Главная > Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (А.В. Борисов, И.С. Мамаев)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Еще одним способом обнаружения и доказательства интегрируемости многомерных гамильтоновых систем, связь которого с методом LA-пары до сих пор не вполне изучена, состоит в нахождении для динамической системы (4.1) пары согласованных скобок Пуассона (см. $2 ). При этом предполагается, что кроме естественной скобки Пуассона, определяемой бивектором J0, имеется еще одна согласованная с первой пуассонова структура (тензор Схоутена таких структур равен нулю [J0,J1]=0 см. §2 ), а сама система допускает запись в двух различных формах
x˙={x,H0}0={x,H1}1,xM
( Ji обозначает матрицу структурного тензора соответствующего структуре {,}i).

Система, допускающая запись в n различных и независимых гамильтоновых формах
x˙={x,f1}1=={x,fn}n,

где скобки {,}1,{,}n являются согласованными, называются мультигамильтоновыми.

1. Невырожденные бигамильтоновы системы. Предположим, что одна из структур (J0) невырождена. Тогда пучок λ{,}0+μ{,}1 также называется невырожденным. Для такого пучка определен оператор рекурсии
R=J1J01,

задающий тензорное поле типа (5.1) (см. §2).

Предложение 3. Пусть J0 и J1 — пуассоновы структуры, причем J0 невырождена. Пусть R=J1J01 — оператор рекурсии. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) пуассоновы структуры J0 и J1 согласованы;
2) 2-форма J01R замкнута;
3) 2-форма J01Rk замкнута для любого kN;
Если J0 и J1 согласованы, то бивекторное поле вида RkJ0 является пуассоновой структурой для любого kN, причем все такие структуры согласованы попарно между собой, а также с J0 и J1.

Замечание 1. В описанной выше ситуации говорят, что пуассоновы структуры вида RkJ1 задают иерархию. Следует, впрочем, заметить, что все они получаются из исходных структур J0 и J1 при помощи стандартных тензорных операций и поэтому в естественном смысле не являются независимыми.

Доказательство.
Покажем, что (1) (3)(2)(1).
(1)(3). Поскольку структуры J0 и J1 согласованы, то для любого λR линейная комбинация J0λJ1 является пуассоновой структурой. Это эквивалентно (при малых λ ) замкнутости 2-формы (J0+λJ1)1. Рассмотрим разложение этой формы в ряд по λ :
(J0λJ1)1=J01+λJ01R+λ2J01R2++λkJ01Rk+

Поскольку внешний дифференциал от этой формы тождественно равен нулю при всех λ, то каждое слагаемое является замкнутой формой, что и требуется.
Условие (2) является частным случаем условия (3).
Покажем наконец, что из (2) следует (1). Рассмотрим линейную комбинацию 2 -форм вида J01λJ01R. По предположению она замкнута и невырождена при малых λ. Поэтому (обратный) бивектор вида

(J01λJ01R)1 является пуассоновой структурой. Снова рассмотрим разложение в ряд по λ
(J01λJ01R)1=J0+λJ1+λ2RJ1++λkRk1J1+

и приравняем к нулю члены при степенях λ в тождестве Якоби для этой пуассоновой структуры. Обращение в нуль члена при λ в первой степени эквивалентно согласованности J0 и J1.

Проверим второе утверждение. Рассмотрим бивекторы вида RkJ0. Тот факт, что все они являются пуассоновыми структурами, согласованными между собой и с исходными структурами J0 и J1, эквивалентен двум соотношениям
[J0,RkJ0]=0 и {{RjJ0,RkJ0}}=0 для любых k,j=0,1,2,,

здесь [,] — скобка Схоутена ( $2 ).
Эти соотношения легко вытекают из следующего рассуждения. В силу условия (3) дифференциальные формы вида J01λJ01Rl являются замкнутыми при всех λ и l. Переписывая условие замкнутости как тождество Якоби для (обратного) бивектора
(J01λJ01Rl)1=J0+λRl1J1++λkRkl1J1,

и приравнивая к нулю члены при разных степенях λ в соотношении
[J0+λRl1J1+,J0+λRl1J1+]0,

мы легко получаем все требуемые соотношения по индукции.
Согласованность пуассоновых структур J0,J1 эквивалентно также обращению в нуль тензора Ньюхауза (Nijenhuis) [296], который выражается лишь через компоненты оператора рекурсии
NRjli=m=12n(RlixmRjmRjixmRlm+RjmxlRmiRlmxjRmj),

Следующий результат был получен Магри (Magri) и Льенаром (Lenard).

Предложение 4 ([282]). Пусть на односвязном многообразии M задана бигамильтонова система. Тогда существует иерархия взаино коммутирующих функций H0,H1,, которые находятся в инволюции относительно обеих скобок. Они порождают коммутирующе друг с другом векторные поля vi, удовлетворяющие рекурсивным соотношениям (Льенара)
vi+j=Ji(dHj,),

где Jj=RiJ0 — высиие пуассоновы структуры.
Таким образом, бигамильтонова система интегрируема по Лиувиллю (см. §3 ), если система функций H0,H1, в указанной иерархии функционально независима и составляет полный набор. Это требование эквивалентно условию простоты спектра оператора рекурсии (см. также [210,236] ). Очевидно, что собственные числа оператора рекурсии являются интегралами движения или константами. В зависимости от числа констант в спектре возможны различные варианты интегрируемости (разделение переменных и пр.). Высшие пуассоновы структуры порождают мультигамильтоново представление (5.2). Более формально этот вопрос рассмотрен в [23].

На многообразии M пуассонов пучок индуцирует семейство согласованных два-форм
ωi=dxTKidx,Ki(x)=Ji1(x),

для которых условие согласованности эквивалентно условию замкнутости два-формы
dxT[K11(x)+K21(x)]1dx.

В 1946 г. Р. Дебевер (R. Debever) [300], применяя метод Картана, дал локальную классификацию пары симплектических 2 -форм ω1 и ω2 на четырехмерном комплексном многообразии. Он не использовал условие согласованности (которое в то время еще не было известно), но ввёл алгебраическое ограничение
ω1ω2=0.

Из этой классификации следует, что при условии (5.6) существуют несогласованные формы ω1 и ω2, тем не менее соответствующая им

бигамильтонова система является интегрируемой в квадратурах (система, интегрируемая в квадратурах может быть неинтегрируема по Лиувиллю). Следует, однако, отметить, что до сих пор неизвестно ни одного примера естественного происхождения, в которой для интегрируемой бигамильтоновой системы вторая пуассонова форма не была бы согласованной.

ЗамечаниЕ 2. Примеры несогласованных скобок, предложенные в работах [201,202,203] и основанные на исследовании системы в переменных типа действие угол, которые могут быть глобально не определены, не являются естественными. Это замечание относится также к обобщению интегрируемости по Лиувиллю, которое, кроме того, до работ [201,202,203] изучалось в [197,79,94].

2. Вырожденные бигамильтоновы системы. Если одна из скобок {,}0,{,}1 пуассонова пучка является вырожденной (при этом вторая скобка, как правило, также вырождена), то доказательство интегрируемости также проводится с помощью модифицированной схемы Магри-Льенара.

Пусть g1(x),,gn(x) и G1(x),,Gm(x) — функции, являющиеся аннуляторами скобок J0 и J1, то есть J0(dgi,)J1(dGi,)0 (neqm). Тогда каждый из аннуляторов gi определяет иерархию гамильтоновых векторных полей v1i(x),v2i(x), таких что

1. поле v1i является гамильтоновым относительно скобки {,}1 с гамильтонианом gi,

2. пусть H1i(x) — гамильтониан того же поля относительно скобки J0. Тогда этот же гамильтониан относительно скобки J1 порождает гамильтоново поле v2i.

Таким образом, возникает итерационная процедура
Каждый из гамильтонианов H1i(x),H2i(x), выражается через аннуляторы скобки Пуассона пучка λJ0+μJ1 для некоторого отношения λ/μ. Аннуляторы любых двух скобок пучка находятся в инволюции

относительно всех скобок того же пучка (при условии максимальности ранга).

Ответ на вопрос, образуют ли всевозможные аннуляторы скобок пучка полный набор интегралов, достаточный для интегрируемости по теореме Лиувилля, дает теорема о полноте, доказанная А. В. Болсиновым [19].

Теорема 4. Для полноты множества интегралов необходимо и достаточно выполнения следующих условий:
1. размерность регулярных симплектических листов скобок Пуассона пучка λJ0+μJ1 одинакова для любого λ/μC,
2. пусть Uλ/μ — объединение сингулярных симплектических листов скобки λJ0+μJ1. Тогда codimUλ/μ>1 для любого λ/μC.

Следует отметить, что механизмы интегрируемости вырожденных и невырожденных бигамильтоновых систем существенно отличаются друг от друга. Так, например для вырожденных систем не определен оператор рекурсии и не существует высших пуассоновых структур (кроме случая, когда симплектические листы обеих структур совпадают). В некоторых случаях пуассонову иерархию удается построить, используя так называемые мастер-симметрии.

В вырожденном случае пара согласованных скобок всегда порождает семейство бигамильтоновых систем. В качестве гамильтонианов (5.1) принимаются функции Казимира этого пучка. Поэтому рассмотрим такие пары скобок более подробно.

3. Лиевы пучки. Один из примеров возникновения согласованных (в общем случае вырожденных) скобок Пуассона связан с рассмотрением лиевых пучков. Как будет показано в §9 гл. 2 эти пучки порождают бигамильтоновы системы, являющиеся многомерным обобщением интегрируемых задач динамики твердого тела.

Определение 5. Пусть L — конечномерное линейное пространство. Лиевым пучком называется линейное семейство лиевых структур ([,]AI ) на пространстве L. Линейность означает, что множество параметров I является линейным пространством и
[,]λA+μB=λ[,]A+μ[,]B.

Связь лиевых пучков с согласованными скобками Пуассона очень проста. Если на пространстве L задан лиев пучок, то на двойственном пространстве L возникает семейство согласованных скобок Ли-

Пуассона ({,}A)AI, где {f,g}A(x)=x,[df,dg]A. Интересный с точки зрения приложений лиев пучок можно задать на пространстве кососимметрических матриц. Пусть L пространство кососимметрических матриц, I — пространство симметрических матриц. Положим
[X,Y]A=XAYYAX,

где X,YL,AI. Этот пучок является одним из примеров так называемых замкнутых неприводимых лиевых пучков, классификация которых проведена И. Л. Кантором и Д. Б. Персицем [70].
4. Метод сдвига аргумента. Согласованные скобки Пуассона возникают также естественным образом из метода сдвига аргуменma[152,156]. Напомним сущность этог метода, позволяющего получать функции в инволюции на коалгебре Ли g, (на которой определена скобка Ли-Пуассона, см. §1). Пусть f и g — инварианты коприсоединенного представления группы Ли G, т. е. гладкие функции, постоянные на орбитах коприсоединенного представления Ad. Пусть ag — произвольный элемент коалгебры. Тогда функции fλ,a(x)=f(x+λa) и gμ,a(x)=g(x+μa) находятся в инволюции на g при любых λ,μR.

В некоторых случаях в качестве инволютивного семейства удобно рассмотреть совокупность однородных полиномов, полученных при разложении в ряд локальных инвариантов представления Ad в регулярной точке ag :
f(a+λx)=P0+λP1(x)+.

Метод сдвига аргумента является частным случаем общей конструкции построения инволютивных семейств по произвольной паре согласованных скобок Пуассона. Вторая пуассонова структура определяется формулой
{f,g}a(x)=a,[df(x),dg(x)].

Тензорное поле, определяющее скобку {,}a является постоянным, а скобки Пуассона {,},{,}a согласованы и образуют пуассонов пучок. При этом функции вида fλ,a=f(x+λa), где f — инвариант представления Ad, являются аннуляторами для линейной комбинации α{,}+β{,}a,β/α=λ. Как уже было отмечено, полнота инволютивных семейств, полученных из метода сдвига аргумента и из общих пуассоновых пучков, изучена в [19].

5. r-матрица. Согласованные скобки возникают в методе классической r-матрицы [311]. Пусть g — алгебра Ли и R — линейный оператор на g. Определим на g билинейную операцию [,] согласно формуле
[ξ,η]R=[Rξ,η]+[ξ,Rη],ξ,ηg.

Эта операция кососимметрична. Если [,]R удовлетворяет тождеству Якоби, то оператор R называется классической r-матрицей, а пара (g,R) называется двойной алгеброй Ли. При этом оператор R удовлетворяет так называемому модифицированному уравнению ЯнгаБакстера:
[Rξ,Rη]R([ξ,η]R)=[ξ,η].

Двум скобкам Ли соответствуют две скобки Ли-Пуассона на g :
{f(x),h(x)}=x,[df(x),dh(x)],{f(x),h(x)}R=x,[df(x),dh(x)]R.

Опишем линейное семейство r-матриц, для которых соответствующие R-скобки образуют лиев пучок, а скобки Пуассона (5.8) и (5.9) являются согласованными. Это семейство параметризуется пространством сплетающих операторов для присоединенного представления алгебры g.

Определение 6. Линейный оператор в g называется сплетающим, если
AadX=adXA

для всех Xg.
Справедливо следующее утверждение [311]:

Теорема 5. Пусть R — классическая r-матрица. Если оператор A является сплетающим, то RA также классическая r-матрица и соответствующие скобки Ли образуют лиев пучок.

В методе r-матрицы гамильтоновы уравнения движения, определенные второй скобкой (5.9) и гамильтонианом, являющимся аннулятором скобки (5.8), записываются в представлении Лакса-Гейзенберга [132,146]. Отметим, что подход, основанный на понятии двойной алгебры Ли, не следует смешивать с теорией бигамильтоновых систем. В последнем случае одни и те же уравнения гамильтоновы относительно разных скобок Пуассона. В методе r-матрицы уравнения движения, порожденные функциями Казимира скобки (5.8) (которые используются

как гамильтонианы) и скобкой (5.9), вообще говоря, не являются гамильтоновыми относительно скобки Ли-Пуассона алгебры Ли g (5.8). Взаимоотношения между этими методами мы также обсудим в §9,10 гл. 2, где будет приведен один дифференциально-геометрический подход к построению LA-пары с рациональным спектральным параметром.

В связи с изложенными выше способами установления интегрируемости системы (4.1) сформулируем два не вполне решенных вопроса.

1. Связано ли существование представления Лакса-Гейзенберга с гамильтоновостью динамической системы (прямой связи здесь нет в виде L — A-пары можно записать некоторые уравнения неголономной механики [235] и уравнения Гамильтона, в отличие от (5.2) не выдерживают замену времени).

2. Существует ли связь между бигамильтоновыми системами и наличием представления Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром.

Частичные ответы на поставленные вопросы будут получены в §§9,10 гл. 2.

6. Примеры бигамильтоновых систем.

Пример 1. Вполне интегрируемая гамильтонова система в переменных действие-угол (I,φ), имеющая вид
I˙1==I˙n=0,φ˙1=ω1,,φ˙n=ωn,

где ωk — функция от I, в невырожденном случае (ω1,,ωn)(I1,,In)eq0, допускает запись в различных неэквивалентных гамильтоновых формах [89]. При этом симплектическая структура имеет вид
ω=dφ,φ=k=1nKωkdφk,

а функция Гамильтона
H=k=1nωkKωkK.

Здесь K — невырожденная функция от частот ω1,,ωn :
det2Kωiωjeq0

Точные симплектические формы, нумеруемые различными функциями K(ω), естественно являются согласованными. Кроме того, как показано в § 4 , система (5.10) допускает представление в виде LA-пары со спектральным параметром. В работе [89] показано также, что все инвариантные меры невырожденной интегрируемой системы (5.10) лиувиллевы (см. §2).

Пример 2. Этот пример иллюстрирует также различие в аналитическом и алгебраическом аспектах задач, связанных с бигамильтоновостью. В аналитическом смысле вблизи невырожденного инвариантного тора класс допустимых гамильтонианов имеет функциональную мощность, а с алгебраической точки зрения интересна бигамильтоновость, определяемая структурным тензором, имеющим подходящую (например, полиномиальную) структуру. Гамильтонианы, полученные из формулы (5.12), могут глобально не продолжаться на все фазовое пространство.

Пример 3. Приведем вторую пуассонову структуру для интегрируемого волчка Лагранжа в динамике твердого тела. Как уже было отмечено в §1 гл. 1, уравнения Эйлера-Пуассона представляют гамильтонову систему со скобкой Пуассона, определяемой алгеброй e(3). Гамильтониан волчка Лагранжа может быть представлен в виде
H=12(M12+M22+aM32)+γ3,a= const. 

Вторая согласованная структура, имеет вид:
{γi,γj}=εijkγk,{M1,M2}=1,{Mi,γj}=0.

Функции M3 и (γ,γ) являются аннуляторами скобки (5.13). Пуассонова структура представляет собой прямую сумму алгебр вращения so(3), идеала M3 и двумерной канонической алгебры H(2) :
so(3)R1H(2).

Гамильтонов поток в этом случае генерируется гамильтонианом
H0=(a1)M3(12(M12+M22)+γ3)+(M1γ1+M2γ2+M3γ3).

Запись уравнений движения волчка Лагранжа на алгебре (5.13) позволяет определить новую систему канонических переменных. Ими будут являться координаты M1,M2,L,l, где γ1=1L2cosl,γ2= =1L2sinl,γ3=L.

Разобранный пример позволяет прояснить природу бигамильтоновости в гамильтоновых системах. Бигамильтоновость интегрируемой системы оказывается связанной с возможносью различных, но ее гамильтоновых возмущений. Так, волчок Лагранжа кроме осесимметричного потенциального возмущения допускает возмущения вида H=H0+H1, где H1=H1(M1,M2,M3). Уравнения движения
M˙1=HM2=(a1)M2M3+γ2+H1M2(M1,M2,M3),M˙2=HM1=(1a)M1M3γ1H1M1(M1,M2,M3),M˙3=0,γ˙=γ×H0γ=γ×AM,A=diag(1,1,a)

будут описывать динамику осесимметричного волчка в силовом поле, зависящем от моментов (угловых скоростей). Такого рода задачи рассматриваются обычно в динамике твердого тела под действием диссипативных гироскопических и управляющих внешних воздействий, которые обычно априори не гамильтоновы. В общем случае уравнения (5.16) не являются интегируемыми, так как пропадает интеграл площадей. Интересно было бы найти ограничения на функцию H1(M), при которых существует еще один дополнительный интеграл.

Пример 4. Примером, когда вторая пуассонова структура всегда согласована с первой, являются трехмерные системы. В работе [305] было сделано следующее несложное наблюдение:

Теорема 6. Трехмерная система дифференциальных уравнений x˙=f(x) является бигамильтоновой системой тогда и только тогда, когда существуют два (почти всюду) функционально независимых интеграла движения.

Доказательство.

Структурный тензор по двум независимым интегралам движения K и H строится следующим образом. В силу того, что векторное поле f(x) лежит на инвариантных многообразиях, определяемых интег-
ралами K(x)= const и H(x)= const, оно ортогонально векторам dK и dH. Поэтому
x˙=f(x)=m(x)dK×dH==m(x)(0K3K2K30K1K2K10)(H1H2H3)==m(x)(0H3H2H30H1H2H10)(K1K2K3),

где m(x) — скалярный множитель, Ki=Kxi,Hi=Hxi.
Матрицы
m(x)(0H3H2H30H1H2H10),m(x)(0K3K2K30K1K2K10)

задают два структурных тензора, как несложно проверить, согласованных.
Смысл скалярного множителя m(x) состоит в том, что форма
1m(x)dx1dx2dx3

задает инвариантную форму объема.
Отметим, что в виде (5.17) могут быть представлены трехмерные системы, возникающие в механике Намбу [295], которая, таким образом, в трехмерном случае сводится к гамильтоновой механике с вырожденной скобкой Пуассона.

Пример 5. Теорема 6 может быть распространена на n-мерный случай для систем, имеющих n1 независимых первых интегралов. Однако, такая ситуация является сильно вырожденной и редко встречается в приложениях (как и соответствующие n-мерные системы Намбу, для которых до сих пор не найдено ни одного содержательного примера).

При рассмотрении семейств функциональных определителей в известном учебнике анализа Ж.Ш. Валле-Пуссеном было доказано следующее утверждение [41].

Теорема 7 (Валле-Пуссен). Если система
x˙i=vi(x),i=1,,n

с нулевой дивергенцией divv=0 обладает n1 независимыми интегралами движения f1(x),,fn1(x), то она представима в виде определителей
x˙i=(xi,f1(x),,fn1(x))(x1,x2,,xn).

Поскольку любая система
x˙=w(x),

обладающая теми же интегралами движения, что и (5.18) имеет одни и те же траектории, но возможно различные законы движения по ним, то векторные поля v(x) и w(x) совпадают с точностью до множителя v=ρw. При этом функция ρ1 является плотностью инвариантной меры системы (5.20).

Определим скобку Пуассона, заданную независимыми функциями f1,,fn2 по формуле
{F,G}dx1dxn=1ρdf1dfn2dFdG,

где F,G — произвольные функции, а f1,,fn2 являются функциями Казимира скобки (5.21). Система (5.20) является мультигамильтоновой с n — 1-параметрической скобкой Пуассона вида
{F,G}λ1λn1dx1,dxn=1ρ(λ1df2dfn1dFdG+++λn1df1dfn2dFdG).

Соответствующее семейство гамильтонианов имеет вид
H=λ1f1++λn1fn1λ12++λn12,λi=const,

а множитель ρ находится из заведомо выполненного условия v=ρw.
Ранг скобки (5.22) равен двум. Из этого, в частности следует, что для нее справедливо тождество Якоби.

Пример 6 . В качестве примера, иллюстрирующего теорему 6 , рассмотрим трехмерную систему типа Лотки-Вольтерра [34].
M˙1=Γ1M1(M2M3),M˙2=Γ2M2(M3M1),Γi= const. M˙3=Γ3M3(M1M2),

Как будет показано в гл. 4, эта система траекторно изоморфна задаче о движении трех точечных вихрей в идеальной жидкости. Она имеет интегралы
F1=Γi1Mi,F2=Γi1lnMi

и две соответствующие им согласованные пуассоновы структуры
{Mi,Mj}=εijkΓiΓjM1M2M3,{Mi,Mj}=εijkΓiΓjMiMj.

Обе эти структуры (одна из которых кубична, а другая квадратична) не являются структурами Ли-Пуассона. Оказывается, что и первая (кубическая), и вторая (квадратичная) пуассоновы структуры допускают обобщение — на них могут быть представлены различные варианты многомерной системы Лотки-Вольтерра (см. §4, гл. 5).

Пример 7. Рассмотрим вопрос о гамильтоновости системы
x˙i=xi(k=1nxk2xi),i=1,,n,

которая также принадлежит к классу систем типа Лотки-Вольтерра (см. §4 гл. 5) и при n=3 была рассмотрена С. В. Ковалевской в письме к Г. Миттаг-Леффлеру [172]. Она показала, что в этом случае система обладает двумя независимыми квадратичными интегралами вида
Φ=ieqjakxixj,ak=0

и интегрируется в тэта-функциях.
По теореме 6 при n=3 система (5.26) является бигамильтоновой с двумя согласованными скобками Ли-Пуассона (и обладает инвариантной мерой). Несложные вычисления показывают (классификация

Бьянки [61]), что каждая скобка пучка изоморфна алгебре so(2,1), а уравнения (5.26) представляют собой некомпактную версию вращения свободного твердого тела.

При n=4 система (5.26) обладает тремя независимыми квадратичными интегралами вида F1=(x1x3)(x2x4),F2=(x1x2)(x3x4), F3=(x1x4)(x2x3). По теореме 7 в этом случае система является мультигамильтоновой с линейными скобками Пуассона.

При n>4 вопрос об интегрируемости, гамильтоновости и существовании инвариантной меры системы (5.26) остается открытым. Можно только показать, что при n>4 больше не существует ни одного квадратичного интеграла (а стало быть и структуры Ли-Пуассона). Тем не менее, все показатели Ковалевской (см. §7) являются рациональными, что вообще говоря, не препятствует интегрируемости.

1
Оглавление
email@scask.ru