В этом параграфе мы рассмотрим уравнения динамики материальной точки единичной массы, движущейся по трехмерной сфере $S^{3}$ и в пространстве Лобачевского $L^{3}$ (псевдосфере) [30]. Эти пространства (вместе с евклидовым $E^{3}$ ) являются пространствами максимальной (шестипараметрической) группы движений и имеют постоянную гауссову и главные кривизны. Сфера является орбитой группы $S O(4)$, а псевдосфера – группы $S O(3,1)$.

1. Канонический формализм в избыточных переменных. Сферу $S^{3}$ (псевдосферу $L^{3}$ ) будем описывать избыточными координатами четырехмерного евклидова пространства $\mathbb{R}^{4}$ (пространства Минковского $\left.\mathbb{M}^{4}\right)$ с метрикой $\mathbf{g}=\operatorname{diag}(1,1,1,1)$ ( $\mathbf{g}=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$ ), ограниченную условием связи:
\[
\Phi(q)=\frac{1}{2}\left(g_{\mu
u} q^{\mu} q^{
u} \mp R^{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\langle q, q\rangle \mp R^{2}\right)=0,
\]

здесь и в последующих формулах верхний знак отвечает сфере, а нижний знак – псевдосфере. Метрика соответствующего пространства вложения индуцирует на сфере $S^{3}$ метрику сферы, а на псевдосфере $L^{3}$ метрику Лобачевского.

Движение свободной частицы в избыточных координатах описывается функцией Лагранжа
\[
L=\frac{1}{2} g_{\mu
u} \dot{q}^{\mu} \dot{q}^{
u}
\]

и условием связи (1.1). Перейдем к избыточному гамильтонову формализму систем со связями [4]. Импульсы, канонически сопряженные

избыточным переменным $q^{\mu}$, имеют вид
\[
p_{\mu}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^{\mu}}+\Lambda \frac{\partial \Phi}{\partial q^{\mu}} .
\]

Множитель Лагранжа $\Lambda$ определяется из условия связи (1.1):
\[
\Lambda=\frac{\langle p, q\rangle}{\langle q, q\rangle} .
\]

После преобразования Лежандра получим функцию Гамильтона свободной частицы в виде
\[
H=\frac{1}{2}\left(\langle p, p\rangle-\frac{\langle p, q\rangle^{2}}{\langle q, q\rangle}\right) .
\]

Уравнения движения в переменных $q, p$ канонические.

2. Алгебраическое представление. Для представления системы в гамильтоновой форме со скобкой Ли- Пуассона рассмотрим компоненты антисимметричного тензора углового момента частицы
\[
M_{\mu
u}=g_{\mu \alpha} q^{\alpha} p_{
u}-g_{
u \alpha} q^{\alpha} p_{\mu} .
\]

Компоненты этого тензора образуют алгебру $s o(4)$ для $S^{3}(s o(3,1)$ для $L^{3}$ ) относительно стандартной скобки Пуассона $\left\{q^{\alpha}, p_{\beta}\right\}=\delta_{\beta}^{\alpha}$
\[
\left\{M_{\mu
u}, M_{\rho \sigma}\right\}=g_{\mu \rho} M_{
u \sigma}-g_{\mu \sigma} M_{
u \rho}+g_{
u \sigma} M_{\mu \rho}-g_{
u \rho} M_{\mu \sigma} .
\]

Введем новые генераторы алгебры $s o(4)(s o(3,1))$ по формулам
\[
\begin{aligned}
L_{i} & =\frac{1}{2} \varepsilon_{i j k} M_{j k}, & & (\mathbf{L}=\mathbf{q} \times \mathbf{p}), \\
\pi_{i} & =M_{0 i}, & & \left(\boldsymbol{\pi}= \pm q^{0} \mathbf{p}-p_{0} \mathbf{q}\right),
\end{aligned} \quad i, j, k=1,2,3,
\]

здесь и далее греческие индексы принимают значения $0,1,2,3$, а латинские – $1,2,3$.
Скобки Пуассона между ними имеют вид
\[
\left\{L_{i}, L_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{k}, \quad\left\{\pi_{i}, \pi_{j}\right\}= \pm \varepsilon_{i j k} L_{k}, \quad\left\{L_{i}, \pi_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \pi_{k} .
\]

Если на частицу действует также потенциальное $V\left(q^{\mu}\right)$, то гамильтониан системы может быть представлен в виде [55]
\[
H=\frac{1}{2 R^{2}}\left(\pi^{2} \pm \mathbf{L}^{2}\right)+V\left(q^{\mu}\right)= \pm \frac{1}{4 R^{2}} M_{\mu
u} M^{\mu
u}+V\left(q^{\mu}\right) .
\]

Коммутируя генераторы вращений (1.7) с $q^{\mu}$, получим десятимерную алгебру, являющуюся полупрямой суммой алгебры вращений и четырехмерной алгебры трансляций.
\[
\begin{array}{c}
\left\{L_{i}, L_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{k}, \quad\left\{L_{i}, \pi_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \pi_{k}, \quad\left\{\pi_{i}, \pi_{j}\right\}= \pm \varepsilon_{i j k} L_{k}, \\
\left\{L_{i}, q^{0}\right\}=0, \quad\left\{L_{i}, q_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} q^{k}, \\
\left\{\pi_{i}, q^{0}\right\}=q^{i}, \quad\left\{\pi_{i}, q_{j}\right\}=\mp q^{0} \delta_{i j} .
\end{array}
\]

Алгебра (1.10) представляет собой алгебру Ли группы движений пространства Евклида $-e(4)$ (Минковского – $e(3,1) \approx s o(3,1) \oplus_{s} \mathbb{R}^{4}$ ). Ее ранг равен восьми. Одна из центральных функций $\Phi(q)$ определяется геометрическим соотношением (1.1).

Вторая функция Казимира $W^{2}$ строится с помощью четырехмерного вектора Паули – Любанского [8]:
\[
W_{\lambda}=\frac{1}{2} \varepsilon_{\lambda \mu
u \rho} q^{\mu} M^{
u \rho}, \quad \lambda=0,1,2,3,
\]

где $\varepsilon_{\lambda \mu
u \rho}$ – четырехмерный антисимметричный тензор Леви-Чивита.
Компоненты вектора (1.11) в данном случае могут быть представлены в виде:
\[
W_{0}=(\mathbf{L}, \mathbf{q}), \quad \mathbf{W}=-q^{0} \mathbf{L} \mp \boldsymbol{\pi} \times \mathbf{q},
\]

при этом
\[
W^{2} \equiv W_{\mu} W^{\mu}= \pm\left(W_{0}\right)^{2}+(\mathbf{W}, \mathbf{W}) .
\]

Вычислим коммутационные соотношения вектора Паули-Любанского с образующими алгебры (1.10).
\[
\begin{array}{lll}
\left\{W_{i}, q^{0}\right\}=\left\{W_{i}, q_{j}\right\}=0, & \left\{W_{i}, L_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} W_{k}, & \left\{W_{i}, \pi_{j}\right\}=\delta_{i j} W_{0}, \\
\left\{W_{0}, q^{0}\right\}=\left\{W_{0}, q_{i}\right\}=0, & \left\{W_{0}, L_{j}\right\}=0, & \left\{W_{0}, \pi_{j}\right\}=\mp W_{j} .
\end{array}
\]

Из (1.14) следует, что уравнения $W_{\mu}=0, \mu=0,1,2,3$ задают векторное инвариантное соотношение $W_{\mu}=0$, т. е. для любого гамильтониана $H$
\[
\left.\left\{W_{\mu}, H\right\}\right|_{W_{\mu}=0}=0
\]

и определяют шестимерное пуассоново подмногообразие.
Отметим, что в евклидовом случае соотношение $W^{2}=0$ задает сингулярный симплектический лист, ранг которого равен шести, так как для $e(4)$ условие $W^{2}=0$ эквивалентно $W=0$. Для алгебры Пуангаре подмногообразие $W=0$ представляет собой пересечение двух частей (для одной части $W_{0}>0$, а для другой $-W_{0}<0$ ) особого симплектического листа $-W^{2}=-W_{0}^{2}+\mathbf{W}^{2}=0$, размерность которого равна восьми.

Несложно проверить, используя (1.7), что векторы $\mathbf{L}, \boldsymbol{\pi}$ связаны соотношением
\[
\mathbf{L}=\mp \frac{1}{q^{0}} \pi \times \mathbf{q},
\]

следовательно для частицы в искривленном пространстве справедливы соотношения $W_{\mu}=0, \mu=0, \ldots, 3$. Это позволяет представить уравнения динамики частицы на $S^{3}\left(L^{3}\right)$ в виде ограничения фазового потока гамильтоновой системы (1.9) на инвариантное пуассоново подмногообразие $W=0$ алгебры $e(4)(e(3,1))$.
Гамильтониан (1.9) генерирует фазовый поток:
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{L}} & =\{\mathbf{L}, H\}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}} \times \mathbf{L}+\frac{\partial H}{\partial \pi} \times \pi+\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}} \times \mathbf{q}, \\
\dot{\pi} & =\{\pi, H\}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}} \times \pi \pm \frac{\partial H}{\partial \pi} \times \mathbf{L}+\frac{\partial H}{\partial q^{0}} \times \mathbf{q} \mp q^{0} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}, \\
q^{0} & =\left\{q^{0}, H\right\}=-\left(\mathbf{q}, \frac{\partial H}{\partial \pi}\right), \\
\dot{\mathbf{q}} & =\{\mathbf{q}, H\}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}} \times \mathbf{q} \pm \frac{\partial H}{\partial \pi} q_{0} .
\end{aligned}
\]

Любопытно заметить, что кривизна пространства входит в функцию Гамильтона (1.9) и функцию Казимира (1.11), но не в уравнения (1.16).

Замечание 1. Уравнения (1.16) можно получить из общих уравнений Пуанкаре- Четаева на группе $S O(4)$ при редукции на базу расслоения $S O(4)$ со слоем $S O(3)$ (см. §1 гл. 1).

Замечание 2. Если ввести гномонические координаты $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ вместо избыточных $q^{0}, \mathbf{q}$, соответствующие двузначному центральному проецированию сферы (псевдосферы) на касательную плоскость к точке ее южного полюса, по формулам
\[
x_{i}=\frac{q_{i}}{\sqrt{1 \mp \frac{\mathbf{q}^{2}}{R^{2}}}},
\]

получим алгебру (1.10) в переменных $L_{i}, \pi_{i}, x_{i}$ :
\[
\begin{array}{c}
\left\{L_{i}, L_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{k}, \quad\left\{L_{i}, \pi_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \pi_{k}, \quad\left\{\pi_{i}, \pi_{j}\right\}= \pm \varepsilon_{i j k} L_{k}, \\
\left\{L_{i}, x_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} x_{k}, \quad\left\{\pi_{i}, x_{j}\right\}=\mp R \delta_{i j}-x_{i} x_{j} / R,
\end{array}
\]

Алгебра (1.18) принадлежит к квадратичным алгебрам Якоби $[55,206]$.

3. Редуцированные уравнения для $S^{3}$. Для случая динамики точки на $S^{3}$ возможна еще одна форма уравнений движения, которая связана с существованием вещественного разложения:
\[
s o(4) \approx s o(3) \oplus s o(3) .
\]

Переменные, соответствующие слагаемым, задаются формулами
\[
M_{i}=\frac{1}{2}\left(\pi_{i}-L_{i}\right), \quad N_{i}=\frac{1}{2}\left(\pi_{i}+L_{i}\right) .
\]

В таком представлении алгебра $e(4)$ разлагается в сумму двух пересекающихся семимерных подалгебр $l(\mathbf{M}, q), l(\mathbf{N}, q)$. Каждая из них представляет собой полупрямую сумму алгебры вращений $s o(3)$ и абелевой алгебры трансляций $\mathbb{R}^{4}-s o(4) \oplus \mathbb{R}^{4}$ :
\[
\begin{aligned}
\left\{M_{i}, q^{j}\right\} & =-\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{i j k} q^{k}+q^{0} \delta_{i j}\right), & \left\{N_{i}, q^{j}\right\} & =\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{i j k} q^{k}-q^{0} \delta_{i j}\right), \\
\left\{M_{i}, M_{j}\right\} & =-\varepsilon_{i j k} M_{k}, & \left\{N_{i}, N_{j}\right\} & =\varepsilon_{i j k} N_{k}, \\
\left\{M_{i}, q^{0}\right\} & =\frac{1}{2} q^{i}, & \left\{N_{i}, q^{0}\right\} & =\frac{1}{2} q^{i}, \\
\left\{M_{i}, N_{j}\right\} & =0, & \left\{q^{\mu}, q^{
u}\right\} & =0 .
\end{aligned}
\]

Отметим изоморфизм подалгебры $l\left(M_{i}, q^{0}, \mathbf{q}\right)(1.20)$ и алгебры (2.7) $\S 2$ гл. 2 задачи о движении твердого тела в кватернионном описании (при этом $M_{i} \rightarrow M_{i}, q^{\mu} \rightarrow \lambda_{\mu}$ ).

Уравнения движения на алгебре $l(\mathbf{M}, q)$ имеют вид:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial H}{\partial q^{0}} \mathbf{q}-q^{0} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}\right)+\frac{1}{2} \mathbf{q} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}, \\
\dot{q^{0}}=-\frac{1}{2}\left(\mathbf{q}, \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}\right), \quad \dot{\mathbf{q}}=\frac{1}{2} \mathbf{q} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\frac{1}{2} q^{0} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}} .
\end{array}
\]

Аналогично можно записать уравнения движения на подалгебpe $l(\mathbf{N}, q)$, учитывая, что на сингулярной орбите $\mathbf{M}^{2}=\mathbf{N}^{2}$.

Для случая пространства Лобачевского аналогичное представление уравнений движения частицы на семимерной подалгебре невозможно в силу того, что алгебра $s o(1,3)$ не разлагается в прямую сумму алгебр над полем вещественных чисел.

Для решения конкретных задач необходимо задать вид потенциала $V(q)$. В следующих параграфах приведены различные типы потенциалов, являющихся аналогами соответствующих потенциалов в евклидовом пространстве $\mathbb{E}^{3}$ и разобраны обобщения задач классической небесной механики.
Замечание 3. Указанное разложение позволяет установить аналогию между задачей о движении частицы в $S^{3}$ и задачей о движении сферического волчка вокруг неподвияной точки ( $\$ 6$, гл. 2). Для этого выразим гамильтониан (1.9) (для $S^{3}$ ) через $\mathbf{M}$ по формуле $\pi^{2}+\mathbf{L}^{2}=4 \mathbf{M}^{2}$, которая справедлива только на симплектическом листе $W^{2}=0$ :
\[
H=2 \mathbf{M}^{2}+U(q) .
\]

Аналогия между движением сферического волчка и точки на трехмерной сфере другими способами была установлена в работах $[17,81]$. В [81] с помощью этой аналогии отмечен интегрируемый потенциал четвертой степени на $S^{3}$, порождаемый одной интегрируемой задачей в динамике твердого тела (см. §10 гл. 2).