Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Механика должна равноправно опираться на анализ и геометрию, заимствуя от них то, что наиболее подходит к существу задачи… Но последняя обработка решений задачи всегда будет принадлежать геометрии. Более общее понятие пуассоновой структуры, для которого требование невырожденности (2) уже может не выполняться, появилось в теории Софуса Ли «функциональных групп» и интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [278]. Теория Ли в целом была забыта математиками и физиками, пока П. Дирак не возобновил к ней интереса в связи с обобщением гамильтоновой механики, необходимым для целей квантования [57]. Физические рассуждения Дирака приобрели математическую законченность (возможно, излишнюю) в работах Лихнеровича [276, 277], Марсдена Отметим еще один любопытный исторический момент. В книге Ли [278] была введена скобка Пуассона на двойственном пространстве к алгебре Ли и фактически указана ее связь с коприсоединенным представлением группы Ли (скобка Ли-Пуассона, линейная скобка см. §1, гл. 1). Эта скобка была забыта вплоть до 60 -х годов нашего столетия. Ее переоткрыл Березин (в дальнейшем она применялась также Кирилловым, Костантом и Сурио) в связи с теорией представлений и геометрическим квантованием. В гамильтоновой механике интерес к структуре Ли-Пуассона возрос после появления работы В. И. Арнольда [1], в которой была представлена одна из форм уравнений движения Заметим также, что до работ С.Ли некоторые важные примеры скобки Ли- Пуассона были известны еще Якоби. В его примерах скобка Пуассона возникала на пространстве первых интегралов уравнений Гамильтона. Рассмотрим более общую ситуацию. Лагранжевы уравнения динамики с использованием вместо обобщенных скоростей «определяющих параметров» были записаны А.Пуанкаре [307]. В дальнейшем Н.Г.Четаев показал [164], что этим уравнениям можно придать гамильтонов вид, если некоторым образом изменить вид канонической скобки Пуассона (1). Эта скобка для многих классических систем имеет особо замечательный вид (например, для уравнений Эйлера- Пуассона, §1 гл. 1) и естественным образом вкладывается в теорию Ли. Отметим, что связь своих уравнений с теорией групп и алгебр Ли прекрасно осознавал сам А. Пуанкаре, рассматривая задачу о движении твердого тела с полостями, имеющими жидкое вихревое наполнение [308]. Тем не менее, свойство гамильтоновости уравнений ЭйлераПуассона и уравнений Кирхгофа, являющееся очевидным следствием записи уравнений движения твердого тела в форме Пуанкаре-Четаева, обычно связывают с работой [129]. Основное отличие нашей книги от традиционных учебников по классической механике состоит в систематическом изучении именно вырожденных пуассоновых структур. Наряду с общими теоремами (которые, как правило, приводятся без доказательств, но со ссылками, где их можно найти), мы рассматриваем новые примеры из различных областей классической механики, физики и математической биологии, в которых такого типа пуассоновы структуры возникают естественным образом. Как заметил еще С.Ли [278], с локальной точки зрения, вырожденные пуассоновы многообразия (многообразия со скобкой Пуассона) мало чем отличаются от обычного невырожденного (симплектического) случая. Он доказал общую теорему Дарбу для этой ситуации и показал, что при этом пуассоново многообразие расслаивается на симплектические подмногообразия (листы), на которых естественно ограничивается любая гамильтонова система. Это ограничение (локально!) возвращает нас к классической гамильтоновой механике, теории симплектических многообразий и внешних дифференциальных форм. Однако из этого вовсе не следует, что вырожденные пуассоновы структуры не имеют собственного теоретического интереса. Как правило, во многих задачах предпочтительней оставаться на самом объемлющем многообразии. Это особенно естественно для систем, зависящих от параметров. Вопросы, связанные с их интегрируемостью и исследованием частных решений, глобальным (топологическим) анализом решений, существенно проще ставятся и решаются именно при записи гамильтоновых уравнений движения с вырожденной скобкой Пуассона. При этом сами уравнения движения, в отличие от канонической формы записи, во многих представляющих интерес случаях получаются полиномиальными и даже однородными. Для анализа интегрируемости таких систем могут быть применены хорошо разработанные алгебраические и аналитические методы ис- следования, восходящие к П. Пенлеве, С. В. Ковалевской, А. М. Ляпунову, основанные на изучении поведения общего решения системы дифференциальных уравнений на комплексной плоскости времени. В книге мы приводим ряд новых результатов, отражающих специфику применения методов Ковалевской-Ляпунова для квазиоднородных систем дифференциальных уравнений, обладающих пуассоновой структурой, а также используем их для исследования интегрируемости различных задач. Алгебраический подход наиболее наглядно иллюстрируется на примере вихревой динамики (гл. 4), которая, начиная с Кирхгофа и Пуанкаре изучается в каноническом гамильтоновом представлении. Запись уравнений движения в новых образующих, условия коммутации которых определяют некоторую алгебру Ли, позволяет разделить исследование на две состовляющие. При этом часть информации, связанная с топологическими свойствами системы, оказывается заключенной в скобке Пуассона, которая также зависит от параметров системы (интенсивностей вихрей), а другая — определяется свойствами гамильтониана, задающего динамические системы на симплектических листах, фиксированных интегралом момента. В главе 2 рассмотрена новая кватернионная форма уравнений в динамике твердого тела, а также некоторые системы, получающиеся из них с помощью понижения ранга пуассоновой структуры с учетом симметрийных законов сохранения. При этом понижение порядка производится в алгебраической форме, что дает большие преимущества при анализе. На примере кватернионных уравнений в §4 произведен анализ интегрируемости методом Ковалевской и получено обобщение теоремы А.М.Ляпунова [111] для случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки в суперпозиции однородных силовых полей. В этой главе указаны также изоморфизмы между различными динамическими проблемами и рассматриваются вопросы, связанные с введением канонических координат ( Глава 3 посвящена анализу движения материальных точек и твердых тел в трехмерных пространствах постоянной кривизны. Постановка вопросов об исследовании движения в этих пространствах восходит еще к Н.И.Лобачевскому и Э.Шредингеру, новое развитие эта тематика получила в работах П. Хиггса, Н. А. Черникова, В. В. Козлова. Здесь мы приводим все известные к настоящему времени интегрируемые задачи в искривленной небесной механике, а также частные решения (типа точек либрации) и ограниченные постановки неинтегрируемых задач. В главе 4 рассматриваются пуассоновы структуры, возникающие в задачах о движении вихрей на плоскости и сфере. Указан траекторный изоморфизм интегрируемой задачи о движении трех вихрей (на плоскости и сфере) и системой Лотки-Вольтерра, возникающей в математической биологии. В § 4,5 исходя из новой формы динамических уравнений выполнена классификация движений в интегрируемой задаче трех вихрей на плоскости и сфере. Указаны сферические аналоги стационарных конфигураций и частных решений классической задачи о движении точечных вихрей на плоскости. В главе 5 анализируются многочастичные системы — обобщенные цепочки Тоды и Вольтерра, системы Мозера-Калоджеро и обсуждаются различные формы записи этих уравнений в гамильтоновой форме. Особое внимание уделено условиям интегрируемости этих систем в связи с существованием бигамильтонова описания и построения представления Лакса — Гейзенберга. В конце книги приведены приложения по различным разделам гамильтоновой механики и сформулированы нерешенные задачи. Последнее приложение посвящено новому методу приведения плоской задачи трех тел из небесной механики, основанному на предварительной алгебраизации этой задачи. Рассматривая различные конкретные задачи мы, как правило, не ограничивали себя рамками формальных построений и пытались прояснить качественные и геометрические особенности их поведения. Для интегрируемых систем мы даем наглядную топологическую и геометрическую интерпретации. Для анализа неинтегрируемых систем применяются численные методы построения отображений Пуанкаре. В книге приведены новые примеры нелинейных скобок Пуассона, возникающие при анализе классических задач гамильтоновой механики. Тематика, связанная с нелинейными скобками Пуассона является сравнительно новой и в российской научной литературе обсуждается лишь в книге [71], посвященной, в основном, вопросам квантования. По линейным скобкам имеется уже обширная литература Многие разделы теории скобок Пуассона в книге почти не затронуты. Это относится к нормальным формам пуассоновых структур в особых точках Большинство результатов, изложенных в книге, являются оригинальными. Они возникли в результате работы семинара по нелинейной динамике в Удмуртском государственном университете. Мы прежде всего благодарны В. В. Козлову, который постоянно поддерживал нас на протяжении всей нашей научной деятельности, а также А.В.Болсинову, который помог нам в разрешении самых сложных вопросов. Мы также выражаем глубокую благодарность за полезные научные обсуждения и консультации Х. Арефу, В.И.Арнольду, А. А.Белавину, А. П. Веселову, Ю.А.Данилову, Б. А. Дубровину, С.Л.Дудоладову, С.Л.Зиглину, о.В.Мантурову, М.А.Ольшанецкому, О.Е.Орёл, В. П. Павлову, П. Е.Рябову, М. А. Семенову-Тян-Шанскому, В. С. Сидоренко, Ю.Н.Федорову, А. Т. Фоменко, А. Шенсинеру. Часть расчетов Авторы благодарны также своим ученикам — А. А. Килину, В. Г. Лебедеву, Н.Н.Симакову, А.Г. Холмской, В. А. Чернойвану — которые помогли нам написать отдельные разделы книги и А.В.Широбокову за набор и макетирование книги, что оказалось совсем непростым делом.
|
1 |
Оглавление
|