В отличие от задач двух и трех вихрей, система четырех вихрей на плоскости в общем случае уже не является интегрируемой $[218,127$, $117]$. На сфере имеет место аналогичная ситуация $[6,14,193]$. Для задачи четырех вихрей на плоскости имеются частные случаи интегрируемости, достаточно полный обзор которых содержится в книге [117]. Известны также частные решения (стационарные и статические конфигурации) системы $n$ вихрей на плоскости [117]. Их сферические аналоги
указаны в [205]. Здесь мы остановимся на наиболее известных решениях с точки зрения методов, развитых в предыдущих параграфах.

1. Частный случай задачи $N$ вихрей, сведение к задаче $(N-1)$ вихрей. Существует частный случай задачи $N$ вихрей на плоскости и сфере, для которого она может быть сведена к системе ( $N-1$ ) вихрей с той же алгеброй скобок Пуассона, но приведенной функцией Гамильтона. Процедура редукции в гамильтоновом описании соответствует ограничению системы на пуассоново подмногообразие ( 1 гл. 1), которое определяется в данном случае условиями инволютивности интегралов $(1.4),(2.10)$. Для плоскости они принимают вид
\[
\sum_{i=1}^{N} \Gamma_{i}=0, \quad Q=P=0, \Rightarrow D=0,
\]

где $Q, P$ – абсолюные координаты центра завихренности на плоскости (1.4). Для сферы аналогично получаем
\[
F_{1}=F_{2}=F_{3}=0, \quad \Leftrightarrow \quad D=D_{\max }=2\left(R \sum \Gamma_{i}\right)^{2} .
\]

Здесь $F_{i}$ интегралы (2.10) для сферических вихрей.

Замечание 1. Геометрический смысл уравнений (5.1) состоит в том, что каждый вихрь находится в центре завихренности всех остальных вихрей. Действительно, выражая, например, $\Gamma_{N}=-\sum_{i=1}^{N-1} \Gamma_{i}$ из (5.1) получаем, что абсолютные координаты $N$-го вихря определяются выражениями
\[
\mathbf{r}_{N}=\frac{\sum_{i=1}^{N-1} \Gamma_{i} \mathbf{r}_{i}}{\sum_{i=1}^{N-1} \Gamma_{i}} .
\]

На сфере геометрический смысл соотношений (5.2) несколько иной, он заключается в том, что центр завихренности системы $N$ вихрей совпадает с геометрическим центром сферы.

Указанное ниже сведение происходит вследствие возможности определения положения $N$ вихрей по положению всего ( $N-1$ )-го вихря.
Для нахождения дополнительных инвариантных соотношений для

относительных переменных воспользуемся тождествами [117]
\[
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} \Gamma_{k}\left(M_{j k}-M_{i k}\right)=P\left(x_{i}-x_{j}\right)+Q\left(y_{i}-y_{j}\right)
\]

для плоскости, которые выполняются лишь при условии $\sum_{i=1}^{N} \Gamma_{i}=0$, и их обобщениями для сферы [205]
\[
\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} \Gamma_{k}\left(M_{j k}-M_{i k}\right)=R\left(F_{1}\left(x_{i}-x_{j}\right)+F_{2}\left(y_{i}-y_{j}\right)+F_{3}\left(z_{i}-z_{j}\right)\right) .
\]

При условиях (5.1), (5.2) получаем $C_{N}^{2}$ инвариантных соотношений для $M_{i j}$
\[
\sum_{k=1}^{N} \Gamma_{k}\left(M_{j k}-M_{i k}\right)=0 .
\]

Их необходимо дополнить соотношениями для $\Delta_{i j k}$, которые также следуют из (5.1), (5.2). Как можно показать непосредственными вычислениями, полный набор этих соотношений определяет пуассоново подмногообразие структур (1.10), (2.14), (2.16).

Используя представление для $M_{i j}$ в абсолютных координатах (1.7), несложно проверить, что среди уравнений (5.5) только $N-1$ линейно независимых. С помощью них можно выразить квадраты расстояний от всех вихрей до $N$-того вихря $-M_{k N}, k=1, \ldots, N-1$ через взаимные расстояния между $N-1$ вихрями $M_{i j}, i, j=1, \ldots, N-1$. Подставляя их затем в исходный гамильтониан, получим систему со скобкой задачи $N-1$ вихря и приведенной функцией Гамильтона.

Для случая четырех вихрей явные формулы квадратов расстояний от первых трех вихрей до четвертого вихря $M_{14}, M_{24}, M_{34}$ имеют вид
\[
\hookrightarrow M_{14}=\frac{\Gamma_{3}^{2} M_{13}+\Gamma_{2}^{2} M_{12}+\Gamma_{2} \Gamma_{3}\left(M_{12}-M_{23}+M_{13}\right)}{\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}+\Gamma_{3}\right)^{2}},
\]

соответствующий приведенный гамильтониан получается подстановкой (5.6) в исходный (1.2).

Так как система трех вихрей интегрируема (вне зависимости от гамильтониана, заданного на алгебре (3.3)), описанный случай соответствует частному случаю интегрируемости задачи четырех вихрей (восходящему к Кирхгофу [74]).

Рис. 50. Фазовый портрет движения четырех вихрей на плоскости с нулевой суммарной интенсивностью для случаев a) $a_{1}
eq a_{2}
eq a_{3}
eq a_{1}$; b) $a_{1}=a_{2}=a_{3}$.

Замечание 2. В работе [233] выполнено понижение порядка и приведены фазовые портреты интегрируемого случая задачи с нулевой суммарной интенсивностью и нулевым суммарным моментом. При этом использована каноническая форма записи уравнений движения. В то же время на симплектическом листе алгебры трех вихрей, определяемом появившемся (вследствие интегрируемости) инвариантным соотношением типа интеграла момента с константой $D_{1}$, имеются стандартные канонические переменные $L, l$. Условие компактности симплектического листа будет иметь очень простую форму –

три вихря из четырех имеют интенсивности одного знака. В компактном случае при различных значениях интенсивностей фазовые портреты представлены на рис. 50, а проекции траекторий на плоскость $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ на рис. 51 . В общей ситуации неравных интенсивностей имеется шесть коллинеарных устойчивых решений и три неколлинеарных неустойчивых. Последние решения обобщают томсоновские конфигурации, однако расстояния между вихрями не равны друг другу. Связь между энергией $E$ и моментом $D_{1}$ для стационарных решений определяетя зависимостью
\[
E=f\left(\Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}\right) D_{1}^{\frac{1}{8 \pi}\left(\Gamma_{1}^{2}+\Gamma_{2}^{2}+\Gamma_{3}^{2}\right),}
\]

где $f\left(\Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}\right)$ – некоторая функция, зависящая от интенсивностей. Бифуркационный анализ, состоящий в нахождении явного вида функции $f\left(\Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}\right)$, может быть выполнен аналогично § 3 .

В случае, если имеются лишь две интенсивности одного знака, симплектический лист некомпактен и могут существовать рассеивающие движения. Регулярное рассеяние, например, возможно в случае взаимодействия двух (вообще говоря, различных) вихревых пар [233] (рис. 53). Насколько нам известно, в общем случае условия коллапса и рассеяния в рассматриваемой задаче не изучены.

Замечание 3. Указанные частные случаи интегрируемости соответствуют ситуации, при которой один из интегралов достигает своего экстремального значения. Очевидно, что при этом в системе обязательно появляются дополнительные инвариантные соотношения. Для интегрируемых систем это приводит к дополнительному вырождению. Примером может служить случай Делоне для волчка Ковалевской. В этом случае интеграл Ковалевской, являющийся суммой двух полных квадратов обращается в ноль, и двумерные торы вырождаются в одномерные (периодические и асимптотические решения).

2. Частные решения в задаче 4-х вихрей. Общие уравнения движения вихрей ( $\S \$ 1,2$ ) при некоторых ограничениях на интенсивности $\Gamma_{i}$ допускает конечную группу симметрий, элементами которой являются перестановки и отражения в некоторых плоскостях. Такие дискретные симметрии не приводят к существованию общих интегралов движения и не позволяют понизить порядок системы. Однако наличие этих симметрий связано с инвариантными подмногообразиями, решение на которых может быть, как правило, получено в квадратуpax [117].

Рассмотрим две задачи динамики четырех вихрей на плоскости и сфере, обладающих двумя типами симметрии – центрально-

Рис. 51. Геометрическая проекция для случая 4 вихрей на плоскости при нулевой суммарной завихренности: а) $a_{1}=a_{2}=a_{3}$; б) $a_{1}=a_{2}
eq a_{3}$; в) $a_{1}
eq a_{2}
eq a_{3}$.

симметричная и зеркально-симметричная (для плоскости также – осесимметричная).

а. Центрально-симметричное решение при $D=0$. Уравнения движения четырех вихрей на сфере ( $\S 2$ ) (плоский случай получается предельным переходом $R \rightarrow \infty$ ) при условии $\Gamma_{1}=\Gamma_{3}, \Gamma_{2}=\Gamma_{4}$ допуска-
ют инвариантные соотношения
\[
\begin{array}{cc}
M_{14}=M_{23}=M_{14}=M_{1}, & M_{12}=M_{34}=M_{3}, \\
\Delta_{234}=\Delta_{124}=\Delta_{1}, & \Delta_{213}=\Delta_{314}=\Delta_{2} .
\end{array}
\]
(Соотношения (5.7) определяют непуассоново подмногообразие).
Геометрический смысл уравнений (5.7) в том, что центральносимметричная конфигурация вихрей – параллелограмм, сохраняет эту симметрию во все моменты времени (см. рис. 52).

Анализ центрально-симметричного решения в абсолютных переменных при помощи явных квадратур выполнен Д.Н.Горячевым [53] (см. также [182]). Однако он мало прояснил качественные свойства движения и привел к очень запутанной классификации. Приведем качественный анализ относительного движения.
Рис. 52
Уравнения, описывающие эволюцию сторон $-M_{1}, M_{3}$ и диагоналей $M_{13}=M_{2}, M_{24}=M_{4}$ параллелограмма, имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{M}_{1}=4 \Gamma_{1} \Delta_{2}\left(\frac{1}{M_{2}}-\frac{1}{M_{3}}\right)+4 \Gamma_{2} \Delta_{1}\left(\frac{1}{M_{4}}-\frac{1}{M_{3}}\right), \\
\dot{M}_{3}=4 \Gamma_{1} \Delta_{2}\left(\frac{1}{M_{1}}-\frac{1}{M_{2}}\right)+4 \Gamma_{2} \Delta_{1}\left(\frac{1}{M_{1}}-\frac{1}{M_{4}}\right), \\
\dot{M}_{2}=8 \Gamma_{2} \Delta_{2}\left(\frac{1}{M_{3}}-\frac{1}{M_{1}}\right), \\
\dot{M}_{4}=8 \Gamma_{1} \Delta_{1}\left(\frac{1}{M_{3}}-\frac{1}{M_{1}}\right) .
\end{array}
\]

Геометрические соотношения (2.19) с учетом (5.7) представим в форме
\[
\begin{array}{l}
\Delta_{1}\left(4 R^{2}-M_{2}\right)+\Delta_{2}\left(4 R^{2}-M_{1}-M_{3}\right)=0, \\
\Delta_{1}\left(4 R^{2}-M_{1}-M_{3}\right)+\Delta_{2}\left(4 R^{2}-M_{4}\right)=0 .
\end{array}
\]

Система (5.9) разрешима относительно $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ при условии
\[
2\left(M_{1}+M_{3}\right)-\left(M_{2}+M_{4}\right)+\frac{1}{4 R^{2}}\left(M_{2} M_{4}-\left(M_{1}+M_{3}\right)^{2}\right)=0 .
\]

Линейный интеграл уравнений (5.8), соответствующий функции Казимира (1.13), имеет вид
\[
D=2 \Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M_{1}+M_{3}\right)+\Gamma_{1}^{2} M_{2}+\Gamma_{2}^{2} M_{4} .
\]

С помощью соотношений (5.9), (5.10), (5.11)
и регуляризации времени система (5.8) может быть сведена к двум неоднородным уравнениям, описывающим эволюцию сторон параллелограмма $M_{1}, M_{3}$.

Для простоты ограничимся случаем $D=0$, являющимся также необходимым условием коллапса [128]. Геометрическая интерпретация на плоскости и сфере несколько отличаются, поэтому рассмотрим эти случаи по отдельности.
1) Соотношения (5.9), (5.10) для плоскости $(R \rightarrow \infty)$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\Delta_{1}=-\Delta_{2}=\Delta, \\
2\left(M_{1}+M_{3}\right)-\left(M_{2}+M_{4}\right)=0 .
\end{array}
\]

Учитывая, что в (5.11) $D=0$, находим уравнение, описывающее траекторию системы на плоскости $M_{1}, M_{3}$ (стороны параллелограмма)
\[
\frac{d M_{1}}{d M_{3}}=-\frac{M_{1}\left(2 \Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M_{1}+M_{3}\right)+\left(\Gamma_{1}^{2}+\Gamma_{2}^{2}\right) M_{3}\right)}{M_{3}\left(2 \Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M_{1}+M_{3}\right)+\left(\Gamma_{1}^{2}+\Gamma_{2}^{2}\right) M_{1}\right)} .
\]

Решение этого уравнения имеет вид
\[
\begin{array}{c}
\left(M_{1}-M_{3}\right)^{2}=\left(M_{1}+M_{3}\right)^{2}-C\left(M_{1}+M_{3}\right)^{-2 \alpha}, \\
\alpha=\frac{\Gamma_{1}^{2}+\Gamma_{2}^{2}}{4 \Gamma_{1} \Gamma_{2}}, \quad C=\mathrm{const} .
\end{array}
\]
(показатель $\alpha<0$, в силу того, что при $D=0$ интенсивности $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ разного знака).

В квадранте $M_{1}>0, M_{2}>0$, (который соответствует физической области), в зависимости от $\alpha$ возможны три типа траекторий (5.14):

$1^{\circ}$. $-1<\alpha<0$ – все траектории замкнуты,
выходят из начала координат, касаясь осей $O M_{1} O M_{2}$ (см. рис. 53, а) (неоднородный коллапс).
$2^{\circ} . \alpha<-1$ – траектории – кривые, асимп-
тотически приближающиеся к координатным осям ( см. рис. $53, \mathrm{~b}$ ).
$3^{\circ} . \alpha=-1$ – все траектории – прямые,
проходящие через начало координат (см. рис. 53, с) (однородный коллапс) $[128]$.
Физическая область на плоскости $M_{1}, M_{3}$
определяется той частью положительного квадранта ( $\left.M_{1}>0, M_{3}>0\right)$, для которой выполнено неравенство $\Delta^{2}>0$. При достижении траекторией границы $\Delta^{2}=0$ в уравнении (5.13), необходимо поменять знак (отразить), это соответствует той же траектории, проходимой в обратном порядке. Как легко показать, уравнение $\Delta^{2}=0$ определяет две прямые на плоскости $M_{1}, M_{3}$, которые при любых интенсивностях $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}$ располагаются внутри квадранта $M_{1}>0, M_{3}>0$. Следовательно, за исключением случая $3^{\circ}$ вихри движутся в ограниченной области без столкновений и разбегания. В случае $3^{\circ}$ в системе либо происходит однородный коллапс всех вихрей, либо однородное разбегание.
Для плоской задачи каждой точке, траектории на плоскости $M_{1}, M_{3}$ соответствуют две конфигурации вих-
рей, которые отличаются лишь перестановкой: $1 \leftrightarrow 3$, либо $2 \leftrightarrow 4$ (см. рис. 52).

Замечание 4. Условие однородного коллапса
$(\alpha=-1$ ) из анализа движения в абсолютных переменных получено в [128]. В силу квазиоднородности уравнений его можно получить, исследуя условия существования у системы решений вида $M_{i}=C_{i} t^{\xi}, C_{i}=$ const.

Замечание 5. Для плоскости система (5.8)
при помощи регуляризации
\[
d \tau=\frac{4 \Delta}{M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}} d t
\]

приводится к однородной гамильтоновой системе
\[
\begin{aligned}
\frac{d M_{1}}{d \tau} & =\Gamma_{1} M_{1} M_{4}\left(M_{3}-M_{2}\right)+\Gamma_{2} M_{1} M_{2}\left(M_{4}-M_{3}\right), \\
\frac{d M_{3}}{d \tau} & =\Gamma_{1} M_{3} M_{4}\left(M_{2}-M_{1}\right)+\Gamma_{2} M_{2} M_{3}\left(M_{1}-M_{3}\right), \\
\frac{d M_{2}}{d \tau} & =2 \Gamma_{2} M_{2} M_{4}\left(M_{1}-M_{3}\right), \\
\frac{d M_{4}}{d \tau} & =2 \Gamma_{1} M_{2} M_{4}\left(M_{3}-M_{1}\right)
\end{aligned}
\]

со скобкой Пуассона вида
\[
\begin{array}{ll}
\left\{M_{1}, M_{2}\right\}=\frac{1}{\Gamma_{1}} M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}, & \left\{M_{1}, M_{3}\right\}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\Gamma_{1}}-\frac{1}{\Gamma_{2}}\right) M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}, \\
\left\{M_{2}, M_{3}\right\}=\frac{1}{\Gamma_{1}} M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}, & \left\{M_{1}, M_{4}\right\}=-\frac{1}{\Gamma_{2}} M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}, \\
\left\{M_{2}, M_{4}\right\}=0, & \left\{M_{3}, M_{4}\right\}=\frac{1}{\Gamma_{2}} M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}
\end{array}
\]

и гамильтонианом
\[
H=2 \Gamma_{1} \Gamma_{2} \ln M_{1}+\Gamma_{1}^{2} \ln M_{2}+2 \Gamma_{1} \Gamma_{2} \ln M_{3}+\Gamma_{2}^{2} \ln M_{4} .
\]

Пуассонову структуру (5.15) можно получить, используя общую схему редукции, изложенную в $\S 8$ гл. 1. Ранг скобки (5.15) равен двум, следовательно, поделив на $M_{1} M_{2} M_{3} M_{4}$, ее можно свести к постоянной без нарушения тождества Якоби.
2) Для центрально-симметричной конфигурации на сфере также рассмотрим проекцию траекторий на плоскость $M_{1}, M_{3}$ (см. рис. 54). Помимо того, что меняется вид физической области, определяемой неравенствами $\Delta_{i}^{2}>0, i=1,2$, возникают

два отличия от плоского случая, связанные с нелинейностью уравнения (5.10). Во-первых, каждой точке $M_{1}, M_{3}$ соответствуют два решения уравнения (5.10), и следовательно два различных (пространственных) параллелограмма с заданными сторонами на сфере, которые не сводятся друг к другу перестановкой $1 \rightarrow 3(2 \rightarrow 4)$. Во-вторых, система (5.8) не сводится к двум квазиоднородным уравнениям.

Выразим $\Delta_{1}$ и $\Delta_{2}$ из (5.9) с coxранением однородности
\[
\Delta_{1}=\left(M_{4}-M_{1}-M_{3}\right) \Delta, \quad \Delta_{2}=\left(M_{2}-M_{1}-M_{3}\right) \Delta .
\]

и сделаем замену
\[
d t=\frac{4 \Delta}{M_{1} M_{3}} d \tau .
\]

Получается система, описывающая эволюцию переменных $M_{1}, M_{2}$, $M_{3}, M_{4}$
\[
\begin{aligned}
M_{1}^{\prime}= & M_{1}\left(\Gamma_{1} \frac{\left(M_{2}-M_{1}-M_{3}\right)\left(M_{3}-M_{2}\right)}{M_{2}}+\right. \\
& \left.+\Gamma_{2} \frac{\left(M_{4}-M_{1}-M_{3}\right)\left(M_{3}-M_{4}\right)}{M_{4}}\right), \\
M_{3}^{\prime}= & M_{3}\left(\Gamma_{1} \frac{\left(M_{2}-M_{1}-M_{3}\right)\left(M_{2}-M_{1}\right)}{M_{2}}+\right. \\
& \left.+\Gamma_{2} \frac{\left(M_{4}-M_{1}-M_{3}\right)\left(M_{4}-M_{1}\right)}{M_{4}}\right), \\
M_{2}^{\prime}= & 2 \Gamma_{2}\left(M_{2}-M_{1}-M_{3}\right)\left(M_{1}-M_{3}\right), \\
M_{4}^{\prime}= & 2 \Gamma_{1}\left(M_{4}-M_{1}-M_{3}\right)\left(M_{1}-M_{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Приведем линейную замену перемен-
ных, сводящую систему (5.17) к двум дифференциальным уравнениям в наиболее простой форме.
Выберем переменные $x, y, M, N$ :
\[
\begin{aligned}
x & =\Gamma_{1} M_{2}+\Gamma_{2} M_{4}, & y & =\Gamma_{1}^{2} M_{2}-\Gamma_{2}^{2} M_{4}, \\
M & =M_{1}+M_{3}, & N & =M_{1}-M_{3} .
\end{aligned}
\]

С помощью соотношения (5.11) при $D=0$ и (5.10), которое принимает вид
\[
x=-\frac{y^{2}}{16 R^{2} \Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)},
\]

исключим $x, M$ из (5.17). В результате получаются уравнения для эволюции $y, N$
\[
\begin{aligned}
\frac{d y}{d \tau}= & 4\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right) y N \\
\frac{d N}{d \tau}= & -\frac{1}{4\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)^{3} \Gamma_{1}^{2} \Gamma_{2}^{2}}\left[\frac { 2 k y – \Gamma _ { 1 } ( \Gamma _ { 1 } + \Gamma _ { 2 } ) } { \Gamma _ { 2 } ( k y – \Gamma _ { 1 } ( \Gamma _ { 1 } + \Gamma _ { 2 } ) ) } \left(4 \Gamma_{1}^{3} \Gamma_{2}^{2}\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)^{4} N^{2}-\right.\right. \\
& \left.-y^{2}\left(2 k y-\Gamma_{1}^{2}+\Gamma_{2}^{2}\right)\left(2 k y\left(\Gamma_{1}+2 \Gamma_{2}\right)-\Gamma_{1}\left(\Gamma_{1}+3 \Gamma_{2}\right)\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)\right)\right)+ \\
& +\frac{2 k y+\Gamma_{2}\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)}{\Gamma_{1}\left(k y+\Gamma_{2}\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)\right)}\left(4 \Gamma_{1}^{2} \Gamma_{2}^{3}\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)^{4} N^{2}-\right. \\
& \left.\left.-y^{2}\left(2 k y-\Gamma_{1}^{2}+\Gamma_{2}^{2}\right)\left(2 k y\left(\Gamma_{2}+2 \Gamma_{1}\right)+\Gamma_{2}\left(\Gamma_{2}+3 \Gamma_{1}\right)\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)\right)\right)\right]
\end{aligned}
\]

Проекция траектории $y(t), N(t)$ на
плоскость $M_{1}, M_{3}$ определяется формулами $M_{1}=\frac{1}{2}(M+N), M_{3}=$ $\frac{1}{2}(M-N)$, где
\[
M=\frac{\Gamma_{2}-\Gamma_{1}}{2 \Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)} y+\frac{y^{2}}{16 R^{2} \Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)^{2}}, \quad\left(\Gamma_{1} \Gamma_{2}<0\right) .
\]

Уравнение (5.21) допускает вещественные решения лишь при $M \leqslant$ $\leqslant M_{\max }=-\frac{\left(\Gamma_{1}-\Gamma_{2}\right)^{2}}{\Gamma_{1} \Gamma_{2}} R^{2}$. Поэтому в случае сферы физически доступная область на плоскости определяется неравенствами
\[
\begin{array}{c}
M_{1}+M_{3} \leqslant M_{\max }, \\
4 \Delta_{1}^{2}=2\left(M_{1} M_{4}+M_{3} M_{4}+M_{1} M_{3}\right)- \\
-M_{1}^{2}-M_{3}^{2}-M_{4}^{2}-\frac{1}{R^{2}} M_{1} M_{3} M_{4}>0 \\
4 \Delta_{2}^{2}=2\left(M_{1} M_{2}+M_{3} M_{2}+M_{1} M_{3}\right)- \\
-M_{1}^{2}-M_{3}^{2}-M_{2}^{2}-\frac{1}{R^{2}} M_{1} M_{3} M_{2}>0 .
\end{array}
\]

В области (5.22) уравнение (5.21) име-
ет два корня, поэтому на плоскость $M_{1}, M_{3}$ проектируются две различные области возможных расположений вихрей, определяемые неравенствами (5.23) и уравнениями (5.21). Если области (5.23) не достигают
прямой $M_{1}+M_{3}=M_{\max }$, то точка, начиная двигаться внутри одной области, остается там во все моменты времени. При достижении границ $\left(\Delta_{i}=0\right)$ необходимо сменить знак времени, и траектория проходится в обратном направлении. В случае, когда прямая $M_{1}+M_{3}=M_{\max }$ проходит внутри областей (5.23), траектория, достигая ее, переходит из одной области в другую и описывается другим решением уравнения (5.21). Характерной особенностью фазовых портретов в случае сферы является появление новой неподвижной точки, отсутствующей в плоском случае. В случае выполнения второго необходимого условия коллапса ( $\Gamma_{1}^{2}+\Gamma_{2}^{2}=-4 \Gamma_{1} \Gamma_{1}$ ), как видно из рис. 54 , с, часть траекторий, выходящих из начала координат, вновь попадает туда не достигая границы области (коллинеарных положений), а часть только после ее достижения. Это означает, что коллапс остается однородным лишь вблизи начала координат.

b. Зеркально-симметричное решение. Для системы двух взаимодействующих вихревых пар $\Gamma_{1}=-\Gamma_{4}, \Gamma_{2}=-\Gamma_{3}$ общая система четырех вихрей на сфере и на плоскости также допускает инвариантные соотношения
\[
\begin{array}{ll}
M_{12}=M_{34}=M_{1}, & M_{13}=M_{24}=M_{3}, \\
\Delta_{123}=\Delta_{234}=\Delta_{1}, & \Delta_{124}=\Delta_{134}=\Delta_{2} .
\end{array}
\]

Геометрический смысл этих уравнений заключается в том, что вихри, расположенные в начальный момент в вершинах трапеции, образуют трапецию во все время движения (см. рис. 55). Данная конфигурация
обладает зеркальной (осевой) симметрией. Уравнения, описывающие эволюцию сторон и диагоналей трапеции, имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{M}_{1}=4 \Gamma_{2} \Delta_{1}\left(\frac{1}{M_{4}}-\frac{1}{M_{3}}\right)+4 \Gamma_{1} \Delta_{2}\left(\frac{1}{M_{2}}-\frac{1}{M_{3}}\right), \\
\dot{M}_{3}=4 \Gamma_{2} \Delta_{1}\left(\frac{1}{M_{4}}-\frac{1}{M_{1}}\right)+4 \Gamma_{2} \Delta_{2}\left(\frac{1}{M_{2}}-\frac{1}{M_{1}}\right), \\
\dot{M}_{2}=8 \Gamma_{2} \Delta_{2}\left(\frac{1}{M_{1}}-\frac{1}{M_{3}}\right) \\
\dot{M}_{4}=8 \Gamma_{1} \Delta_{1}\left(\frac{1}{M_{1}}-\frac{1}{M_{3}}\right) .
\end{array}
\]

Здесь $M_{2}=M_{14}, M_{4}=M_{23}$ – основания трапеции.
Геометрические соотношения между $M, \Delta$ (2.19) в данном случае имеют одинаковую форму на плоскости и сфере:
\[
\begin{array}{l}
\Delta_{1} M_{4}+\Delta_{2}\left(M_{3}-M_{1}\right)=0, \\
\Delta_{1}\left(M_{3}-M_{1}\right)+\Delta_{2} M_{2}=0,
\end{array}
\]

и условие разрешимости
\[
M_{2} M_{4}-\left(M_{1}-M_{3}\right)^{2}=0 .
\]

Интеграл момента (3.10) имеет вид:
Рис. 55
\[
D=2 \Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(M_{1}-M_{3}\right)-\Gamma_{1}^{2} M_{4}-\Gamma_{2}^{2} M_{2} .
\]

Из уравнений (5.25), (5.26), (5.27) следует, что траектория системы в пространстве $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ совпадает для динамики вихрей на плоскости и сфере. Различие между этими задачами заключается в виде физических областей, определяемых неравенствами (5.23).
С помощью уравнений (5.26) выразим $\Delta_{1}, \Delta_{2}$ по формулам
\[
\Delta_{1}=\left(M_{2}-M_{1}+M_{3}\right) \Delta, \quad \Delta_{2}=-\left(M_{4}-M_{1}+M_{3}\right) \Delta,
\]

и исключим $\Delta$ с помощью регуляризующей замены времени
\[
d t=\frac{4 \Delta}{M_{1} M_{3}} d \tau .
\]

Для того, чтобы привести регуляризованные уравнения к системе двух уравнений, выполним замену (5.18). Вследствие существования интеграла момента, между переменными $x, y$ выполнено соотношение
\[
\frac{4 \Gamma_{1} \Gamma_{2}}{\Gamma_{1}+\Gamma_{2}} D x+y^{2}+\frac{2\left(\Gamma_{1}-\Gamma_{2}\right)}{\Gamma_{1}+\Gamma_{2}} D y+D^{2}=0 .
\]

Используя (5.29) и уравнение (5.27), находим
\[
N=-\frac{y^{2}}{4 \Gamma_{1} \Gamma_{2} D}+\frac{D}{4 \Gamma_{1} \Gamma_{2}} .
\]

При $D
eq 0$ из соотношений (5.28), (5.29) и (5.30) все $M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4}$ могут быть выражены через $M, y$. Для переменных $M, y$ получим уравнения вида:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d y}{d \tau}=\frac{\left(y^{2}-D^{2}\right)\left(y\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)+D\left(\Gamma_{1}-\Gamma_{2}\right)\right)}{4 \Gamma_{1} \Gamma_{2} D}, \\
\frac{d M}{d \tau}=\frac{1}{32 D^{2} \Gamma_{1} \Gamma_{2}^{3}(D-y)}\left(D\left(\Gamma_{2}-\Gamma_{1}\right)-y\left(\Gamma_{2}+\Gamma_{1}\right)\right)\left(16 D^{2} \Gamma_{1}^{2} \Gamma_{2}^{2} M^{2}+\right. \\
\left.+8(D-y)^{2} D \Gamma_{2}^{2} M-\left(D^{2}-y^{2}\right)^{2}\right) \\
-\frac{1}{32 D^{2} \Gamma_{1}^{3} \Gamma_{2}(D+y)}\left(D\left(\Gamma_{2}-\Gamma_{1}\right)-y\left(\Gamma_{2}+\Gamma_{1}\right)\right)\left(16 D^{2} \Gamma_{1}^{2} \Gamma_{2}^{2} M_{2}+\right. \\
\left.+8(D+y)^{2} D \Gamma_{1}^{2} M-\left(D^{2}-y^{2}\right)^{2}\right) . \\
\end{array}
\]

По аналогии с центрально-симметричным решением, рассмотрим проекцию траектории на плоскость $M_{1}, M_{3}$. Физическая область помимо неравенств (5.23) определяется дополнительным условием (следствием соотношением (5.30)
\[
D\left(D-4 \Gamma_{1} \Gamma_{2} N\right)>0 .
\]

В каждую точку на плоскости $M_{1}, M_{3}$, удовлетворяющей неравенствам (5.23), (5.32), проектируются две различные точки фазового пространства (два решения уравнения (5.30)). Это можно более наглядно представить себе, если считать, что по линии $M_{1}-M_{3}=N_{0}$ склеены две различные области, определенные неравенством (5.23). При достижении точкой границы $\Delta_{i}=0$, она отражается обратно и движется по

той же траектории, а при достижении границы (5.32) точка переходит из одной области в другую (см. рис. $56, \mathrm{a}, 56, \mathrm{~b}$ ).
Рис. 56
На рисунках мы для удобства развернули области, склеенные по

линии $M_{1}-M_{3}=N_{0}$, где $N_{0}$ – корень уравнения (5.32). Отличие плоскости от сферы проявляется в виде физических областей. Для плоскости (см. рис. 56, а) существуют 2 типа траекторий:

1. траектории, касающиеся один раз границы $\Delta_{i}=0$ и уходящие на бесконечность;
2. траектории, заключенные между границами $\Delta_{i}=0$.

Этим случаям соответствуют различные движения вихрей: в первом случае вихри разбегаются, проходя лишь один раз через коллинеарную конфигурацию, во втором – вихревые пары попеременно подходят друг через друга (чехарда Гельмгольца), оставаясь на ограниченном расстоянии. Для сферы существуют только траектории второго типа. Анализ чехарды на плоскости проведен другим методом в [117].

Приведем также для полноты уравнения движения и геометрическую интерпретацию при нулевом моменте $D=0$, (необходимое условие коллапса [128]).

Согласно (5.29) в этом случае $y=0$, и все взаимные расстояния $M_{1}, \ldots, M_{4}$ могут быть выражены через переменные $x, M$ по формулам
\[
\begin{array}{c}
M_{2}=\frac{\Gamma_{2} x}{\Gamma_{1}\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)}, \quad M_{4}=\frac{\Gamma_{1} x}{\Gamma_{2}\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)}, \quad N=\frac{x}{\Gamma_{1}+\Gamma_{2}}, \\
M_{1}=\frac{1}{2}(M+N), \quad M_{3}=\frac{1}{2}(M-N) .
\end{array}
\]

Уравнения движения для $m=\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right) M$ и $x$ имеют вид
\[
\begin{aligned}
\frac{d x}{d \tau} & =-2 x^{2}, \\
\frac{d m}{d \tau} & =\frac{1}{2}\left(\frac{\Gamma_{1}}{\Gamma_{2}}+\frac{\Gamma_{2}}{\Gamma_{1}}\right) m^{2}-2 x m-\frac{1}{2}\left(\frac{\Gamma_{1}}{\Gamma_{2}}+\frac{\Gamma_{2}}{\Gamma_{1}}\right) x^{2} .
\end{aligned}
\]

Траектория, определяемая системой (5.33), находится из уравнения
\[
m=x \frac{C x^{4 / a}-1}{C x^{4 / a}-1}, \quad a=\frac{1}{2}\left(\frac{\Gamma_{1}}{\Gamma_{2}}+\frac{\Gamma_{2}}{\Gamma_{1}}\right),
\]

где $C$ – константа интегрирования. Уравнение, определяющее вид области $\left(\Delta_{i}>0\right)$ на плоскости $m, x$ имеет вид
\[
\Gamma_{1} \Gamma_{2}\left(x(m-a x)-\frac{\left(m^{2}-x^{2}\right) x}{8 R^{2}\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)^{2}}\right)>0 .
\]

Анализируя (5.34), (5.35) вблизи начала координат $m=x=0$, можно заключить, что для зеркальносимметричного решения одновременный коллапс четырех вихрей невозможен.

Разобранные выше интегрируемые системы вихревой динамики допускают достаточно полный анализ с помощью качественного исследования динамических систем на плоскости. В то же время применение для них классических методов явного решения с помощью теории специальных (абелевых) функций приводит к очень громоздским выражениям, не позволяющим составить какого-либо представления о реальном движении [52].

3. Стационарные и статические вихревые конфигурации.

a. Стационарные конфигурации. Приведенные в $\S \S 1,2$ формы уравнений динамики вихрей на плоскости и на сфере могут быть использованы для нахождения стационарных конфигураций, являющихся частными решениями уравнений движения. При этом вихри в некоторой вращающейся системе координат являются неподвижными.

Условиями стационарности вихревых конфигураций являются требования сохранения $N(N-1) / 2$ взаимных расстояний: $\dot{M}_{i j}=0$. В относительных переменных они имеют одну и ту же форму, как для конфигураций на плоскости, так и на сфере:
\[
\sum_{l=1}^{N}\left(\frac{1}{M_{i l}}-\frac{1}{M_{j l}}\right) \Gamma_{l} \Delta_{i j l}(M)=0 .
\]

Значения $\Delta_{i j k}(M)$ фиксированы функциями Казимира (1.12) и (2.17). Большинство известных стационарных конфигураций вихрей на плоскости содержится в Лос-Аламосском каталоге (см. [216]). В нем собраны частные решения, найденные с помощью компьютерных расчетов, когда вихри располагаются не только на одной, но и на нескольких концентрических окружностях – «атомных оболочках» по терминологии Кельвина. Стационарные конфигурации на сфере с такой общностью еще не изучены.

Условия стационарности (5.36) очень наглядны для нахождения симметричных конфигураций [117]. На плоскости такое решение представляет собой конфигурацию $N$ вихрей одинаковой интенсивности $\Gamma$, располагающихся в вершинах правильного многоугольника, вписанного

в окружность радиуса $R_{0}$. Система вращается с угловой скоростью
\[
\Omega=\frac{\Gamma(N-1)}{4 \pi R_{0}^{2}} .
\]

За исследование таких конфигураций Дж. Дж. Томсон был удостоен премии Адамса в 1883 г. [328]. Эти решения легли в основу пропагандировавшейся В. Кельвином (до создания квантовой механики) теории вихревых атомов. Аналогичная конфигурация вихрей равной интенсивности на сфере радиуса $R$ располагается, согласно уравнениям (2.7), на широте $\theta=\theta_{0}$, координаты $\varphi$ связаны условиями: $\varphi_{k}-\varphi_{i}=(k-i) 2 \pi / N$ (см. рис. 57). Угловая скорость вращения вокруг оси $z$ :
\[
\Omega=\frac{\Gamma(N-1)}{4 \pi R^{2}} \cos \theta_{0} .
\]

Интересно, что угловая скорость цепочки вихрей убывает от полюсов к экватору, и на экваторе конфигурация становится статической.

Замечание 6. Для плоских конфигураций вопрос об устойчивости в линейном приближении был решен еще Томсоном, который показал, что такая конфигурация при $N \leqslant 6$ будет устойчивой, а при $N \geqslant 7$ – неустойчивой (теорема Томсона). Анализ устойчивости в нелинейном приближении с использованием нормализации Биркгофа был проведен в [158]. Оказалось, что теорема Томсона является справедливой в точной постановке – в смысле устойчивости по Ляпунову. Обобщение этих результатов на случай сферы представляет собой содержательную и интересную проблему (см. приложение G).

Следующее решение системы (5.36) коллинеарные конфигурации: $N$ одинаковых вихрей на прямой вращаются с угловой Рис. 57 скоростью $\Omega$ вокруг оси, лежащей в плоскости. Такого рода коллинеарные конфигурации восходят еще к Стилтьесу [117] и изучались Калоджеро [213]. На сфере радиуса $R$ коллинеарная конфигурация вращается вокруг оси $z$ с угловой скоростью $\Omega$ (см. рис. 58).

Коллинеарные конфигурации на сфере указаны в [205]. Их можно найти, используя следующее условие – координаты $\varphi_{i}$ точечных вихрей имеют равные значения, или отличаются на $\pi$. При этом $\Delta_{i j l}(M)=$ $=0$, а координаты $\theta_{i}(0 \leqslant \theta<2 \pi)$ являются корнями системы тригонометрических уравнений:
\[
4 \pi R^{2} \Omega \sin \theta_{k}=\sum_{i=1}^{N}{ }^{\prime} \Gamma_{i} \operatorname{ctg}\left(\frac{\theta_{k}-\theta_{i}}{2}\right), \quad(1 \leqslant k \leqslant N) .
\]

Рассмотрим более подробно систему вихрей равной интенсивности $\Gamma_{k}=1, k=1, \ldots, N$. В этом случае корни $\theta_{i}$, определяющие коллинеарные конфигурации, можно найти как положения равновесия системы $N$ частиц на окружности, задаваемой гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{N} p_{k}^{2}+4 \pi R^{2} \Omega \sum_{k=1}^{N}{ }^{\prime} \cos \theta_{k}+\sum_{i, k=1}^{N} \ln \left|\sin \left(\frac{\theta_{k}-\theta_{i}}{2}\right)\right| .
\]

Рис. 58
Действительно, положения равновесия такой цепочки частиц совпадают с корнями системы (5.39). Такая связь в плоском случае была отмечена Калоджеро [213]. Положения одинаковых вихрей на прямой в плоском случае задаются нулями полинома Эрмита $N$-ой степени. Система (5.40) при $\Omega=0$ рассматривалась в работах [230] при изучении статистических свойств уровней энергии одномерного классического кулоновского газа. В книге [137] приведены результаты анализа положений равновесия системы (5.40) при $\Omega=0: \theta_{i}=\theta_{0}+k \pi / N$, $k=1, \ldots, N$ на линейную устойчивость.
Отметим, что задача, определяемая гамильтонианом (5.40), в общем случае не является интегрируемой (как и в плоском случае [213]). На рис. 59 приведен фазовый портрет отображения Пуанкаре при $N=2, \Omega
eq 0$. Наличие областей стохастичности свидетельствует о неинтегрируемости гамильтоновых уравнений движения (5.40).

Случай же цепочки «атомов» на окружности без «внешнего» потенциального поля ( $\Omega=0)$, взаимодействующих по закону (5.40), положения равновесия которых совпадают со статической коллинеарной конфигурацией вихрей на меридиане, заслуживает особого рассмотРис. 59 рения. Более подробно вопрос о интегрируемости системы (5.40), называемой также системой Дайсона, обсуждаются в приложении $E$. Оно оказывается также неинтегрируемой, но обладает «квазиинтегралом», хорошо аппрогсимирующим поведение системы при малых значениях энергии.

b. Статические конфигурации. Можно показать из условий (5.36), что конфигурации вихрей равной интенсивности, формирующие платоновы тела (правильные многогранники: тетраэдр, октаэдр, куб, икосаэдр, додекаэдр) $[47,50]$, также являются стационарными. Из соображений симметрии очевидно, что платоновы тела статичны, то есть не вращаются. Действительно, произвольное расположение вихрей на сфере задает начальные условия в фазовом пространстве (задачу Коши). В рассматриваемом случае угловая скорость вращения платонова тела будет равна нулю в силу отсутствия выделенной оси вращения. Заметим, что на плоскости не существует статических конфигураций из вихрей равной интенсивности [117].

Замечание. Интересной, но и достаточно сложной, является проблема устойчивости статических конфигураций на сфере. Даже

Рис. 60

в случае интегрируемой ситуации трех вихрей вопрос об их устойчивости не может быть решен до конца в линейном приближении, вследствие наличия резонанса с нулевой частотой. Было бы интересно исследовать степень устойчивости пространственных статических конфигураций (например тетраэдр,

в случае четырех вихрей) по сравнению с плоской конфигурацией (четыре вихря, расположенные в вершинах квадрата).

Очевидно, все эти вопросы имеют важное значение для физики атмосферы. Условия существования устойчивых стационарных (статических) конфигураций, найденных для модели идеальной жидкости, справедливы и при наличии небольшой вязкости (эта модель является хорошим приближением для атмосферы Земли). Вихри (циклоны, смерчи) будут стремиться попасть в эти состояния и находиться в них достаточно долго. Если в электростатике запрет на существование устойчивых конфигураций зарядов накладывается в трехмерном случае теоремой Ирншоу, то вопрос о возможности устойчивых статических конфигураций вихрей произвольных интенсивностей на сфере остается пока открытым.

Кельвин разрабатывал вихревую статику, развивая концепцию плоских вихревых атомов [329]. Трудно сказать, знал ли он о сферических конфигурацях, но несомненно они ближе к наглядным представлениям Демокрита об атомах.