1. Цепочка Тоды, как гамильтонова система на разрешимой алгебре Ли. Задача о движении $n$ частиц на прямой с экспоненциальным взаимодействием была рассмотрена в 1967 г. в работе Тоды (см. [151]), который обнаружил, что в такой цепочке могут распространяться незатухающие нелинейные волны. В 1974 г. в работе Хенона [249] для цепочки Тоды, состоящей из $n$ частиц, были найдены $n$ фунцционально независимых интегралов движения, инволютивность которых была доказана Флашкой [237] и Манаковым [114]. Если в системе $n$ частиц с экспоненциальным взаимодействием первая частица взаимодействует с последней, то возникающая цепочка называется замкнутой (периодической). Она также является интегрируемой, однако ее динамика существенно отличается от непериодического случая.
О.И.Богоявленским в работе [199] были введены обобщенные цепочки Тоды. Гамильтониан обобщенной цепочки Тоды в канонических переменных $(\mathbf{p}, \mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{2 n}$ имеет вид:
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{p}, \mathbf{p})+\sum_{i=1}^{N} g_{i} e^{2\left(\boldsymbol{\alpha}_{i}, \mathbf{q}\right)},
\]

где $\boldsymbol{\alpha}_{i} \in \mathbb{R}^{n}$, а скобкой $(\cdot, \cdot)$ обозначено обычное скалярное произведение в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{n}$. Набор векторов $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{N}$ называется спектром гамильтониана (1.1).

Пусть среди векторов $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ имеется $m \leqslant n$ линейно независимых $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$, их линейную оболочку обозначим через $\mathbb{R}_{\alpha}^{m} \subset \mathbb{R}^{n}$. Потенциальная энергия системы (1.1) зависит лишь от координат в гиперплоскости $\mathbb{R}_{\alpha}^{m}$, поэтому ортогональная составляющая импульса $\mathbf{p}$ является интегралом движения. Выполняя редукцию по этим интег-

ралам (см. $\S 8$ гл. 1), приходим к приведенной системе, описывающей движение в плоскости $\mathbb{R}_{\alpha}^{m}$
\[
H^{*}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{p}^{*}, \mathbf{p}^{*}\right)+\sum_{i=1}^{N} g_{i} e^{2(\boldsymbol{\alpha}, \mathbf{q})},
\]

где р* — проекция импульса на $\mathbb{R}_{\alpha}^{m}$.
Выберем дуальный к $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$ базис $\boldsymbol{\beta}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{m}:\left(\boldsymbol{\alpha}_{i}, \boldsymbol{\beta}_{j}\right)=\delta_{i j}$ и определим новые избыточные переменные
\[
\begin{array}{c}
a_{k}=\exp \left(\boldsymbol{\alpha}_{k}, \mathbf{q}\right), \quad b_{j}=\left(\boldsymbol{\beta}_{j}, \mathbf{p}^{*}\right)=\left(\boldsymbol{\beta}_{j}, \mathbf{p}\right), \\
k=1, \ldots, N, j=\mathbf{1}, \ldots, m
\end{array}
\]

Скобка Пуассона этих переменных линейная
\[
\begin{array}{l}
\left\{a_{k}, b_{j}\right\}=a_{k} \delta_{k j} \quad k \leqslant m, \quad j=1, \ldots, m, \\
\left\{a_{k}, b_{j}\right\}=A_{k j} a_{k} \quad m<k \leqslant N, \quad j=1, \ldots, m,
\end{array}
\]

здесь $A_{k j}$ координаты векторов $\boldsymbol{\alpha}_{k}, k>m$ в базисе $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{m}$
\[
\boldsymbol{\alpha}_{k}=\sum_{j=1}^{m} A_{k j} \boldsymbol{\alpha}_{j} \quad k=m+1, \ldots, n .
\]

Переменные $a_{1}, \ldots, a_{m}, \quad b_{1}, \ldots, b_{m}$ образуют подалгебру $\mathfrak{g}(2 m)$ изоморфную прямой сумме двумерных разрешимых алгебр Ли. Гамильтониан в новых переменных (с точностью до добавления функций Казимира) принимает вид:
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i, j=1}^{m} C_{i j} b_{i} b_{j}+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} g_{k} a_{k}^{2},
\]

где $C_{i j}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{i}, \boldsymbol{\alpha}_{j}\right)$ — матрица скалярных произведений.
Соотношения (1.5) порождают функции Казимира:
\[
F_{k}=a_{k} \prod_{j=1}^{m} a_{j}^{-A_{k j}}, \quad k=m+1, \ldots, N .
\]

Для действительных движений $F_{k}=1$.
Условие инфинитности всех движений системы (1.6) получено B $[245]$ :

Предложение 1. Если не существует положительных чисел $s_{i}, y \partial о в-$ летворяющих условию $\sum_{i=1}^{N} s_{i} \alpha_{i}=0$ и $g_{k}>0, k=1 \ldots, N$, то все траектории неограничены, и система при $t \rightarrow \pm \infty$ асимптотически свободна.
Покажем, что справедливо

Предложение 2. Если найдутся положительные числа $s_{i}$, для которых $\sum_{i=1}^{N} s_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i}=0$ и все $g_{k}>0, k=1, \ldots, N$, то все траектории системы (1.6) финитны.

Доказательство.
Согласно (1.6), энергия представляет собой положительно определенную квадратичную форму переменных $b_{i}, a_{k}, i=1, \ldots, m$, $k=1, \ldots, N$, следовательно, для всех траекторий $b_{i}, a_{k}$ — ограничены сверху. Из (1.4), (1.7) следует, что существует интеграл движения
\[
F=a_{1}^{s_{1}} \cdots a_{N}^{s_{N}}=1, \quad s_{i}>0 .
\]

Отсюда при условии ограниченности сверху $a_{i}$ следует их ограниченность снизу.

Так как $a_{i}=e^{\left(\boldsymbol{\alpha}_{i}, \mathbf{q}\right)}$ ограничены сверху и снизу, то проекция $q$ на $\mathbb{R}_{\alpha}^{m}$ ограничена.

Легко проверить, что обычная незамкнутая цепочка, для которой $N=n-1$ и $\alpha_{1}=(1,-1,0, \ldots, 0), \alpha_{2}=(0,1,-1, \ldots, 0), \ldots$, $\boldsymbol{\alpha}_{n-1}=(0, \ldots, 1,-1)$ функция Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} p_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n-1} e^{\alpha\left(q_{i}-q_{i+1}\right)}
\]

удовлетворяет предложению 1. Для замкнутой цепочки добавляется вектор $\boldsymbol{\alpha}_{n}=(-1,0, \ldots, 1)$ :
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} p_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n} e^{\alpha\left(q_{i}-q_{i+1}\right)}, \quad\left(q_{n+1}=q_{1}\right)
\]

и $\sum_{i=1}^{n} \alpha_{n}=0$, поэтому по предложению 2 все траектории этой системы финитны в системе центра масс.

Перенумеруем координаты фазового пространства:
\[
x_{1}=a_{1}, x_{2}=a_{2}, \ldots, x_{N}=a_{N} ; x_{N+1}=b_{1}, \ldots, x_{N+m}=b_{m} .
\]

Тогда ненулевые независимые структурные константы:
\[
\begin{array}{c}
c_{1, N+1}^{1}=c_{2, N+2}^{2}=\ldots=c_{N, N+m}^{N}=1 . \\
c_{k, N+j}^{k}=A_{k j}, \quad k=m+1, \ldots, N, \quad j=1, \ldots, m .
\end{array}
\]

Гамильтониан (1.6) в переменных (1.10) является квадратичным и может рассматриваться как кинетическая энергия некоторого «волчка Эйлера».
\[
H=T=\frac{1}{2} \sum_{i, k=1}^{N+m} I^{i k} x_{i} x_{k}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{N} g_{i} x_{i}{ }^{2}+\sum_{i, j=1}^{m} C_{i j} x_{(i+N)} x_{(j+N)},
\]

где $I^{i k}$ — «тензор инерции». Заметим, однако, что квадратичная форма (1.12) не обязательно является положительно определенной.

В явном виде уравнения Гамильтона со скобкой (1.4) и гамильтонианом (1.6) имеют вид:
\[
\dot{x}_{k}=c_{k i}^{j} I^{i l} x_{j} x_{l} .
\]

Такая форма представления уравнений движения восходит к Флашке [237], который применил ее к обычной цепочке Тоды.

2. Интегрируемые обобщенные цепочки Тоды. Метод Ковалевской. Исследованию интегрируемости обобщенных цепочек Тоды посвящены работы $[98,99,176,199]$. В работе [98] исследованы обобщенные периодические (замкнутые) цепочки Тоды и найден критерий вполне алгебраической интегрируемости (в смысле Адлера и ван Мербеке) этих цепочек. Этот метод основан на развитии идей Ковалевской о связи интегрируемости с существованием полнопараметрического семейства решений, представимых в виде сходящихся рядов Лорана на комплексной плоскости времени.

В работе [99] введено более широкое определение, чем в [98] обобщенных цепочек Тоды, являющихся аналогом замкнутой цепочки (1.9). При этом предполагается, что $g_{i} \geqslant 0, i=1, \ldots, N$ и векторы $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{N}$, образующие спектр гамильтониана (1.1), удовлетворяют следующим условиям:

(i) векторы $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n+1}$ таковы, что любые $n$ из них линейно независимы, и $\sum_{i=1}^{n+1} p_{i} \boldsymbol{\alpha}_{i}=0$, где все $p_{i}>0$;
(ii) векторы $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{N}$ так группируются в семейства $F_{s}(s=$ $=1, \ldots, n+1$ ), что каждый вектор $\alpha_{j}$ из $F_{s}$ сонаправлен с $\boldsymbol{\alpha}_{s}$, и $\left|\boldsymbol{\alpha}_{j}\right| \leqslant\left|\boldsymbol{\alpha}_{s}\right|$
(iii) $g_{i}
eq 0$ для всех $i(i=1, \ldots, n+1)$.
(Из этих условий и предложения 2 следует, что все траектории финитны.)

Для такого рода цепочек в работе [98] были проанализированы числа Ковалевской (количество различных полнопараметрических семейств мероморфных решений аналитических систем дифференциальных уравнений). Определение работы [176] получается в предположении, что каждое из множеств $F_{s}$ состоит из единственного вектора $\boldsymbol{\alpha}_{s}$. Как в [176], так и в [98], классификация цепочек Тоды связана с корневыми системами в теории полупростых алгебр Ли $[8,316]$. При этом обычные незамкнутая (1.8) и замкнутая (1.9) цепочки определяются соответственно классической и пополненной схемами Дынкина алгебры $A_{n}$. Эта неожиданная связь была впервые замечена о.И.Богоявленским $[18,199]$. Диаграммы Дынкина (или «оснащенные» графы Кокстера) работы [98] получаются из диаграмм [176] с учетом добавления векторов вида $\alpha_{s} / 2$. Интегрируемость таких пополненных цепочек Тоды установлена в $[98,99]$.

Замечание 1. Отметим, что динамика периодической цепочки (и ее обобщений согласно условиям (i), (ii), (iii)) является более сложной по сравнению с непериодическими аналогами. Если для непериодической интегрируемой цепочки величины $\exp \left(\alpha_{i} q_{i}(t)\right)$ являются рациональными функциями экспонент $\exp \left(\lambda_{k} t\right)$, то в периодическом случае $\exp \left(\boldsymbol{\alpha}_{i} q_{i}(t)\right)$ испытывают сложные нелинейные колебания. Интегрирование в квадратурах при этом выполняется с помощью тэта-функций методами алгебраической геометрии. (По этому поводу см. книгу [137] и обзор $[60,132]$.)

В работе [99] получены условия существования у системы (1.1) с положительно определенной формой кинетической энергии полного набора полиномиальных по импульсам первых интегралов (в этом случае система называется интегрируемой по Биркгофу). Эти условия также можно интерпретировать в терминах диаграмм Дынкина, получающихся из известных диаграмм простых корней градуированных алгебр

Каца-Муди с учетом возможности существования в спектре интегрируемой системы сонаправленных векторов.

Вычисление показателей Ковалевской для обобщенных цепочек Тоды содержится также в работе [98]. Приведем эти вычисления для более общего случая, когда не обязательно выполнены условия $(i),(i i),($ iii)

Возьмем частное решение $x_{i}=C_{i} / t, i=1, \ldots, 2 n$. При этом $C_{i}$ удовлетворяют системе алгебраических уравнений
\[
C_{k}+c_{k i}^{j} I^{i l} C_{j} C_{l}=\mathbf{0} .
\]

На частных решениях вида $C_{i+1}=-1 / C_{i}, C_{i+1}=g_{i} C_{i}^{2}(i=1, \ldots, n)$ получаем помимо тривиальных решений: $\rho=-1,1,2$ показатели Ковалевской:
\[
\rho=1-\frac{\left(\boldsymbol{\alpha}_{i}, \boldsymbol{\alpha}_{j}\right)}{\left(\boldsymbol{\alpha}_{j}, \boldsymbol{\alpha}_{j}\right)} .
\]
(Формула (1.15) отличается от формулы, полученной в работах $[176,98]$ множителем 2 в силу другого выбора системы образующих $x_{i}$.)

Для однозначности общего решения на конечнолистном накрытии комплексной плоскости времени $[208,240]$ и обобщенной алгебраической интегрируемости $[176,292]$ необходимо, чтобы $\rho$, определяемые (1.15), были рациональными. Требование целочисленности $2 \rho$ при дополнительных ограничениях на семейство векторов $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{N}$ приводит к интегрируемым моделям, отвечающим простым алгебрам Ли и алгебрам Каца-Муди. Формула (1.15) справедлива также для индефинитной метрики в (1.1).

3. Индефинитные цепочки Тоды. Псевдоевклидовы цепочки возникают при исследовании космологических моделей в теории гравитации. К ним относится, например, миксмастерная модель Мизнеpa (см. например, [225]). Ее гамильтониан в канонических переменных $\left(\alpha, p_{\alpha}, \beta_{+}, p_{+}, \beta_{-}, p_{-}\right)$имеет вид:
\[
H=\frac{1}{2}\left(-p_{\alpha}^{2}+p_{+}^{2}+p_{-}^{2}\right)+\frac{1}{6} \exp (-4 \alpha) V\left(\beta_{+}, \beta_{-}\right),
\]

где функция $V\left(\beta_{+}, \beta_{-}\right)$слагается из шести экспонент:
\[
\begin{aligned}
V\left(\beta_{+}, \beta_{-}\right)= & \exp \left(-8 \beta_{+}\right)+\exp \left(4 \beta_{+}+4 \sqrt{3} \beta_{-}\right)+ \\
& +\exp \left(4 \beta_{+}-4 \sqrt{3} \beta_{-}\right)-2 \exp \left(4 \beta_{+}\right)- \\
& -2 \exp \left(-2 \beta_{+}+2 \sqrt{3} \beta_{-}\right)-2 \exp \left(-2 \beta_{+}-2 \sqrt{3} \beta_{-}\right) .
\end{aligned}
\]

Уравнения миксмастерной модели в координатах $X, Y, Z, p_{x}, p_{y}, p_{z}[225]$ :
\[
\begin{array}{c}
X=\frac{1}{12} \exp \left(2\left(\alpha+\beta_{+}+\sqrt{3} \beta_{-}\right)\right), \quad Y=\frac{1}{12} \exp \left(2\left(\alpha+\beta_{+}-\sqrt{3} \beta_{-}\right)\right) \\
Z=\frac{1}{12} \exp \left(2\left(\alpha-2 \beta_{+}\right)\right) \\
p_{x}=\frac{1}{12}\left(2 p_{\alpha}+p_{+}+\sqrt{3} p_{-}\right), \quad p_{y}=\frac{1}{12}\left(2 p_{\alpha}+p_{+}-\sqrt{3} p_{-}\right) \\
p_{z}=\frac{1}{6}\left(p_{\alpha}-p_{+}\right)
\end{array}
\]

можно записать в квадратичном однородном виде
\[
\begin{aligned}
\dot{p}_{x} & =2 X(Y+Z-X), \\
\dot{p}_{y} & =2 Y(Z+X-Y), \\
\dot{p}_{z} & =2 Z(X+Y-Z), \\
2 \dot{X} & =X\left(p_{x}-p_{y}-p_{z}\right), \\
2 \dot{Y} & =Y\left(p_{y}-p_{z}-p_{x}\right), \\
2 \dot{Z} & =Z\left(p_{z}-p_{x}-p_{y}\right) .
\end{aligned}
\]

С точки зрения физической интерпретации особый интерес представляет проблема, соответствующая нулевому уровню «энергии»: $H=0$. В этом случае речь идет об условной (по Биркгофу) интегрируемости системы (1.19).

Уравнения (1.19) могут быть представлены как уравнения Гамильтона на прямой сумме двумерных алгебр Ли со скобкой $\left\{X, p_{x}\right\}=X$, $\left\{Y, p_{y}\right\}=Y,\left\{Z, p_{z}\right\}=Z$ и гамильтонианом
\[
\begin{aligned}
H= & \frac{1}{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}\right)-\frac{1}{4}\left(p_{x}+p_{y}+p_{z}\right)^{2}+ \\
& +2\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right)-(X+Y+Z)^{2} .
\end{aligned}
\]

Показатели Ковалевской миксмастерной модели для частных решений $x_{i}=C_{i} / t \quad i=1, \ldots, 2 n$ равны [225]:
\[
\rho=-1,1,1,2,2,2 \text {. }
\]

При этом кратные показатели имеют только простые элементарные делители, что не приводит к логарифмическому ветвлению. В этом

смысле, с точки зрения метода Ковалевской, система (1.19) является подозрительной на интегрируемость. Однако, ни один из необходимых инволютивных дополнительных интегралов до сих пор не найден. В частности, не изучены условия компактности фазовых траекторий системы (1.19) и возможности существования периодических движений. Вообще, вопрос о физическом смысле интегрируемости системы (1.19) является сложным и допускает различные интерпретации в рамках теории гравитации.

Отметим, что приведенные в $[209,222]$ численные исследования системы (1.19) также не позволяют сделать однозначных выводов относительно регулярности или стохастичности ее поведения. Бильярдная интерпретация поведения миксмастерной модели вблизи сингулярности приведена в [263].

Все результаты относительно интегрируемости обобщенной цепочки Тоды (1.1) получены в предположении, что скалярное произведение $(\cdot, \cdot)$ является дефинитным. До сих пор не найдено ни одного общего случая интегрируемости псевдоевклидовой обобщенной цепочки Тоды. Это отчасти связано с тем, что техника корневых систем существенно связана с евклидовостью пространства и не допускает непосредственного обобщения на индефинитный случай.

4. Уравнения Эйлера-Пуанкаре на трехмерной разрешимой алгебре Ли. В заключение рассмотрим уравнения ЭйлераПуанкаре на разрешимых алгебрах Ли для иллюстрации сложной структуры интегралов движения в простых гамильтоновых системах. В работе [69] указан класс разрешимых алгебр, для которых общее решение уравнений Эйлера-Пуанкаре ветвится на комплексной плоскости времени при любом выборе тензора инерции. Однако, в трехмерном случае это не препятствует интегрируемости уравнений движения.

В явном виде уравнения Эйлера — Пуанкаре на трехмерной разрешимой алгебре Ли имеют вид [84, 238]:
\[
\dot{M}_{k}=c_{i k}^{j} \omega^{i} M_{j}, \quad M_{j}=I_{i j} \omega^{i}, \quad i, j,=1,2,3,
\]

где $I_{i j}$ — симметричный «тензор инерции». При этом
\[
\begin{array}{ll}
c_{13}^{1}=-c_{31}^{1}=\alpha, & c_{13}^{2}=-c_{31}^{2}=\beta, \\
c_{23}^{1}=-c_{32}^{1}=\gamma, & c_{23}^{2}=-c_{32}^{2}=\delta .
\end{array}
\]

Будем считать, что $\alpha \delta-\beta \gamma
eq 0$. В работе [238] показано, что в об-

щем случае решение уравнений (1.21) ветвится, и система не является алгебраически интегрируемой.

Скобка Ли-Пуассона, задаваемая структурными константами (1.22), вырождена, ее функция Казимира имеет вид:
\[
F=\left(-\gamma M_{1}^{2}+(\alpha-\delta) M_{1} M_{2}+\beta M_{2}^{2}\right) Y^{Z},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
Y=\frac{-2 \gamma M_{1}+\left(\sqrt{4 \beta \gamma+(\alpha-\delta)^{2}}+(\alpha-\delta)\right) M_{2}}{2 \gamma M_{1}+\left(\sqrt{4 \beta \gamma+(\alpha-\delta)^{2}}-(\alpha-\delta)\right) M_{2}}, \\
Z=\frac{\alpha+\delta}{\sqrt{4 \beta \gamma+(\alpha-\delta)^{2}}} .
\end{array}
\]

В работе [84] показано, что в случае $\alpha \delta-\beta \gamma
eq 0$ система не имеет инвариантной меры с суммируемой плотностью. Однако, наличие двух интегралов движения влечет за собой существование интегрального инварианта, который можно интерпретировать как сингулярную инвариантную меру. Ее плотность $\rho(\mathbf{M})$ имеет довольно сложный вид:
\[
\begin{aligned}
\rho(\mathbf{M})= & -\frac{2 Y^{Z}}{\|f\|^{2}}\left[\left(\alpha M_{1}+\beta M_{2}\right)^{2}\left(a^{2} M_{1}^{2}+c^{2} M_{3}^{2}\right)+\right. \\
& +2 a b M_{1} M_{2}\left(\alpha M_{1}+\beta M_{2}\right)\left(\gamma M_{1}+\delta M_{2}\right)+ \\
& \left.++\left(\gamma M_{1}+\delta M_{2}\right)^{2}\left(b^{2} M_{2}^{2}+c^{2} M_{3}^{2}\right)\right] \\
\|f\|^{2}= & \left(c M_{3}\right)^{2}\left[\left(\alpha^{2}+\gamma^{2}\right) M_{1}^{2}+2(\alpha \beta+\gamma \delta) M_{1} M_{2}+\left(\beta^{2}+\delta^{2}\right) M_{2}^{2}\right]+ \\
& +\left[a \alpha M_{1}^{2}+(a \beta+b \gamma) M_{1} M_{2}+b \delta M_{2}^{2}\right]^{2},
\end{aligned}
\]
a $a, b, c$ — диагональные элементы тензора, обратного тензору инерции.
Отметим, что хотя трехмерная система (1.21) интегрируема в отмеченном выше смысле, ее поведение сильно отличается от характера решений алгебраически интегрируемых систем типа волчка Эйлера-Пуансо. Обсуждая различные определения интегрируемости, Дж. Биркгоф советовал не забывать указание А. Пуанкаре, что система может быть только более или менее интегрируемой [11].

Как правило, в многомерных квазиоднородных гамильтоновых системах ( $n>3$ ) уже не встречается случаев, когда существует сложный (трансцендентный) дополнительный интеграл и система является или

алгебраически интегрируемой или стохастической (многозначный интеграл, указанный в $[34,35]$, относится к системе, которая, видимо, не является гамильтоновой).