Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Еще одним способом обнаружения и доказательства интегрируемости многомерных гамильтоновых систем, связь которого с методом Система, допускающая запись в где скобки 1. Невырожденные бигамильтоновы системы. Предположим, что одна из структур задающий тензорное поле типа (5.1) (см. §2). Предложение 3. Пусть Замечание 1. В описанной выше ситуации говорят, что пуассоновы структуры вида Доказательство. Поскольку внешний дифференциал от этой формы тождественно равен нулю при всех
и приравняем к нулю члены при степенях Проверим второе утверждение. Рассмотрим бивекторы вида здесь и приравнивая к нулю члены при разных степенях мы легко получаем все требуемые соотношения по индукции. Следующий результат был получен Магри (Magri) и Льенаром (Lenard). Предложение 4 ([282]). Пусть на односвязном многообразии где На многообразии для которых условие согласованности эквивалентно условию замкнутости два-формы В 1946 г. Р. Дебевер (R. Debever) [300], применяя метод Картана, дал локальную классификацию пары симплектических 2 -форм Из этой классификации следует, что при условии (5.6) существуют несогласованные формы бигамильтонова система является интегрируемой в квадратурах (система, интегрируемая в квадратурах может быть неинтегрируема по Лиувиллю). Следует, однако, отметить, что до сих пор неизвестно ни одного примера естественного происхождения, в которой для интегрируемой бигамильтоновой системы вторая пуассонова форма не была бы согласованной. ЗамечаниЕ 2. Примеры несогласованных скобок, предложенные в работах 2. Вырожденные бигамильтоновы системы. Если одна из скобок Пусть 1. поле 2. пусть Таким образом, возникает итерационная процедура относительно всех скобок того же пучка (при условии максимальности ранга). Ответ на вопрос, образуют ли всевозможные аннуляторы скобок пучка полный набор интегралов, достаточный для интегрируемости по теореме Лиувилля, дает теорема о полноте, доказанная А. В. Болсиновым [19]. Теорема 4. Для полноты множества интегралов необходимо и достаточно выполнения следующих условий: Следует отметить, что механизмы интегрируемости вырожденных и невырожденных бигамильтоновых систем существенно отличаются друг от друга. Так, например для вырожденных систем не определен оператор рекурсии и не существует высших пуассоновых структур (кроме случая, когда симплектические листы обеих структур совпадают). В некоторых случаях пуассонову иерархию удается построить, используя так называемые мастер-симметрии. В вырожденном случае пара согласованных скобок всегда порождает семейство бигамильтоновых систем. В качестве гамильтонианов (5.1) принимаются функции Казимира этого пучка. Поэтому рассмотрим такие пары скобок более подробно. 3. Лиевы пучки. Один из примеров возникновения согласованных (в общем случае вырожденных) скобок Пуассона связан с рассмотрением лиевых пучков. Как будет показано в Определение 5. Пусть Связь лиевых пучков с согласованными скобками Пуассона очень проста. Если на пространстве Пуассона где В некоторых случаях в качестве инволютивного семейства удобно рассмотреть совокупность однородных полиномов, полученных при разложении в ряд локальных инвариантов представления Метод сдвига аргумента является частным случаем общей конструкции построения инволютивных семейств по произвольной паре согласованных скобок Пуассона. Вторая пуассонова структура определяется формулой Тензорное поле, определяющее скобку 5. r-матрица. Согласованные скобки возникают в методе классической Эта операция кососимметрична. Если Двум скобкам Ли соответствуют две скобки Ли-Пуассона на Опишем линейное семейство Определение 6. Линейный оператор в g называется сплетающим, если для всех Теорема 5. Пусть В методе как гамильтонианы) и скобкой (5.9), вообще говоря, не являются гамильтоновыми относительно скобки Ли-Пуассона алгебры Ли g (5.8). Взаимоотношения между этими методами мы также обсудим в В связи с изложенными выше способами установления интегрируемости системы (4.1) сформулируем два не вполне решенных вопроса. 1. Связано ли существование представления Лакса-Гейзенберга с гамильтоновостью динамической системы (прямой связи здесь нет в виде 2. Существует ли связь между бигамильтоновыми системами и наличием представления Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром. Частичные ответы на поставленные вопросы будут получены в 6. Примеры бигамильтоновых систем. Пример 1. Вполне интегрируемая гамильтонова система в переменных действие-угол где а функция Гамильтона Здесь Точные симплектические формы, нумеруемые различными функциями Пример 2. Этот пример иллюстрирует также различие в аналитическом и алгебраическом аспектах задач, связанных с бигамильтоновостью. В аналитическом смысле вблизи невырожденного инвариантного тора класс допустимых гамильтонианов имеет функциональную мощность, а с алгебраической точки зрения интересна бигамильтоновость, определяемая структурным тензором, имеющим подходящую (например, полиномиальную) структуру. Гамильтонианы, полученные из формулы (5.12), могут глобально не продолжаться на все фазовое пространство. Пример 3. Приведем вторую пуассонову структуру для интегрируемого волчка Лагранжа в динамике твердого тела. Как уже было отмечено в Вторая согласованная структура, имеет вид: Функции Гамильтонов поток в этом случае генерируется гамильтонианом Запись уравнений движения волчка Лагранжа на алгебре (5.13) позволяет определить новую систему канонических переменных. Ими будут являться координаты Разобранный пример позволяет прояснить природу бигамильтоновости в гамильтоновых системах. Бигамильтоновость интегрируемой системы оказывается связанной с возможносью различных, но ее гамильтоновых возмущений. Так, волчок Лагранжа кроме осесимметричного потенциального возмущения допускает возмущения вида будут описывать динамику осесимметричного волчка в силовом поле, зависящем от моментов (угловых скоростей). Такого рода задачи рассматриваются обычно в динамике твердого тела под действием диссипативных гироскопических и управляющих внешних воздействий, которые обычно априори не гамильтоновы. В общем случае уравнения (5.16) не являются интегируемыми, так как пропадает интеграл площадей. Интересно было бы найти ограничения на функцию Пример 4. Примером, когда вторая пуассонова структура всегда согласована с первой, являются трехмерные системы. В работе [305] было сделано следующее несложное наблюдение: Теорема 6. Трехмерная система дифференциальных уравнений Доказательство. Структурный тензор по двум независимым интегралам движения где задают два структурных тензора, как несложно проверить, согласованных. задает инвариантную форму объема. Пример 5. Теорема 6 может быть распространена на При рассмотрении семейств функциональных определителей в известном учебнике анализа Ж.Ш. Валле-Пуссеном было доказано следующее утверждение [41]. Теорема 7 (Валле-Пуссен). Если система с нулевой дивергенцией Поскольку любая система обладающая теми же интегралами движения, что и (5.18) имеет одни и те же траектории, но возможно различные законы движения по ним, то векторные поля Определим скобку Пуассона, заданную независимыми функциями где Соответствующее семейство гамильтонианов имеет вид а множитель Пример 6 . В качестве примера, иллюстрирующего теорему 6 , рассмотрим трехмерную систему типа Лотки-Вольтерра [34]. Как будет показано в гл. 4, эта система траекторно изоморфна задаче о движении трех точечных вихрей в идеальной жидкости. Она имеет интегралы и две соответствующие им согласованные пуассоновы структуры Обе эти структуры (одна из которых кубична, а другая квадратична) не являются структурами Ли-Пуассона. Оказывается, что и первая (кубическая), и вторая (квадратичная) пуассоновы структуры допускают обобщение — на них могут быть представлены различные варианты многомерной системы Лотки-Вольтерра (см. §4, гл. 5). Пример 7. Рассмотрим вопрос о гамильтоновости системы которая также принадлежит к классу систем типа Лотки-Вольтерра (см. и интегрируется в тэта-функциях. Бьянки [61]), что каждая скобка пучка изоморфна алгебре При При
|
1 |
Оглавление
|