Наличие циклических координат в канонических уравнениях движения позволяет выполнить понижение порядка по Раусу и получить приведенную систему. На алгебраическом уровне соответствующая процедура редукции приводит к понижению ранга пуассоновой структуры. При этом число уровней, описывающих систему, как правило, также уменьшается и они более удобны для дальнейшего исследования. Рассмотрим два случая возможной редукции для кватернионных уравнений (2.9).

1. Редукция по углу прецессии. Покажем, как получаются уравнения Эйлера-Пуассона (см. §1 гл. $1, \S 1$ гл. 2) из общих кватернионных уравнений (2.9).

В случае осевой симметрии силового поля уравнения движения (2.9) допускают первый интеграл – интеграл площадей $F=$ $=(\mathbf{M}, \gamma)$. При этом единичный вектор $\gamma$, направленный вдоль оси симметрии силового поля, выражается через компоненты кватернионов $\lambda, \lambda_{0}$ по формулам (2.6):
\[
\begin{array}{c}
\gamma_{1}=2\left(\lambda_{1} \lambda_{3}-\lambda_{2} \lambda_{0}\right), \quad \gamma_{2}=2\left(\lambda_{2} \lambda_{3}+\lambda_{0} \lambda_{1}\right), \\
\gamma_{3}=-\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}+\lambda_{0}^{2}+\lambda_{3}^{2} .
\end{array}
\]

В качестве новых переменных, определяющих редуцированную скобку Пуассона, необходимо взять первые интегралы (см. §8 гл. 1) потока, порожденного гамильтонианом $F$.
Подставляя в (2.9) $H=F$ получим систему уравнений
\[
\dot{\mathrm{M}}=0, \quad \dot{\lambda}_{0}=-\frac{1}{2} \lambda_{3}, \quad \dot{\lambda}_{1}=-\frac{1}{2} \lambda_{2}, \quad \dot{\lambda}_{2}=\frac{1}{2} \lambda_{1}, \quad \dot{\lambda}_{3}=\frac{1}{2} \lambda_{0} .
\]

Легко видеть, что компоненты векторов $\mathbf{M}, \gamma$ определяют замкнутую систему интегралов уравнений (5.2) и образуют алгебру $e(3)$.

Гамильтониан в случае осесимметричного силового поля также выражается через $\mathbf{M}, \gamma$, и на общем уровне функций Казимира $(\mathbf{M}, \gamma)=c$ и $(\gamma, \gamma)=1$ система сводится к системе с двумя степенями свободы (ранг падает на две единицы).

Несложно проверить, что отображение (5.1) задает известное расслоение Хопфа [61] трехмерной сферы $S^{3}$ на окружности с базой – двумерной сферой $S^{2}$.

Локальное проведение описанной процедуры соответствует редукции Рауса исключения переменной $\psi$ (угла прецессии) и получении системы на сфере Пуассона, параметризованной углами $\vartheta, \varphi$.

В данном примере редуцированная скобка также является линейной и определяется алгеброй Ли $e(3)$. Однако, возможны симметрии, приводящие к нелинейной скобке Пуассона.

2. Редукция по переменной $\psi \pm \varphi$. Нелинейная алгебра скобок Пуассона. Рассмотрим случай, когда циклической переменной является переменная $\psi-\varphi$ (или аналогично $\psi+\varphi$ ). Это возможно, если потенциальная энергия зависит лишь от переменных $\vartheta, \psi+\varphi$ и, кроме того, тело обладает осью динамической симметрии. В этом случае гамильтониан можно записать в виде
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}\right)+U(\theta, \varphi+\psi), \quad a \in \mathbb{R},
\]

а соответствующий координате $\psi-\varphi$ циклический интеграл примет вид
\[
F=(\mathbf{M}, \gamma)-M_{3},
\]

где компоненты $\gamma$ выражаются по формулам (5.1). Геометрический смысл интеграла (5.4), обусловленный аналогией между движением шарового волчка и материальной точки на $S^{3}$, обсуждается в $\S 1$ гл. 3 . Уравнения (2.9) с гамильтонианом (5.4) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{M}_{1}=-M_{2}, \quad \dot{M}_{2}=M_{1}, \quad \dot{M}_{3}=0, \\
\dot{\lambda}_{0}=0, \quad \dot{\lambda}_{1}=-\lambda_{2}, \quad \dot{\lambda}_{2}=\lambda_{1}, \quad \dot{\lambda}_{3}=0 .
\end{array}
\]

Несложно проверить, что уравнения (5.5) допускают следующие интегралы движения
\[
\begin{array}{c}
p_{1}=M_{1} \lambda_{1}+M_{2} \lambda_{2}, \quad p_{2}=M_{2} \lambda_{1}-M_{1} \lambda_{2}, \quad p_{3}=\mp M_{3} \sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}}, \\
s_{1}=\lambda_{3}, \quad s_{2}=\lambda_{0}, \quad s_{3}= \pm \sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}},
\end{array}
\]

образующие замкнутую квадратичную алгебру.
\[
\begin{array}{l}
\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=\frac{1}{2} \varepsilon_{i j k}\left(s_{k} p_{3}+s_{3} p_{k}\right), \\
\left\{p_{i}, s_{j}\right\}=\frac{1}{2} \varepsilon_{i j k} s_{k} s_{3}, \\
\left\{s_{i}, s_{j}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Скобка Пуассона (5.7) является вырожденной и обладает двумя функциями Казимира
\[
F_{1}=(\mathbf{s}, \mathbf{s}), \quad F_{2}=(\mathbf{s}, \mathbf{p})=(\mathbf{M}, \gamma)-M_{3} .
\]

На их общем уровне система сводится к обычной гамильтоновой системе с двумя степенями свободы.
Гамильтониан (5.3) в переменных p, s принимает вид
\[
H=\frac{1}{2} \frac{p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+a p_{3}^{2}}{s_{3}^{2}}+U(\mathbf{s}) .
\]

Формулы (5.6) для $s_{i}$ задают двузначное отображение $S^{3} \rightarrow S^{2}$, которое определяет слоение трехмерной сферы на орбиты потока (5.5), не совпадающее с расслоением Хопфа (и даже не являющееся расслоением). Двум различным точкам $S^{2}:\left(s_{1}, s_{2}, s_{3}\right),\left(s_{1}, s_{2},-s_{3}\right)$ соответствует одна и та же орбита системы (5.5). Исключение составляют точки экватора $s_{3}=0$ : каждой из них соответствует своя орбита на $S^{3}$, которая в данном случае вырождается в точку.

Для геометрической интерпретации рассмотрим стереографическую проекцию трехмерной сферы $S^{3}$ на $\mathbb{R}^{3}$, задаваемую формулами
\[
x_{1}=\frac{\lambda_{3}}{1-\lambda_{1}}, \quad x_{2}=\frac{\lambda_{0}}{1-\lambda_{1}}, \quad x_{3}=\frac{\lambda_{2}}{1-\lambda_{1}} .
\]

При этом траектории системы (5.5), задаваемые интегралами $\mathrm{s}=\mathrm{const}$ перейдут в окружности (рис. 3)
\[
\begin{array}{l}
s_{1}^{2} x_{3}^{2}+\left(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}\right)\left(x_{1}-\frac{s_{1}}{1-s_{3}^{2}}\right)^{2}=\frac{s_{1}^{2} s_{3}^{2}}{1-s_{3}^{2}}, \\
s_{2}^{2} x_{3}^{2}+\left(s_{1}^{2}+s_{2}^{2}\right)\left(x_{2}-\frac{s_{2}}{1-s_{3}^{2}}\right)^{2}=\frac{s_{2}^{2} s_{3}^{2}}{1-s_{3}^{2}} .
\end{array}
\]

Двузначное отображение $S^{3} \longrightarrow S^{2}$ (5.6) можно рассматривать как сопоставление каждой траектории пары точек на сфере $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1$ (исключение составляют точки экватора).

В векторном виде уравнения движения редуцированной системы в переменных $\mathbf{p}, \mathbf{s}$ с учетом замены времени $t \rightarrow \frac{1}{2} t$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{\mathbf{p}}=p_{3} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}} \times \mathbf{s}+s_{3} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}} \times \mathbf{p}+s_{3} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{s}} \times \mathbf{s}, \\
\dot{\mathbf{s}}=s_{3} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}} \times \mathbf{s} .
\end{array}
\]

Рис. 3

Если перейти к новым переменным $\mathbf{K}=\mathbf{p} / s_{3}$, то коммутационные соотношения примут вид
\[
\begin{array}{c}
\left\{K_{1}, K_{3}\right\}=-K_{2}, \quad\left\{K_{2}, K_{3}\right\}=K_{1}, \quad\left\{K_{1}, K_{2}\right\}=K_{3}+\frac{F_{2}}{s_{3}^{2}}, \\
\left\{K_{i}, s_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} s_{k}, \quad\left\{s_{i}, s_{j}\right\}=0,
\end{array}
\]

где $F_{2}$ – функция Казимира структуры (5.10), $F_{2}=(\mathbf{s}, \mathbf{K}) s_{3}$ (вторая функция Казимира также равна $F_{1}=(\mathbf{s}, \mathbf{s})=1$ ). Из формул (5.10) видно, что алгебра (5.10) совпадает с алгеброй $e(3)$ на нулевой константе интеграла $F_{2}$.

Уравнения движения в переменных $\mathbf{K}$, s отличаются от уравнений Гамильтона на алгебре $e(3)[32]$ лишь дополнительным слагаемым
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{K}} & =\mathbf{K} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{K}}+\mathbf{s} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{s}}+\frac{F_{2}}{s_{3}^{2}} \mathbf{e}_{3} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{K}}, \\
\dot{\mathbf{s}} & =\mathbf{s} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{K}},
\end{aligned}
\]

здесь $\mathbf{e}_{3}=(0,0,1)$. Уравнения движения (5.11) сохраняют стандартную инвариантную меру. При $F_{2}=0$ добавка к уравнениям Кирхгофа пропадает.
Замечание 1. Наличие особых орбит в слоении (5.6), соответствующих $s_{3}=0$, приводит к тому, что при $F_{2}
eq 0$ в редуцированной системе с гамильтонианом (5.8) появляется неустранимая особенность в точках экватора $\left(s_{3}=0\right)$. При устранении этой особенности из скобок Пуассона (5.7) она

появляется в гамильтониане (5.8), а при устранении из гамильтониана она появляется в скобке (5.10).

Замечание 2. Еще одна редукция сразу по двум интегралам движения (один из которых нелинейный по импульсам) рассмотрена в §6. При этом получается нелинейная скобюа Пуассона ранга два, и уравнения движения всегда будут интегрируемыми.

3. Алгебраические преобразования. В теории алгебраических пуассоновых структур важное значение имеют преобразования, сохраняющие алгебраическую форму этой структуры. Их исследование позволяет выявить, иногда неожиданные, связи между различными задачами (см. §6). Рассмотрим преобразования приведенных выше нелинейных скобок.

I. Квадратичная алгебра (5.7) допускает преобразования вида
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{p}^{\prime}=\mathbf{p}-C \mathbf{s}, \\
\mathbf{s}^{\prime}=\mathbf{s},
\end{array}
\]
( $C$ – произвольная константа или функция Казимира), сохраняющие коммутационные соотношения. При этом симплектические листы
\[
\mathbf{s}^{2}=c_{1}, \quad(\mathbf{p}, \mathbf{s})=c_{2}
\]
«сдвигаются»:
\[
c_{1}^{\prime}=c_{1}, \quad c_{2}^{\prime}=c_{2}-C\left(c_{1}, c_{2}\right) c_{1},
\]

и появляются дополнительные слагаемаемые в гамильтониане. Например, для (5.8) преобразованный гамильтониан имеет вид
\[
H^{\prime}=H\left(\mathbf{p}^{\prime}, \mathbf{s}\right)+2(a-1) C \frac{p_{3}^{\prime}}{s_{3}}++\frac{C\left(\mathbf{p}^{\prime}, \mathbf{s}\right)+C^{2} \mathbf{s}^{2}}{s_{3}^{2}}+C^{2}(a-1) .
\]

Возникающие в (5.13) добавки аналогичны действию центробежных и гироскопических сил.
II. Для алгебры (5.10) преобразование (5.12) принимает форму
\[
\mathbf{L}=\mathbf{K}-C \frac{\mathbf{s}}{s_{3}} .
\]

Выбирая функцию $C=\frac{s_{3}(\mathbf{K}, \mathbf{s})}{\mathbf{s}^{2}}$, зададим отображение (проекцию) всей алгебры (5.10) на симплектический лист алгебры $e(3)$
\[
\left\{L_{i}, L_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{k}, \quad\left\{L_{i}, s_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} s_{k}, \quad\left\{s_{i}, s_{j}\right\}=0,
\]

определенный соотношением
\[
\mathbf{s}^{2}=c_{1}, \quad(\mathbf{L}, \mathbf{s})=\mathbf{0} .
\]

Следовательно, динамическая система на алгебре (5.10) эквивалентна системе на фиксированной орбите алгебры $е(3)$. При этом параметры, фиксирующие симплектический лист первоначальной скобки (5.10), переносятся в гамильтониан:
\[
H^{\prime}=\frac{1}{2}\left(L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+a L_{3}^{2}\right)+U(\mathbf{s})+\frac{1}{2} \frac{c_{2}}{s_{3}^{2}}+c_{2}(a-1) L_{3},
\]

то есть однопараметрическое семейство листов заменяется однопараметрическим семейством гамильтонианов.

Таким образом, уравнения движения редуцированной системы совпадают с уравнениями Эйлера-Пуассона, описывающими движения твердого тела с постоянным гиростатическим моментом $\mathbf{K}=$ $=\left(0,0, c_{2}(a-1)\right)$ в эффективном потенциале
\[
U_{*}(\mathbf{s})=U_{*}(\mathbf{s})+\frac{1}{2} \frac{c_{2}}{s_{3}^{2}} .
\]

Константа интеграла площадей при этом равнв нулю.
Связь преобразования (5.14) со случаями частной интегрируемости на $e(3)$ обсуждается в $\S 6$.

III. Возможность представления динамической системы с нелинейной скобкой Пуассона на одном из листов $e(3)$ объясняется тем, что симплектический лист обеих структур (5.7), (5.10) совпадает с (ко)касательным расслоением двумерной сферы – $T^{*} S^{2}$. Произвольную гамильтонову систему на $T^{*} S^{2}$ можно также записать на алгебpe $e(3)$.
Пусть $\theta, \varphi$ – сферические кординаты на $S^{2}$, а $p_{\theta}, p_{\varphi}$ – соответ-

ствующие им канонические импульсы. Уравнения
\[
\begin{array}{l}
\gamma_{1}=\sqrt{c_{1}} \sin \theta \sin \varphi, \quad \gamma_{2}=\sqrt{c_{1}} \sin \theta \cos \varphi, \quad \gamma_{1}=\sqrt{c_{1}} \cos \theta, \\
M_{1}=\frac{\sin \varphi}{\sin \theta}\left(c_{2}-p_{\varphi} \cos \theta\right)+p_{\theta} \cos \varphi, \\
M_{2}=\frac{\cos \varphi}{\sin \theta}\left(c_{2}-p_{\varphi} \cos \theta\right)-p_{\theta} \sin \varphi, \\
M_{3}=p_{\varphi}
\end{array}
\]

задают отображение $T^{*} S^{2}$ на орбиту $e(3)$, определяемую соотношениями
\[
\gamma^{2}=c_{1}, \quad(\mathbf{M}, \gamma)=c_{2} .
\]

Таким образом для гамильтоновой системы на каждом отдельном листе скобок (5.7), (5.10) можно указать преобразование к алгебре $e(3)$ вида (5.17). Однако уравнения (5.14) задают отображение сразу для всей алгебры (5.10) и имеют простую алгебраическую форму.
IV. Укажем нелинейное преобразование алгебры $e(3)$, сохраняющее коммутационные соотношения (аналог канонических преобразований):
\[
\begin{array}{l}
\sigma_{1}=M_{1}-C \frac{\gamma_{1}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}, \\
\sigma_{2}=M_{2}-C \frac{\gamma_{2}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}, \\
\sigma_{1}=M_{3},
\end{array}
\]

где, как и выше, $C$ – произвольная функция Казимира.
При преобразовании (5.18) орбита $\gamma^{2}=c_{1},(\mathbf{M}, \gamma)=c_{2}$ отображается целиком в другую орбиту
\[
\begin{array}{l}
c_{1}^{\prime}=\gamma^{2}=c_{1}, \\
c_{2}^{\prime}=(\sigma, \gamma)=(\mathbf{M}, \gamma)-C=c_{2}-C\left(c_{1}, c_{2}\right) .
\end{array}
\]

Линейные преобразования, сохраняющие скобку Ли-Пуассона, хорошо известны [156]; они определяются группой Ли, соответствующей данной алгебре скобок. Такие линейные преобразования оставляют неподвижными орбиты алгебры и определяют на каждой орбите некоторое каноническое преобразование. В отличие от них, преобразования (5.18) «переставляют» симплектические листы в алгебре и поэтому не могут быть получены как семейство канонических преобразований на симплектических листах.

Замечание 3. Отображение (5.18) является одним из примеров нелинейных преобразований, сохраняющих структуру скобок Ли-Пуассона $e(3)$. Насколько нам известно, в общем случае такие преобразования мало изучены.

Особенность при $\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}=0$ в представлении (5.18) является в некотором смысле неустранимой. Действительно, известно [129], что глобальные канонические переменные на симплектических листах $e(3)$ могут быть введены только для орбит, удовлетворяющих условию $(\mathbf{M}, \gamma)=0$. Преобразования (5.18) позволяет спроектировать всю алгебру $e(3)$ на симплектический лист $(\sigma, \gamma)=0$ (необходимо выбрать $C=(\mathbf{M}, \gamma)$ ) и получить затем обычные канонические переменные. Однако при этом в гамильтониане появляется особенность в полюсах сферы $\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}=0$ (исключение составляют орбиты $(\mathbf{M}, \gamma)=0$ ).

Преобразование вида $\sigma=\mathbf{M}-(\mathbf{M}, \boldsymbol{\gamma}) \boldsymbol{\gamma}$, используемое в работе С. П. Новикова [129], также проектирует алгебру $е(3)$ на лист $(\sigma, \gamma)=0$, однако не сохраняет скобку. Хотя в этом случае получается «хороший» гамильтониан, симплектическая структура для листов $(\mathbf{M}, \gamma)
eq 0$ неканоническая и содержит неточную форму гироскопических сил.

Такая особенность для гамильтоновой системы на орбите $e(3)$, для которой $(\mathbf{M}, \gamma)
eq 0$, называется монополем Дирака. При устранении ее из скобки она появляется в гамильтониане и наоборот.

V. Пример преобразования, сохраняющего нелинейную (квадратичную) скобку Пуассона, возникает при исследовании проблемы коллапса и рассеяния в динамике вихрей ( $\$ 5$ гл. 4).
Рассмотрим трехмерную квадратичную алгебру (см. $\S 5$ гл. 5)
\[
\left\{x_{1}, x_{2}\right\}=x_{1} x_{2}, \quad\left\{x_{2}, x_{3}\right\}=x_{2} x_{3}, \quad\left\{x_{3}, x_{1}\right\}=x_{1} x_{3} .
\]

Однородное преобразование, отображающее бесконечно удаленную точку системы (5.19) в начало координат вида
\[
y_{i}=\frac{x_{i}}{\sqrt{x_{1} x_{2} x_{3}}}, \quad i=1,2,3,
\]

сохраняет скобку (5.19).

4. Относительные равновесия и аналог конуса Штауде. Для уравнений (5.11) рассмотрим вопрос об относительных равновесиях. Этот вопрос для уравнений Эйлера-Пуассона был исследован Штауде $[4,112]$. Для нахождения относительных равновесий необходимо найти такие направления $\mathbf{s}$, для которых $\dot{\mathbf{K}}=0, \dot{\mathbf{s}}=0$. С учетом уравнений

движения (5.11) получим
\[
\dot{\mathbf{s}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{K}} \times \mathbf{s}=0,
\]

то есть
\[
\frac{\partial H}{\partial \mathbf{K}}=\lambda \mathbf{s}, \quad \lambda \in R
\]

Если выбрать гамильтониан в виде
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{K}, \mathbf{A K})+U(\mathbf{s})
\]

то на уровне $F_{2}=s_{3}(\mathbf{K}, \mathbf{s})=c$ получим
\[
\mathbf{K}=\frac{c}{s_{3}(\mathbf{s}, \mathbf{B s})} \mathbf{B s},
\]

где $\mathbf{B}=\mathbf{A}^{-1}$.
Используя уравнения $\dot{\mathbf{K}}=0, \mathrm{~s}^{2}=1$, определим направления относительных равновесий
\[
\begin{array}{c}
\frac{c^{2} \mathbf{B s} \times \mathbf{s}}{s_{3}^{2}(\mathbf{s}, \mathbf{B s})^{2}}+\mathbf{s} \times \frac{\partial U}{\partial \mathbf{s}}+\frac{c^{2} \mathbf{e}_{3} \times \mathbf{s}}{s_{3}^{3}(\mathbf{s}, \mathbf{B s})}=0, \\
\mathbf{s}^{2}=1 .
\end{array}
\]

Система (5.20) отличается от классической (конус Штауде) наличием дополнительного слагаемого. Для движений твердого тела соответствующих положениям относительного равновесия (5.20) $\gamma_{3}=$ $=$ const, следовательно, ось симметрии волчка (апекс) прецессирует вокруг оси перпендикулярной двум полям. При этом экваториальная плоскость вращается таким образом, что сохраняется величина $\alpha_{1}+\beta_{2}$, либо $\alpha_{1}-\beta_{2}$. Исследование уравнений (5.20), например, нахождение условий устойчивости относительных равновесий, представляет собой интересную механическую задачу.

5. Система Леггетта. Приведем пример еще одной динамической системы, которая может быть представлена на нелинейной алгебре (5.7) или (5.10).

Рассмотрим гамильтониан общего вида для системы на алгебре $l(7)(2.7)$
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}\right)+b M_{3}+U\left(\lambda_{0}\right) .
\]

При $a=1$ и $U=C\left(4 \lambda_{0}^{2}-\frac{3}{2}\right)^{2}$ получается система Леггетта, описывающая поведение спина атома жидкого $\mathrm{He}^{3}$ в $\beta$-фазе при наличии магнитного поля, обсуждавшаяся в $[60,129]$.

Система (5.21) имеет интеграл $F_{2}=(\mathbf{M}, \gamma)-M_{3}$, и следовательно, может быть представлена на алгебре (5.7) или (5.10). (Уравнения динамики спина $\mathrm{He}^{3}$ в $\alpha$-фазе сводятся к обычным уравнениям Кирхгофа на алгебре $e(3)[129]$.)

Как было указано выше, с помощью преобразования (5.14) система (5.21) может быть также сведена к гамильтоновой системе на нулевой орбите $(\sigma, \gamma)=0$ алгебры $e(3)$. При этом, однако, в гамильтониане возникает особенность в точке экватора $\gamma_{3}=0$. В качестве канонических координат для приведенной системы могут быть выбраны переменные Андуайе-Депри для уравнений Эйлера-Пуассона (§8).

Редукция в других переменных выполнена в [239]. В связи с неудачным выбором образующих, новая скобка получилась неоднородной и кубичной. Функция Лагранжа, указанная в [239], может быть получена редукцией Рауса по циклической переменной $\psi$ при параметризации сферы $S^{3}$ стандартными сферическими координатами:
\[
\begin{array}{ll}
\lambda_{0}=\cos \theta, & \lambda_{1}=\sin \theta \cos \varphi, \\
\lambda_{2}=\sin \theta \sin \varphi \cos \psi, & \lambda_{3}=\sin \theta \sin \varphi \sin \psi .
\end{array}
\]

Как показывает численный анализ методом отображения Пуанкаpe, система (5.21) хаотична и не допускает дополнительных интегралов движения.