (не учитывая изменения массы) квантотеоретически детерминировано только \( J_{1} \), в то время как \( J_{2} \), т. е. эксцентрицитет, остается еще произвольным. В случае кеплеровского движения, при учете теории относительности, \( J_{2} \) также квантуется и для одноквантового пути \( J_{2}=J_{1}=h \).

Мы не будем учитывать количественно относительного изменения массы, а только предположим в качестве исходного пути каждого электрона предельно вырожденный круговой путь.

Таким способом невозмущенная система состоит из двух круговых траекторий равной величины. Кроме выраженного здесь двойного вырождения мы еще имеем двойное собственное вырождение, состоящее в том, что плоскости орбит обоих электронов сохраняются в пространстве, а далее, случайное вырождение, так как частоты вращений электронов равны друг другу. Взаимодействие электронов в силу теоремы об импульсе вращения обусловливает возникновение собственного вырождения (разница долгот узловых линий обоих путей на неизменной плоскости равна всегда нулю). Однако линия узлов совершает равномерную прецессию вокруг оси общего импульса вращения.

Предельное вырождение сохраняется и в случае [возмущенного движения (соображения § 46). То же можно сказать относительно случайного вырождекия ( \( \$ 47 \) ). Однако возмущенное движение примыкает только к таким невозмущенным движениям, при которых оба электрона имеют вполне определенное фазовое соотношение.

В этом частном случае среднее значение энергии взаимодействия имеет экстремальное значение. Ясно, что этот случай может иметь место, если электроны в каждое мгновение отдалены друг от друга на большое расстояние, т. е. если они всегда находятся в одной и той же меридиональной плоскости (идущей через ось импульса вращения).
Предельное вырождение
\[
J_{1}-J_{2}=0 \quad J_{1}{ }^{\prime}-J_{2}^{\prime}=0
\]

требует следующего преобразования (мы приводим его только для первого электрона)
\[
\begin{array}{c}
\bar{J}_{1}=J_{1}, \quad \bar{w}_{1}=w_{1}+w_{2} \\
\xi=-\sqrt{\frac{J_{1}-J_{2}}{\pi} \sin 2 \pi w_{2}, \quad} \quad \eta=\sqrt{\frac{J_{1}-J_{2}}{\pi}} \cos 2 \pi w_{2} .
\end{array}
\]

Ниже мы опять опускаем черточки над \( w_{1} \) и \( J_{1} \); тогда \( 2 \pi w_{1} \) обозначает угловое расстояние электрона (в его орбите) от линии узлов; в невозмущенном движении \( \xi \) и \( \eta \) равны нулю.

Случайное вырождение требует следующего канонического преобразования:
\[
\begin{array}{ll}
w_{1}=\mathfrak{w}_{1}+\mathfrak{w}_{1}^{\prime}, & J_{1}=\frac{1}{2}\left(\Im_{1}+\Im_{1}{ }^{\prime}\right) \\
w_{1}^{\prime}=\mathfrak{w}_{1}-\mathfrak{w}_{1}, & J_{1}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\Im_{1}-\Im_{1}{ }^{\prime}\right)
\end{array}
\]

или решая относительно новых переменных,
\[
\begin{array}{ll}
\mathfrak{w}_{1}=\frac{1}{2}\left(w_{1}+w_{1}^{\prime}\right), & \Im_{1}=J_{1}+J_{1}^{\prime}, \\
\mathfrak{w}_{1}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(w_{1}-w_{1}^{\prime}\right), & \Im_{1}^{\prime}=J_{1}-J_{1}^{\prime} .
\end{array}
\]

Геометрическое значение \( w_{3}, w_{3}^{\prime} \), \( J_{3} \) и ‘ ‘ зависит от положения системы координат.

Если мы совместим плоскости \( (x, y) \) и \( \left(x^{\prime}, y^{\prime}\right) \) с неизменными плосоостями системы (исключение линии узлов), то \( J_{3}+J_{3}^{\prime} \) будет общим импульсом вращения и \( w_{3}-w_{3}^{\prime}=\frac{1}{2} \). Так как энергия возмущенного движения может зависеть только от комбинации \( J_{3}+J_{8}^{\prime} \); мы полагаем
\[
\begin{aligned}
w_{3} & =\mathfrak{w}_{3}+\mathfrak{w}_{3}{ }^{\prime}, \\
w_{3}{ }^{\prime} & =\mathfrak{w}_{3}-\mathfrak{w}_{3}{ }^{\prime}, \\
J_{3} & =\frac{1}{2}\left(\Im_{3}+\Im_{3}{ }^{\prime}\right), \\
J_{3}^{\prime} & =\frac{1}{2}\left(\Im_{3}-\Im_{3}{ }^{\prime}\right),
\end{aligned}
\]

так что
\[
\mathfrak{w}_{3}^{\prime}=\frac{1}{4} .
\]

Для вычисления фазового соотношения мы должны в исходном движении выразить функцию возмущения (2) через переменные \( \mathfrak{w}_{1}, \mathfrak{w}_{1}{ }^{\prime}, \mathfrak{w}_{3}, \mathfrak{I}_{1}, \mathfrak{F}_{1}^{\prime}, \mathfrak{I}_{3} \). Из простых геометрических построений мы первым долгом получаем (рис. 39):
\[
\begin{array}{l}
x=x_{0} \cos 2 \pi w_{3}-y_{0} \sin 2 \pi w_{3} \cos i \\
y=x_{0} \sin 2 \pi w_{3}+y_{0} \cos 2 \pi w_{3} \cos i \\
z=y_{0} \sin i
\end{array}
\]

где \( x_{0} \) и \( y_{0} \) – прямоугольные координаты электрона и его траектории (линия узлов служит осью \( x_{0} \) ) и \( i \) обозначает наклон плоскости орбиты относительно
Рис. 39. плоскости ( \( x y) \); для последнего имеет место уравнение
\[
\cos i=\frac{J_{3}}{J_{1}}=p=p^{\prime} .
\]

Для \( x_{0}, y_{0} \) мы имеем
\[
\begin{array}{c}
x_{0}=a \cos 2 \pi w_{1}, \\
y_{0}=a \sin 2 \pi w_{1}, \\
a=\frac{J_{1}^{2}}{4 \pi^{2} e^{2} m Z}=\frac{\mathfrak{\Im}_{1}^{2}}{16 \pi^{2} e^{2} m Z} .
\end{array}
\]

Функция возмущения теперь будет:
\[
\lambda H_{1}=\frac{e^{2}}{a \sqrt{2\left(1-k^{2}\right)}},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
k^{2}=\frac{1}{a^{2}}\left(x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}\right)=-\cos 2 \pi\left(\mathfrak{w}_{1}+\mathfrak{w}_{1}{ }^{\prime}\right) \cos 2 \pi\left(\mathfrak{w}_{1}-\mathfrak{w}_{1}{ }^{\prime}\right)+ \\
+\sin 2 \pi\left(\mathfrak{w}_{1}+\mathfrak{w}_{1}{ }^{\prime}\right) \sin 2 \pi\left(\mathfrak{w}_{1}-\mathfrak{w}_{1}{ }^{\prime}\right)\left(1-2 p^{2}\right)= \\
=-\left(1-p^{2}\right) \cos 4 \pi \mathfrak{w}_{1}-p^{2} \cos 4 \pi \mathfrak{w}_{1}^{\prime} .
\end{array}
\]
\( \mathfrak{w w}_{3} \) не входит; это циклическая переменная, и \( \mathfrak{I}_{3} \) – общий импульс вращения – постоянный.

Произведем далее усреднение функции возмущения по невозмущенному движению, а именно:
\[
\lambda \bar{H}_{1}=\frac{e^{2}}{a \sqrt{2}} \int_{0}^{1} \frac{d \mathfrak{w}_{1}}{\sqrt{1-k^{2}}} .
\]

То постоянное значение, которое \( \mathfrak{w}_{1}{ }^{\prime} \) принимает при невозмущенном движении, определяется из уравнения
\[
\frac{\partial \overline{H_{1}}}{\partial \mathfrak{w}_{1}{ }^{\prime}}=0 .
\]

Здесь это уравнение запишется, как
\[
\int_{0}^{1} \frac{d \mathfrak{w}_{1}}{\sqrt{1-k^{2}}} p^{2} \cdot \sin 4 \pi \mathfrak{w}_{1}{ }^{\prime}=0
\]

и только тогдаудовлетворяется, когда \( p=0 \) или \( \mathfrak{w}_{1}{ }^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\mathfrak{w}_{1}-\mathfrak{w}_{1}{ }^{\prime}\right) \) имеет значение 0 или \( \frac{1}{4}\left(\frac{1}{2}\right. \) относительно положения равнозначно нулю). Если бы \( p=0 \), то, как следствие, выходит, что и \( J_{3}=0 \) и оба электрона вращались бы по одному кругу, но в противоположных направлениях, а такой случай необходимо исключить. При условии \( \mathfrak{w}_{1}{ }^{\prime}=\frac{1}{4} \) электроны каждый раз сталкивались бы на линии узлов. Таким образом может иметь место только такой случай, когда оба электрона одновременно проходят чєрез их линии узлов, \( \mathfrak{w}_{1}^{\prime}=0 \). Тогда они в каждое мгновение находятся в одной и той же меридиональной плоскости, проходящей через ось импульса вращения. Прибавим еще к нашему выводу

Рис. 40. квантовые условия. В возмущенном движении остается \( \mathfrak{I}_{1}{ }^{\prime}=0 \); мы полагаем \( \mathfrak{\Im}_{1} \) равным \( 2 h \) и для \( \mathfrak{I}_{3} \) мы имеем значения \( 2 h, h \) или 0 ; соответственно \( p \) равно \( 1, \frac{1}{2} \) или \( 0 ; p=0 \), как мы указывали выше, исключено; \( p=1 \) дает плоскую модель атома гелия; \( p=\frac{1}{2} \) дает некоторую пространственную модель, где нормали орбитных плоскостей составляют друг с другом угол в \( 120^{\circ} \) (рис. 40 ).

Бором впервые была предложена плоская модель– модель Не. \( { }^{1} \). Оба электрона лежат на концах диаметра траектории. Задача сводится к проблеме одного тела. Каждый электрон движется в силовом поле потенциала
\[
\frac{e^{2} Z}{r}-\frac{e^{2}}{4 r}=\frac{e^{2}\left(Z-\frac{1}{4}\right)}{r} .
\]
\( { }^{3} \) Bohr, Phil. Mag. Bd, 26, S. 476, 1913.

\( 2 \varepsilon 9 \)

Он совершает кеплеровское движение с энергией
\[
-R h\left(Z-\frac{1}{4}\right)^{2}
\]

следовательно, энергия всего атома будет равна
\[
W=-2 R h\left(Z-\frac{1}{4}\right)^{2} .
\]

В частности для гелия \( (Z=2) \)
\[
W=-\frac{49}{8} R h .
\]

Пользуясь такими соотношениями, можно определить работу отрыва первого электрона. Мы знаем, что после такого отрыва атом должен перейти в нормальное состояние ионизированного гелия с энергией
Разность энергий
\[
W=-4 R h
\]
\[
W_{\text {ион }}=\frac{17}{8} R h
\]

дает работу отрыва первого электрона или энергию ионизации нейтрального атома гелия.

Перечисляя все на напряжение ионизации, мы должны для энергии \( R h \) водородного атома положить напряжение равғым 13,53 вольт, из чего следует:
\[
V_{\text {to }}=28,75 \text { вольт. }
\]

Это значение не подтверждается опытом; более того, опыты с ударами электронов дают \( { }^{1} \) :
\[
V_{\text {ион }}=24,6 \text { вольт } .
\]

Хотя найденное здесь движение и удовлетворяет как уравнениям движения, так и квантовым условиям, но оно не являет. ся предельным случаем либрации, а поэтому неустойчиво. В силу наших выводов \( \S 45 \) относительно случайно вырожденной степени свободы, движение с фазовым соотношением тогда только устойчиво, когда
\[
\frac{W_{1}-\bar{H}_{1}\left(\mathfrak{w}_{1}{ }^{\prime}\right)}{\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial \mathfrak{\Im}_{1}^{\prime 2}}}
\]

имеет максимум. Очевидно, что \( \widetilde{H}_{1} \) имеет минимум и, следовательно, числитель имеет максимум; однако, (как мы показали

1 J. Franck, Zeitschr. f. Physik, Bc. 11, S. 155, 1922.

в § 45) знаменатель отрицателен. Это последнее затруднение не представляло бы еще для нашей модели веского возражения, так как еще не известно, действительны ли обыкновенные условия устойчивости в квантовой теории. Но против модели говорит результат наших вычислений, т. е разница между вычисленным напряжением ионизации и найденным экспериментально. Пространственная модель была предложена также Бором и подробно исследована Крамерсом \( { }^{1} \). Мы производим вычисление энергии только в первом приоллижении.
Энергия невозмущенного движения равна
\[
W_{0}=-2 Z^{2} R h,
\]

где \( R \)-ридберговская частота.
Энергия возмущения в перзом приближении по (10) равна
\[
W_{1}=\lambda \bar{H}_{1}=\frac{e^{2}}{a} \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{0}^{1} \frac{d \mathfrak{w}_{1}}{\sqrt{\left(1+p^{2}\right)+\left(1-p^{2}\right) \cos 4 \pi \mathfrak{v}_{1}}}
\]

или
\[
W_{1}=\frac{e^{2}}{a} \frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \frac{d \psi}{\sqrt{1-\sin ^{2} i \sin ^{2} \Psi}}+\frac{e^{2}}{a} \frac{1}{\pi} K,
\]

где \( K \) обозначает полный эллиптический интеграл первого рода
\[
K=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d \psi}{\sqrt{1-\sin ^{2} i \sin ^{2} \psi}} .
\]

В нашем случае \( i=\frac{\pi}{3} \) и \( K=2,157^{2} \) ), из чего следует
\[
W_{1}=0,687 \frac{e^{2}}{a}=1,373 R h Z .
\]

Следовательно, для общей энергии в этом приближении
\[
W=-R h(2 Z-1,373 Z)
\]

и для \( Z=2 \)
\[
W=-5,254 R h .
\]

Конечно, мы не можем требсвать, чтобы это первое приближение давало точные результаты, так как возмущающие силы

1 H. A. Kramers, Zeitschr, f Physik, Bd. 13, S. 312, 1923.
2 Jahnke Emde, Funktionentafeln, S. 57, Leipzig u Berlin, 1909.

иногда достигают значений, равных почти половине силы ядра. Крамерс произвел более точные вычисления и нашел
\[
W_{s}=-5,525 R h .
\]

Это соответствует работе отрыва в \( 1,525 R h \) и напряжению ионизации в 20,63 вольт, что почти на 4 вольта меньше экспериментального.

Движение также и для этой модели не устойчиво, что можно показать тем же способом, что и для плоской модели.

Таким образом, систематическое применение исчисления возмущения не приводит к вполне удовлетворительной модели нормального атома гелия. Может показаться, что наш метод не пригоден, потому что здесь речь идет о нормальном состоянии, где множество электронов вращается по равнозначным траекториям. Можно также надеяться, что для возбужденных состояний, при которых квантовая теория дала объяснение многим свойствам спектров, мы получим лучшие результаты. Но мы сейчас покажем, что и эта надежда оказывается напрасной.