1. Незамкнутая цепочка, отображение рассеяния. Метод построения первых интегралов и доказательство интегрируемости незамкнутой цепочки Тоды и ее обобщений основывается на представлении Лакса-Гейзенберга $\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]$ (§4 гл. 1). Без спектрального параметра для цепочки (1.8) оно впервые получено Флашкой [237]:
\[
\mathbf{L}=\left(\begin{array}{cccc}
b_{1} & a_{1} & \cdots & 0 \\
a_{1} & b_{2} & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & a_{n-1} \\
0 & \cdots & a_{n-1} & b_{n}
\end{array}\right), \quad \mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & a_{1} & \cdots & 0 \\
-a_{1} & 0 & \ddots & \vdots \\
& \ddots & \ddots & a_{n-1} \\
0 & \cdots & a_{n-1} & 0
\end{array}\right),
\]

где $a_{i}=e^{\alpha\left(q_{i}-q_{i+1}\right)}, i=1, \ldots, n-1, b_{i}=p_{i} i=1, \ldots, n$.
Здесь и далее интегралы движения могут быть выбраны в форме
\[
I_{k}=\operatorname{Tr} \mathbf{L}^{k} .
\]

При этом гамильтониан $H=\frac{1}{2} \operatorname{Tr} \mathbf{L}^{2}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} b_{i}^{2}+\sum_{i=1}^{n-1} a_{i}^{2}$.
Независимость интегралов (2.2) следует из различия их степеней однородности по импульсам $b_{i}=p_{i}$. Доказательство инволютивности, данное Мозером [294], основывается на асимптотически свободном поведении: $a_{i} \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \pm \infty$ (частицы разбегаются). Интегралы (2.2) в этом случае принимают вид $I_{k}=\sum_{i=1}^{n} p_{i}^{k}$, скобка Пуассона $\left\{I_{k}, I_{l}\right\}=0$. В силу того, что функция $\left\{I_{k}, I_{l}\right\}$ также интеграл движения, интегралы остаются инволютивны во все моменты времени.

Для величин $p^{ \pm}, q^{ \pm}$, описывающих асимптотическое поведение системы при $t \rightarrow \pm \infty$
\[
\begin{array}{ll}
q_{k}(t)=p_{k}^{+} t+q_{k}^{+}+O\left(e^{-\delta t}\right), & t \rightarrow+\infty, \\
q_{k}(t)=p_{k}^{-} t+q_{k}^{-}+O\left(e^{\delta t}\right), \quad t \rightarrow-\infty,
\end{array}
\]

справедливы следующие соотношения [137]
\[
\left\{\begin{array}{l}
p_{n-i+1}^{+}=p_{i}^{-}, \\
q_{n-i+1}^{+}=q_{i}^{-}+c \sum_{j} \Phi_{j i}\left(p^{-}\right),
\end{array}\right.
\]

где
\[
\Phi_{j i}\left(p^{-}\right)=\left\{\begin{aligned}
\ln \left(p_{j}^{-}-p_{i}^{-}\right), & j<i, \\
-\ln \left(p_{j}^{-}-p_{i}^{-}\right), & j>i,
\end{aligned}\right.
\]
$c$ – некоторая константа.
Основываясь на представлении (2.1), М. А. Ольшанецкий и А. М. Переломов получили геометрическое описание потока цепочки Тоды, как проекции геодезического потока на пространстве симметрических положительно определенных матриц [137]:
\[
q_{i}(t)=q_{i}(0)+\frac{1}{2} \ln \frac{\Delta_{n-i+1}(t)}{\Delta_{i}(t)}, \quad i=1, \ldots, n,
\]

где $\Delta_{i}$ – нижний правый минор порядка $i$ матрицы $e^{2 \mathbf{L}_{0} t}$. Матрица $\mathbf{L}_{0}$ – это $\mathbf{L}$-матрица (2.1) в начальный момент времени $t=0$. (Соотношения (2.4) могут быть также получены при помощи проекции (2.5)).

2. Отображение рассеяния. Уравнения (2.4) задают интегрируемое отображение $S:\left(p^{-}, q^{-}\right) \mapsto\left(p^{+}, q^{+}\right)$, называемое отображением рассеяния $[294,137]$.

Более корректно, отображение рассеяния должно быть определено на множестве асимптотических траекторий (2.3), которое, очевидно, инвариантно относительно действия однопараметрической группы преобразований
\[
\Phi:(\mathbf{p}, \mathbf{q}) \longrightarrow(\mathbf{p}, \mathbf{q}+s \mathbf{p}) .
\]

Первые интегралы потока (2.6), параметризующие траектории рассеяния (2.3) могут быть выбраны в форме
\[
p_{i}, \quad x_{i}=q_{i}-\frac{(\mathbf{p}, \mathbf{q})}{\mathbf{p}^{2}} p_{i}, \quad i=1, \ldots, n,
\]
( $\mathbf{x}$ – проекция радиус-вектора на плоскость перпендикулярную $\mathbf{p}$ ).

Формулы (2.7) задают отображение $\mathbb{R}^{2 n}$ на подмножество, определяемое соотношением
\[
(\mathbf{x}, \mathbf{p})=0 .
\]

В связи с тем, что действие группы (2.6) гамильтоново с гамильтонианом $[120]$
\[
H=\frac{1}{2} \mathbf{p}^{2},
\]

отображение рассеяния допускает интеграл энергии $H=E$. Многообразие, задаваемое уравнениями (2.8), (2.9), совпадает с $T^{*} S^{n-1}$, на нем определено отображение рассеяния ( $S: T^{*} S^{n-1} \rightarrow T^{*} S^{n-1}$ ) для траекторий с фиксированной энергией.

Поясним геометрический смысл данной конструкции на примере натуральной системы с двумя степенями свободы. В этом случае (2.8) и (2.9) при $H=\mathrm{const}$ определяют $T^{*} S^{1}$, то есть цилиндр. Угловая координата $\varphi$ на нем соответствует направлению скорости налетающей или рассеивающейся частицы, а координата вдоль образующей $l$ соответствует наикратчайшему расстоянию асимптотической траектории до начала координат (см. рис. 72).
Начиная с Шази [4], считается, что
Рис. 72 рассеивающие системы с инфинитными траекториями в некотором смысле являются интегрируемыми. При этом в качестве интегралов предлагается рассматривать значение импульсов на бесконечности, которые определены для каждой точки фазового пространства [245]. Однако такое представление об интегрируемости является наивным. Для инфинитных траекторий с физической точки зрения речь может идти о хаотическом или регулярном поведении системы при многократном повторении процесса рассеяния для одной точки фазового пространства или о соответствующем поведении некоторой фазовой области даже в процессе одного рассеяния.

Указанные выше интегралы не определяют интегралов отображения рассеяния в отличие от обычных первых интегралов системы типа (2.2). Такие интегралы, определяемые некоторой аналитической (как

правило, рациональной) функцией $F(\mathbf{q}, \mathbf{p})$, обладают для всех известных интегрируемых систем свойством
\[
\lim _{t \rightarrow-\infty} F(\mathbf{q}+t \mathbf{p}, \mathbf{p})=\lim _{t+\infty} F(\mathbf{q}+t \mathbf{p}, \mathbf{p}),
\]

позволяющим корректно определить интегралы отображения рассеяния. Интегрируемые и неинтегрируемые отображения рассмотрены в $[254,255]$.
3. Периодическая цепочка Тоды. Алгебраическое описание цепочек. $\mathbf{L}$ – $\mathbf{A}$-пара (2.1) может быть легко обобщена для периодической цепочки тоды $\left(q_{n+1}=q_{1}\right.$ ) (для этого в правый верхний и левый нижний угол матриц $\mathbf{L}, \mathbf{A}$ необходимо поставить $\left.\pm a_{n}= \pm e^{\alpha\left(q_{n}-q_{1}\right)}\right)$. Хотя доказательство полноты интегралов (2.2), основанное на асимптотически свободном поведении, в данном случае неприменимо, можно показать, что данное $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-представление влечет интегрируемость. Для явного интегрирования в тэта-функциях и построения переменных действие-угол согласно [132] необходимо предъявить представление Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром.
О. И. Богоявленским [18] предложен метод построения $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары со спектральным параметром для обобщенных цепочек Тоды (1.1), векторы $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{N}$ которых определяются обычными и пополненными корневыми системами простых алгебр Ли (схемами Дынкина). При этом обычная незамкнутая (1.8) цепочка связана со схемой Дынкина алгебры $A_{n}$, а замкнутая (1.9) – с пополнением этой схемы максимальным корнем, так что образуется цикл. Соответствующие $\mathbf{L}, \mathbf{A}$ матрицы имеют вид
\[
\begin{aligned}
\mathbf{L} & =\left(\begin{array}{cccc}
b_{1} & \lambda a_{1} & \cdots & a_{n} / \lambda \\
a_{1} / \lambda & b_{2} & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \lambda a_{n-1} \\
\lambda a_{n} & \cdots & a_{n-1} / \lambda & b_{n}
\end{array}\right), \\
\mathbf{A} & =\left(\begin{array}{cccc}
0 & \lambda a_{1} & \cdots & a_{n} / \lambda \\
-a_{1} / \lambda & 0 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & \lambda a_{n-1} \\
-\lambda a_{n} & \cdots & -a_{n-1} / \lambda & 0
\end{array}\right)
\end{aligned}
\]

Описание интегрируемых цепочек Тоды, как систем на орбитах алгебр Ли, содержится в $[324,132]$. Цепочки, связанные с пополненными схемами Дынкина, могут быть вложены в бесконечномерную алгебру петель. Метод построения $\mathbf{L}$ – A-пары со спектральным параметром и доказательство интегрируемости, основанное на построении $r$-матрицы, содержится в [132].

4. Согласованные пуассоновы структуры цепочек Тоды. Связь представлений Лакса интегрируемых систем с их бигамильтоновостью обсуждалась в $\S 5$, гл. 1. В §9,10 гл. 2 показано, что представление Лакса – Гейзенберга в динамике твердого тела связаны с гамильтоновостью системы относительно пучка линейных скобок Пуассона.

Для обычной цепочки Тоды также существует вторая пуассонова структура, согласованная с первоначальной, найденная в [174]. Однако, она, в отличие от динамики твердого тела, является квадратичной
\[
\begin{array}{l}
\left\{a_{i}, a_{i+1}\right\}_{1}=\frac{1}{2} a_{i} a_{i+1}, \quad\left\{b_{i}, b_{i+1}\right\}_{1}=2 a_{i}^{2}, \\
\left\{b_{i}, a_{i}\right\}_{1}=a_{i} b_{i}, \quad\left\{b_{i+1}, a_{i}\right\}_{1}=-a_{i} b_{i+1} \\
\end{array}
\]
(для периодической $a_{n+1}=a_{1}$, для незамкнутой $a_{n+1}=0$ ). Гамильтониан для скобки (2.11) линеен
\[
H=\sum_{k=1}^{n} b_{k} .
\]

В работе [271] обнаружена еще одна согласованная (кубичная) скобка для цепочки Тоды (см. также [228]). Она имеет вид
\[
\begin{array}{lrl}
\left\{a_{i}, a_{i+1}\right\}_{2}=a_{i} a_{i+1} b_{i+1}, & \left\{a_{i}, b_{i}\right\}_{2}=-a_{i} b_{i}^{2}-a_{i}^{3}, \\
\left\{a_{i+1}, b_{i}\right\}_{2}=-a_{i}^{2} a_{i+1}, & \left\{a_{i}, b_{i+1}\right\}_{2}=a_{i} b_{i+1}^{2}+a_{i}^{3}, \\
\left\{a_{i}, b_{i+2}\right\}_{2}=a_{i} a_{i+1}^{2}, & \left\{b_{i}, b_{i+1}\right\}_{2}=2 a_{i}^{2}\left(b_{i}+b_{i+1}\right) .
\end{array}
\]

Гамильтониан системы
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \ln a_{k} .
\]

В этом смысле цепочка Тоды является тригамильтоновой.

Скобки (1.4), (2.11), (2.12) вырождены, их центральные функции образуют инволютивный относительно пучка $\lambda\{\cdot, \cdot\}+\mu\{\cdot, \cdot\}_{1}+
u\{\cdot, \cdot\}_{2}$ набор интегралов. Полнота этого набора, и, следовательно, интегрируемость обычной цепочки Тоды, следует из теоремы Болсинова §5 гл. 1.

Связь квадратичной скобки (2.11) с существованием унитарной $r$-матрицы обнаружена в [146]. Применение $r$-матрицы для построения квадратичной и кубичной скобок в цепочке Тоды приведено в [131].

В работе [228] указана согласованная скобка для обобщенной цепочки Тоды, связанной с алгеброй $B_{n}$. Вторая пуассонова структура для этой цепочки получается с помощью редукции Дирака из квадратичной скобки (2.11), и является дробно-рациональной. Там же указана еще одна – однородная кубичная скобка, с помощью которой и линейной скобки (для $B_{n}$ она невырождена) построен оператор рекурсии ( $\$ 5$ гл. 1).

Для обычной цепочки Тоды согласованные структуры (1.4), (2.11), (2.12) являются вырожденными и имеют различные симплектические листы, поэтому они не определяют оператор рекурсии ( $\$ 5$ гл. 1). Связь между этими скобками установлена в работе [228], при помощи мастер-симметрии – векторного поля $Z$, производная Ли вдоль которого порождает новые пуассоновы структуры
\[
\mathcal{L}_{Z} J_{0}=J_{1}, \ldots, \mathcal{L}_{Z} J_{k}=J_{k+1}, \ldots
\]

Мастер-симметрии для цепочки Тоды могут быть получены из уравнения $[228]$
\[
\left[Z,\left[Z, X_{H}\right]\right]=\mathbf{0},
\]

где $X_{H}$ – гамильтоново векторное поле.
Для цепочек, определяемых простыми алгебрами, в работе [195] получено представление в виде градиентного потока, из которого следует возможность матричного описания в виде двойного коммутатора
\[
\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{L},[\mathbf{L}, \mathbf{N}]], \quad \text { где } N \text { – постоянная матрица. }
\]

5. Релятивистские цепочки Тоды. Релятивистское обобщение систем типа Тоды предложено Русенаром (Ruijsenaars) [314]. Гамильтониан $n$-частичной цепочки в канонических переменных может быть представлен в форме
\[
H=\sum_{i=1}^{n} e^{p_{i}} v\left(q_{i-1}-q_{i}\right) v\left(q_{i}-q_{i+1}\right),
\]

где $v(x)=\sqrt{1+g^{2} e^{x}}, g=$ const. Для периодической цепочки необходимо положить $q_{n+1}=q_{1}$, а для незамкнутой $-q_{0}=-\infty, q_{n+1}=\infty$.

Уравнения движения системы (2.13) после замены $\dot{q}_{i} \mapsto \dot{q}_{i}+c$ и предельного перехода $c=1 / g \rightarrow \infty$ переходят в уравнения движения обычной цепочки Тоды.

Переменные, аналогичные переменным Флашки (2.2), в данном случае, могут быть выбраны в виде $[211,228]$
\[
\begin{aligned}
a_{i} & =g^{2} e^{q_{i}-q_{i+1}+p_{i}} \frac{v\left(q_{i-1}-q_{i}\right)}{v\left(q_{i}-q_{i+1}\right)}, \\
b_{i} & =e^{p_{i}} v\left(q_{i-1}-q_{i}\right) v\left(q_{i}-q_{i+1}\right)-a_{i},
\end{aligned} \quad i=1, \ldots, n .
\]

Ограничимся рассмотрением непериодической цепочки, поэтому положим $a_{n}=0$. Скобка Пуассона в новых переменных (2.14) получается однородной и квадратичной
\[
\left\{a_{i}, a_{i+1}\right\}=a_{i} a_{i+1}, \quad\left\{a_{i}, b_{i}\right\}=-a_{i} b_{i}, \quad\left\{a_{i}, b_{i+1}\right\}=a_{i} b_{i+1},
\]

а гамильтониан становится линейным
\[
H=\sum_{i=1}^{n}\left(b_{i}+a_{i}\right) .
\]
$\mathbf{L}$ – A-пара для периодической и непериодической цепочек найдена в [211]. В работе [228] показано, что незамкнутая релятивистская цепочка Тоды помимо скобки (2.15) допускает еще две согласованные пуассоновы структуры (линейную и кубическую). Приведем соответствующие скобки и гамильтонианы.
Линейная скобка:
\[
\left\{a_{i}, b_{i}\right\}=-a_{i}, \quad\left\{a_{i}, b_{i+1}\right\}=a_{i}, \quad\left\{b_{i}, b_{i+1}\right\}=-a_{i},
\]

функция Гамильтона:
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\left(a_{i}+b_{i}\right)^{2}+\sum_{i=1}^{n} a_{i}\left(a_{i+1}+b_{i+1}\right) .
\]

Кубичная скобка:
\[
\begin{array}{rlrl}
\left\{a_{i}, a_{i+1}\right\}=a_{i}^{2} a_{i+1}+a_{i} a_{i+1}^{2}+2 a_{i} a_{i+1} b_{i+1} \\
\left\{a_{i}, a_{i+2}\right\} & =a_{i} a_{i+1} a_{i+2}, & \left\{b_{i}, b_{i+1}\right\} & =a_{i} b_{i} b_{i+1}, \\
\left\{a_{i}, b_{i}\right\} & =-a_{i} b_{i}\left(a_{i}+b_{i}\right), & \left\{a_{i}, b_{i+1}\right\}=a_{i} b_{i+1}\left(a_{i}+b_{i+1}\right), \\
\left\{a_{i}, b_{i+2}\right\} & =a_{i} a_{i+1} b_{i+2}, & \left\{a_{i+1}, b_{i}\right\} & =-a_{i} a_{i+1} b_{i},
\end{array}
\]

гамильтониан:
\[
H=\sum_{i=1}^{n}\left(\ln b_{n}-\ln a_{n}\right) .
\]

Обобщенная релятивистская цепочка Тоды для различных корневых систем, насколько нам известно, не рассматривалась.