Как было уже выше упомянуто, интегрирование уравнений движения достигается тем, что вводятся новые координаты, имеющие циклический характер.
Отыщем поэтому в общем порядке преобразования
\[
\begin{array}{l}
p_{k}=p_{k}\left(\bar{q}_{1} \bar{q}_{2} \ldots \bar{p}_{1} \bar{p}_{2} \ldots t\right) \\
q_{k}=q_{k}\left(\bar{q}_{1} \bar{q}_{2} \ldots \bar{p}_{1} \bar{p}_{2} \ldots t\right)
\end{array}
\]

таким образом, чтобы новые переменные снова удовлетворяли уравнениям движения в канонической форме.
Для этого достаточно, чтобы вариационный принцип \( (6)_{2} \S 5 \)
\[
\int\left[\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}-H\left(q_{1} p_{1} \ldots t\right)\right] d t=\text { экстремум }
\]

свелся к
\[
\int\left[\sum_{k} \bar{p}_{k} \dot{\overrightarrow{q_{k}}}-\bar{H}\left(\bar{q}_{1} \bar{p}_{1} \ldots t\right)\right] d t=\text { экстремум. }
\]

Это имеет место лишь в том случае, если разность подинтегральных функций представляет полную производную \( \frac{d V}{d t} \) от некоторой функции, зависящей от \( 2 f \) старых и новых переменных и также от времени. Рассматривая \( V \) как функцию \( q_{k} \) и \( \bar{q}_{k} \), мы пблучаем значения \( V \) на границах интеграции. В зависимости от того, как написать \( V \), 一или как функцию \( q_{k} \bar{q}_{k} t_{2} \) или \( q_{k}, \bar{p}_{k}, t \); или \( \bar{q}_{k}, p_{k}, t \) или в конце-концов, как функцию \( p_{k}, \bar{p}_{k}, t \)-мы получим четыре формулы для канонических преобразований. Выберем произвольную функцию в форме \( V\left(q_{1}, \bar{q}_{1}, t\right) \) 。 Условие
\[
\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}-H\left(q_{1}, p_{1} \ldots t\right)=\sum_{k} \bar{p}_{k} \dot{\overline{q_{k}}}-\bar{H}\left(\bar{q}_{1}, \bar{p}_{1} \ldots t\right)+\frac{d}{d t} V\left(q_{1}, \bar{q}_{1} \ldots t\right)
\]

выполняется при осуществлении равенства коэфициентов при \( \dot{q}_{\text {и }} \) и \( \dot{\bar{q}}_{k} \) свободных членов в выражениях, стоящих справа и слева, т. е. если
\[
\begin{array}{l}
p_{k}=\frac{\partial}{\partial q_{k}} V\left(q_{1}, \bar{q}_{1} \ldots t\right) \\
\bar{p}_{k}=-\frac{\partial}{\partial \bar{q}_{k}} V\left(q_{1}, \bar{q}_{1} \ldots t\right) \\
H=\bar{H}-\frac{\partial}{\partial t} V\left(q_{1}, \bar{q}_{1} \ldots t\right) .
\end{array}
\]

Благодаря тому, что из уравнения второй строки, вообще товоря, можно вычислить \( q_{k} \) и затем, зная его, из первой строки вычислить \( p_{k} \), как функцию \( \bar{q}_{k} \) и \( \bar{p}_{b} \), системы (1), заменяем уравнением преобразований. Чтобы таким же образом получить канонические преобразования с помощью произвольной функции \( V\left(q_{1} \bar{p}_{1} \ldots t\right) \), напишем наше условие в форме:
\[
\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}-H\left(q_{1}, p_{1} \ldots t\right)=\sum_{k} \bar{p}_{k} \dot{\bar{q}}_{k}-\bar{H}\left(\bar{q}_{1}, \bar{p}_{1} \ldots t\right)+\frac{d}{d t}\left(V-\sum_{k} \bar{p}_{k} \bar{q}_{k}\right)
\]

или что то же самое
\[
\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}-H\left(q_{1}, p_{1} \ldots t\right)=-\sum_{k} \bar{q}_{k} \dot{\bar{p}}_{k}-\bar{H}\left(\bar{q}_{i}, \bar{p}_{1} \ldots t\right)+\frac{d}{d t} V\left(q_{1} \bar{q}_{1} \ldots t\right)
\]

Сравнение коэфициентов дает:
\[
\begin{array}{l}
p_{k}=\frac{\partial}{\partial q_{k}} V\left(q_{1}, \bar{p}_{1} \ldots t\right) \\
\bar{q}_{k}=\frac{\partial}{\partial \bar{p}_{k}} V\left(q_{1}, \bar{p}_{1} \ldots t\right) \\
H=\bar{H}-\frac{\partial}{\partial t} V\left(q_{1}, \bar{p}_{1} \ldots t\right) .
\end{array}
\]

Эти уравнения также можно рассматривать, как уравнения преобразования.

Третью систему уравнений получим простой перестановкой старых и новых переменных; при этом, с целью упрощения соответственности между всеми четырьмя системами, \( V \) заменяем на \( -V \).

Итак, находим
\[
\begin{array}{l}
\bar{p}_{k}=-\frac{\partial}{\partial \bar{q}_{k}} V\left(\bar{q}_{1}, p_{1} \ldots t\right) \\
q_{k}=-\frac{\partial}{\partial p_{k}} V\left(\bar{q}_{1}, p_{1} \ldots t\right) \\
H=\bar{H}-\frac{\partial}{\partial t} V\left(\bar{q}_{1}, p_{1} \ldots t\right) .
\end{array}
\]

И окончательно, для получения четвертой системы, напишем наше условие в форме:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}-H\left(q_{1}, p_{1} \ldots t\right)=\sum_{k} \bar{p}_{k} \dot{\bar{q}}_{k}-\bar{H}\left(q_{1}, \bar{p}_{1} \ldots t\right)+ \\
+\frac{d}{d t}\left(V-\sum_{k} \bar{p}_{k} \bar{q}_{k}+\sum_{k} p_{k} q_{k}\right)
\end{array}
\]

или
\[
\begin{array}{c}
-\sum q_{k} \dot{p}_{k}-H\left(q_{1}, p_{1} \ldots t\right)=-\sum \bar{q}_{k} \dot{\bar{p}}_{k}-\bar{H}\left(\bar{q}_{1}, \bar{p}_{1} \ldots t\right)+ \\
+\frac{d}{d t} V\left(p_{1}, \bar{p}_{1} \ldots t\right)
\end{array}
\]

и получим
\[
\begin{array}{l}
q_{k}=-\frac{\partial}{\partial p_{k}} V\left(p_{1}, \bar{b}_{1} \ldots t\right) \\
\bar{q}_{k}=\frac{\partial}{\partial \vec{p}_{k}} V\left(p_{1}, \bar{p}_{1} \ldots t\right) \\
H=\bar{H}-\frac{\partial}{\partial t} V\left(p_{1}, \bar{p}_{1} \ldots t\right) .
\end{array}
\]

Все четыре системы можно сформулировать следующим образом: возьмем произвольную функцию \( V\left(x_{1}, \bar{x}_{1}, x_{2}, \bar{x}_{2} \ldots t\right) \), где \( x_{k} \)-одна из переменных \( q_{k} \) и \( p_{k} \), a \( \bar{x}_{k} \)-одна из переменных \( \bar{q}_{k} \) и \( \bar{p}_{k} \); тогда уравнения
\[
\begin{array}{l}
y_{k}=\mp \frac{\partial V}{\partial x_{k}} \\
\bar{y}_{k}= \pm \frac{\partial V}{\partial \bar{x}_{k}} \\
H=\bar{H}-\frac{\partial V}{\partial t}
\end{array}
\]

дают каноническое преобразование.

При этом \( y_{k} \) сопряжено \( с x_{k} \) и \( \overline{y_{k}} c \overline{x_{k}} \).
При диференцировании по кординате принимается во внимание верхний знак, а при диференцировании по импульсу нижний знак.

Функцию \( V \) мы будем называть производящей функцией канонических преобразований.

Необходимо подчеркнуть, что свойство преобразований быть каноническими вовсе не зависиг от особенностей механических проблем; если некоторая функция каноническая, то она остается таковой для любой формы функции \( H \).

Приведем некоторые преобразования, необходимые нам ниже. Функция
\[
V \quad q_{1} \overline{p_{1}}+q_{2} \bar{p}_{2}+\ldots
\]

дает тождественные преобразования
\[
\begin{array}{ll}
q_{4}=\bar{q}_{1} & p_{1}=\bar{p}_{1} \\
q_{2}=\bar{q}_{2} & p_{2}=\bar{p}_{2} .
\end{array}
\]

Функция
\[
V=q_{1} \bar{p}_{1} \pm q_{1} \bar{p}_{2}+q_{2} \vec{p}_{2}
\]

приводит после решения (2) относительно \( q_{k} \) и \( p_{k} \) к преобразованиям
\[
\begin{array}{ll}
q_{1}=\bar{q}_{1} & p_{1}=\bar{p}_{1} \pm \bar{p}_{2} \\
q_{2}=\bar{q}_{2} \pm \bar{q}_{1} & p_{2}=\bar{p}_{2}
\end{array}
\]

и функция
\[
V=q_{1} \bar{p}_{1}+q_{1} \bar{p}_{2}+q_{2} \bar{p}_{1}-q_{2} \bar{p}_{2}
\]

приводит к
\[
q_{1}=\frac{1}{2}\left(\bar{q}_{1}+\bar{q}_{2}\right) \quad p_{1}=\bar{p}_{1}+\bar{p}_{2}
\]
\[
q_{2} \quad \frac{1}{2}\left(\bar{q}_{1}-\bar{q}_{2}\right) \quad p_{2}=\bar{p}_{1}-\bar{p}_{2} .
\]

Преобразование для трех пар переменных дает функция

а именно
\[
V q_{1} \bar{p}_{1}+q_{1} \bar{p}_{2}+q_{1} \bar{p}_{3}+q_{2} \bar{p}_{2}+q_{2} \bar{p}_{3}+q_{3} \bar{p}_{3},
\]
\[
\begin{array}{ll}
q_{1}=\bar{q}_{1} & p_{1}=\bar{p}_{1}+\bar{p}_{2}+\bar{p}_{3} \\
q_{2}=\bar{q}_{2}-\bar{q}_{1} & p_{2}=\bar{p}_{2}+\bar{p}_{3} \\
q_{3}=\bar{q}_{3}-\bar{q}_{2} & p=\bar{p}_{3} .
\end{array}
\]

Во всех этих примерах коорлинаты преобразовываются между собой, а импульсы между собой.

Необходимым и достаточным условием этого является, очевидно, линейная зависимость \( V \) от \( q \) и \( \bar{p} \).
\[
V=\sum_{i, k} \alpha_{i k} q_{i} \overline{p_{k}}+\sum_{k} \beta_{k} q_{k}+\sum_{k} \gamma_{k} \overline{p_{k}} .
\]

Эта функция дает
\[
\begin{array}{l}
p_{i}=\sum_{k} \alpha_{t_{i}} \overline{p_{k}}+\beta_{i} \\
\overline{q_{i}}=\sum_{k} \alpha_{k i} q_{k}+\gamma_{i} .
\end{array}
\]

Если постоянные \( \beta_{i} \) и \( \gamma_{i} \) равны нулю, то мы имеем преобразования, приводящие \( q_{k} \) и \( p_{k} \) однороднолинейно и контрагредиентнок \( q_{k} \) и \( p_{k} \), а именно
\[
\sum_{k} p_{k} q_{k}=\sum_{k, l} \alpha_{k l} \overline{p_{l}} q_{k} \quad \Sigma_{l} \overline{q_{l}} \overline{p_{l}} .
\]

Необходимым и достаточным условием того, чтобы \( q_{k} \) между собой преобразовывались, есть динейность \( V \) относительно \( \bar{p}_{k} \). Действительно, функция
\[
V=\underset{k}{y} f_{k}\left(q_{1}, q_{2} \ldots\right) \overline{F_{k}}+g\left(q_{1}, q_{2} \ldots\right)
\]

дает преобразование
\[
\begin{array}{c}
p_{k}=\sum_{l} \frac{\partial f_{l}}{\partial q_{k}} \bar{p}_{l}+\frac{\partial g}{\partial q_{k}} \\
\bar{q}_{k}=f_{k}\left(q_{1}, q_{2} \ldots\right) .
\end{array}
\]

С другой стороны линейность \( V \) по отношению к \( q_{k} \) допускает преобразование импульсов
\[
\begin{array}{c}
V=\sum_{k} f_{k}\left(\overline{p_{1}}, \bar{p}_{2} \ldots\right) q_{k}+g\left(\overline{p_{1}}, \bar{p}_{2} \ldots\right) \\
p_{k}=f_{k}\left(\bar{p}_{1} \bar{p}_{2} \ldots\right) \\
\bar{q}_{k}=\sum_{l} \frac{\partial f_{l}}{\partial \bar{p}_{k}} q_{l}+\frac{\partial g}{\partial \bar{p}_{l}} .
\end{array}
\]

Итак очевидно: Если переменные одного типа преобразовываются между собой, то новые переменные второго типа будут линейными функциями старых переменных, коэфициенты которых-определенные функции, а их свободные члены-произвольные бункции переменных перзого типа.

Часто употребляемыми преобразованиями являются такие, которые переводяг прямоугольные координаты в цилиндрические или полярные, или же соответствуют повороту координатной системы.
Функция
\[
V=p_{x} r \cos \varphi+p_{y} r \sin \varphi+p_{z} z
\]

переводит прямоугольные координаты в цилиндрические, а именно она дает
\[
\begin{array}{ll}
x=r \cos \varphi & p_{r}=p_{x} \cos \varphi+p_{y} \sin \varphi . \\
y=r \sin \varphi & p_{\varphi}=-p_{x} r \sin \varphi+p_{y} r \cos \varphi \\
z=z & p_{z}=p_{z} .
\end{array}
\]

При этом выражение
переходит в
\[
p_{x}{ }^{2}+p_{y}{ }^{2}
\]
\[
p_{r}^{2}+\frac{1}{r^{2}} p_{\varphi}^{2}
\]

При переходе к пространственным полярным координатам пользуются следующими выражениями:
\[
V=p_{x} r \cos \varphi \sin \vartheta+p_{y} r \sin \varphi \sin \vartheta+p_{z} r \cos \vartheta .
\]

Эта функция дает следующие преобразования:
\[
\begin{array}{ll}
x=r \cos \varphi \sin \theta & p_{r}=p_{x} \cos \varphi \sin \vartheta+p_{y} \sin \varphi \sin \vartheta+p_{z} \cos \vartheta \\
y=r \sin \varphi \sin \vartheta & p_{\varphi}=-p_{x} r \sin \varphi \sin \vartheta+p_{y} r \cos \varphi \sin \vartheta \\
z=r \cos \vartheta & p_{\vartheta}=p_{x} r \cos \varphi \cos \vartheta+p_{y} r \sin \varphi \cos \vartheta-p_{z} r \sin \vartheta
\end{array}
\]

Она приводит выражение

B
\[
p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}
\]
\[
p_{r}^{2}+\frac{1}{r_{2}} p_{\vartheta}^{2}-\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \vartheta} p_{\varphi}^{2} .
\]

Вращение прямоугольной координатной системы ( \( x, y, z \) ) эквивалентно линейному преобразованию координат с постоянными коэфициентами. При этом импульсы преобразовываются контрагредиентно.

В том случае, если коэфициенты вращения \( \alpha_{i k} \) удовлетворяют условию
\[
\sum x_{i j} \alpha_{k j}=\left\{\begin{array}{ll}
1 & (i=k) \\
0 & (i
eq k)
\end{array}\right.
\]

контрагредиентное преобразование имеет то же значение, что и первоначальное. Импульсы преобразовываются, как и координаты
\[
\begin{array}{ll}
\bar{x}=\alpha_{11} x+\alpha_{12} y+\alpha_{13} z & \bar{p}_{x}=\alpha_{11} p_{x}+\alpha_{12} p_{y}+\alpha_{13} p_{z} \\
\bar{y}=\alpha_{21} x+\alpha_{22} y+\alpha_{23} z & \overline{p_{v}}=\alpha_{21} p_{x}+\alpha_{22} p_{y}+\alpha_{23} p_{z} \\
\bar{z}=\alpha_{31} x+d_{32} y+\alpha_{33} z & \overline{p_{z}}=\alpha_{31} p_{x}+\alpha_{32} p_{y}+\alpha_{33} p_{z} .
\end{array}
\]

Следовательно
\[
p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}=\bar{p}_{x}^{2}+\bar{p}_{y}^{2}+\bar{p}_{z}^{2} .
\]

Приведем еще пару преобразований, где \( V \) зависит от \( q_{k} \) и \( \bar{q}_{k} \) Функция
\[
V=\sum_{k} \bar{q}_{k} \bar{q}_{k}
\]

дает по (1) \( q_{k}=-\bar{p}_{k} \)
\[
p_{k}=\bar{q}_{k}
\]

Таким образом, она переставляет координаты и импульсы. Часто употребляющееся преобразование с помощью функции
\[
V=\frac{1}{2} q^{2} \operatorname{ctg} \bar{q}
\]

дает
\[
q=\sqrt{2 \bar{p}} \sin \bar{q}
\]
\[
p=\sqrt{2 p} \cos \bar{q}
\]

и приводит выражение \( q^{2}+p^{2} \) к \( 2 \bar{p} \).
Более общая фунция \( V=\frac{m}{2} \omega q^{2} \operatorname{ctg} \bar{q} \) представляет \( q \) и \( p \) в виде
\[
q=\sqrt{\frac{2 \bar{p}}{m \omega}} \sin \bar{q}
\]
\[
p=\sqrt{2 m \omega \bar{p}} \cos \bar{q}
\]

и переводит
\[
\frac{1}{2 m} p^{2}+\frac{m \omega^{2}}{2} q^{2}
\]

B
\[
\omega \bar{p} \text {. }
\]

Покажем теперь на одном примере, каким образэм могут быть использованы канонические подстановки для интегрирования уравнений движения.
Линейный гармонический осциллятор. Для него имеем
\[
T=\frac{m}{2} \dot{q}^{2} . \quad U=\frac{x}{2} q^{2} .
\]

При этом \( q \) обозначает длину, \( m \)-массу и \( x \) — постоянную упругости.
Ввсдя импульс

и полагая
\[
p=m \dot{q}
\]
\[
\frac{\boldsymbol{x}}{m}=\omega^{2} \text {, }
\]

имеем
\[
H=\frac{1}{2 m} p^{2}+\frac{m \omega^{2}}{2} q^{2} .
\]

Здесь, таким образом, имеет место упомянутое преобразование (16). Называя новые переменные \( \varphi \) и \( \alpha \), полагаем
\[
q=\sqrt{\frac{2 \alpha}{m \omega}} \sin p
\]
\[
p=\sqrt{2 m \omega \alpha \cos } \varphi .
\]

Функция Гамильтона тогда выразится:
\[
H=\omega \alpha .
\]

Уравнения движения дают: \( \alpha= \) const
\[
\varphi=\omega t+\beta .
\]

Следовательно, длина выражается здесь:
\[
q=\sqrt{\frac{2 \alpha}{m \omega}} \sin (\omega t+\beta) .
\]

Канонические преобразования определяются тем, чтоони оставляют инвариантными форму канонических уравнений движения или интеграл принципа Гамильтона. Мы подходим к вопросу о том, существуют ли и друюие инварианты при к.нонических преобразованиях. Это действительно имеет место; мы укажем здесь на ряд интегральных инвариантов, приведенных Пуанка ре \( { }^{1} \). .
Можно показать, что интеграл
\[
J_{1}=\iint_{k}^{\Sigma} d p_{k} d q_{k}
\]

распространенный на любые двухизмерительные разновидности \( 2 f \)-мерного пространства (p.q), является таким инвариантом. Если представить двухмерную разновидность заданием \( p_{k} \) и \( q_{k} \) как функции двух параметров \( u \) и \( v \), то тогда
\[
J_{1}=\iint \sum_{k}\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial n_{k}}{\partial u} & \frac{\partial q_{k}}{\partial u} \\
\frac{\partial p_{k}}{\partial v} & \frac{\partial q_{k}}{\partial v}
\end{array}\right| d u d v .
\]

Наше утверждение будет доказанным, когда мы покажем, что
\[
\sum_{k}\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial \bar{p}_{k}}{\partial u} & \frac{\partial \bar{q}_{k}}{\partial u} \\
\frac{\partial \bar{p}_{k}}{\partial v} & \frac{\partial \bar{q}_{k}}{\partial v}
\end{array}\right|=\sum_{k}\left|\begin{array}{ll}
\partial p_{k} & \frac{\partial q_{k}}{\partial u} \\
\frac{\partial p_{k}}{\partial v} & \frac{\partial q_{k}}{\partial v}
\end{array}\right|
\]
1 H. Poin c a ré, Méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Bd. III. Kap. 22-21 (Paris 1899).
a) Доказательства инвариантности по E. Brody, Ztschr. f. Physik. Bd. 6, S. 224, 1921 .

при условии, если каноническиии преобразованиями получаются \( \bar{q}_{k} \bar{p}_{k} \) из \( q_{k}, p_{k} \). Напишем преобразование в форме (2)
\[
p_{k}=\frac{\partial V\left(q_{1}, \bar{p}_{1} \ldots t\right)}{\partial q_{k}} ; \bar{q}_{k}=\frac{\partial V\left(q_{1}, \bar{p}_{1} \ldots t\right)}{\partial p_{k}} .
\]

Заменяя с помощью первого уравнения \( q \), \( p_{k} \) через \( \bar{q}_{k}, \bar{p}_{k} \), имеем
\[
\sum_{k}\left|\begin{array}{l}
\frac{\partial p_{k}}{\partial u} \frac{\partial q_{k}}{\partial u} \\
\frac{\partial p_{k}}{\partial v} \frac{\partial q_{k}}{\partial v}
\end{array}\right|=\sum_{k}\left|\begin{array}{ll}
\sum_{i} \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{k}} \frac{\partial \bar{p}_{i}}{\partial \bar{p}_{i}} \cdot \frac{\partial q_{k}}{\partial u} \\
\sum_{i} \frac{\partial}{\partial q_{k}} \frac{V}{\partial \bar{p}_{i}} \cdot \frac{\bar{p}_{i}}{\partial v} \frac{\partial q_{k}}{\partial v}
\end{array}\right|=\sum_{i k} \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{k} \partial \bar{p}_{t}}\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial \bar{p}_{i}}{\partial u} & \partial q_{k} \\
\frac{\partial \bar{p}_{i}}{\partial v} \\
\frac{\partial q_{k}}{\partial v} & \overline{\partial v}
\end{array}\right|
\]

Переставляя индексы, получаем
\[
\sum_{i k} \frac{\partial^{2} V}{\partial q_{i}}\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial \overline{p_{k}}}{\partial \bar{u}} & \frac{\partial q_{i}}{\partial u} \\
\frac{\partial \bar{p}_{k}}{\partial v} & \partial q_{i} \\
\partial v
\end{array}\right|
\]

И если теперь с помощью второго уравнения преобразований \( q_{k} \), \( p_{k} \) свести к \( \bar{q}_{k}, \bar{p}_{k} \), то подинтегральное выражение будет равно:

чем доказана инвариантность интеграла (19).
Вполне аналогично можно доказать инвариантность
\[
J_{2}=\iiint \int \sum d p_{i} \cdot d p_{k} d q_{i} \cdot d q_{k}
\]

При этом под интегралом содержится совокупность комбинаций из двух индексов.
То же сохраняется и для
\[
J_{3}=\iiint \iiint \sum d p_{i} d p_{k} d p_{l} d q_{i} d q_{k} d q_{l}
\]

и так далее.
И, наконец, последний интеграл представляет ряд
\[
J_{f}=\int \ldots \int d p_{1} \ldots d p_{f} d q_{1} \ldots d q_{f} .
\]

Таким образом, объем в фазовом пространстве остается инва: риантным относительно канонических преобразований.