В этом параграфе мы рассмотрим уравнения динамики материальной точки единичной массы, движущейся по трехмерной сфере $S^3$ и в пространстве Лобачевского $L^3$ (псевдосфере) [30]. Эти пространства (вместе с евклидовым $E^3$ ) являются пространствами максимальной (шестипараметрической) группы движений и имеют постоянную гауссову и главные кривизны. Сфера является орбитой группы $SO(4)$, а псевдосфера — группы $SO(3,1)$.

1. Канонический формализм в избыточных переменных. Сферу $S^3$ (псевдосферу $L^3$ ) будем описывать избыточными координатами четырехмерного евклидова пространства ${\mathbb{R}}^4$ (пространства Минковского ${\mathbb{M}}^4)$ с метрикой $\mathbf{g}=\mathrm{diag}(1,1,1,1)$ ( $\mathbf{g}=\mathrm{diag}(-1,1,1,1)$ ), ограниченную условием связи:
$$\mathrm{\Phi }(q)=\frac{1}{2}(g_{\mu u}{q}^{\mu }{q}^u\mp R^2)=\frac{1}{2}(⟨q,q⟩\mp R^2)=0,$$

здесь и в последующих формулах верхний знак отвечает сфере, а нижний знак — псевдосфере. Метрика соответствующего пространства вложения индуцирует на сфере $S^3$ метрику сферы, а на псевдосфере $L^3$ метрику Лобачевского.

Движение свободной частицы в избыточных координатах описывается функцией Лагранжа
$$L=\frac{1}{2}{g}_{\mu u}{\dot{q}}^{\mu }{\dot{q}}^u$$

и условием связи (1.1). Перейдем к избыточному гамильтонову формализму систем со связями [4]. Импульсы, канонически сопряженные

избыточным переменным $q^{\mu }$, имеют вид
$$p_{\mu }=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}^{\mu }}+\mathrm{\Lambda }\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial q^{\mu }}.$$

Множитель Лагранжа $\mathrm{\Lambda }$ определяется из условия связи (1.1):
$$\mathrm{\Lambda }=\frac{⟨p,q⟩}{⟨q,q⟩}.$$

После преобразования Лежандра получим функцию Гамильтона свободной частицы в виде
$$H=\frac{1}{2}(⟨p,p⟩-\frac{⟨p,q{⟩}^2}{⟨q,q⟩}).$$

Уравнения движения в переменных $q,p$ канонические.

2. Алгебраическое представление. Для представления системы в гамильтоновой форме со скобкой Ли- Пуассона рассмотрим компоненты антисимметричного тензора углового момента частицы
$$M_{\mu u}=g_{\mu \alpha }{q}^{\alpha }{p}_u-g_{u\alpha }{q}^{\alpha }{p}_{\mu }.$$

Компоненты этого тензора образуют алгебру $so(4)$ для $S^3(so(3,1)$ для $L^3$ ) относительно стандартной скобки Пуассона $\{q^{\alpha },p_{\beta }\}={\delta }_{\beta }^{\alpha }$
$$\{M_{\mu u},M_{\rho \sigma }\}=g_{\mu \rho }{M}_{u\sigma }-g_{\mu \sigma }{M}_{u\rho }+g_{u\sigma }{M}_{\mu \rho }-g_{u\rho }{M}_{\mu \sigma }.$$

Введем новые генераторы алгебры $so(4)(so(3,1))$ по формулам
$$\begin{array}{rlrl}{L}_i& =\frac{1}{2}{\epsilon }_{ijk}{M}_{jk},& & (\mathbf{L}=\mathbf{q}\times \mathbf{p}),\\ {\pi }_i& =M_{0i},& & (\mathit{\pi }=\pm q^0\mathbf{p}-p_0\mathbf{q}),\end{array}i,j,k=1,2,3,$$

здесь и далее греческие индексы принимают значения $0,1,2,3$, а латинские — $1,2,3$.
Скобки Пуассона между ними имеют вид
$$\{L_i,L_j\}={\epsilon }_{ijk}{L}_k,\{{\pi }_i,{\pi }_j\}=\pm {\epsilon }_{ijk}{L}_k,\{L_i,{\pi }_j\}={\epsilon }_{ijk}{\pi }_k.$$

Если на частицу действует также потенциальное $V\left(q^{\mu }\right)$, то гамильтониан системы может быть представлен в виде [55]
$$H=\frac{1}{2R^2}({\pi }^2\pm {\mathbf{L}}^2)+V\left(q^{\mu }\right)=\pm \frac{1}{4R^2}{M}_{\mu u}{M}^{\mu u}+V\left(q^{\mu }\right).$$

Коммутируя генераторы вращений (1.7) с $q^{\mu }$, получим десятимерную алгебру, являющуюся полупрямой суммой алгебры вращений и четырехмерной алгебры трансляций.
$$\begin{array}{c}\{L_i,L_j\}={\epsilon }_{ijk}{L}_k,\{L_i,{\pi }_j\}={\epsilon }_{ijk}{\pi }_k,\{{\pi }_i,{\pi }_j\}=\pm {\epsilon }_{ijk}{L}_k,\\ \{L_i,q^0\}=0,\{L_i,q_j\}={\epsilon }_{ijk}{q}^k,\\ \{{\pi }_i,q^0\}=q^i,\{{\pi }_i,q_j\}=\mp q^0{\delta }_{ij}.\end{array}$$

Алгебра (1.10) представляет собой алгебру Ли группы движений пространства Евклида $-e(4)$ (Минковского — $e(3,1)\approx so(3,1){\oplus }_s{\mathbb{R}}^4$ ). Ее ранг равен восьми. Одна из центральных функций $\mathrm{\Phi }(q)$ определяется геометрическим соотношением (1.1).

Вторая функция Казимира $W^2$ строится с помощью четырехмерного вектора Паули — Любанского [8]:
$$W_{\lambda }=\frac{1}{2}{\epsilon }_{\lambda \mu u\rho }{q}^{\mu }{M}^{u\rho },\lambda =0,1,2,3,$$

где ${\epsilon }_{\lambda \mu u\rho }$ — четырехмерный антисимметричный тензор Леви-Чивита.
Компоненты вектора (1.11) в данном случае могут быть представлены в виде:
$$W_0=(\mathbf{L},\mathbf{q}),\mathbf{W}=-q^0\mathbf{L}\mp \mathit{\pi }\times \mathbf{q},$$

при этом
$$W^2\equiv W_{\mu }{W}^{\mu }=\pm {\left(W_0\right)}^2+(\mathbf{W},\mathbf{W}).$$

Вычислим коммутационные соотношения вектора Паули-Любанского с образующими алгебры (1.10).
$$\begin{array}{lll}\{W_i,q^0\}=\{W_i,q_j\}=0,& \{W_i,L_j\}={\epsilon }_{ijk}{W}_k,& \{W_i,{\pi }_j\}={\delta }_{ij}{W}_0,\\ \{W_0,q^0\}=\{W_0,q_i\}=0,& \{W_0,L_j\}=0,& \{W_0,{\pi }_j\}=\mp W_j.\end{array}$$

Из (1.14) следует, что уравнения $W_{\mu }=0,\mu =0,1,2,3$ задают векторное инвариантное соотношение $W_{\mu }=0$, т. е. для любого гамильтониана $H$
$${\{W_{\mu },H\}|}_{W_{\mu }=0}=0$$

и определяют шестимерное пуассоново подмногообразие.
Отметим, что в евклидовом случае соотношение $W^2=0$ задает сингулярный симплектический лист, ранг которого равен шести, так как для $e(4)$ условие $W^2=0$ эквивалентно $W=0$. Для алгебры Пуангаре подмногообразие $W=0$ представляет собой пересечение двух частей (для одной части $W_0>0$, а для другой $-W_0<0$ ) особого симплектического листа $-W^2=-W_0^2+{\mathbf{W}}^2=0$, размерность которого равна восьми.

Несложно проверить, используя (1.7), что векторы $\mathbf{L},\mathit{\pi }$ связаны соотношением
$$\mathbf{L}=\mp \frac{1}{q^0}\pi \times \mathbf{q},$$

следовательно для частицы в искривленном пространстве справедливы соотношения $W_{\mu }=0,\mu =0,\dots ,3$. Это позволяет представить уравнения динамики частицы на $S^3\left(L^3\right)$ в виде ограничения фазового потока гамильтоновой системы (1.9) на инвариантное пуассоново подмногообразие $W=0$ алгебры $e(4)(e(3,1))$.
Гамильтониан (1.9) генерирует фазовый поток:
$$\begin{array}{rl}\dot{\mathbf{L}}& =\{\mathbf{L},H\}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}}\times \mathbf{L}+\frac{\partial H}{\partial \pi }\times \pi +\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}\times \mathbf{q},\\ \dot{\pi }& =\{\pi ,H\}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}}\times \pi \pm \frac{\partial H}{\partial \pi }\times \mathbf{L}+\frac{\partial H}{\partial q^0}\times \mathbf{q}\mp q^0\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}},\\ q^0& =\{q^0,H\}=-(\mathbf{q},\frac{\partial H}{\partial \pi }),\\ \dot{\mathbf{q}}& =\{\mathbf{q},H\}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}}\times \mathbf{q}\pm \frac{\partial H}{\partial \pi }{q}_0.\end{array}$$

Любопытно заметить, что кривизна пространства входит в функцию Гамильтона (1.9) и функцию Казимира (1.11), но не в уравнения (1.16).

Замечание 1. Уравнения (1.16) можно получить из общих уравнений Пуанкаре- Четаева на группе $SO(4)$ при редукции на базу расслоения $SO(4)$ со слоем $SO(3)$ (см. §1 гл. 1).

Замечание 2. Если ввести гномонические координаты $x_1,x_2,x_3$ вместо избыточных $q^0,\mathbf{q}$, соответствующие двузначному центральному проецированию сферы (псевдосферы) на касательную плоскость к точке ее южного полюса, по формулам
$$x_i=\frac{q_i}{\sqrt{1\mp \frac{{\mathbf{q}}^2}{R^2}}},$$

получим алгебру (1.10) в переменных $L_i,{\pi }_i,x_i$ :
$$\begin{array}{c}\{L_i,L_j\}={\epsilon }_{ijk}{L}_k,\{L_i,{\pi }_j\}={\epsilon }_{ijk}{\pi }_k,\{{\pi }_i,{\pi }_j\}=\pm {\epsilon }_{ijk}{L}_k,\\ \{L_i,x_j\}={\epsilon }_{ijk}{x}_k,\{{\pi }_i,x_j\}=\mp R{\delta }_{ij}-x_i{x}_j/R,\end{array}$$

Алгебра (1.18) принадлежит к квадратичным алгебрам Якоби $[55,206]$.

3. Редуцированные уравнения для $S^3$. Для случая динамики точки на $S^3$ возможна еще одна форма уравнений движения, которая связана с существованием вещественного разложения:
$$so(4)\approx so(3)\oplus so(3).$$

Переменные, соответствующие слагаемым, задаются формулами
$$M_i=\frac{1}{2}({\pi }_i-L_i),N_i=\frac{1}{2}({\pi }_i+L_i).$$

В таком представлении алгебра $e(4)$ разлагается в сумму двух пересекающихся семимерных подалгебр $l(\mathbf{M},q),l(\mathbf{N},q)$. Каждая из них представляет собой полупрямую сумму алгебры вращений $so(3)$ и абелевой алгебры трансляций ${\mathbb{R}}^4-so(4)\oplus {\mathbb{R}}^4$ :
$$\begin{array}{rlrl}\{M_i,q^j\}& =-\frac{1}{2}({\epsilon }_{ijk}{q}^k+q^0{\delta }_{ij}),& \{N_i,q^j\}& =\frac{1}{2}({\epsilon }_{ijk}{q}^k-q^0{\delta }_{ij}),\\ \{M_i,M_j\}& =-{\epsilon }_{ijk}{M}_k,& \{N_i,N_j\}& ={\epsilon }_{ijk}{N}_k,\\ \{M_i,q^0\}& =\frac{1}{2}{q}^i,& \{N_i,q^0\}& =\frac{1}{2}{q}^i,\\ \{M_i,N_j\}& =0,& \{q^{\mu },q^u\}& =0.\end{array}$$

Отметим изоморфизм подалгебры $l(M_i,q^0,\mathbf{q})(1.20)$ и алгебры (2.7) $\mathrm{\S }2$ гл. 2 задачи о движении твердого тела в кватернионном описании (при этом $M_i\to M_i,q^{\mu }\to {\lambda }_{\mu }$ ).

Уравнения движения на алгебре $l(\mathbf{M},q)$ имеют вид:
$$\begin{array}{l}\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M}\times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\frac{1}{2}(\frac{\partial H}{\partial q^0}\mathbf{q}-q^0\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}})+\frac{1}{2}\mathbf{q}\times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}},\\ \dot{q^0}=-\frac{1}{2}(\mathbf{q},\frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}),\dot{\mathbf{q}}=\frac{1}{2}\mathbf{q}\times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\frac{1}{2}{q}^0\frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}.\end{array}$$

Аналогично можно записать уравнения движения на подалгебpe $l(\mathbf{N},q)$, учитывая, что на сингулярной орбите ${\mathbf{M}}^2={\mathbf{N}}^2$.

Для случая пространства Лобачевского аналогичное представление уравнений движения частицы на семимерной подалгебре невозможно в силу того, что алгебра $so(1,3)$ не разлагается в прямую сумму алгебр над полем вещественных чисел.

Для решения конкретных задач необходимо задать вид потенциала $V(q)$. В следующих параграфах приведены различные типы потенциалов, являющихся аналогами соответствующих потенциалов в евклидовом пространстве ${\mathbb{E}}^3$ и разобраны обобщения задач классической небесной механики.
Замечание 3. Указанное разложение позволяет установить аналогию между задачей о движении частицы в $S^3$ и задачей о движении сферического волчка вокруг неподвияной точки ( $\mathrm{\$}6$, гл. 2). Для этого выразим гамильтониан (1.9) (для $S^3$ ) через $\mathbf{M}$ по формуле ${\pi }^2+{\mathbf{L}}^2=4{\mathbf{M}}^2$, которая справедлива только на симплектическом листе $W^2=0$ :
$$H=2{\mathbf{M}}^2+U(q).$$

Аналогия между движением сферического волчка и точки на трехмерной сфере другими способами была установлена в работах $[17,81]$. В [81] с помощью этой аналогии отмечен интегрируемый потенциал четвертой степени на $S^3$, порождаемый одной интегрируемой задачей в динамике твердого тела (см. §10 гл. 2).