Большое значение ридберговских поправок мы в \( \$ 26 \) объяснили тем, что оптический электрон проникает глубоко в остов и, следовательно, попадает в область высокого воздействия ядра.

Опыт Шредингера \( { }^{1} \) дает оценку порядкам величин \( \delta \), которые нужно бы было ожидать для таких проникающих путей. Он
\( { }^{1} \) E. Sc hrödinger, Zeitschr. f. Physik, Bd. 4, S. 347, 1921.

мысленно представляет остов равномерно отрицательно зяряженной оболочкой сферы, вне которой господствует кулоновское поле, соответствующее ядерному заряду \( Z^{(a)} \) (1 в нейтральном, 2 при просто ионизированном атоме); внутри. ее возникает также кулоновское поле, но с большим ядерным зарядом \( Z^{(i)} \). В тех местах, где перигелиево расстояние вычисленного в силовом поле с ядерным зарядом \( Z^{(a)} \) эллипса квантового пути меньше радиуса сферической оболочки, путь проникает в середину; тогда т раектория состоит из двух эллипсных дуг, смыкающихся плавно и непрерывно (рис. 14).
При заданных квантовых чис-
Рис. 14, лах \( n \) и \( k \), зарядах оболочки и ядра в радиусе оболочки можно вычислить эффективное квантовое число \( n^{*} \) или поправку \( \delta \).
Мы не будем приводить здесь вычислений Шредингера, а только покажем, что для такой модели атома, состоящей, даже из множества концентрически заряженных оболочек, связь квантовых чисел и энергии выражается элементарными функциями \( { }^{1} \).

Пусть радиусы оболочек \( \rho_{1} \rho_{2}, \ldots \). .будут расположены по убывающим величинам их зарядов \( -z_{1} e,-z_{2} e, \ldots \)

Потенциальная энергия промежуточного пространства между оболочкой \( \rho_{s} \) и \( p_{s+1} \); будет
\[
U_{s}(r)=-Z_{s} \frac{e^{2}}{r}+c,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
Z_{c}=Z^{(a)} \\
Z_{s}=Z^{(a)}+\sum_{\sigma=1}^{s} z_{\sigma}
\end{array}
\]

и \( c_{s} \) определяется из условия, что потенциал на оболочках изменяется непрерывно. Из этого следует
\[
c_{s}=\sum_{\sigma=1}^{s} \frac{e^{2}}{\rho_{\sigma}} z_{0}
\]

Вследствие того, что мы сейчас уже знаем потенциальную энергию, как функцию \( r \), мы можем вычислить перигелий \( r_{\text {пт }} \) и установить, внутри каких оболочек \( \rho_{1}, \rho_{2} \ldots \rho_{p} \) он находится. Радиальный интеграл действия в силу (4) \( \S 21 \) имеет тогда форму
\[
J_{r}=2 \int_{\rho_{1}}^{r_{\text {max }}} \sqrt{-A_{0}+2 \frac{B_{o}}{r}-\frac{C}{r^{2}}} d r+
\]
\( { }^{1} \) C. также G. Went \( z \) e l, Zeitschr. f. Physik, Bd. 19, S. 53, 1923 или стр. 55.

\[
\begin{array}{c}
+2 \int_{\rho_{3}}^{\rho_{1}} \sqrt{-A_{1}+2 \frac{B_{1}}{r}-\frac{C}{r^{2}}} d r+ \\
+2 \int_{\rho_{3}}^{\rho_{s}} \sqrt{-A_{2}+2 \frac{B_{2}}{r}-\frac{C}{r^{2}}} d r+\ldots \\
+\int_{r_{\min }}^{\rho_{p}} \sqrt{-A_{p}+2 \frac{B_{p}}{r}-\frac{C}{r^{2}}} d r, \\
A_{s}=-2 m\left(W-c_{s}\right) \\
B_{s}=m e^{2} Z_{s} \\
C=\frac{k^{2} h^{2}}{4 \pi^{2}} .
\end{array}
\]

Все интегралы можно выразить через элементарные функции; так мы получим \( J_{r} \) и, следовательно, \( n-k \), как функцию \( W \) и \( k \), наконец, \( W \) как функцию \( n \) и \( k \).

Представление Шредингера о заряженной оболочке мы использовываем по Ван-Урк’уі1 для оценки значений \( \delta \) проникающих путей.

Первым долгом отметим, что при заданном внешнем эллипсе радиальный интеграл действия тем больше, чем больше радиус имеет сферич ?ская оболочка, так так тем больший промежуток времени электрон находится под полным воздействием ядерного заряда. Итак, в шредингеровской модели получается нижний предел для значения \( \delta \) при условии, если допустить, что траетория вообще является проникающей, и выбрать радиус оболочки так, чтобы она касалась внешнего эллипса.

Найдем значение, к которому стремится \( \delta \) для больших \( n \) (зависимость от \( n \) в шредингеровсксй модели очень незначительна) для чего примем за перигелий внешнего эллипса приближенно перигелий параболы, где путь \( s \) мы будем писать как \( \frac{1}{2 Z^{(\mathrm{a})}} a_{\mathrm{H}} \) или в более общем виде \( \frac{\zeta}{Z^{(a)}} a_{\mathrm{H}} \).

В виду того, что радиус оболочки мы выбираем такой же величины, общий путь оптического электрона в большем приближении можно представить, как два совершенных эллипса. Для ради ального интеграла действия получается
\[
J_{r}=J_{r}^{(a)}+J_{r}^{(i)},
\]
1 A Th. van Urk, Zeitschr. f. Physik, Bd 13, S. 268, 1923.

Теперь спектроскопический терм представляет работу отрыва внешнего электрона, поэтому он равен энергии внешнего эллипса
\[
W=-\frac{R h^{3} Z^{(a) 2}}{\left(J_{t}^{a)}+J_{\psi}\right)^{2}},
\]

где \( J_{\psi} \) представляет общий импульс вращения для обоих эллипсов, умноженный на \( 2 \pi \). Сравним его с энергией в форме
\[
W=-\frac{R h Z^{(a) 2}}{n^{* 2}} .
\]

Тогда для эффективного квантового числа вытекает
\[
n^{*}=\frac{1}{h}\left(J_{r}^{(a)}+J_{\psi}\right)=\frac{1}{h}\left(J_{r}-J_{r}^{(i)}+J_{\phi}\right) .
\]

И теперь уже
\[
J_{r}+J_{4}=n h,
\]

следовательно,
\[
\delta=n^{*}-n=-\frac{J_{r}^{(i)}}{h}=-\left(\frac{J^{(i)}}{h}-k\right),
\]

где \( J^{(i)} \) представляет сумму интегралов дейстия внутреннего эллипса. \( J^{(i)} \) выражается большою полуосью а внугреннего эллипса:
\[
a=\frac{a_{\mathrm{H}}}{Z^{(i)}}\left(\frac{J^{(i)}}{h}\right)^{2}
\]

а \( a \) в свою очередь связано с радиусом оболочки:
\[
a(1+\varepsilon)=\frac{\zeta}{\left.Z^{a}\right)} a_{\mathrm{H}}
\]

где
\[
\varepsilon=\sqrt{\left.1-\frac{h^{2} k^{2}}{J^{2}}\right)^{2}}
\]

Исключая из этих трех уравнений \( \varepsilon \) и а, мы получаем
\[
\left(\frac{J^{(i)}}{h}\right)^{2}\left(1+V^{1-\frac{k^{2}}{\left(J^{(i)} / h\right)^{2}}}\right)=\zeta \frac{Z^{(i)}}{Z^{(a)}},
\]

после чего, решалотносительно \( \frac{J(i)}{h} \) и подставляя в (1), имеем:
\[
\delta=-\frac{\zeta \frac{Z^{(i)}}{Z^{(a)}}}{\sqrt{2 \zeta_{Z^{(a)}}^{Z^{(i)}}-k^{2}}}+k
\]

Уравнение (1) сохраняется приближенно и тогда, когда внешний эллипс не касается оболочки. Необходимо только, чтобы радиус оболочки был мал по сравнению с большой осью внешнего эллипса (что всегда имеет место при большом главном квантовом числе) и \( Z^{(i)} \) было значительно больше \( Z^{(a)} \). В этом случае ошибка, которую мы делаем, заменяя интеграл действия по внешней части пути интегралом по всему внешнему эллипсу, получается незначительной; то же в отношении замены внутренней части полным внутренним эллипсом. Афелий внутреннего эллипса лежит незначительной частью вне оболочки (благодаря быстрому уменьшению потенциальной энергии в поле с ядерным зарядом \( \left.Z^{(i)}\right) \). Сумма \( J^{(i)} \) интегралов действия внутреннего эллипса однозначно зависит от большей оси этого эллипса и поэтому почти не зависит от \( n \).

В приближении, допущенном в формуле (1) \( \delta \) от \( n \) не зави. сит. Это приближение тем ближе, чем больше большая ось внешнего эллипса; так как это наступает при растущем \( n \) очень быстро, то, с возрастанием \( n \), \( \delta \) принимает очень скоро постоянное значение.

Если существуют квантовые пути, проходящие полностью внутри оболочек, и если \( n^{(i)} \) – главное квантовое число самого большого между ними, то имеет силу следующая запись
\[
n^{(i)}<\frac{J^{(i)}}{h}<n^{(i)}+1
\]

и
\[
\delta=-\left(n^{(i)}+\varepsilon-k\right) \quad 0<\varepsilon<1 .
\]

Эта формула не зависит от шредингеровской модели заряженной сферической оболочки; и лишь на основании того факта, что афелий внешнего пути велик по сравнению с радиусом тела атома и что проникающий во внутрь атома электрон быстро проходит в область высоких ядерных зарядов. Бор \( { }^{1} \) ранее Ван.Урка вывел ее следующим образом:

Радиальный интеграл \( J_{r}=h(n-k) \) пути слагается из интеграла внешней части пути и интеграла внешней петли,
\[
J_{r^{*}}=J_{r}^{(a)}+J_{r}^{(i)}=h(n-k) .
\]
\( J_{r}^{(\alpha)} \) – незначительно меньше, чем радиальный интеграл \( h\left(n^{*}-k\right) \) действия полного внешнего эллипса:
\[
J_{r}^{(a)}=h\left(n^{*}-k+\varepsilon_{1}\right)
\]

и \( J_{r}^{(i)} \) мало отличается от радиального интеграла действия \( h\left(m^{(i)}-k\right) \), самого большого пути, полностью находящегося внутри атома:
\[
J_{r}^{(i)}=h\left(n^{(i)}-k-\varepsilon_{2}\right) .
\]
\( { }^{1} \) N. Bohr, Vorträge in Göttingen Juni 1922 (не напечатано).

При этом \( n^{(i)} \) не-должно быть целым числом; оно представляет деленную на \( h \) сумму переменных действия каждой наибольшей механически (не квантотеоретически) возможной траектории. Получается:
(4)
\[
\delta=n^{*}-n=-\left(n^{(i)}-k-\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}\right)
\]

и результат можно сформулировать следующим образом: Pидберговская поправка при проникающих траекториях мало отличается от деленного на \( h \) радтального интеерала действия самого большего пути, проходящего целиком в остове. Вопрос о том, с какой точностью все оптические (и рентгеновские) термы можно представить посредством соответствующего построения центрального поля, исследовал Е. Фус \( { }^{1} \); он пришел к положительным результатам, использовав дуговой спектр \( \mathrm{Na} \) и аналогичные искровые спектры \( \mathrm{Mg}^{+} \)и \( \mathrm{Al}^{++} \).