1. Динамика в абсолютных переменных. Рассмотрим движение в безграничной идеальной жидкости $N$ параллельных прямолинейных вихревых нитей с интенсивностями $\Gamma_{i}$, точки пересечения которых с перпендикулярной им плоскостью имеют координаты $\left(x_{i}, y_{i}\right)$. Кирхгофом $[74]$ было показано, что уравнения движения такой системы можно записать в гамильтоновой форме
\[
\Gamma_{i} \dot{x}_{i}=\frac{\partial H}{\partial y_{i}}, \quad \Gamma_{i} \dot{y}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial x_{i}}, \quad 1 \leqslant i \leqslant n,
\]

с гамильтонианом
\[
H=-\frac{1}{8 \pi} \sum_{i, j=1}^{N} \Gamma_{i} \Gamma_{j} \ln \left(\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{j}\right)^{2}\right) .
\]

Скобка Пуассона, отвечающая (1.1), имеет вид:
\[
\{f, g\}=\sum_{i=1}^{N} \frac{1}{\Gamma_{i}}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial g}{\partial y_{i}}-\frac{\partial f}{\partial y_{i}} \frac{\partial g}{\partial x_{i}}\right) .
\]

Система уравнений (1.1) обладает, помимо энергии (1.2), первыми интегралами, связанными с инвариантностью гамильтониана относительно параллельных переносов и вращений системы координат:
\[
Q=\sum_{i=1}^{N} \Gamma_{i} x_{i}, \quad P=\sum_{i=1}^{N} \Gamma_{i} y_{i}, \quad I=\sum_{i=1}^{N} \Gamma_{i}\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}\right) .
\]

Набор интегралов (1.4) не инволютивен:
\[
\{Q, P\}=\sum_{i=1}^{N} \Gamma_{i}, \quad\{P, I\}=-2 Q, \quad\{Q, I\}=2 P .
\]

2. Комплексная форма уравнений вихревой динамики. Приведем еще одну форму уравнений движения вихрей на плоскости (1.1), которая более удобна для исследования частных решений общей задачи $N$ вихрей (см. также $\S 6$ ). Зададим положение вихрей при помощи комплексных чисел вида $z_{k}=x_{k}+i y_{k}, k=1, \ldots, N$, где $\left(x_{k}, y_{k}\right)$ декартовы координаты $k$-го вихря.

С учетом (1.1)-(1.3) уравнения движения можно представить в форме [117]
\[
\dot{z}_{k}=\frac{1}{2 \pi i} \sum_{l=1}^{N} \frac{\Gamma_{l}}{\overline{z_{k}-\bar{z}_{l}}}, \quad k=1, \ldots, N,
\]

где $\bar{z}_{k}=x_{k}-i y_{k}$ – комплексно-сопряженные числа.
Если в правой части (1.6) убрать комплексное сопряжение, то при равных интенсивностях $\Gamma_{k}=\Gamma_{l}=\Gamma, k, l=1, \ldots, N$ получается интегрируемая система при любых $N[188]$. Действительно, дифференцируя получившиеся уравнения по времени, получаем известную систему Калоджеро-Мозера (§3 гл. 5)
\[
\ddot{z}_{k}=\frac{1}{2}\left(\frac{\Gamma}{\pi}\right) \sum_{l=1}^{N} \frac{1}{\left(z_{k}-z_{l}\right)^{3}} .
\]

3. Представление в относительных переменных. Уравнения (1.1) описывают абсолютное движение вихрей по отношению к фиксированной системе координат на плоскости. Наличие первых интегралов (1.5), связанных с инвариантностью системы относительно группы движений плоскости – $E(2)$, позволяет выполнить редукцию системы к относительным переменным.

В канонической форме процесс редукции, аналогичный переходу к координатам Якоби в небесной механике $[188,258]$, приводит к исключению двух степеней свободы. Понижение на три степени свободы возможно лишь в частном случае $-\sum \Gamma_{i}=0, P=Q=0$, при этом интегралы (1.5) находятся в инволюции. Ниже (§3) этот случай более подробно разобран для задачи четырех вихрей.

Рассмотрим редукцию к относительным переменным в алгебраической форме ( $\S 8$ гл. 1). Формальное ее изложение и алгеброгеометрическая интерпретация приведены в § 6 . Здесь мы ограничимся более наивным описанием.

В качестве новых координат выберем квадраты взаимных расстояний
\[
M_{i j}=\left(x_{i}-x_{j}\right)^{2}+\left(y_{i}-y_{j}\right)^{2}
\]

и удвоеные ориентированные площади треугольников, натянутых на тройки вихрей $i, j, k$
\[
\Delta_{i j k}=\left(\mathbf{r}_{j}-\mathbf{r}_{i}\right) \wedge\left(\mathbf{r}_{k}-\mathbf{r}_{i}\right), \quad \mathbf{r}_{l}=\left(x_{l}, y_{l}\right) .
\]

Функция Гамильтона в относительных переменных
\[
H=-\frac{1}{8 \pi} \sum_{i, j=1}^{N} \Gamma_{i} \Gamma_{j} \ln M_{i j} .
\]

Прямая проверка показывает, что набор переменных $M_{i j}, \Delta_{i j k}$ замкнут относительно скобки (1.3):
\[
\begin{array}{c}
\left\{M_{i j}, M_{k l}\right\}=4\left(\frac{1}{\Gamma_{i}} \delta_{i k}-\frac{1}{\Gamma_{j}} \delta_{j k}\right) \Delta_{i j l}+4\left(\frac{1}{\Gamma_{i}} \delta_{i l}-\frac{1}{\Gamma_{j}} \delta_{j l}\right) \Delta_{i j k}, \\
\left\{M_{i j}, \Delta_{k l m}\right\}=\left(\frac{1}{\Gamma_{i}} \delta_{i k}-\frac{1}{\Gamma_{j}} \delta_{j k}\right)\left(M_{l i}-M_{i m}+M_{m j}-M_{j l}\right)+ \\
+\left(\frac{1}{\Gamma_{i}} \delta_{i l}-\frac{1}{\Gamma_{j}} \delta_{j l}\right)\left(M_{m i}-M_{i k}+M_{k j}-M_{j m}\right)+ \\
+\left(\frac{1}{\Gamma_{i}} \delta_{i m}-\frac{1}{\Gamma_{j}} \delta_{j m}\right)\left(M_{k i}-M_{i l}+M_{l j}-M_{j k}\right), \\
\left\{\Delta_{i j k}, \Delta_{l m n}\right\}=\frac{\delta_{i l}}{\Gamma_{i}}\left(\Delta_{j k n}-\Delta_{j k m}\right)+\frac{\delta_{i m}}{\Gamma_{i}}\left(\Delta_{j k l}-\Delta_{j k n}\right)+ \\
+\frac{\delta_{i n}}{\Gamma_{i}}\left(\Delta_{j k m}-\Delta_{j k l}\right)+\frac{\delta_{j l}}{\Gamma_{j}}\left(\Delta_{i k m}-\Delta_{i k n}\right)+ \\
+\frac{\delta_{j m}}{\Gamma_{j}}\left(\Delta_{i k n}-\Delta_{i k l}\right)+\frac{\delta_{j n}}{\Gamma_{j}}\left(\Delta_{i k l}-\Delta_{i k m}\right)+ \\
+\frac{\delta_{k l}}{\Gamma_{k}}\left(\Delta_{i j n}-\Delta_{i j m}\right)+\frac{\delta_{k m}}{\Gamma_{k}}\left(\Delta_{i j l}-\Delta_{i j n}\right)+\frac{\delta_{k n}}{\Gamma_{k}}\left(\Delta_{i j m}-\Delta_{i j l}\right) .
\end{array}
\]

Скобка (1.10) еще не определяет пуассонову структуру, так как не удовлетворяет тождеству Якоби. Это связано с избыточностью переменных $M, \Delta$. Действительно, их полное число равно $C_{N}^{2}+C_{N}^{3}=C_{N+1}^{3}$, в то время как число независимых расстояний, через которые могут быть выражены все остальные $M, \Delta$, равно лишь $2 N-3$, что приводит к наличию линейных и квадратичных соотношений
\[
\begin{aligned}
F_{i j k l}= & \Delta_{i j k}+\Delta_{i k l}-\Delta_{l i j}-\Delta_{l j k}=0, \\
F_{i j k}= & \left(2 \Delta_{i j k}\right)^{2}+M_{i j}^{2}+M_{j k}^{2}+ \\
& +M_{i k}^{2}-2\left(M_{i j} M_{j k}+M_{i j} M_{i k}+M_{j k} M_{i k}\right)=0 .
\end{aligned}
\]

Соотношения (1.11) отражают тот факт, что четырехугольник, натянутый на вихри $i j k l$ может быть составлен из треугольников двумя способами (рис. 28). Уравнения (1.12) представляют собой формулы Герона, выражающие площадь треугольника через его стороны.

Можно показать, что после исключения с помощью соотношений (1.11), линейно зависимых переменных $\Delta_{i j k}$, оставшиеся $\Delta, M$ определяют скобку Ли-Пуассона. Ниже под пуассоновой структурой системы вихрей мы будем понимать скобку (1.10) на подпространстве (1.11), а определяющую ее алгебру Ли называть вихревой алгеброй. Функции (1.12) являются инвариантными соотношениями, то есть коммутируют со всеми образующими на

Рис. 28 совместной поверхности уровня (1.12). Возникающие в этом случае тождества вида $\left\{\Delta, F_{i j k}\right\}=0$ и $\left\{M, F_{i j k}\right\}=0$ представляют собой геометрические соотношения между взаимными расстояниями и площадями $N$ точек на плоскости.

Как легко показать, скобка (1.10) допускает также линейную функцию Казимира, которая является следствием существования интеграла момента вихрей $I$ (1.10)
\[
D=\sum_{i, j=1}^{N} \Gamma_{i} \Gamma_{j} M_{i j}=2\left(\left(\sum_{i=1}^{N} \Gamma_{i}\right) I-Q^{2}-P^{2}\right) .
\]

Ее поверхность уровня совместно с (1.12) определяет симплектичес-

кий лист (в общем случае сингулярный) размерности $2 N-4$, который соответствует приведенному фазовому пространству системы (1.1).

Таким образом, относительное движение вихрей может быть описано гамильтоновой системой со скобкой Ли-Пуассона (1.10), зависящей от параметров – интенсивностей вихрей. Вещественная форма алгебр Ли отвечающих данным скобкам при различных значениях интенсивностей определяет топологию симплектических листов и следовательно динамику приведенной системы.

Естественным с физической точки зрения вопросом является нахождение условий на интенсивности, при которых данная алгебра является компактной, поскольку это влечет компактность всех симплектических листов. В этом случае все траектории относительного движения вне зависимости от значения энергии и момента (1.13) финитны, и кроме того всегда можно выбрать ограниченную область в пространстве взаимных расстояний, которую вихри не покидают. В некомпактном случае динамика вихрей существенно иная – даже если все траектории на симплектическом листе финитны (что в общем случае не так) можно подобрать значения энергии (1.9) и момента (1.13) так, что вихри покинут наперед заданную область.

Если выразить $\Delta_{i j k}$ из (1.12) и подставить в уравнения движения для квадратов взаимных расстояний $M_{i j}$, получим уравнения Е. Лаура $[273,274]$. С гамильтоновой точки зрения эти уравнения получаются при ограничении скобки Пуассона (1.10) на аннуляторы (1.12) (§8 гл. 1). Получающаяся при этом нелинейная пуассонова структура также является вырожденной.

Разрешив уравнения движения относительного положения вихрей, можно найти, используя квадратуры и начальные условия, их абсолютные координаты на плоскости в любой момент времени [117].

Укажем некоторые основные закономерности динамики точечных вихрей, отмеченные, например, в $[117,325]$.
1. Если в момент $t=t_{0}$ вихри проходят через коллинеарную конфигурацию (то есть все лежат на одной прямой), то конфигурации в момент времени $t=t_{0} \pm \tau$ получаются отражением друг друга относительно этой прямой для любых $\tau$.
2. Системы вихрей не могут проходить более чем через две коллинеарные конфигурации. Время перехода из одной коллинеарной конфигурации в другую в процессе движения одно и то же. При достижении коллинеарной конфигурации относительные скорости $\dot{M}_{i j}$ равны нулю.

Замечание 1. Уравнения во взаимных переменных $M, \Delta$ в вихревой динамике вполне аналогичны уравнениям Эйлера-Пуассона в динамике твердого тела. Однако, если скобка Ли-Пуассона, возникаюшая в последнем случае, определяется группой Ли, представляющей конфигурационное пространство системы, а уравнения Гамильтона получаются из лагранжева формализма, то в динамике точечных вихрей алгебра скобок имеет более сложное динамическое происхождение. При этом фазовое пространство не может быть представлено как кокасательное расслоение, поэтому лагранжево представление уравнений движения невозможно. Неудивительно, что эта стуктура, играющая важную роль при динамическом анализе, так и не была замечена классиками (хотя различные комбинации площадей и взаимных расстояний постоянно встречались при исследовании динамики вихрей $[117,188,183,184,258]$ ).
Замечание 2. Уравнения движения вихревой динамики квазиоднородны (см. $\S 7$ гл. 1) как в абсолютных (1.1), так и в относительных переменных. В абсолютных переменных степень квазиоднородности $g=-1 / 2$, а в относительных $-g=-1$. Тем не менее, система имеет логарифмический интеграл энергии.
Замечание 3. Геометрическое неравенство треугольников типа $\sqrt{M_{1}}+$ $+\sqrt{M_{2}} \geqslant \sqrt{M_{1}}$ для приведенных уравнений заведомо выполнено на особых симплектических листах (сингулярных орбитах), фиксированных соотношениями $F_{i j k}=0$ (1.12). Этот лист целиком заполнен реальным физическим движением системы. При его проекции в $M$-пространство в точках, для которых выполнены соотношения вида $\sqrt{M_{1}}+\sqrt{M_{2}}=\sqrt{M_{1}}$, возникают особенности типа складки (аналогичные особенностям в точках экватора при проектировании сферы на плоскость).