1. Метрики на двумерной сфере $S^{2}$. Динамическая система на орбите $(\mathbf{M}, \gamma)=0$ алгебры $e(3)$ с квадратичным по импульсам гамильтонианом порождает геодезический поток на двумерной сфеpe $S^{2}$. Таким образом, интегрируемые геодезические потоки на $S^{2}$ могут быть получены из интегрируемых задач динамики твердого тела. Этот факт можно установить при помощи следующей конструкции (см. также $[17,21]$ ).

Рассмотрим двумерную сферу, стандартно вложенную в $\mathbb{R}^{3}: q_{1}^{2}+$ $+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}=1$. Метрика в $\mathbb{R}^{3} d s^{2}=B_{i j} d q_{i} d q_{j}$ порождает геодезический поток на сфере $S^{2}$, который в избыточных переменных $q_{i}$ задается функцией Лагранжа
\[
L=\frac{1}{2}(\dot{\mathbf{q}}, \mathbf{B}(\mathbf{q}) \dot{\mathbf{q}})
\]

и связью $\mathbf{q}^{2}=1$.
Переходя к гамильтонову формализму со связями в избыточных переменных [4], находим функцию Гамильтона $\left(\mathbf{p} \in \mathbb{R}^{4}, \mathbf{q} \in \mathbb{R}^{4}\right.$ )
\[
H=\frac{1}{2} \frac{\left(\mathbf{p}, \mathbf{B}^{-1} \mathbf{p}\right)\left(\mathbf{q}, \mathbf{B}^{-1} \mathbf{q}\right)-\left(\mathbf{p}, \mathbf{B}^{-1} \mathbf{q}\right)^{2}}{\left(\mathbf{q}, \mathbf{B}^{-1} \mathbf{q}\right)} .
\]

Аналогично, функция Лагранжа вида
\[
L=\frac{1}{2}\left(\dot{\mathbf{q}}, \frac{\mathbf{B}(\mathbf{q})}{\left(\mathbf{q}, \mathbf{B}^{-1} \mathbf{q}\right)} \dot{\mathbf{q}}\right),
\]

и связь $\mathbf{q}^{2}=1$ приводят к функции Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2}\left(\left(\mathbf{p}, \mathbf{B}^{-1} \mathbf{p}\right)\left(\mathbf{q}, \mathbf{B}^{-1} \mathbf{q}\right)-\left(\mathbf{p}, \mathbf{B}^{-1} \mathbf{q}\right)^{2}\right) .
\]

Рассмотрим отображение $T^{*} R^{3} \rightarrow e(3)$, заданное формулами
\[
\gamma=\mathbf{q}, \quad \mathbf{M}=\mathbf{q} \times \mathbf{p} .
\]

Оно переводит $S^{2} \times \mathbb{R}^{3}$ в орбиту $e(3): \gamma^{2}=1,(\mathbf{M}, \gamma)=0$, а канонические коммутационные соотношения $\left\{q_{i}, p_{j}\right\}=\delta_{i j}$ в коммутационные соотношения алгебры $e(3)$ :
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=0 .
\]

Гамильтонова система на $e(3)$ с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{M}, \mathbf{A}(\gamma) \mathbf{M}),
\]

с помощью отображения (7.5) переносится на $T^{*} \mathbb{R}^{3}$, где функция Гамильтона имеет вид (7.2). Коэффициенты матриц А и В связаны соотношениями
\[
A_{k l} \varepsilon_{k i m} \varepsilon_{l j n}=B_{i j}^{-1} B_{m n}^{-1}-B_{i m}^{-1} B_{j n}^{-1},
\]

которые означают, что матрица $\mathbf{A}$ составлена из алгебраических дополнений элементов матрицы $\mathbf{B}^{-1}$. Следовательно
\[
\mathbf{B}=\frac{1}{\operatorname{det} \mathbf{A}} \mathbf{A} \quad \text { или } \quad \mathbf{B}^{-1}=\operatorname{det} \mathbf{A} \mathbf{A}^{-1} .
\]

Подставив это выражение в (7.3), получим
\[
L=\frac{1}{2}\left(\dot{\mathbf{q}}, \frac{\mathbf{A}(\mathbf{q})}{\left(\mathbf{q}, \mathbf{A}^{-1} \mathbf{q}\right) \operatorname{det} \mathbf{A}} \dot{\mathbf{q}}\right),
\]
т. е. квадратичная форма на $e(3)$ (7.3) порождает геодезический поток на $S^{2}$, описываемый функцией Лагранжа (7.7) со связью $\mathbf{q}^{2}=1$.
Если гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{M}, \mathbf{A}(\gamma) \mathbf{M})+U(\gamma),
\]

то, воспользовавшись принципом Мопертюи [2, 21] и формулой (7.7), получим, что ему соответствует семейство метрик вида
\[
d s^{2}=\frac{1}{2} \frac{h-U(\mathbf{q})}{\operatorname{det} \mathbf{A}} \frac{A_{i j} d q_{i} d q_{j}}{\left(\mathbf{q}, \mathbf{A}^{-1} \mathbf{q}\right)} .
\]

Отметим, что и в общем случае произвольный симплектический лист алгебры $e(3)$ диффеоморфен кокасательному расслоению двумерной сферы $T^{*} S^{2}$ [21]. Однако, при этом приведении система на сфере

(сфере Пуассона) содержит дополнительные линейные по импульсам слагаемые, соответствующие гироскопическим силам, и использование принципа Мопертюи не приводит к геодезическому потоку на $S^{2}$.

Далее приведены примеры интегрируемых метрик на $S^{2}$, соответствующих интегрируемым гамильтоновым системам на симплектическом листе алгебры $e(3)$, определяемом соотношением $(\mathbf{M}, \gamma)=0$. Большинство этих метрик было указано в работе [21].

1.1. Случай Эйлера и метрика на сфере Пуассона. Гамильтониан в случае Эйлера имеет вид
\[
H=a_{1} M_{1}^{2}+a_{2} M_{2}^{2}+a_{3} M_{3}^{2} .
\]

Как следует из предыдущих рассуждений ему отвечает следующая метрика на двумерной сфере (метрика на сфере Пуассона)
\[
d s^{2}=\frac{h}{a_{1} a_{2} a_{3}} \frac{a_{1} d q_{1}^{2}+a_{2} d q_{2}^{2}+a_{3} d q_{3}^{2}}{a_{1}^{-1} q_{1}^{2}+a_{2}^{-1} q_{2}^{2}+a_{3}^{-1} q_{3}^{2}} .
\]

Дополнительный интеграл
\[
\widetilde{F}=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2} .
\]

Здесь и ниже в дополнительных интегралах М выражается через $\mathbf{p}, \mathbf{q}$ по формулам (7.5).

1.2. Случай Лагранжа и «метрика вращения». Для случая Лагранжа гамильтониан можно представить в форме
\[
H=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}+U\left(\gamma_{3}\right),
\]

а соответствующую метрику на $S^{2}$
\[
d s^{2}=\frac{h-U\left(q_{3}\right)}{a} \frac{d q_{1}^{2}+d q_{2}^{2}+a d q_{3}^{2}}{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+a^{-1} q_{3}^{2}} .
\]

Поскольку кинетическая и потенциальная энергия инвариантны относительно вращений вокруг оси $O Z$, в данном случае получается семейство осесимметричных метрик двумерной сферы.

Дополнительный первый интеграл в данном случае (интеграл Лагранжа)
\[
\widetilde{F}=M_{3} .
\]

1.3. Случай Клебша.

В случае Клебша гамильтониан является диагональной квадратичной формой на алгебре $e(3)$
\[
H=a_{1} M_{1}^{2}+a_{2} M_{2}^{2}+a_{3} M_{3}^{2}-\left(a_{1}^{-1} \gamma_{1}^{2}+a_{2}^{-1} \gamma_{2}^{2}+a_{3}^{-1} \gamma_{3}^{2}\right),
\]

он порождает метрику
\[
d s^{2}=\frac{h+a_{1}^{-1} q_{1}^{2}+a_{2}^{-1} q_{2}^{2}+a_{3}^{-1} q_{3}^{2}}{a_{1} a_{2} a_{3}} \frac{a_{1} d q_{1}^{2}+a_{2} d q_{2}^{2}+a_{3} d q_{3}^{2}}{a_{1}^{-1} q_{1}^{2}+a_{2}^{-1} q_{2}^{2}+a_{3}^{-1} q_{3}^{2}} .
\]

Второй интеграл геодезического потока, порожденного данной метрикой равен
\[
\begin{aligned}
\widetilde{F}=a_{1} M_{1}^{2}+a_{2} & M_{2}^{2}+a_{3} M_{3}^{2}+ \\
& +\frac{\left(a_{1} q_{1}^{2}+a_{2} q_{2}^{2}+a_{3} q_{3}^{2}\right)}{a_{1} a_{2} a_{3}} \frac{a_{1} M_{1}^{2}+a_{2} M_{2}^{2}+a_{3} M_{3}^{2}}{h+a_{1}^{-1} q_{1}^{2}+a_{2}^{-1} q_{2}^{2}+a_{3}^{-1} q_{3}^{2}} .
\end{aligned}
\]

Как показано в работе [78], при $h=0$ случай Клебша и соответствующий геодезический поток траекторно эквивалентны геодезическому потоку стандартной римановой метрики на эллипсоиде в евклидовом пространстве, заданном уравнением
\[
\frac{x^{2}}{a_{1}}+\frac{y^{2}}{a_{2}}+\frac{z^{2}}{a_{3}}=1 .
\]

1.4. Случай Горячева-Чаплыгина. Геодезический поток с кубическим дополнительным интегралом.

Случай Горячева-Чаплыгина является случаем частной интегрируемости на алгебре $e(3)$ на нулевой константе одной из функций Казимира $(\mathbf{M}, \gamma)=0$. Как было показано выше, этого достаточно, чтобы ему соответствовал интегрируемый геодезический поток на $S^{2}$.
Гамильтониан и порождаемая им метрика имеют вид
\[
\begin{aligned}
H & =M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+4 M_{3}^{2}+\gamma_{1}, \\
d s^{2} & =\frac{h-q_{1}}{4} \frac{d q_{1}^{2}+d q_{2}^{2}+4 d q_{3}^{2}}{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+\frac{1}{4} q_{3}^{2}} .
\end{aligned}
\]

Дополнительный интеграл является кубическим по импульсам и дается выражением
\[
\widetilde{F}=M_{3}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)-\frac{q_{3} M_{1}}{2\left(h-q_{1}\right)}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+4 M_{3}^{2}\right) .
\]

1.5. Случай Ковалевской.

Гамильтониан и метрику интегрируемого случая Ковалевской уравнений Эйлера-Пуассона можно представить в виде
\[
\begin{aligned}
H & =\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)+\gamma_{1}, \\
d s^{2} & =\frac{1}{2} \frac{h-q_{1}}{2} \frac{d q_{1}^{2}+d q_{2}^{2}+2 d q_{3}^{2}}{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+\frac{1}{2} q_{3}^{2}}
\end{aligned}
\]

Второй интеграл в данном случае имеет четвертую степень по импульсам
\[
\begin{aligned}
\widetilde{F}= & \left(M_{1}^{2}-M_{2}^{2}-q_{1} \frac{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}}{2\left(h-q_{1}\right)}\right)^{2}+ \\
& +\left(2 M_{1} M_{2}-q_{2} \frac{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}}{2\left(h-q_{1}\right)}\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

Траекторная неэквивалентность и несводимость к интегралам более низкой степени для вышеприведенных случаев обсуждается в работе $[21]$.

1.6. Случай Чаплыгина (обобщенный случай Ковалевской). Менее известным случаем частной интегрируемости ( $\mathbf{M}, \gamma)=$ 0 ) для уравнений Кирхгофа с интегралом четвертой степени является случай Чаплыгина, который каю было показано выше при $F_{2}=0$ изоморфен обобщенному случаю Ковалевской [32].

Гамильтониан в этом случае дается выражением (6.1), с помощью него получается следующее семейство метрик
\[
d s^{2}=\frac{1}{2} \frac{h-(c / 2)\left(q_{2}^{2}-q_{1}^{2}\right)}{2} \frac{d q_{1}^{2}+d q_{2}^{2}+2 d q_{3}^{2}}{q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2} / 2} .
\]

Это интегрируемое семейство имеет интеграл четвертой степени по импульсам
\[
\widetilde{K}=\left(M_{1}^{2}-M_{2}^{2}-\frac{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{1}^{2}}{2 h-c\left(q_{2}^{2}-q_{1}^{2}\right)} c s_{3}^{2}\right)^{2}+4 M_{1}^{2} M_{2}^{2} .
\]

Замечание 1. Траекторная и топологическая неэквивалентность метрики (7.10) метрике обычного случая Ковалевской показана в [301] (см. также приложение F).
ЗАмЕчание 2. С. А. Чаплыгиным в [163] было показано, что при (M, $\gamma)=0$ интегрируется система с потенциалом равным линейной комбинации потенциалов случая Чаплыгина и случая Ковалевской (см. также замечание $5 \S 6$ ):
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)+a \gamma_{1}+b\left(\gamma_{1}^{2}-\gamma_{2}^{2}\right), \quad a, b \in \mathbb{R} .
\]

При этом на сфере $S^{2}$ возникает семейство интегрируемых геодезических потоков, определяемых параметрами $a, b$. Было бы интересно изучить

топологию и перестройки соответствующих поверхностей уровня первых интегралов $H$ и $F$
\[
F=\left(M_{1}^{2}-M_{2}^{2}+b \gamma_{3}^{2}-a \gamma_{1}\right)^{2}+4\left(M_{1} M_{2}-\frac{a}{2} \gamma_{2}\right)^{2} .
\]
2. Геодезические потоки на $S^{3}$. Рассмотрим обобщение приведенной конструкции на случай трехмерной сферы стандартно вложенной в $\mathbb{R}^{4}: S^{3}=\left\{q: q_{0}^{2}+q_{1}^{2}+q_{2}^{2}+q_{3}^{2}=1\right\}$ (см. $\S 6$ и приложение D).

Зададим отображение $T^{*} \mathbb{R}^{3}$ на сингулярную орбиту $W^{2}=0$ алгебры $e(4)$, гомеоморфную $T^{*} S^{3}$ формулами:
\[
\pi=q_{0} \mathbf{p}-p_{0} \mathbf{q}, \quad \mathbf{L}=\mathbf{q} \times \mathbf{p} .
\]

Как было показано в $\S 6$ геодезический поток метрики эллипсоида $L=\frac{1}{2}(\dot{\mathbf{q}}, \mathbf{B} \dot{\mathbf{q}})$, где $\mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$ приводится с помощью (7.12) к интегрируемой системе на $e(4)$ с гамильтонианом
\[
\begin{aligned}
H=\frac{1}{2\left(q, \mathbf{B}^{-1} q\right)}\left(b_{0}^{-1} b_{1}^{-1} \pi_{1}^{2}+\right. & b_{0}^{-1} b_{2}^{-1} \pi_{2}^{2}+b_{0}^{-1} b_{3}^{-1} \pi_{3}^{2}+ \\
& \left.+b_{2}^{-1} b_{3}^{-1} L_{1}^{2}+b_{1}^{-1} b_{3}^{-1} L_{2}^{2}+b_{3}^{-1} b_{2}^{-1} L_{3}^{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Обратное также справедливо. Если выбрать на $e(4)$ интегрируемую систему с гамильтонианом «четырехмерного» случая Клебша.
\[
\begin{aligned}
H= & b_{0}^{-1} b_{1}^{-1} \pi_{1}^{2}+b_{0}^{-1} b_{2}^{-1} \pi_{2}^{2}+b_{0}^{-1} b_{3}^{-1} \pi_{3}^{2}+ \\
& +b_{2}^{-1} b_{3}^{-1} L_{1}^{2}+b_{1}^{-1} b_{3}^{-1} L_{2}^{2}+b_{3}^{-1} b_{2}^{-1} L_{3}^{2}-\left(q, \mathbf{B}^{-1} q\right),
\end{aligned}
\]

то из формул (7.12), (7.2), (7.3) можно получить семейство интегрируемых метрик на сфере $S^{3}$ :
\[
d s^{2}=\frac{h+\left(q, \mathbf{B}^{-1} q\right)}{\left(q, \mathbf{B}^{-1} q\right)} \sum_{\mu=0}^{3} b_{\mu} d q_{\mu}^{2} .
\]

Пусть $H=\frac{1}{2}(\mathbf{M}, \mathbf{A M})+U(q)$. Чтобы найти метрику в $\mathbb{R}^{4}$ (в которое вложена $S^{3}$ ) необходимо сделать преобразование Лежандра
\[
\begin{aligned}
\omega & =\frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}} \\
L(\omega, q) & =(\omega, \mathbf{M})-\left.H\right|_{\mathbf{M}, \mathbf{q} \rightarrow \omega, \mathbf{q}} .
\end{aligned}
\]

Используя принцип Мопертюи получим лагранжеву систему, описывающую геодезический поток на $S^{3}$
\[
\widehat{L}=\frac{h-U(q)}{2}(\omega, I(q) \omega),
\]

где
\[
\omega=2\left(q_{0} \dot{\mathbf{q}}-\dot{q}_{0} \mathbf{q}-\mathbf{q} \times \dot{\mathbf{q}}\right), \quad I(q)=A^{-1}(q) .
\]

Интегрируемые геодезические потоки на $S^{3}$, обладающие двумя инволютивными нелинейными по импульсам дополнительными интегралами, могут быть получены из интегрируемых случаев динамики твердого тела в суперпозиции линейных силовых полей ( $\S \S 3,4$ ). Один из них – обобщенный случай Ковалевской, второй – шаровой волчок в произвольном линейном по $\alpha, \beta, \gamma$ потенцииале (сводящийся к задаче Неймана на $S^{3}$ ). Кроме исключительных ситуаций (см. §5), в которых один из дополнительных интегралов сводится к линейному по моментам, эти случаи не могут быть редуцированы к двум степеням свободы, а слоение на трехмерные торы приведено к двумерному. К сожалению, теория перестроек трехмерных многообразий почти совсем не развита (в отличие от двумерного случая $[152,156]$ ), поэтому вопросы, связаннные с топологическим анализом указанных задач остаются пока открытыми.

Замечание 3. Отметим, что интегрируемые геодезические потоки на трехмерной сфере можно получать используя также интегрируемые геодезические потоки на группе $S O(4)$ (в частном случае см. [37].) Действительно, если функция Гамильтона в уравнениях движения не зависит от координат $(H=H(\pi, L))$, то отделяется система на подалгебре $s o(4) \subset e(4)$, и поэтому всегда существует первый интеграл $F_{1}=\pi^{2}+\mathbf{L}^{2}$ (функция Казимира алгебры $s o(4)$ ). Для интегрируемости по Лиувиллю-Арнольду на сингулярной орбите необходимо существование еще одного дополнительного интеграла. В случае алгебры $s o(4)$ для квадратичных по $\pi, \mathbf{L}$ гамильтонианов вопрос о наличии дополнительного интеграла решен в работах Стеклова, Манакова, Адлера и ван Мербеке $[115,177,321]$. В частности, в случае Адлера и ван Мербеке [177] дополнительный интеграл имеет четвертую степень по импульсам, что приводит к геодезическому потоку на $S^{3}$ с интегралами второй и четвертой степени.