1. Уравнения Абеля. Гиперэллиптические кривые. Нахождение точного решения многих интегрируемых задач механики (случай Ковалевской, Клебша и Стеклова в динамике твердого тела, задача Якоби о геодезических на эллипсоиде) приводится к интегрированию системы уравнений Абеля (Абеля – Якоби). Эти уравнения некоторых переменных ( $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{g}$ ), называемых переменными Абеля (введение которых в каждой конкретной задаче является нетривиальным), могут быть записаны в виде
\[
\frac{\lambda_{1}^{i} d \lambda_{1}}{\sqrt{R\left(\lambda_{1}\right)}}+\cdots+\frac{\lambda_{g}^{i} d \lambda_{g}}{\sqrt{R\left(\lambda_{g}\right)}}=\delta_{i} d t, \quad i=0, \ldots, g-1,
\]

где $\delta_{1}, \ldots, \delta_{g}$ – вещественные числа, зависящие от значений первых интегралов (константы Абеля), $R(\lambda)$ – полином степени $2 g+1$ или $2 g+2$ от $\lambda$ с вещественными коэффициентами, зависящими от констант первых интегралов. При этом каждая из переменных $\lambda_{i}$ пробегает отрезок, на котором значения полинома $R(\lambda)$ неотрицательны, причем знаю корня $\sqrt{R(\lambda)}$ меняется всякий раз, когда $\lambda_{i}$ достигает конца отрезка.

В задаче Якоби о геодезических на эллипсоиде переменными Абеля являются эллиптические координаты, в задаче Ковалевской введение переменных Абеля является существенно более сложным и не имеет естественной геометрической интерпретации. Важной особенностью задач, которые проинтегрированы указанным образом (при помощи сведения к уравнениям Абеля), является то, что их переменные и время, а также замену, определяющую переменные Абеля, можно считать комплекснозначными, что мы и будем предполагать в дальнейшем.

Система (С.1) имеет особенности в нулях $R(\lambda)$. В окрестности простых нулей полинома особенность можно устранить, введя новую локальную переменную $w^{2}=R(\lambda)$. Поэтому правильнее считать, что

каждое из уравнений системы (С.1) при фиксированных значениях первых интегралов задано на гиперэллиптической кривой
\[
\Gamma=\left\{w^{2}=R(\lambda)\right\},
\]

а сама система задана на пространстве $S^{g} \Gamma$, точками которого являются неупорядоченные пары $\left(P_{1}, \ldots, P_{g}\right.$ ), где $P_{i} \in \Gamma$ (переменные Абеля определены с точностью до перестановки).

Пусть $M^{n}$ – пространство допустимых значений первых интегралов, имеющее комплексную размерность $n$. Каждая точка из $M^{n}$ фиксированный набор констант первых интегралов определяет гиперэллиптическую кривую (С.2). Поэтому это пространство называется многообразием гиперэллиптических кривых. При переходе к переменным Абеля исходная динамическая система переходит в систему (C.1), заданную на пространстве $N^{n+g}$, расслоенном над $M^{n}$ со слоем $S^{g} \Gamma$. Это расслоение имеет особенности в кратных корнях многочлена $R(\lambda)$.

2. Аналитические скобки Пуассона. Следуя работам $[44,45]$, на фазовом пространстве $N^{n+g}$ можно определить аналитические скобки Пуассона следующим образом:
1) Пусть $\mathcal{A}$ – некоторый набор функций на $N^{n+g}$, зависящих только от точки базы $M^{n}$, т. е. от гиперэллиптической кривой. (В дальнейшем построении $\mathcal{A}$ играют роль центральных функций скобки Пуассона, которая становится невырожденной на многообразиях $N_{\mathcal{A}}$, заданных уравнениями $f=$ const для всех $\left.f \in \mathcal{A} ; N_{\mathcal{A}} \rightarrow M_{\mathcal{A}}, M_{\mathcal{A}} \in M^{n}\right)$.
2) На римановой поверхности $\Gamma$ или на ее накрывающей $\hat{\Gamma} \rightarrow \Gamma$ задана мероморфная 1-форма $Q(\Gamma) \rightarrow \Gamma$ :
\[
Q(\Gamma)=Q(\Gamma, \lambda) d \lambda .
\]

При этом требуется, чтобы производные $Q(\Gamma)$ вдоль всех направлений базы, касательных к многообразию $M_{\mathcal{A}}$, были глобально определенными мероморфными дифференциальными формами на самой римановой поверхности $\Gamma$ (а не на накрывающей).

Во всех содержательных примерах оказывается, что форма $Q$ либо мероморфна на $\Gamma$ с самого начала, либо мероморфна на регулярной накрывающей $\hat{\Gamma}$ с абелевой группой монодромии, причем образ групп гомотопий $\pi_{1}(\hat{\Gamma}) \rightarrow \pi_{1} \Gamma$ порождается набором циклов с нулевыми попарными индексами пересечений.
Если замкнутая 2-форма
\[
\omega_{Q}=\sum d Q\left(\Gamma, \lambda_{j}\right) \wedge d \lambda_{j}
\]

невырождена в точке общего положения области $N_{\mathcal{A}}$ и пара $(\mathcal{A}, Q)$ обладает приведенными выше свойствами 1) и 2), то говорят, что задана аналитическая скобка Пуассона с аннулятором на открытой области $N^{n+g}$ (при этом размерность $N_{\mathcal{A}}$ должна быть равна $2 g$ ).

Из этого определения вытекают следующие свойства скобки Пуассона:
\[
\begin{array}{c}
\left\{\lambda_{i}, \lambda_{j}\right\}=0, \quad\left\{Q\left(\lambda_{i}\right), Q\left(\lambda_{j}\right)\right\}=0, \quad\left\{Q\left(\lambda_{i}\right), \lambda_{j}\right\}=\delta_{i j}, \\
\left\{f, \lambda_{j}\right\}=\left\{f, Q\left(\lambda_{j}\right)\right\}=0, \quad f \in \mathcal{A} .
\end{array}
\]

Кроме того, для любых двух функций $g, h$, определенных на пространстве $M^{n}$ :
\[
\{g(\Gamma), h(\Gamma)\}=0 .
\]

Приведенные выше определения являются абстрактными. На самом деле, именно такого рода скобки Пуассона индуцируются с фазового пространства исходной динамической системы. При этом выполнение условий коммутации (C.3) для всех этих интегрируемых проблем является скорее неожиданным, чем очевидным фактом.

3. Переменные действие. А.П.Веселов и С.П.Новиков нашли 1-форму $Q$ для интегрируемых случаев Горячева-Чаплыгина и Ковалевской в динамике твердого тела, а также в бесконечномерном случае – для уравнений Кортевега-де Фриза. Они также показали, что переменные действия $J_{j}$, ганонически сопряженные угловым переменным на торах Лиувилля, задаются формулой
\[
J_{j}=\frac{1}{2 \pi} \oint_{a_{j}} Q(\Gamma, \lambda) d \lambda,
\]

где интегрирование производится по элементам группы $H_{1}(\Gamma \backslash P, \mathbb{Z})$, где $P$ – набор полюсов формы $Q$.

Переменные действия для волчков Горячева-Чаплыгина и Ковалевской приведены, например, в обзоре [60]. (Отметим, что классический метод определения переменной действия, основанный на нахождении разделяющихся координат, не пригоден для нахождения переменной действия в случае Ковалевской). Переменные действия для интегрируемого случая Стеклова-Ляпунова уравнений Кирхгофа найдены в работе [133].

При решении задачи о нахождении точного решения какой-либо динамической системы вид формы $Q$ не известен заранее. Заметим,

также, что перейдя от исходных уравнений к системе уравнений Абеля, мы получаем пуассонову структуру на $N^{n+g}$ в несколько ином виде. Рассмотрим алгебраически интегрируемую гамильтонову систему с $g$ степенями свободы. Пусть $f_{1}, f_{2}, \ldots, f_{g}$ – ее независимые первые интегралы, не являющиеся центральными функциями скобки Пуассона ( $f_{1}$ есть гамильтониан $H$ ). По определению алгебраической интегрируемости, данному в [175], потоки всех первых интегралов линеаризуются на якобианах отображением Абеля. Взяв произвольный линейный поток на якобиане и применив отображение, обратное преобразованию Абеля, для каждого из интегралов $f_{j}$ получаем систему уравнений Абеля, аналогичную (C.1):
\[
\frac{\lambda_{1}^{i} d \lambda_{1}}{\sqrt{R\left(\lambda_{1}\right)}}+\cdots+\frac{\lambda_{g}^{i} d \lambda_{g}}{\sqrt{R\left(\lambda_{g}\right)}}=\delta_{i}^{j} d t, \quad i=0, \ldots, g-1
\]

с некоторыми константами $\delta_{i}^{j}$. Каждая из систем эквивалентна системе
\[
\dot{\lambda}_{i}=\frac{\Delta_{i}^{j}}{\Delta} \sqrt{R\left(\lambda_{i}\right)},
\]

где
\[
\Delta=\operatorname{det} P=\operatorname{det}\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \ldots & 1 \\
\lambda_{1} & \lambda_{2} & \ldots & \lambda_{g} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda_{1}^{g-1} & \lambda_{2}^{g-1} & \ldots & \lambda_{g}^{g-1}
\end{array}\right),
\]

а $\Delta_{i}^{j}$ есть определитель матрицы, которая получается из $D$ заменой $i$-го столбца столбцом $\left(\delta_{1}^{j}, \ldots, \delta_{g}^{j}\right)^{T}$. В качестве локальных координат на фазовом пространстве $N^{n+g}$ можно взять первые интегралы $f_{1}, \ldots, f_{g}$ и дополнить их функциями Казимира $f \in \mathcal{A}$. Тем самым мы однозначно зададим кривую $Г$. В качестве оставшихся $g$ переменных возьмем переменные $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{g}$ на пространстве $S^{g} \Gamma$. Тогда на фазовом пространстве $N^{n+g}$ индуцируется следующая структура:
\[
\left\{\lambda_{i}, f_{j}\right\}=\frac{\Delta_{i}^{j}}{\Delta} \sqrt{R\left(\lambda_{i}\right)}, \quad\left\{\lambda_{i}, \lambda_{j}\right\}=0, \quad\left\{f_{i}, f_{j}\right\}=0 .
\]

Скобки с функциями Казимира опущены.
При произвольных $R(\lambda)$ и $\delta_{i}^{j}$ скобка Пуассона не обязательно удовлетворяет тождеству Ягоби. Однако, если $R(\lambda)$ и $\delta_{i}^{j}$ определены первыми интегралами некоторой динамической проблемы, то это тождество

выполнено – тождество Якоби индуцируется из первоначального фазового пространства, в котором система гамильтонова. Это влечет за собой существование 1-формы $Q$ (определенной глобально только на накрытии $\Gamma$ ), позволяющей вычислить переменные действия.

В работе [133] тождество Якоби использовано для вычисления констант интегрирования для уравнений Абеля в случае СтекловаЛяпунова для уравнений Кирхгофа (которые, видимо, так и не были найдены Ф. Кеттером, проинтегрировавшим эту задачу).

Замечание 1. Другое гамильтоново представление уравнений Абеля (С.4), отличное от рассмотренного выше, приведено в работе [179].

В работе [42] рассмотрены лиувиллевы замены времени, сохраняющие гамильтоновость интегрируемых дифференциальных уравнений (но, возможно, в новой симплектической структуре). Такие замены в механике хорошо известны: преобразование Колосова в задаче Ковалевской [103], замена параметра в задаче Якоби о геодезических на эллипсоиде [170]. Замена Колосова, приводящая задачу Ковалевской, описываемую в переменных Ковалевской уравнениями (С.1) при $g=2$ соответствует замене времени $d \tau=\left(\lambda_{1}+\lambda_{2}\right) d t$, которая приводит (С.1) к системе с двумя степенями свободы и разделяющимися переменными. Этот пример также показывает, что разделение переменных часто бывает естественным не в том времени, в котором система является вполне алгебраически интегрируемой (по Адлеру и ван Мербеке $[175,176]$ ). Такая замена приводит также к неабелевым торам [42].