1. Определение. Полупростые алгебры Ли. Уравнения многих динамических систем могут быть представлены в матричной коммутационной форме. Такое представление в неявном виде использовались еще в прошлом столетии (например, Кеттером [267]). Впоследствии оно обрело современную форму в квантовой механике в связи с матричным подходом Гейзенберга.

Определение. Представлением Лакса-Гейзенберга системы дифференциальных уравнений
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{v}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in M^{n}
\]

называется пара квадратных матриц $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}$, удовлетворяющих следующим условиям:

1. элементы матриц $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}$ – гладкие, в общем случае, комплекснозначные функции $\mathbf{x}$;

2. выполнено тождество
\[
\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{A}, \mathbf{L}],
\]

где элементы матрицы $\dot{\mathbf{L}}$ – суть производные от элементов $\mathbf{L}$ в силу системы (4.1), причем $[\mathbf{A}, \mathbf{L}]=\mathbf{A L}-\mathbf{L A}$.

Ясно, что все решения системы (4.1) удовлетворяют уравнениям (4.2). Для того, чтобы исключить тривиальные случаи (например, $\mathbf{L} \equiv 0$ ), вводится понятие точного представления, когда все решения (4.2) удовлетворяют (4.1). Наиболее важным является случай, когда матрицы $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}$ принадлежат одной и той же конечномерной алгебре Ли в матричном представлении. Приведем один пример такой $\mathbf{L}-\mathbf{A}$ пары.
Уравнения Гамильтона на коалгебре Ли $\mathfrak{g}^{*}$ ( $§ 1$, гл. 1)
\[
\dot{\mathbf{x}}=\left(\operatorname{ad}_{d H}^{*}\right) \mathbf{x}, \quad \mathbf{x} \in \mathfrak{g}^{*}
\]

не всегда могут быть представлены в коммутационной форме, поскольку действие оператора $\mathrm{ad}_{\xi}^{*}$ не сводится, вообще говоря, к вычислению коммутатора. Однако, такое представление возможно, если предположить дополнительно, что на алгебре Ли $\mathfrak{g}$ существует невырожденное, инвариантное относительно присоединенного представления скалярное произведение $(\cdot, \cdot)$, задаваемое матрицей $\left\|g_{\alpha \beta}\right\|$. В этом случае мы можем отождествить пространства $\mathfrak{g}$ и $\mathfrak{g}^{*}$ с помощью соотношения
\[
\left\langle\mathbf{y}^{*}, \xi\right\rangle=(\mathbf{y}, \xi),
\]

где $\langle\cdot, \cdot\rangle$ – операция спаривания элементов алгебры и коалгебры, $\xi \in \mathfrak{g}$, $\mathbf{y}^{*} \in \mathfrak{g}^{*}$ и элемент $\mathbf{y} \in \mathfrak{g}$ отождествляется с $\mathbf{y}^{*}$. Инвариантность скалярного произведения эквивалентна тождеству
\[
([\mathbf{c}, \mathbf{b}], \mathbf{a})+(\mathbf{b},[\mathbf{c}, \mathbf{a}])=0
\]

и поэтому
\[
\{F, G\}\left(\mathbf{x}^{*}\right)=\left\langle\mathbf{x}^{*},[d F, d G]\right\rangle=(\mathbf{x},[d F, d G])=(d G,[\mathbf{x}, d F]),
\]

где произведено отождествление $\mathbf{x}$ и $\mathbf{x}^{*}$ с помощью соотношения (4.4). Уравнения (4.3) теперь можно переписать в коммутационной форме
\[
\dot{\mathbf{x}}=\operatorname{ad}_{d H} \mathbf{x}=[\mathbf{A}, \mathbf{x}], \quad \mathbf{A}=d H, \quad \mathbf{x} \in\left(\mathfrak{g}^{*}\right)^{*} \equiv \mathfrak{g} .
\]

Невырожденная инвариантная квадратичная форма имеется, например, в случае полупростых алгебр Ли, где имеется метрика КиллингаКартана, определяемая через структурные константы по формуле $g_{i j}=-\sum_{k, l} c_{i k}^{l} c_{j l}^{k}$.

Из представления (4.2) вытекает, что оператор $\mathbf{L}(\mathbf{x}(t))$ в процессе эволюции подвергается преобразованию подобия
\[
\mathbf{L}(t)=\mathbf{T}(t) \mathbf{L}(0) \mathbf{T}^{-1}(t), \quad \mathbf{A}=\dot{\mathbf{T}}(t) \mathbf{T}^{-1}(t),
\]

где $\mathbf{T}$ можно считать элементом группы Ли $\mathfrak{G}$, порождаемой алгеброй $\mathfrak{g}$, так что
\[
\mathbf{L}(t)=\operatorname{Ad}_{\mathbf{T}(t)} \mathbf{L}(0),
\]

где $\mathbf{A}(t)$ – левый сдвиг касательного вектора $\dot{\mathbf{T}}(t)$ в алгебру. Таким образом, собственные числа оператора $\mathbf{L}(t)$ не зависят от $t$ и, по выражению Мозера, испытывают «изоспектральную деформацию», а инварианты алгебры $\mathfrak{g}$
\[
I_{k}(x)=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{L}^{k}(x)\right), \quad k \in \mathbb{N}
\]

являются первыми интегралами системы (4.1).
В подходе Лакса для интегрирования системы (4.1) ищется представление в виде $\mathbf{L}$ – A-пары, затем строится достаточное количество независимых интегралов и показывается, что они находятся в инволюции.

Замечание 1. Для полупростой алгебры Ли справедливо также несколько иное, но эквивалентное представление Лакса-Гейзенберга [82, 91]. Выберем в алгебре g ортонормированный базис Киллига, в этом случае матрицы $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}$ для уравнений (4.3), которые в координатной форме имеют вид
\[
\dot{x}_{i}=\sum_{i, j} c_{i j}^{k} x_{k} \frac{\partial H}{\partial x^{j}},
\]

представляются в виде
\[
L_{k s}=\sum_{\alpha} c_{k s}^{\alpha} x_{\alpha}, \quad A_{k}^{s}=\sum_{\alpha} c_{k \alpha}^{s} \frac{\partial H}{\partial x_{\alpha}} .
\]

2. Представление со спектральным параметром. Если в описанной конструкции ограничиваться только конечномерными алгебрами $\mathfrak{g}$, то для многих важных случаев динамических систем выражения (4.8) не дают полного набора интегралов. Приведенное выше $\mathbf{L}-\mathbf{A}$ представление для полупростых алгебр Ли не дает, например, выражения для интеграла энергии. Кроме того, даже в случае, если представление Лакса-Гейзенберга и дает полный набор интегралов (как в многочастичных системах (см. $\S 2$ гл. 5)), оно не достаточно для явного интегрирования системы.

Поэтому конечномерную систему (4.1) обычно представляют в форме Лакса с помощью элементов бесконечномерных алгебр Ли, как правило, с помощью введения в алгебру $\mathfrak{g}$ дополнительного параметра.

Простейшей бесконечномерной алгеброй является алгебра $\mathfrak{g}^{l}$ полиномов Лорана по $\lambda$ с коэффициентами в некоторой полупростой алгебpe $\mathfrak{g}$
\[
\mathfrak{g}^{l}=\left\{x(\lambda): \mathbf{x}(\lambda)=\sum_{i \in \mathbb{Z}} g_{i} \lambda^{i}\right\}, \quad g_{i} \in \mathfrak{g} .
\]

Эта алгебра называется алгеброй петель в силу того, что в отличие от конечномерного случая, ее диаграмма Дынкина содержит замкнутые циклы.
Коммутатор в $\mathfrak{g}^{l}$ полностью определяется соотношением
\[
\left[g_{i} \lambda^{i}, g_{j} \lambda^{j}\right]=\left[g_{i}, g_{j}\right] \lambda^{i+j} .
\]

При этом алгебра $\mathfrak{g}$ представляется в виде прямой суммы подпространств
\[
\mathfrak{g}^{l}=\underset{i \in \mathbb{Z}}{\oplus} \mathfrak{g}_{i} .
\]

Подобные алгебры называются $\mathbb{Z}$-градуированными. Существуют также различные модификации этой конструкции, приводящие к другим бесконечномерным алгебрам.

Полагая матрицы $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}$ элементами из $\mathfrak{g}^{l}$, получим представление Лакса-Гейзенберга, содержащее произвольный (спектральный) параметр
\[
\dot{\mathbf{L}}(\lambda)=[\mathbf{L}(\lambda), \mathbf{A}(\lambda)] .
\]

При этом инварианты (4.8) также являются интегралами движения, но теперь они зависят от $\lambda$. Разлагая их по степеням $\lambda$, можно получить расширенный набор интегралов $I_{l, m}$
\[
I_{k}(\mathbf{x}, \lambda)=\sum_{m=0}^{k} I_{l, m}(\mathbf{x}) \lambda^{m}, \quad l=k-m,
\]

которого уже, как правило, достаточно для интегрируемости.
Для представления уравнений движения в форме Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром иногда эффективен метод $r$-матрицы, который состоит в том, что матрица $\mathbf{A}(\lambda)$ как вектор в $\mathfrak{g}^{l}$, получается в результате действия некоторого $\mathbf{R}$-оператора $\left(\mathbf{R}: \mathfrak{g}^{l} \rightarrow \mathfrak{g}^{l}\right.$ ) на вектор
\[
\mathbf{A}_{k}=d I_{k}(\mathbf{x}, \lambda) \in \mathfrak{g}^{l},
\]

являющийся аннулятором алгебры $\mathfrak{g}$, то есть $\left[\mathbf{A}_{k}, \mathfrak{g}\right]=0$ для любого $\mathfrak{g} \in \mathfrak{g}^{l}$. Отметим далее, что зафиксировав форму матрицы $\mathbf{L}(\lambda)$ и рассматривая различные инварианты $I_{k}(\mathrm{x}, \lambda)$ указанным способом, можно получить целую иерархию гамильтоновых систем, интегральные траектории которых являются различными обмотками одних и тех же инвариантных торов, определяемых набором интегралов (4.12). Различные способы задания $\mathbf{R}$-оператора на алгебрах $\mathfrak{g}^{l}$ содержатся в обзоpe [132]. Наличие спектрального параметра в представлении ЛаксаГейзенберга позволяет во многих случаях построить явное решение (в тэта-функциях), указать спектральную кривую, определить переменные действие-угол, то есть получить достаточно полную информацию о фазовом потоке $[44,241,309]$.

3. Гамильтоновость уравнений Лакса. Вообще говоря, класс систем, допускающих представление в виде $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары, отличается от класса гамильтоновых систем. Как показано в [82], формальное представление Лакса-Гейзенберга можно построить для аналитической системы дифференциальных уравнений, рассматриваемой в окрестности положения равновесия $\dot{\mathbf{x}}=\Lambda \mathbf{x}+\cdots, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ (оно не будет формальным для линейной системы $\dot{\mathbf{x}}=\Lambda \mathbf{x}$ ). Кроме того, если замена времени

вдоль траектории $d \tau=f(\mathbf{x}) d t$, в общем случае, приводит к потере гамильтоновости, то аналогичная замена в уравнениях $\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]$ приводит только к переопределению матрицы $\mathbf{A} \rightarrow f(\mathbf{x}) \mathbf{A}$. Достаточным условием гамильтоновости уравнений в форме Лакса-Гейзенберга, в случае принадлежности матрицы $\mathbf{L}$ некоторой полупростой алгебре, является возможность представления А матрицы
\[
\mathbf{A}=d H(\mathbf{L})+\lambda(\mathbf{L}) \cdot \mathbf{L},
\]

где $H(\mathbf{L}), \lambda(\mathbf{L})$ некоторые скалярные функции на алгебре.
Отметим также, что для известных в настоящее время представлений Лакса-Гейзенберга, матрица А всегда может быть интерпретирована как градиент некоторой функции $H$. Возможности негамильтоновых представлений Лакса-Гейзенберга в литературе практически не обсуждались. Построенное в работе [27] представление для негамильтоновой системы Альфана на наш взгляд является довольно искусственным.

Замечание 2. В работе Л. Фейрбанкса (L. Fairbanks) [234] было получено однопараметрическое представление Лакса – Гейзенберга в виде матриц размера $2 \times 2$ для алгебраически вполне интегрируемых систем, допускающих линеаризацию на двумерных абелевых торах (в частности для волчка Ковалевской). Для построения такой пары уже заведомо нужно иметь уравнения Абеля – Якоби, то есть найти систему разделяющих переменных (типа переменных Ковалевской). Поэтому практическая ценность такой $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары, как и аналогичных представлений, найденных алгебро-геометрическими методами с использованием траекторных изоморфизмов является сомнительной. «Естественные» представления Лакса-Гейзенберга методы построения которых описаны в $\S \S 9,10$ гл. 2, наоборот, помогают найти полную систему инволютивных интегралов и явно проинтегрировать уравнения движения. Как показано в работах $[44,179]$ система Абеля-Якоби является гамильтоновой в различных смыслах. Представление Лакса-Гейзенберга для систем с разделяющимися переменными штеккелева типа приведено в [160].

4. Примеры. Любая гамильтонова система в канонической форме и с аналитическим в особой точке гамильтонианом допускает представление в виде $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары [3]. Действительно, пусть $H(\mathbf{p}, \mathbf{q})$ – полиномиальный гамильтониан с особой точкой $O$. Разложим $H$ в сумму $H_{k}$ однородных слагаемых степени $k(k
eq 1)$ и положим $G=\sum H_{k} /(k-1)$.

Рассмотрим следующие матрицы размера $(2 n+1) \times(2 n+1)$
\[
\begin{array}{c}
\Lambda=\left(\begin{array}{ccc}
0 & E & 0 \\
-E & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad \mathbf{L}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & \mathbf{p} \\
0 & 0 & \mathbf{q} \\
\mathbf{p} & \mathbf{q} & 0
\end{array}\right) \cdot \Lambda=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & \mathbf{p} \\
0 & 0 & \mathbf{q} \\
-\mathbf{q} & \mathbf{p} & 0
\end{array}\right) \\
\mathbf{A}=\Lambda \cdot\left(\begin{array}{ccc}
d^{2} G & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}
G_{\mathbf{q p}} & G_{\mathbf{q q}} & 0 \\
-G_{\mathbf{p p}} & -G_{\mathbf{p q}} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right)
\end{array}
\]

где $\mathbf{E}$ – единичная матрица размера $n$.
Тогда, используя формулы Эйлера для однородных функций $G_{\mathbf{p p}} \mathbf{p}+G_{\mathbf{p q}} \mathbf{q}=H_{\mathbf{p}}, G_{\mathbf{q p}} \mathbf{p}+G_{\mathbf{q q}} \mathbf{q}=H_{\mathbf{q}}$, уравнения Гамильтона можно записать в форме $\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]$.

Для линейной интегрируемой канонической системы с квадратичным гамильтонианом $H=\frac{1}{2}(\mathbf{S z}, \mathbf{z}), \mathbf{z}=$ (p, $\mathbf{q}$ ) (гамильтонова теория малых колебаний) легко указать представление Лакса-Гейзенберга, содержащее спектральный параметр [3]. В рассматриваемом случае матрица А из предыдущего примера является постоянной и можно положить $\mathbf{L}(\lambda)=\mathbf{L}+\lambda \mathbf{A}$. Тогда $\dot{\mathbf{L}}(\lambda)=[\mathbf{L}(\lambda), \mathbf{A}]$ – коммутационное представление для линейной системы. Характеристический многочлен матрицы $\mathbf{L}(\lambda)$ имеет вид
\[
\operatorname{det}\left(\mu \mathbf{E}_{2 n+1}-\mathbf{L}(\lambda)\right)=\operatorname{det}(\lambda \mathbf{S}-\mu \boldsymbol{\Omega})\left[\mu+\left\langle(\lambda \mathbf{S}-\mu \boldsymbol{\Omega})^{-1} \boldsymbol{\Omega} \mathbf{z}, \boldsymbol{\Omega} z\right\rangle\right]
\]

где $\boldsymbol{\Omega}$ – матрица симплектической формы. Коэффициенты этого многочлена при $\mu^{2 k}(k=0, \ldots, n-1)$ являются квадратичными по $\mathbf{z}$ первыми интегралами рассматриваемой системы. С помощью несложных расчетов можно убедиться, что они находятся в инволюции. Заметим также, что всякая четномерная линейная система с невырожденным первым интегралом является гамильтоновой [82].

Связь представления Лакса со спектральным параметром с интегрируемостью динамических систем иллюстрируется следующим примером.

Вполне интегрируемая (вообще говоря негамильтонова) система в стандартном виде
\[
\dot{I}_{1}=\ldots=\dot{I}_{k}=0, \quad \dot{\varphi}_{1}=\omega_{1}(I), \ldots, \dot{\varphi}_{m}=\omega_{m}(I)
\]

допускает точное представление Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром $\mathbf{L}(\lambda)=\mathbf{L}+\lambda \mathbf{A}, \dot{\mathbf{L}}(\lambda)=[\mathbf{L}(\lambda), \mathbf{A}]$ где
При этом
\[
\mathbf{L}_{s}=\left(\begin{array}{cc}
\psi_{s} & \psi_{s} \\
-\psi_{s} & -\psi_{s}
\end{array}\right), \quad \mathbf{A}_{s}=\left(\begin{array}{cc}
0 & i \omega_{s} / 2 \\
-i \omega_{s} / 2 & 0
\end{array}\right),
\]
$\psi_{s}=\exp \left(i \varphi_{s}\right)(1 \leqslant s \leqslant m)$. Этот пример является простой модификацией представления из [82].