Еще одним способом обнаружения и доказательства интегрируемости многомерных гамильтоновых систем, связь которого с методом $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары до сих пор не вполне изучена, состоит в нахождении для динамической системы (4.1) пары согласованных скобок Пуассона (см. $\$ 2$ ). При этом предполагается, что кроме естественной скобки Пуассона, определяемой бивектором $J_{0}$, имеется еще одна согласованная с первой пуассонова структура (тензор Схоутена таких структур равен нулю $\left[J_{0}, J_{1}\right]=0$ см. $\S 2$ ), а сама система допускает запись в двух различных формах
\[
\dot{x}=\left\{x, H_{0}\right\}_{0}=\left\{x, H_{1}\right\}_{1}, \quad x \in M
\]
( $J_{i}$ обозначает матрицу структурного тензора соответствующего структуре $\left.\{\cdot, \cdot\}_{i}\right)$.

Система, допускающая запись в $n$ различных и независимых гамильтоновых формах
\[
\dot{x}=\left\{x, f_{1}\right\}_{1}=\ldots=\left\{x, f_{n}\right\}_{n},
\]

где скобки $\{\cdot, \cdot\}_{1}, \ldots\{\cdot, \cdot\}_{n}$ являются согласованными, называются мультигамильтоновыми.

1. Невырожденные бигамильтоновы системы. Предположим, что одна из структур $\left(J_{0}\right)$ невырождена. Тогда пучок $\lambda\{\cdot, \cdot\}_{0}+\mu\{\cdot, \cdot\}_{1}$ также называется невырожденным. Для такого пучка определен оператор рекурсии
\[
R=J_{1} J_{0}^{-1},
\]

задающий тензорное поле типа (5.1) (см. §2).

Предложение 3. Пусть $J_{0}$ и $J_{1}$ – пуассоновы структуры, причем $J_{0}$ невырождена. Пусть $R=J_{1} J_{0}^{-1}$ – оператор рекурсии. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) пуассоновы структуры $J_{0}$ и $J_{1}$ согласованы;
2) 2-форма $J_{0}^{-1} R$ замкнута;
3) 2-форма $J_{0}^{-1} R^{k}$ замкнута для любого $k \in \mathbb{N}$;
Если $J_{0}$ и $J_{1}$ согласованы, то бивекторное поле вида $R^{k} J_{0}$ является пуассоновой структурой для любого $k \in \mathbb{N}$, причем все такие структуры согласованы попарно между собой, а также с $J_{0}$ и $J_{1}$.

Замечание 1. В описанной выше ситуации говорят, что пуассоновы структуры вида $R^{k} J_{1}$ задают иерархию. Следует, впрочем, заметить, что все они получаются из исходных структур $J_{0}$ и $J_{1}$ при помощи стандартных тензорных операций и поэтому в естественном смысле не являются независимыми.

Доказательство.
Покажем, что (1) $\rightarrow(3) \rightarrow(2) \rightarrow(1)$.
$(1) \rightarrow(3)$. Поскольку структуры $J_{0}$ и $J_{1}$ согласованы, то для любого $\lambda \in \mathbb{R}$ линейная комбинация $J_{0}-\lambda J_{1}$ является пуассоновой структурой. Это эквивалентно (при малых $\lambda$ ) замкнутости 2-формы $\left(J_{0}+\lambda J_{1}\right)^{-1}$. Рассмотрим разложение этой формы в ряд по $\lambda$ :
\[
\left(J_{0}-\lambda J_{1}\right)^{-1}=J_{0}^{-1}+\lambda J_{0}^{-1} R+\lambda^{2} J_{0}^{-1} R^{2}+\ldots+\lambda^{k} J_{0}^{-1} R^{k}+\ldots
\]

Поскольку внешний дифференциал от этой формы тождественно равен нулю при всех $\lambda$, то каждое слагаемое является замкнутой формой, что и требуется.
Условие (2) является частным случаем условия (3).
Покажем наконец, что из (2) следует (1). Рассмотрим линейную комбинацию 2 -форм вида $J_{0}^{-1}-\lambda J_{0}^{-1} R$. По предположению она замкнута и невырождена при малых $\lambda$. Поэтому (обратный) бивектор вида

$\left(J_{0}^{-1}-\lambda J_{0}^{-1} R\right)^{-1}$ является пуассоновой структурой. Снова рассмотрим разложение в ряд по $\lambda$
\[
\left(J_{0}^{-1}-\lambda J_{0}^{-1} R\right)^{-1}=J_{0}+\lambda J_{1}+\lambda^{2} R J_{1}+\ldots+\lambda^{k} R^{k-1} J_{1}+\ldots
\]

и приравняем к нулю члены при степенях $\lambda$ в тождестве Якоби для этой пуассоновой структуры. Обращение в нуль члена при $\lambda$ в первой степени эквивалентно согласованности $J_{0}$ и $J_{1}$.

Проверим второе утверждение. Рассмотрим бивекторы вида $R^{k} J_{0}$. Тот факт, что все они являются пуассоновыми структурами, согласованными между собой и с исходными структурами $J_{0}$ и $J_{1}$, эквивалентен двум соотношениям
\[
\left[J_{0}, R^{k} J_{0}\right]=0 \quad \text { и } \quad\left\{\left\{R^{j} J_{0}, R^{k} J_{0}\right\}\right\}=0 \quad \text { для любых } k, j=0,1,2, \ldots,
\]

здесь $[\cdot, \cdot]$ – скобка Схоутена ( $\$ 2$ ).
Эти соотношения легко вытекают из следующего рассуждения. В силу условия (3) дифференциальные формы вида $J_{0}^{-1}-\lambda J_{0}^{-1} R^{l}$ являются замкнутыми при всех $\lambda$ и $l$. Переписывая условие замкнутости как тождество Якоби для (обратного) бивектора
\[
\left(J_{0}^{-1}-\lambda J_{0}^{-1} R^{l}\right)^{-1}=J_{0}+\lambda R^{l-1} J_{1}+\ldots+\lambda^{k} R^{k l-1} J_{1} \ldots,
\]

и приравнивая к нулю члены при разных степенях $\lambda$ в соотношении
\[
\left[J_{0}+\lambda R^{l-1} J_{1}+\ldots, J_{0}+\lambda R^{l-1} J_{1}+\ldots\right] \equiv 0,
\]

мы легко получаем все требуемые соотношения по индукции.
Согласованность пуассоновых структур $J_{0}, J_{1}$ эквивалентно также обращению в нуль тензора Ньюхауза (Nijenhuis) [296], который выражается лишь через компоненты оператора рекурсии
\[
N_{R_{j} l}^{i}=\sum_{m=1}^{2 n}\left(\frac{\partial R_{l}^{i}}{\partial x^{m}} R_{j}^{m}-\frac{\partial R_{j}^{i}}{\partial x^{m}} R_{l}^{m}+\frac{\partial R_{j}^{m}}{\partial x^{l}} R_{m}^{i}-\frac{\partial R_{l}^{m}}{\partial x^{j}} R_{m}^{j}\right),
\]

Следующий результат был получен Магри (Magri) и Льенаром (Lenard).

Предложение 4 ([282]). Пусть на односвязном многообразии $M$ задана бигамильтонова система. Тогда существует иерархия взаино коммутирующих функций $H_{0}, H_{1}, \ldots$, которые находятся в инволюции относительно обеих скобок. Они порождают коммутирующе друг с другом векторные поля $v_{i}$, удовлетворяющие рекурсивным соотношениям (Льенара)
\[
v_{i+j}=J_{i}\left(d H_{j}, \cdot\right),
\]

где $J_{j}=R^{i} J_{0}$ – высиие пуассоновы структуры.
Таким образом, бигамильтонова система интегрируема по Лиувиллю (см. $\S 3$ ), если система функций $H_{0}, H_{1}, \ldots$ в указанной иерархии функционально независима и составляет полный набор. Это требование эквивалентно условию простоты спектра оператора рекурсии (см. также $[210,236]$ ). Очевидно, что собственные числа оператора рекурсии являются интегралами движения или константами. В зависимости от числа констант в спектре возможны различные варианты интегрируемости (разделение переменных и пр.). Высшие пуассоновы структуры порождают мультигамильтоново представление (5.2). Более формально этот вопрос рассмотрен в [23].

На многообразии $M$ пуассонов пучок индуцирует семейство согласованных два-форм
\[
\omega_{i}=d x^{T} \wedge K_{i} d x, \quad K_{i}(x)=J_{i}^{-1}(x),
\]

для которых условие согласованности эквивалентно условию замкнутости два-формы
\[
d x^{T} \wedge\left[K_{1}^{-1}(x)+K_{2}^{-1}(x)\right]^{-1} d x .
\]

В 1946 г. Р. Дебевер (R. Debever) [300], применяя метод Картана, дал локальную классификацию пары симплектических 2 -форм $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ на четырехмерном комплексном многообразии. Он не использовал условие согласованности (которое в то время еще не было известно), но ввёл алгебраическое ограничение
\[
\omega_{1} \wedge \omega_{2}=0 .
\]

Из этой классификации следует, что при условии (5.6) существуют несогласованные формы $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, тем не менее соответствующая им

бигамильтонова система является интегрируемой в квадратурах (система, интегрируемая в квадратурах может быть неинтегрируема по Лиувиллю). Следует, однако, отметить, что до сих пор неизвестно ни одного примера естественного происхождения, в которой для интегрируемой бигамильтоновой системы вторая пуассонова форма не была бы согласованной.

ЗамечаниЕ 2. Примеры несогласованных скобок, предложенные в работах $[201,202,203]$ и основанные на исследовании системы в переменных типа действие угол, которые могут быть глобально не определены, не являются естественными. Это замечание относится также к обобщению интегрируемости по Лиувиллю, которое, кроме того, до работ $[201,202,203]$ изучалось в $[197,79,94]$.

2. Вырожденные бигамильтоновы системы. Если одна из скобок $\{\cdot, \cdot\}_{0},\{\cdot, \cdot\}_{1}$ пуассонова пучка является вырожденной (при этом вторая скобка, как правило, также вырождена), то доказательство интегрируемости также проводится с помощью модифицированной схемы Магри-Льенара.

Пусть $g_{1}(\mathbf{x}), \ldots, g_{n}(\mathbf{x})$ и $G_{1}(\mathbf{x}), \ldots, G_{m}(\mathbf{x})$ – функции, являющиеся аннуляторами скобок $J_{0}$ и $J_{1}$, то есть $J_{0}\left(d g_{i}, \cdot\right) \equiv J_{1}\left(d G_{i}, \cdot\right) \equiv 0$ $(n
eq m)$. Тогда каждый из аннуляторов $g_{i}$ определяет иерархию гамильтоновых векторных полей $\mathbf{v}_{1 i}(\mathbf{x}), \mathbf{v}_{2 i}(\mathbf{x}), \ldots$ таких что

1. поле $\mathbf{v}_{1 i}$ является гамильтоновым относительно скобки $\{\cdot, \cdot\}_{1}$ с гамильтонианом $g_{i}$,

2. пусть $H_{1 i}(\mathbf{x})$ – гамильтониан того же поля относительно скобки $J_{0}$. Тогда этот же гамильтониан относительно скобки $J_{1}$ порождает гамильтоново поле $\mathbf{v}_{2 i}$.

Таким образом, возникает итерационная процедура
Каждый из гамильтонианов $H_{1 i}(\mathbf{x}), H_{2 i}(\mathbf{x}), \ldots$ выражается через аннуляторы скобки Пуассона пучка $\lambda J_{0}+\mu J_{1}$ для некоторого отношения $\lambda / \mu$. Аннуляторы любых двух скобок пучка находятся в инволюции

относительно всех скобок того же пучка (при условии максимальности ранга).

Ответ на вопрос, образуют ли всевозможные аннуляторы скобок пучка полный набор интегралов, достаточный для интегрируемости по теореме Лиувилля, дает теорема о полноте, доказанная А. В. Болсиновым [19].

Теорема 4. Для полноты множества интегралов необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
1. размерность регулярных симплектических листов скобок Пуассона пучка $\lambda J_{0}+\mu J_{1}$ одинакова для любого $\lambda / \mu \in \mathbb{C}$,
2. пусть $U_{\lambda / \mu}$ – объединение сингулярных симплектических листов скобки $\lambda J_{0}+\mu J_{1}$. Тогда $\operatorname{codim} U_{\lambda / \mu}>1$ для любого $\lambda / \mu \in \mathbb{C}$.

Следует отметить, что механизмы интегрируемости вырожденных и невырожденных бигамильтоновых систем существенно отличаются друг от друга. Так, например для вырожденных систем не определен оператор рекурсии и не существует высших пуассоновых структур (кроме случая, когда симплектические листы обеих структур совпадают). В некоторых случаях пуассонову иерархию удается построить, используя так называемые мастер-симметрии.

В вырожденном случае пара согласованных скобок всегда порождает семейство бигамильтоновых систем. В качестве гамильтонианов (5.1) принимаются функции Казимира этого пучка. Поэтому рассмотрим такие пары скобок более подробно.

3. Лиевы пучки. Один из примеров возникновения согласованных (в общем случае вырожденных) скобок Пуассона связан с рассмотрением лиевых пучков. Как будет показано в $\S 9$ гл. 2 эти пучки порождают бигамильтоновы системы, являющиеся многомерным обобщением интегрируемых задач динамики твердого тела.

Определение 5. Пусть $L$ – конечномерное линейное пространство. Лиевым пучком называется линейное семейство лиевых структур $\left([\cdot, \cdot]_{\mathbf{A} \in I}\right.$ ) на пространстве $L$. Линейность означает, что множество параметров $I$ является линейным пространством и
\[
[\cdot, \cdot]_{\lambda \mathbf{A}+\mu \mathbf{B}}=\lambda[\cdot, \cdot]_{\mathbf{A}}+\mu[\cdot, \cdot]_{\mathbf{B}} .
\]

Связь лиевых пучков с согласованными скобками Пуассона очень проста. Если на пространстве $L$ задан лиев пучок, то на двойственном пространстве $L^{*}$ возникает семейство согласованных скобок Ли-

Пуассона $\left(\{\cdot, \cdot\}_{A}\right)_{A \in I}$, где $\{f, g\}_{A}(\mathbf{x})=\left\langle\mathbf{x},[d f, d g]_{A}\right\rangle$. Интересный с точки зрения приложений лиев пучок можно задать на пространстве кососимметрических матриц. Пусть $L-$ пространство кососимметрических матриц, $I$ – пространство симметрических матриц. Положим
\[
[\mathbf{X}, \mathbf{Y}]_{\mathbf{A}}=\mathbf{X A Y}-\mathbf{Y A X},
\]

где $\mathbf{X}, \mathbf{Y} \in L, \mathbf{A} \in I$. Этот пучок является одним из примеров так называемых замкнутых неприводимых лиевых пучков, классификация которых проведена И. Л. Кантором и Д. Б. Персицем [70].
4. Метод сдвига аргумента. Согласованные скобки Пуассона возникают также естественным образом из метода сдвига аргумен$m a[152,156]$. Напомним сущность этог метода, позволяющего получать функции в инволюции на коалгебре Ли $\mathfrak{g}^{*}$, (на которой определена скобка Ли-Пуассона, см. §1). Пусть $f$ и $g$ – инварианты коприсоединенного представления группы Ли $\mathfrak{G}$, т. е. гладкие функции, постоянные на орбитах коприсоединенного представления $\mathrm{Ad}^{*}$. Пусть $a \in \mathfrak{g}^{*}$ – произвольный элемент коалгебры. Тогда функции $f_{\lambda, a}(x)=f(x+\lambda a)$ и $g_{\mu, a}(x)=g(x+\mu a)$ находятся в инволюции на $\mathfrak{g}^{*}$ при любых $\lambda, \mu \in \mathbb{R}$.

В некоторых случаях в качестве инволютивного семейства удобно рассмотреть совокупность однородных полиномов, полученных при разложении в ряд локальных инвариантов представления $\mathrm{Ad}^{*}$ в регулярной точке $a \in \mathfrak{g}^{*}$ :
\[
f(a+\lambda x)=P_{0}+\lambda P_{1}(x)+\cdots .
\]

Метод сдвига аргумента является частным случаем общей конструкции построения инволютивных семейств по произвольной паре согласованных скобок Пуассона. Вторая пуассонова структура определяется формулой
\[
\{f, g\}_{a}(\mathbf{x})=\langle a,[d f(\mathbf{x}), d g(\mathbf{x})]\rangle .
\]

Тензорное поле, определяющее скобку $\{\cdot, \cdot\}_{a}$ является постоянным, а скобки Пуассона $\{\cdot, \cdot\},\{\cdot, \cdot\}_{a}$ согласованы и образуют пуассонов пучок. При этом функции вида $f_{\lambda, a}=f(x+\lambda a)$, где $f$ – инвариант представления $\mathrm{Ad}^{*}$, являются аннуляторами для линейной комбинации $\alpha\{\cdot, \cdot\}+\beta\{\cdot, \cdot\}_{a}, \beta / \alpha=\lambda$. Как уже было отмечено, полнота инволютивных семейств, полученных из метода сдвига аргумента и из общих пуассоновых пучков, изучена в [19].

5. r-матрица. Согласованные скобки возникают в методе классической $r$-матрицы [311]. Пусть $\mathfrak{g}$ – алгебра Ли и $\mathbf{R}$ – линейный оператор на $\mathfrak{g}$. Определим на $\mathfrak{g}$ билинейную операцию $[\cdot, \cdot]$ согласно формуле
\[
[\xi, \eta]_{\mathbf{R}}=[\mathbf{R} \xi, \eta]+[\xi, \mathbf{R} \eta], \quad \xi, \eta \in \mathfrak{g} .
\]

Эта операция кососимметрична. Если $[\cdot, \cdot]_{\mathbf{R}}$ удовлетворяет тождеству Якоби, то оператор $\mathbf{R}$ называется классической $r$-матрицей, а пара $(\mathfrak{g}, \mathbf{R})$ называется двойной алгеброй Ли. При этом оператор $\mathbf{R}$ удовлетворяет так называемому модифицированному уравнению ЯнгаБакстера:
\[
[\mathbf{R} \xi, \mathbf{R} \eta]-\mathbf{R}\left([\xi, \eta]_{\mathbf{R}}\right)=-[\xi, \eta] .
\]

Двум скобкам Ли соответствуют две скобки Ли-Пуассона на $\mathfrak{g}^{*}$ :
\[
\begin{aligned}
\{f(\mathbf{x}), h(\mathbf{x})\} & =\langle\mathbf{x},[d f(\mathbf{x}), d h(\mathbf{x})]\rangle, \\
\{f(\mathbf{x}), h(\mathbf{x})\}_{\mathbf{R}} & =\langle\mathbf{x},[d f(\mathbf{x}), d h(\mathbf{x})]\rangle_{\mathbf{R}} .
\end{aligned}
\]

Опишем линейное семейство $r$-матриц, для которых соответствующие R-скобки образуют лиев пучок, а скобки Пуассона (5.8) и (5.9) являются согласованными. Это семейство параметризуется пространством сплетающих операторов для присоединенного представления алгебры g.

Определение 6. Линейный оператор в g называется сплетающим, если
\[
\mathbf{A} \circ \operatorname{ad} \mathbf{X}=\operatorname{ad} \mathbf{X} \circ \mathbf{A}
\]

для всех $\mathbf{X} \in \mathfrak{g}$.
Справедливо следующее утверждение [311]:

Теорема 5. Пусть $\mathbf{R}$ – классическая $r$-матрица. Если оператор $\mathbf{A}$ является сплетающим, то RA также классическая $r$-матрица и соответствующие скобки Ли образуют лиев пучок.

В методе $r$-матрицы гамильтоновы уравнения движения, определенные второй скобкой (5.9) и гамильтонианом, являющимся аннулятором скобки (5.8), записываются в представлении Лакса-Гейзенберга $[132,146]$. Отметим, что подход, основанный на понятии двойной алгебры Ли, не следует смешивать с теорией бигамильтоновых систем. В последнем случае одни и те же уравнения гамильтоновы относительно разных скобок Пуассона. В методе $r$-матрицы уравнения движения, порожденные функциями Казимира скобки (5.8) (которые используются

как гамильтонианы) и скобкой (5.9), вообще говоря, не являются гамильтоновыми относительно скобки Ли-Пуассона алгебры Ли g (5.8). Взаимоотношения между этими методами мы также обсудим в $\S 9,10$ гл. 2, где будет приведен один дифференциально-геометрический подход к построению $\mathbf{L}$ – $\mathbf{A}$-пары с рациональным спектральным параметром.

В связи с изложенными выше способами установления интегрируемости системы (4.1) сформулируем два не вполне решенных вопроса.

1. Связано ли существование представления Лакса-Гейзенберга с гамильтоновостью динамической системы (прямой связи здесь нет в виде $\mathbf{L}$ – A-пары можно записать некоторые уравнения неголономной механики [235] и уравнения Гамильтона, в отличие от (5.2) не выдерживают замену времени).

2. Существует ли связь между бигамильтоновыми системами и наличием представления Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром.

Частичные ответы на поставленные вопросы будут получены в $\S \S 9,10$ гл. 2.

6. Примеры бигамильтоновых систем.

Пример 1. Вполне интегрируемая гамильтонова система в переменных действие-угол $(I, \varphi)$, имеющая вид
\[
\dot{I}_{1}=\ldots=\dot{I}_{n}=0, \quad \dot{\varphi}_{1}=\omega_{1}, \ldots, \dot{\varphi}_{n}=\omega_{n},
\]

где $\omega_{k}$ – функция от $I$, в невырожденном случае $\frac{\partial\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)}{\partial\left(I_{1}, \ldots, I_{n}\right)}
eq 0$, допускает запись в различных неэквивалентных гамильтоновых формах [89]. При этом симплектическая структура имеет вид
\[
\omega=d \varphi, \quad \varphi=\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial K}{\partial \omega_{k}} d \varphi_{k},
\]

а функция Гамильтона
\[
H=\sum_{k=1}^{n} \omega_{k} \frac{\partial K}{\partial \omega_{k}}-K .
\]

Здесь $K$ – невырожденная функция от частот $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ :
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} K}{\partial \omega_{i} \partial \omega_{j}}\right\|
eq 0 \text {. }
\]

Точные симплектические формы, нумеруемые различными функциями $K(\omega)$, естественно являются согласованными. Кроме того, как показано в § 4 , система (5.10) допускает представление в виде $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары со спектральным параметром. В работе [89] показано также, что все инвариантные меры невырожденной интегрируемой системы (5.10) лиувиллевы (см. §2).

Пример 2. Этот пример иллюстрирует также различие в аналитическом и алгебраическом аспектах задач, связанных с бигамильтоновостью. В аналитическом смысле вблизи невырожденного инвариантного тора класс допустимых гамильтонианов имеет функциональную мощность, а с алгебраической точки зрения интересна бигамильтоновость, определяемая структурным тензором, имеющим подходящую (например, полиномиальную) структуру. Гамильтонианы, полученные из формулы (5.12), могут глобально не продолжаться на все фазовое пространство.

Пример 3. Приведем вторую пуассонову структуру для интегрируемого волчка Лагранжа в динамике твердого тела. Как уже было отмечено в $\S 1$ гл. 1, уравнения Эйлера-Пуассона представляют гамильтонову систему со скобкой Пуассона, определяемой алгеброй $e(3)$. Гамильтониан волчка Лагранжа может быть представлен в виде
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}\right)+\gamma_{3}, \quad a=\text { const. }
\]

Вторая согласованная структура, имеет вид:
\[
\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \quad\left\{M_{1}, M_{2}\right\}=1, \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=0 .
\]

Функции $M_{3}$ и $(\gamma, \gamma)$ являются аннуляторами скобки (5.13). Пуассонова структура представляет собой прямую сумму алгебр вращения $s o(3)$, идеала $M_{3}$ и двумерной канонической алгебры $H(2)$ :
\[
s o(3) \oplus \mathbb{R}^{1} \oplus H(2) .
\]

Гамильтонов поток в этом случае генерируется гамильтонианом
\[
H_{0}=(a-1) M_{3}\left(\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+\gamma_{3}\right)+\left(M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}+M_{3} \gamma_{3}\right) .
\]

Запись уравнений движения волчка Лагранжа на алгебре (5.13) позволяет определить новую систему канонических переменных. Ими будут являться координаты $M_{1}, M_{2}, L, l$, где $\gamma_{1}=\sqrt{1-L^{2}} \cos l, \gamma_{2}=$ $=\sqrt{1-L^{2}} \sin l, \gamma_{3}=L$.

Разобранный пример позволяет прояснить природу бигамильтоновости в гамильтоновых системах. Бигамильтоновость интегрируемой системы оказывается связанной с возможносью различных, но ее гамильтоновых возмущений. Так, волчок Лагранжа кроме осесимметричного потенциального возмущения допускает возмущения вида $H=H_{0}+H_{1}$, где $H_{1}=H_{1}\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)$. Уравнения движения
\[
\begin{aligned}
\dot{M}_{1} & =\frac{\partial H}{\partial M_{2}}=(a-1) M_{2} M_{3}+\gamma_{2}+\frac{\partial H_{1}}{\partial M_{2}}\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right), \\
\dot{M}_{2} & =-\frac{\partial H}{\partial M_{1}}=(1-a) M_{1} M_{3}-\gamma_{1}-\frac{\partial H_{1}}{\partial M_{1}}\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right), \\
\dot{M}_{3} & =0, \\
\dot{\gamma} & =\gamma \times \frac{\partial H_{0}}{\partial \gamma}=\gamma \times \mathbf{A M}, \quad \mathbf{A}=\operatorname{diag}(1,1, a)
\end{aligned}
\]

будут описывать динамику осесимметричного волчка в силовом поле, зависящем от моментов (угловых скоростей). Такого рода задачи рассматриваются обычно в динамике твердого тела под действием диссипативных гироскопических и управляющих внешних воздействий, которые обычно априори не гамильтоновы. В общем случае уравнения (5.16) не являются интегируемыми, так как пропадает интеграл площадей. Интересно было бы найти ограничения на функцию $H_{1}(M)$, при которых существует еще один дополнительный интеграл.

Пример 4. Примером, когда вторая пуассонова структура всегда согласована с первой, являются трехмерные системы. В работе [305] было сделано следующее несложное наблюдение:

Теорема 6. Трехмерная система дифференциальных уравнений $\dot{\mathbf{x}}=f(\mathbf{x})$ является бигамильтоновой системой тогда и только тогда, когда существуют два (почти всюду) функционально независимых интеграла движения.

Доказательство.

Структурный тензор по двум независимым интегралам движения $K$ и $H$ строится следующим образом. В силу того, что векторное поле $f(\mathbf{x})$ лежит на инвариантных многообразиях, определяемых интег-
ралами $K(\mathbf{x})=$ const и $H(\mathbf{x})=$ const, оно ортогонально векторам $d K$ и $d H$. Поэтому
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{x}} & =f(\mathbf{x})=m(\mathbf{x}) d K \times d H= \\
& =m(\mathbf{x})\left(\begin{array}{ccc}
0 & K_{3} & -K_{2} \\
-K_{3} & 0 & K_{1} \\
K_{2} & -K_{1} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
H_{1} \\
H_{2} \\
H_{3}
\end{array}\right)= \\
& =m(\mathbf{x})\left(\begin{array}{ccc}
0 & -H_{3} & H_{2} \\
H_{3} & 0 & -H_{1} \\
-H_{2} & H_{1} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
K_{1} \\
K_{2} \\
K_{3}
\end{array}\right),
\end{aligned}
\]

где $m(\mathbf{x})$ – скалярный множитель, $K_{i}=\frac{\partial K}{\partial x^{i}}, H_{i}=\frac{\partial H}{\partial x^{i}}$.
Матрицы
\[
m(\mathbf{x})\left(\begin{array}{ccc}
0 & -H_{3} & H_{2} \\
H_{3} & 0 & -H_{1} \\
-H_{2} & H_{1} & 0
\end{array}\right), \quad m(\mathbf{x})\left(\begin{array}{ccc}
0 & -K_{3} & K_{2} \\
K_{3} & 0 & -K_{1} \\
-K_{2} & K_{1} & 0
\end{array}\right)
\]

задают два структурных тензора, как несложно проверить, согласованных.
Смысл скалярного множителя $m(\mathbf{x})$ состоит в том, что форма
\[
\frac{1}{m(\mathbf{x})} d x^{1} \wedge d x^{2} \wedge d x^{3}
\]

задает инвариантную форму объема.
Отметим, что в виде (5.17) могут быть представлены трехмерные системы, возникающие в механике Намбу [295], которая, таким образом, в трехмерном случае сводится к гамильтоновой механике с вырожденной скобкой Пуассона.

Пример 5. Теорема 6 может быть распространена на $n$-мерный случай для систем, имеющих $n-1$ независимых первых интегралов. Однако, такая ситуация является сильно вырожденной и редко встречается в приложениях (как и соответствующие $n$-мерные системы Намбу, для которых до сих пор не найдено ни одного содержательного примера).

При рассмотрении семейств функциональных определителей в известном учебнике анализа Ж.Ш. Валле-Пуссеном было доказано следующее утверждение [41].

Теорема 7 (Валле-Пуссен). Если система
\[
\dot{x}_{i}=v_{i}(\mathbf{x}), \quad i=1, \ldots, n
\]

с нулевой дивергенцией $\operatorname{div} \mathbf{v}=0$ обладает $n-1$ независимыми интегралами движения $f_{1}(\mathbf{x}), \ldots, f_{n-1}(\mathbf{x})$, то она представима в виде определителей
\[
\dot{x}_{i}=\frac{\partial\left(x_{i}, f_{1}(\mathbf{x}), \ldots, f_{n-1}(\mathbf{x})\right)}{\partial\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)} .
\]

Поскольку любая система
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{w}(\mathbf{x}),
\]

обладающая теми же интегралами движения, что и (5.18) имеет одни и те же траектории, но возможно различные законы движения по ним, то векторные поля $\mathbf{v}(\mathbf{x})$ и $\mathbf{w}(\mathbf{x})$ совпадают с точностью до множителя $\mathbf{v}=\rho \mathbf{w}$. При этом функция $\rho^{-1}$ является плотностью инвариантной меры системы (5.20).

Определим скобку Пуассона, заданную независимыми функциями $f_{1}, \ldots, f_{n-2}$ по формуле
\[
\{F, G\} d x_{1} \wedge \ldots \wedge d x_{n}=\frac{1}{\rho} d f_{1} \wedge \ldots \wedge d f_{n-2} \wedge d F \wedge d G,
\]

где $F, G$ – произвольные функции, а $f_{1}, \ldots, f_{n-2}$ являются функциями Казимира скобки (5.21). Система (5.20) является мультигамильтоновой с $n$ – 1-параметрической скобкой Пуассона вида
\[
\begin{aligned}
\{F, G\}_{\lambda_{1} \ldots \lambda_{n-1}} d x_{1} \wedge \ldots, \wedge & d x_{n}=\frac{1}{\rho}\left(\lambda_{1} d f_{2} \wedge \ldots \wedge d f_{n-1} \wedge d F \wedge d G+\ldots+\right. \\
& \left.+\lambda_{n-1} d f_{1} \wedge \ldots \wedge d f_{n-2} \wedge d F \wedge d G\right) .
\end{aligned}
\]

Соответствующее семейство гамильтонианов имеет вид
\[
H=\frac{\lambda_{1} f_{1}+\ldots+\lambda_{n-1} f_{n-1}}{\lambda_{1}^{2}+\ldots+\lambda_{n-1}^{2}}, \quad \lambda_{i}=\mathrm{const},
\]

а множитель $\rho$ находится из заведомо выполненного условия $\mathbf{v}=\rho \mathbf{w}$.
Ранг скобки (5.22) равен двум. Из этого, в частности следует, что для нее справедливо тождество Якоби.

Пример 6 . В качестве примера, иллюстрирующего теорему 6 , рассмотрим трехмерную систему типа Лотки-Вольтерра [34].
\[
\begin{array}{l}
\dot{M}_{1}=\Gamma_{1} M_{1}\left(M_{2}-M_{3}\right), \\
\dot{M}_{2}=\Gamma_{2} M_{2}\left(M_{3}-M_{1}\right), \quad \Gamma_{i}=\text { const. } \\
\dot{M}_{3}=\Gamma_{3} M_{3}\left(M_{1}-M_{2}\right),
\end{array}
\]

Как будет показано в гл. 4, эта система траекторно изоморфна задаче о движении трех точечных вихрей в идеальной жидкости. Она имеет интегралы
\[
F_{1}=\sum \Gamma_{i}{ }^{-1} M_{i}, \quad F_{2}=\sum \Gamma_{i}{ }^{-1} \ln M_{i}
\]

и две соответствующие им согласованные пуассоновы структуры
\[
\begin{aligned}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\} & =\varepsilon_{i j k} \Gamma_{i} \Gamma_{j} M_{1} M_{2} M_{3}, \\
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}^{*} & =\varepsilon_{i j k} \Gamma_{i} \Gamma_{j} M_{i} M_{j} .
\end{aligned}
\]

Обе эти структуры (одна из которых кубична, а другая квадратична) не являются структурами Ли-Пуассона. Оказывается, что и первая (кубическая), и вторая (квадратичная) пуассоновы структуры допускают обобщение – на них могут быть представлены различные варианты многомерной системы Лотки-Вольтерра (см. §4, гл. 5).

Пример 7. Рассмотрим вопрос о гамильтоновости системы
\[
\dot{x}_{i}=x_{i}\left(\sum_{k=1}^{n} x_{k}-2 x_{i}\right), \quad i=1, \ldots, n,
\]

которая также принадлежит к классу систем типа Лотки-Вольтерра (см. $\S 4$ гл. 5) и при $n=3$ была рассмотрена С. В. Ковалевской в письме к Г. Миттаг-Леффлеру [172]. Она показала, что в этом случае система обладает двумя независимыми квадратичными интегралами вида
\[
\Phi=\sum_{i
eq j} a_{k} x_{i} x_{j}, \quad \sum a_{k}=0
\]

и интегрируется в тэта-функциях.
По теореме 6 при $n=3$ система (5.26) является бигамильтоновой с двумя согласованными скобками Ли-Пуассона (и обладает инвариантной мерой). Несложные вычисления показывают (классификация

Бьянки [61]), что каждая скобка пучка изоморфна алгебре $s o(2,1)$, а уравнения (5.26) представляют собой некомпактную версию вращения свободного твердого тела.

При $n=4$ система (5.26) обладает тремя независимыми квадратичными интегралами вида $F_{1}=\left(x_{1}-x_{3}\right)\left(x_{2}-x_{4}\right), F_{2}=\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{3}-x_{4}\right)$, $F_{3}=\left(x_{1}-x_{4}\right)\left(x_{2}-x_{3}\right)$. По теореме 7 в этом случае система является мультигамильтоновой с линейными скобками Пуассона.

При $n>4$ вопрос об интегрируемости, гамильтоновости и существовании инвариантной меры системы (5.26) остается открытым. Можно только показать, что при $n>4$ больше не существует ни одного квадратичного интеграла (а стало быть и структуры Ли-Пуассона). Тем не менее, все показатели Ковалевской (см. §7) являются рациональными, что вообще говоря, не препятствует интегрируемости.