Механика должна равноправно опираться на анализ и геометрию, заимствуя от них то, что наиболее подходит к существу задачи… Но последняя обработка решений задачи всегда будет принадлежать геометрии.
Н.Е. Жуковский

Более общее понятие пуассоновой структуры, для которого требование невырожденности (2) уже может не выполняться, появилось в теории Софуса Ли «функциональных групп» и интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка [278]. Теория Ли в целом была забыта математиками и физиками, пока П. Дирак не возобновил к ней интереса в связи с обобщением гамильтоновой механики, необходимым для целей квантования [57]. Физические рассуждения Дирака приобрели математическую законченность (возможно, излишнюю) в работах Лихнеровича [276, 277], Марсдена $[287,288]$ и Вейнстейна $[334,335,286]$. Менее формальное изложение, дополненное различными физическими примерами гидродинамического происхождения, имеется в работе С. П. Новикова [129] (см. также $[60]$ ). В дальнейшем эти результаты позволили выработать альтернативную (по сравнению с формализмом внешних форм [2] и теорией производящих функций [154]) аксиоматическую основу гамильтоновой механики.

Отметим еще один любопытный исторический момент. В книге Ли [278] была введена скобка Пуассона на двойственном пространстве к алгебре Ли и фактически указана ее связь с коприсоединенным представлением группы Ли (скобка Ли-Пуассона, линейная скобка см. §1, гл. 1). Эта скобка была забыта вплоть до 60 -х годов нашего столетия. Ее переоткрыл Березин (в дальнейшем она применялась также Кирилловым, Костантом и Сурио) в связи с теорией представлений и геометрическим квантованием. В гамильтоновой механике интерес к структуре Ли-Пуассона возрос после появления работы В. И. Арнольда [1], в которой была представлена одна из форм уравнений движения $n$-мерного твердого тела вокруг неподвижной точки.

Заметим также, что до работ С.Ли некоторые важные примеры скобки Ли- Пуассона были известны еще Якоби. В его примерах скобка Пуассона возникала на пространстве первых интегралов уравнений Гамильтона.

Рассмотрим более общую ситуацию. Лагранжевы уравнения динамики с использованием вместо обобщенных скоростей «определяющих параметров» были записаны А.Пуанкаре [307]. В дальнейшем Н.Г.Четаев показал [164], что этим уравнениям можно придать гамильтонов вид, если некоторым образом изменить вид канонической скобки Пуассона (1). Эта скобка для многих классических систем имеет особо замечательный вид (например, для уравнений Эйлера-

Пуассона, §1 гл. 1) и естественным образом вкладывается в теорию Ли. Отметим, что связь своих уравнений с теорией групп и алгебр Ли прекрасно осознавал сам А. Пуанкаре, рассматривая задачу о движении твердого тела с полостями, имеющими жидкое вихревое наполнение [308]. Тем не менее, свойство гамильтоновости уравнений ЭйлераПуассона и уравнений Кирхгофа, являющееся очевидным следствием записи уравнений движения твердого тела в форме Пуанкаре-Четаева, обычно связывают с работой [129].

Основное отличие нашей книги от традиционных учебников по классической механике состоит в систематическом изучении именно вырожденных пуассоновых структур. Наряду с общими теоремами (которые, как правило, приводятся без доказательств, но со ссылками, где их можно найти), мы рассматриваем новые примеры из различных областей классической механики, физики и математической биологии, в которых такого типа пуассоновы структуры возникают естественным образом.

Как заметил еще С.Ли [278], с локальной точки зрения, вырожденные пуассоновы многообразия (многообразия со скобкой Пуассона) мало чем отличаются от обычного невырожденного (симплектического) случая. Он доказал общую теорему Дарбу для этой ситуации и показал, что при этом пуассоново многообразие расслаивается на симплектические подмногообразия (листы), на которых естественно ограничивается любая гамильтонова система. Это ограничение (локально!) возвращает нас к классической гамильтоновой механике, теории симплектических многообразий и внешних дифференциальных форм.

Однако из этого вовсе не следует, что вырожденные пуассоновы структуры не имеют собственного теоретического интереса. Как правило, во многих задачах предпочтительней оставаться на самом объемлющем многообразии. Это особенно естественно для систем, зависящих от параметров. Вопросы, связанные с их интегрируемостью и исследованием частных решений, глобальным (топологическим) анализом решений, существенно проще ставятся и решаются именно при записи гамильтоновых уравнений движения с вырожденной скобкой Пуассона. При этом сами уравнения движения, в отличие от канонической формы записи, во многих представляющих интерес случаях получаются полиномиальными и даже однородными.

Для анализа интегрируемости таких систем могут быть применены хорошо разработанные алгебраические и аналитические методы ис-

следования, восходящие к П. Пенлеве, С. В. Ковалевской, А. М. Ляпунову, основанные на изучении поведения общего решения системы дифференциальных уравнений на комплексной плоскости времени. В книге мы приводим ряд новых результатов, отражающих специфику применения методов Ковалевской-Ляпунова для квазиоднородных систем дифференциальных уравнений, обладающих пуассоновой структурой, а также используем их для исследования интегрируемости различных задач.

Алгебраический подход наиболее наглядно иллюстрируется на примере вихревой динамики (гл. 4), которая, начиная с Кирхгофа и Пуанкаре изучается в каноническом гамильтоновом представлении. Запись уравнений движения в новых образующих, условия коммутации которых определяют некоторую алгебру Ли, позволяет разделить исследование на две состовляющие. При этом часть информации, связанная с топологическими свойствами системы, оказывается заключенной в скобке Пуассона, которая также зависит от параметров системы (интенсивностей вихрей), а другая – определяется свойствами гамильтониана, задающего динамические системы на симплектических листах, фиксированных интегралом момента.
Остановимся, вкратце, на общей структуре книги.
В первой главе обсуждаются механизмы возникновения пуассоновых структур в динамике (ограничение на симплектический лист, понижение ранга структуры при помощи симметрий, редукция Дирака, уравнения Пуанкаре – Четаева), а также вопросы интегрируемости соответствующих уравнений Гамильтона (алгебра интегралов, представление Лакса-Гейзенберга, бигамильтоновы системы). Подробно изложены вопросы редукции гамильтоновых систем на алгебраическом уровне, и связанной с ней процедурой понижения порядка. В §9 мы отдельно рассмотрели редукцию и скобку Дирака, так как в большинстве современных изложений к этому вопросу подходят либо со слишком формальной точкой зрения, либо ограничиваются наивным физическим уровнем.

В главе 2 рассмотрена новая кватернионная форма уравнений в динамике твердого тела, а также некоторые системы, получающиеся из них с помощью понижения ранга пуассоновой структуры с учетом симметрийных законов сохранения. При этом понижение порядка производится в алгебраической форме, что дает большие преимущества при анализе. На примере кватернионных уравнений в §4 произведен анализ интегрируемости методом Ковалевской и получено обобщение

теоремы А.М.Ляпунова [111] для случая движения твердого тела вокруг неподвижной точки в суперпозиции однородных силовых полей. В этой главе указаны также изоморфизмы между различными динамическими проблемами и рассматриваются вопросы, связанные с введением канонических координат ( $\$ 8$ ), получением интегрируемых геодезических потоков на двумерной и трехмерной сферах при помощи интегрируемых задач динамики твердого тела ( $\S 7$ ) и предельными задачами динамики ( $§ 12$ ).

Глава 3 посвящена анализу движения материальных точек и твердых тел в трехмерных пространствах постоянной кривизны. Постановка вопросов об исследовании движения в этих пространствах восходит еще к Н.И.Лобачевскому и Э.Шредингеру, новое развитие эта тематика получила в работах П. Хиггса, Н. А. Черникова, В. В. Козлова. Здесь мы приводим все известные к настоящему времени интегрируемые задачи в искривленной небесной механике, а также частные решения (типа точек либрации) и ограниченные постановки неинтегрируемых задач.

В главе 4 рассматриваются пуассоновы структуры, возникающие в задачах о движении вихрей на плоскости и сфере. Указан траекторный изоморфизм интегрируемой задачи о движении трех вихрей (на плоскости и сфере) и системой Лотки-Вольтерра, возникающей в математической биологии. В § 4,5 исходя из новой формы динамических уравнений выполнена классификация движений в интегрируемой задаче трех вихрей на плоскости и сфере. Указаны сферические аналоги стационарных конфигураций и частных решений классической задачи о движении точечных вихрей на плоскости.

В главе 5 анализируются многочастичные системы – обобщенные цепочки Тоды и Вольтерра, системы Мозера-Калоджеро и обсуждаются различные формы записи этих уравнений в гамильтоновой форме. Особое внимание уделено условиям интегрируемости этих систем в связи с существованием бигамильтонова описания и построения представления Лакса – Гейзенберга.

В конце книги приведены приложения по различным разделам гамильтоновой механики и сформулированы нерешенные задачи. Последнее приложение посвящено новому методу приведения плоской задачи трех тел из небесной механики, основанному на предварительной алгебраизации этой задачи.

Рассматривая различные конкретные задачи мы, как правило, не ограничивали себя рамками формальных построений и пытались прояснить качественные и геометрические особенности их поведения. Для интегрируемых систем мы даем наглядную топологическую и геометрическую интерпретации. Для анализа неинтегрируемых систем применяются численные методы построения отображений Пуанкаре.

В книге приведены новые примеры нелинейных скобок Пуассона, возникающие при анализе классических задач гамильтоновой механики. Тематика, связанная с нелинейными скобками Пуассона является сравнительно новой и в российской научной литературе обсуждается лишь в книге [71], посвященной, в основном, вопросам квантования. По линейным скобкам имеется уже обширная литература $[18,152,156,157]$.

Многие разделы теории скобок Пуассона в книге почти не затронуты. Это относится к нормальным формам пуассоновых структур в особых точках $[2,224]$, бесконечномерным интегрируемым системам $[131]$, теории $r$-матриц и ее приложениям [132] и др. Более формальное и подробное изложение некоторых затронутых вопросов читатель может найти в недавно вышедших книгах $[288,331]$.

Большинство результатов, изложенных в книге, являются оригинальными. Они возникли в результате работы семинара по нелинейной динамике в Удмуртском государственном университете.

Мы прежде всего благодарны В. В. Козлову, который постоянно поддерживал нас на протяжении всей нашей научной деятельности, а также А.В.Болсинову, который помог нам в разрешении самых сложных вопросов.

Мы также выражаем глубокую благодарность за полезные научные обсуждения и консультации Х. Арефу, В.И.Арнольду, А. А.Белавину, А. П. Веселову, Ю.А.Данилову, Б. А. Дубровину, С.Л.Дудоладову, С.Л.Зиглину, о.В.Мантурову, М.А.Ольшанецкому, О.Е.Орёл, В. П. Павлову, П. Е.Рябову, М. А. Семенову-Тян-Шанскому, В. С. Сидоренко, Ю.Н.Федорову, А. Т. Фоменко, А. Шенсинеру. Часть расчетов $\S 8$ гл. 2, а также некоторые ссылки были сделаны А. Е. Павловым.

Авторы благодарны также своим ученикам – А. А. Килину, В. Г. Лебедеву, Н.Н.Симакову, А.Г. Холмской, В. А. Чернойвану – которые помогли нам написать отдельные разделы книги и А.В.Широбокову за набор и макетирование книги, что оказалось совсем непростым делом.
А. В. Борисов, И. С. Мамаев