Как было уже выше упомянуто, интегрирование уравнений движения достигается тем, что вводятся новые координаты, имеющие циклический характер.
Отыщем поэтому в общем порядке преобразования
$$\begin{array}{l}{p}_k=p_k({\overline{q}}_1{\overline{q}}_2\dots {\overline{p}}_1{\overline{p}}_2\dots t)\\ q_k=q_k({\overline{q}}_1{\overline{q}}_2\dots {\overline{p}}_1{\overline{p}}_2\dots t)\end{array}$$

таким образом, чтобы новые переменные снова удовлетворяли уравнениям движения в канонической форме.
Для этого достаточно, чтобы вариационный принцип $(6{)}_2\mathrm{\S }5$
$$\int [\sum _k{p}_k{\dot{q}}_k-H(q_1{p}_1\dots t)]dt=\text{ экстремум }$$

свелся к
$$\int [\sum _k{\overline{p}}_k\dot{\overrightarrow{q_k}}-\overline{H}({\overline{q}}_1{\overline{p}}_1\dots t)]dt=\text{ экстремум. }$$

Это имеет место лишь в том случае, если разность подинтегральных функций представляет полную производную $\frac{dV}{dt}$ от некоторой функции, зависящей от $2f$ старых и новых переменных и также от времени. Рассматривая $V$ как функцию $q_k$ и ${\overline{q}}_k$, мы пблучаем значения $V$ на границах интеграции. В зависимости от того, как написать $V$, 一или как функцию $q_k{\overline{q}}_k{t}_2$ или $q_k,{\overline{p}}_k,t$; или ${\overline{q}}_k,p_k,t$ или в конце-концов, как функцию $p_k,{\overline{p}}_k,t$-мы получим четыре формулы для канонических преобразований. Выберем произвольную функцию в форме $V(q_1,{\overline{q}}_1,t)$ 。 Условие
$$\sum _k{p}_k{\dot{q}}_k-H(q_1,p_1\dots t)=\sum _k{\overline{p}}_k\dot{\overline{q_k}}-\overline{H}({\overline{q}}_1,{\overline{p}}_1\dots t)+\frac{d}{dt}V(q_1,{\overline{q}}_1\dots t)$$

выполняется при осуществлении равенства коэфициентов при ${\dot{q}}_{\text{и }}$ и ${\dot{\overline{q}}}_k$ свободных членов в выражениях, стоящих справа и слева, т. е. если
$$\begin{array}{l}{p}_k=\frac{\partial }{\partial q_k}V(q_1,{\overline{q}}_1\dots t)\\ {\overline{p}}_k=-\frac{\partial }{\partial {\overline{q}}_k}V(q_1,{\overline{q}}_1\dots t)\\ H=\overline{H}-\frac{\partial }{\partial t}V(q_1,{\overline{q}}_1\dots t).\end{array}$$

Благодаря тому, что из уравнения второй строки, вообще товоря, можно вычислить $q_k$ и затем, зная его, из первой строки вычислить $p_k$, как функцию ${\overline{q}}_k$ и ${\overline{p}}_b$, системы (1), заменяем уравнением преобразований. Чтобы таким же образом получить канонические преобразования с помощью произвольной функции $V(q_1{\overline{p}}_1\dots t)$, напишем наше условие в форме:
$$\sum _k{p}_k{\dot{q}}_k-H(q_1,p_1\dots t)=\sum _k{\overline{p}}_k{\dot{\overline{q}}}_k-\overline{H}({\overline{q}}_1,{\overline{p}}_1\dots t)+\frac{d}{dt}(V-\sum _k{\overline{p}}_k{\overline{q}}_k)$$

или что то же самое
$$\sum _k{p}_k{\dot{q}}_k-H(q_1,p_1\dots t)=-\sum _k{\overline{q}}_k{\dot{\overline{p}}}_k-\overline{H}({\overline{q}}_i,{\overline{p}}_1\dots t)+\frac{d}{dt}V(q_1{\overline{q}}_1\dots t)$$

Сравнение коэфициентов дает:
$$\begin{array}{l}{p}_k=\frac{\partial }{\partial q_k}V(q_1,{\overline{p}}_1\dots t)\\ {\overline{q}}_k=\frac{\partial }{\partial {\overline{p}}_k}V(q_1,{\overline{p}}_1\dots t)\\ H=\overline{H}-\frac{\partial }{\partial t}V(q_1,{\overline{p}}_1\dots t).\end{array}$$

Эти уравнения также можно рассматривать, как уравнения преобразования.

Третью систему уравнений получим простой перестановкой старых и новых переменных; при этом, с целью упрощения соответственности между всеми четырьмя системами, $V$ заменяем на $-V$.

Итак, находим
$$\begin{array}{l}{\overline{p}}_k=-\frac{\partial }{\partial {\overline{q}}_k}V({\overline{q}}_1,p_1\dots t)\\ q_k=-\frac{\partial }{\partial p_k}V({\overline{q}}_1,p_1\dots t)\\ H=\overline{H}-\frac{\partial }{\partial t}V({\overline{q}}_1,p_1\dots t).\end{array}$$

И окончательно, для получения четвертой системы, напишем наше условие в форме:
$$\begin{array}{c}\sum _k{p}_k{\dot{q}}_k-H(q_1,p_1\dots t)=\sum _k{\overline{p}}_k{\dot{\overline{q}}}_k-\overline{H}(q_1,{\overline{p}}_1\dots t)+\\ +\frac{d}{dt}(V-\sum _k{\overline{p}}_k{\overline{q}}_k+\sum _k{p}_k{q}_k)\end{array}$$

или
$$\begin{array}{c}-\sum q_k{\dot{p}}_k-H(q_1,p_1\dots t)=-\sum {\overline{q}}_k{\dot{\overline{p}}}_k-\overline{H}({\overline{q}}_1,{\overline{p}}_1\dots t)+\\ +\frac{d}{dt}V(p_1,{\overline{p}}_1\dots t)\end{array}$$

и получим
$$\begin{array}{l}{q}_k=-\frac{\partial }{\partial p_k}V(p_1,{\overline{b}}_1\dots t)\\ {\overline{q}}_k=\frac{\partial }{\partial {\overrightarrow{p}}_k}V(p_1,{\overline{p}}_1\dots t)\\ H=\overline{H}-\frac{\partial }{\partial t}V(p_1,{\overline{p}}_1\dots t).\end{array}$$

Все четыре системы можно сформулировать следующим образом: возьмем произвольную функцию $V(x_1,{\overline{x}}_1,x_2,{\overline{x}}_2\dots t)$, где $x_k$-одна из переменных $q_k$ и $p_k$, a ${\overline{x}}_k$-одна из переменных ${\overline{q}}_k$ и ${\overline{p}}_k$; тогда уравнения
$$\begin{array}{l}{y}_k=\mp \frac{\partial V}{\partial x_k}\\ {\overline{y}}_k=\pm \frac{\partial V}{\partial {\overline{x}}_k}\\ H=\overline{H}-\frac{\partial V}{\partial t}\end{array}$$

дают каноническое преобразование.

При этом $y_k$ сопряжено $сx_k$ и $\overline{y_k}c\overline{x_k}$.
При диференцировании по кординате принимается во внимание верхний знак, а при диференцировании по импульсу нижний знак.

Функцию $V$ мы будем называть производящей функцией канонических преобразований.

Необходимо подчеркнуть, что свойство преобразований быть каноническими вовсе не зависиг от особенностей механических проблем; если некоторая функция каноническая, то она остается таковой для любой формы функции $H$.

Приведем некоторые преобразования, необходимые нам ниже. Функция
$$V{q}_1\overline{p_1}+q_2{\overline{p}}_2+\dots$$

дает тождественные преобразования
$$\begin{array}{ll}{q}_4={\overline{q}}_1& p_1={\overline{p}}_1\\ q_2={\overline{q}}_2& p_2={\overline{p}}_2.\end{array}$$

Функция
$$V=q_1{\overline{p}}_1\pm q_1{\overline{p}}_2+q_2{\overrightarrow{p}}_2$$

приводит после решения (2) относительно $q_k$ и $p_k$ к преобразованиям
$$\begin{array}{ll}{q}_1={\overline{q}}_1& p_1={\overline{p}}_1\pm {\overline{p}}_2\\ q_2={\overline{q}}_2\pm {\overline{q}}_1& p_2={\overline{p}}_2\end{array}$$

и функция
$$V=q_1{\overline{p}}_1+q_1{\overline{p}}_2+q_2{\overline{p}}_1-q_2{\overline{p}}_2$$

приводит к
$$q_1=\frac{1}{2}({\overline{q}}_1+{\overline{q}}_2)p_1={\overline{p}}_1+{\overline{p}}_2$$
$$q_2\frac{1}{2}({\overline{q}}_1-{\overline{q}}_2)p_2={\overline{p}}_1-{\overline{p}}_2.$$

Преобразование для трех пар переменных дает функция

а именно
$$V{q}_1{\overline{p}}_1+q_1{\overline{p}}_2+q_1{\overline{p}}_3+q_2{\overline{p}}_2+q_2{\overline{p}}_3+q_3{\overline{p}}_3,$$
$$\begin{array}{ll}{q}_1={\overline{q}}_1& p_1={\overline{p}}_1+{\overline{p}}_2+{\overline{p}}_3\\ q_2={\overline{q}}_2-{\overline{q}}_1& p_2={\overline{p}}_2+{\overline{p}}_3\\ q_3={\overline{q}}_3-{\overline{q}}_2& p={\overline{p}}_3.\end{array}$$

Во всех этих примерах коорлинаты преобразовываются между собой, а импульсы между собой.

Необходимым и достаточным условием этого является, очевидно, линейная зависимость $V$ от $q$ и $\overline{p}$.
$$V=\sum _{i,k}{\alpha }_{ik}{q}_i\overline{p_k}+\sum _k{\beta }_k{q}_k+\sum _k{\gamma }_k\overline{p_k}.$$

Эта функция дает
$$\begin{array}{l}{p}_i=\sum _k{\alpha }_{t_i}\overline{p_k}+{\beta }_i\\ \overline{q_i}=\sum _k{\alpha }_{ki}{q}_k+{\gamma }_i.\end{array}$$

Если постоянные ${\beta }_i$ и ${\gamma }_i$ равны нулю, то мы имеем преобразования, приводящие $q_k$ и $p_k$ однороднолинейно и контрагредиентнок $q_k$ и $p_k$, а именно
$$\sum _k{p}_k{q}_k=\sum _{k,l}{\alpha }_{kl}\overline{p_l}{q}_k{\mathrm{\Sigma }}_l\overline{q_l}\overline{p_l}.$$

Необходимым и достаточным условием того, чтобы $q_k$ между собой преобразовывались, есть динейность $V$ относительно ${\overline{p}}_k$. Действительно, функция
$$V=\underset{k}{y}{f}_k(q_1,q_2\dots )\overline{F_k}+g(q_1,q_2\dots )$$

дает преобразование
$$\begin{array}{c}{p}_k=\sum _l\frac{\partial f_l}{\partial q_k}{\overline{p}}_l+\frac{\partial g}{\partial q_k}\\ {\overline{q}}_k=f_k(q_1,q_2\dots ).\end{array}$$

С другой стороны линейность $V$ по отношению к $q_k$ допускает преобразование импульсов
$$\begin{array}{c}V=\sum _k{f}_k(\overline{p_1},{\overline{p}}_2\dots )q_k+g(\overline{p_1},{\overline{p}}_2\dots )\\ p_k=f_k({\overline{p}}_1{\overline{p}}_2\dots )\\ {\overline{q}}_k=\sum _l\frac{\partial f_l}{\partial {\overline{p}}_k}{q}_l+\frac{\partial g}{\partial {\overline{p}}_l}.\end{array}$$

Итак очевидно: Если переменные одного типа преобразовываются между собой, то новые переменные второго типа будут линейными функциями старых переменных, коэфициенты которых-определенные функции, а их свободные члены-произвольные бункции переменных перзого типа.

Часто употребляемыми преобразованиями являются такие, которые переводяг прямоугольные координаты в цилиндрические или полярные, или же соответствуют повороту координатной системы.
Функция
$$V=p_{x}r\cos \phi +p_{y}r\sin \phi +p_{z}z$$

переводит прямоугольные координаты в цилиндрические, а именно она дает
$$\begin{array}{ll}x=r\cos \phi & p_r=p_x\cos \phi +p_y\sin \phi .\\ y=r\sin \phi & p_{\phi }=-p_{x}r\sin \phi +p_{y}r\cos \phi \\ z=z& p_z=p_z.\end{array}$$

При этом выражение
переходит в
$$p_x{}^2+p_y{}^2$$
$$p_r^2+\frac{1}{r^2}{p}_{\phi }^2$$

При переходе к пространственным полярным координатам пользуются следующими выражениями:
$$V=p_{x}r\cos \phi \sin \vartheta +p_{y}r\sin \phi \sin \vartheta +p_{z}r\cos \vartheta .$$

Эта функция дает следующие преобразования:
$$\begin{array}{ll}x=r\cos \phi \sin \theta & p_r=p_x\cos \phi \sin \vartheta +p_y\sin \phi \sin \vartheta +p_z\cos \vartheta \\ y=r\sin \phi \sin \vartheta & p_{\phi }=-p_{x}r\sin \phi \sin \vartheta +p_{y}r\cos \phi \sin \vartheta \\ z=r\cos \vartheta & p_{\vartheta }=p_{x}r\cos \phi \cos \vartheta +p_{y}r\sin \phi \cos \vartheta -p_{z}r\sin \vartheta \end{array}$$

Она приводит выражение

B
$$p_x^2+p_y^2+p_z^2$$
$$p_r^2+\frac{1}{r_2}{p}_{\vartheta }^2-\frac{1}{r^2{\sin }^2\vartheta }{p}_{\phi }^2.$$

Вращение прямоугольной координатной системы ( $x,y,z$ ) эквивалентно линейному преобразованию координат с постоянными коэфициентами. При этом импульсы преобразовываются контрагредиентно.

В том случае, если коэфициенты вращения ${\alpha }_{ik}$ удовлетворяют условию
$$\sum x_{ij}{\alpha }_{kj}=\{\begin{array}{ll}1& (i=k)\\ 0& (ieqk)\end{array}$$

контрагредиентное преобразование имеет то же значение, что и первоначальное. Импульсы преобразовываются, как и координаты
$$\begin{array}{ll}\overline{x}={\alpha }_{11}x+{\alpha }_{12}y+{\alpha }_{13}z& {\overline{p}}_x={\alpha }_{11}{p}_x+{\alpha }_{12}{p}_y+{\alpha }_{13}{p}_z\\ \overline{y}={\alpha }_{21}x+{\alpha }_{22}y+{\alpha }_{23}z& \overline{p_v}={\alpha }_{21}{p}_x+{\alpha }_{22}{p}_y+{\alpha }_{23}{p}_z\\ \overline{z}={\alpha }_{31}x+d_{32}y+{\alpha }_{33}z& \overline{p_z}={\alpha }_{31}{p}_x+{\alpha }_{32}{p}_y+{\alpha }_{33}{p}_z.\end{array}$$

Следовательно
$$p_x^2+p_y^2+p_z^2={\overline{p}}_x^2+{\overline{p}}_y^2+{\overline{p}}_z^2.$$

Приведем еще пару преобразований, где $V$ зависит от $q_k$ и ${\overline{q}}_k$ Функция
$$V=\sum _k{\overline{q}}_k{\overline{q}}_k$$

дает по (1) $q_k=-{\overline{p}}_k$
$$p_k={\overline{q}}_k$$

Таким образом, она переставляет координаты и импульсы. Часто употребляющееся преобразование с помощью функции
$$V=\frac{1}{2}{q}^2\mathrm{ctg}\overline{q}$$

дает
$$q=\sqrt{2\overline{p}}\sin \overline{q}$$
$$p=\sqrt{2p}\cos \overline{q}$$

и приводит выражение $q^2+p^2$ к $2\overline{p}$.
Более общая фунция $V=\frac{m}{2}\omega q^2\mathrm{ctg}\overline{q}$ представляет $q$ и $p$ в виде
$$q=\sqrt{\frac{2\overline{p}}{m\omega }}\sin \overline{q}$$
$$p=\sqrt{2m\omega \overline{p}}\cos \overline{q}$$

и переводит
$$\frac{1}{2m}{p}^2+\frac{m{\omega }^2}{2}{q}^2$$

B
$$\omega \overline{p}\text{. }$$

Покажем теперь на одном примере, каким образэм могут быть использованы канонические подстановки для интегрирования уравнений движения.
Линейный гармонический осциллятор. Для него имеем
$$T=\frac{m}{2}{\dot{q}}^2.U=\frac{x}{2}{q}^2.$$

При этом $q$ обозначает длину, $m$-массу и $x$ — постоянную упругости.
Ввсдя импульс

и полагая
$$p=m\dot{q}$$
$$\frac{\mathit{x}}{m}={\omega }^2\text{, }$$

имеем
$$H=\frac{1}{2m}{p}^2+\frac{m{\omega }^2}{2}{q}^2.$$

Здесь, таким образом, имеет место упомянутое преобразование (16). Называя новые переменные $\phi$ и $\alpha$, полагаем
$$q=\sqrt{\frac{2\alpha }{m\omega }}\sin p$$
$$p=\sqrt{2m\omega \alpha \cos }\phi .$$

Функция Гамильтона тогда выразится:
$$H=\omega \alpha .$$

Уравнения движения дают: $\alpha =$ const
$$\phi =\omega t+\beta .$$

Следовательно, длина выражается здесь:
$$q=\sqrt{\frac{2\alpha }{m\omega }}\sin (\omega t+\beta ).$$

Канонические преобразования определяются тем, чтоони оставляют инвариантными форму канонических уравнений движения или интеграл принципа Гамильтона. Мы подходим к вопросу о том, существуют ли и друюие инварианты при к.нонических преобразованиях. Это действительно имеет место; мы укажем здесь на ряд интегральных инвариантов, приведенных Пуанка ре ${}^1$. .
Можно показать, что интеграл
$$J_1={\iint }_k^{\mathrm{\Sigma }}d{p}_{k}d{q}_k$$

распространенный на любые двухизмерительные разновидности $2f$-мерного пространства (p.q), является таким инвариантом. Если представить двухмерную разновидность заданием $p_k$ и $q_k$ как функции двух параметров $u$ и $v$, то тогда
$$J_1=\iint \sum _k\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial n_k}{\partial u}& \frac{\partial q_k}{\partial u}\\ \frac{\partial p_k}{\partial v}& \frac{\partial q_k}{\partial v}\end{array}\right|dudv.$$

Наше утверждение будет доказанным, когда мы покажем, что
$$\sum _k\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial {\overline{p}}_k}{\partial u}& \frac{\partial {\overline{q}}_k}{\partial u}\\ \frac{\partial {\overline{p}}_k}{\partial v}& \frac{\partial {\overline{q}}_k}{\partial v}\end{array}\right|=\sum _k\left|\begin{array}{ll}\partial p_k& \frac{\partial q_k}{\partial u}\\ \frac{\partial p_k}{\partial v}& \frac{\partial q_k}{\partial v}\end{array}\right|$$
1 H. Poin c a ré, Méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Bd. III. Kap. 22-21 (Paris 1899).
a) Доказательства инвариантности по E. Brody, Ztschr. f. Physik. Bd. 6, S. 224, 1921 .

при условии, если каноническиии преобразованиями получаются ${\overline{q}}_k{\overline{p}}_k$ из $q_k,p_k$. Напишем преобразование в форме (2)
$$p_k=\frac{\partial V(q_1,{\overline{p}}_1\dots t)}{\partial q_k};{\overline{q}}_k=\frac{\partial V(q_1,{\overline{p}}_1\dots t)}{\partial p_k}.$$

Заменяя с помощью первого уравнения $q$, $p_k$ через ${\overline{q}}_k,{\overline{p}}_k$, имеем
$$\sum _k\left|\begin{array}{l}\frac{\partial p_k}{\partial u}\frac{\partial q_k}{\partial u}\\ \frac{\partial p_k}{\partial v}\frac{\partial q_k}{\partial v}\end{array}\right|=\sum _k\left|\begin{array}{l}\sum _i\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_k}\frac{\partial {\overline{p}}_i}{\partial {\overline{p}}_i}\cdot \frac{\partial q_k}{\partial u}\\ \sum _i\frac{\partial }{\partial q_k}\frac{V}{\partial {\overline{p}}_i}\cdot \frac{{\overline{p}}_i}{\partial v}\frac{\partial q_k}{\partial v}\end{array}\right|=\sum _{ik}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_k\partial {\overline{p}}_t}\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial {\overline{p}}_i}{\partial u}& \partial q_k\\ \frac{\partial {\overline{p}}_i}{\partial v}\\ \frac{\partial q_k}{\partial v}& \overline{\partial v}\end{array}\right|$$

Переставляя индексы, получаем
$$\sum _{ik}\frac{{\partial }^{2}V}{\partial q_i}\left|\begin{array}{ll}\frac{\partial \overline{p_k}}{\partial \overline{u}}& \frac{\partial q_i}{\partial u}\\ \frac{\partial {\overline{p}}_k}{\partial v}& \partial q_i\\ \partial v\end{array}\right|$$

И если теперь с помощью второго уравнения преобразований $q_k$, $p_k$ свести к ${\overline{q}}_k,{\overline{p}}_k$, то подинтегральное выражение будет равно:

чем доказана инвариантность интеграла (19).
Вполне аналогично можно доказать инвариантность
$$J_2=\iiint \int \sum d{p}_i\cdot d{p}_{k}d{q}_i\cdot d{q}_k$$

При этом под интегралом содержится совокупность комбинаций из двух индексов.
То же сохраняется и для
$$J_3=\iiint \iiint \sum d{p}_{i}d{p}_{k}d{p}_{l}d{q}_{i}d{q}_{k}d{q}_l$$

и так далее.
И, наконец, последний интеграл представляет ряд
$$J_f=\int \dots \int d{p}_1\dots d{p}_{f}d{q}_1\dots d{q}_f.$$

Таким образом, объем в фазовом пространстве остается инва: риантным относительно канонических преобразований.