В этом параграфе мы опишем один из способов введения канонических переменных в динамике твердого тела. Этот способ существенно использует структуру скобки Ли-Пуассона, на которой задана гамильтонова система. Он связан с выделением в первоначальной алгебре замкнутой подалгебры, введением для нее канонических координат, а затем построением расширенного канонического набора, определяющего симплектические координаты на всей алгебре. Более полробно, алгоритм симплектизации изложен в приложении $\mathrm{H}$ (см. также $§ 6$ гл. 4) на примере задачи трех тел. В динамике твердого тела этот метод приводит к хорошо известным переменным Андуайе-Депри. Классическая процедура их введения, не являющаяся вполне очевидной, приведена в книге [5]. Эти канонические переменные также (в силу особенностей процедуры их введения) определяют симплектические координаты на симплектических листах соответствующих скобок Ли-Пуассона ( $\$ 1$ гл. 1).

Сначала для простоты рассмотрим случай введения канонических переменных для алгебры $e(3)$, а затем рассмотрим более сложную ситуацию, определяемую коммутационными соотношениями (2.7).

В подалгебре вращений $s o(3)$ алгебры $e(3)$ выберем канонические переменные $l, L$
\[
M_{1}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \sin l, \quad M_{2}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \cos l, \quad M_{3}=L,
\]

представляющие собой цилиндрические координаты на двумерной сфере – симплектическом листе скобки Пуассона, определенной алгеброй $s o(3)$.

Величина кинетического момента $G=\sqrt{M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}}$ является функцией Казимира рассматриваемой подалгебры и может быть принята за новую каноническую координату типа «действие». Сопряженная ей угловая переменная $g$ вводится следующим образом.

Скобки Пуассона между переменными $L, l, G, \gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}$ следующие:
\[
\begin{array}{c}
\{l, L\}=1, \quad\{G, L\}=\{G, l\}=0, \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=0, \\
\left\{L, \gamma_{1}\right\}=-\gamma_{2}, \quad\left\{L, \gamma_{2}\right\}=\gamma_{1}, \quad\left\{L, \gamma_{3}\right\}=0, \\
\left\{l, \gamma_{1}\right\}=-\frac{\sin l \gamma_{3}}{\sqrt{G^{2}-L^{2}}} \\
\left\{l, \gamma_{2}\right\}=-\frac{\cos l \gamma_{3}}{\sqrt{G^{2}-L^{2}}} \\
\left\{l, \gamma_{3}\right\}=\frac{H-L \gamma_{3}}{G^{2}-L^{2}} \\
\left\{G, \gamma_{1}\right\}=\frac{1}{G}\left(\sqrt{G^{2}-L^{2}} \cos l \gamma_{3}-L \gamma_{2}\right) \\
\left\{G, \gamma_{2}\right\}=\frac{1}{G}\left(L \gamma_{1}-\sqrt{G^{2}-L^{2}} \sin l \gamma_{3}\right) \\
\left\{G, \gamma_{3}\right\}=\frac{1}{G} \sqrt{G^{2}-L^{2}}\left(\sin l \gamma_{2}-\cos l \gamma_{1}\right) .
\end{array}
\]

В (8.4) $H$ обозначает проекцию кинетического момента на неподвижную ось. При этом $H=(M, \gamma)$ является функцией Казимира (ко)алгебры $e(3)$ и интегралом движения.

Разрешим последовательно системы дифференциальных уравнений в частных производных (8.3)-(8.5), предполагая $\gamma_{i}$ функциями $(l, L, g, G, H)$ и учитывая коммутационные соотношения
\[
\{G, g\}=1, \quad\{L, g\}=0, \quad\{l, g\}=0 .
\]

В результате получаем хорошо известные формулы (см. [5, 28]):
\[
\begin{array}{l}
\gamma_{1}=\left(\frac{H}{G} \sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}}+\frac{L}{G} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g\right) \sin l+\sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \sin g \cos l, \\
\gamma_{2}=\left(\frac{H}{G} \sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}}+\frac{L}{G} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g\right) \cos l-\sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \sin g \sin l, \\
\gamma_{3}=\left(\frac{H}{G}\right)\left(\frac{L}{G}\right)-\sqrt{1-\left(\frac{L}{G}\right)^{2}} \sqrt{1-\left(\frac{H}{G}\right)^{2}} \cos g .
\end{array}
\]

Каноническими переменными на четырехмерном симплектическом листе скобки Пуассона алгебры $e(3)$ являются $(L, l, G, g)$. Переменная $H$ «нумерует» симплектические листы, гомеоморфные кокасательному расслоению к двумерной сфере.

Получим теперь канонические координаты для шестимерного симплектического листа скобки Пуассона, гомеоморфного кокасательному расслоению к трехмерной сфере $T^{*} S^{3}$, определенной семимерной алгеброй Ли $l(7)=s o(3) \oplus_{s} \mathbb{R}^{4}$. Для этого используем уже построенный набор $(L, G, l, g$ ). Примем в качестве новой переменной «действие» $H$ и введем сопряженную ей каноническую переменную $h$. Найдем выражения через переменные $L, G, H, l, g, h$ параметров РодригаГамильтона $\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$.

Для их получения будем последовательно разрешать системы дифференциальных уравнений в частных производных, которые возникают из следующих четырех наборов коммутационных соотношений.
1.
\[
\begin{array}{ll}
\left\{L, \lambda_{0}\right\}=\frac{1}{2} \lambda_{3}, & \left\{L, \lambda_{1}\right\}=-\frac{1}{2} \lambda_{2}, \\
\left\{L, \lambda_{2}\right\}=\frac{1}{2} \lambda_{1}, & \left\{L, \lambda_{3}\right\}=-\frac{1}{2} \lambda_{0},
\end{array}
\]
2. $\left\{H, \lambda_{0}\right\}=\frac{1}{2} \lambda_{3}, \quad\left\{H, \lambda_{1}\right\}=\frac{1}{2} \lambda_{2}$,
\[
\left\{H, \lambda_{2}\right\}=-\frac{1}{2} \lambda_{1}, \quad\left\{H, \lambda_{3}\right\}=-\frac{1}{2} \lambda_{0},
\]
3. $\left\{l, \lambda_{0}\right\}=\frac{\lambda_{1} \cos l-\lambda_{2} \sin l}{2 \sqrt{G^{2}-L^{2}}}, \quad\left\{l, \lambda_{1}\right\}=-\frac{\lambda_{3} \cos l+\lambda_{0} \sin l}{2 \sqrt{G^{2}-L^{2}}}$,
\[
\left\{l, \lambda_{2}\right\}=\frac{\lambda_{0} \sin l-\lambda_{3} \cos l}{2 \sqrt{G^{2}-L^{2}}}, \quad\left\{l, \lambda_{3}\right\}=\frac{\lambda_{1} \sin l+\lambda_{2} \cos l}{2 \sqrt{G^{2}-L^{2}}},
\]
4. $\left\{G, \lambda_{0}\right\}=\frac{\sqrt{G^{2}-L^{2}}}{2 G}\left(\lambda_{1} \sin l+\lambda_{2} \cos l\right)+\frac{L}{2 G} \lambda_{3}$,
\[
\begin{array}{l}
\left\{G, \lambda_{1}\right\}=\frac{\sqrt{G^{2}-L^{2}}}{2 G}\left(-\lambda_{0} \sin l+\lambda_{3} \cos l\right)-\frac{L}{2 G} \lambda_{2}, \\
\left\{G, \lambda_{2}\right\}=-\frac{\sqrt{G^{2}-L^{2}}}{2 G}\left(\lambda_{0} \cos l+\lambda_{3} \sin l\right)+\frac{L}{2 G} \lambda_{1}, \\
\left\{G, \lambda_{3}\right\}=\frac{\sqrt{G^{2}-L^{2}}}{2 G}\left(\lambda_{2} \sin l-\lambda_{1} \cos l\right)-\frac{L}{2 G} \lambda_{0} .
\end{array}
\]

Используя также полученные ранее выражения для вектора $\gamma$ : $\gamma_{1}=2\left(\lambda_{1} \lambda_{3}-\lambda_{0} \lambda_{2}\right), \gamma_{2}=2\left(\lambda_{0} \lambda_{1}+\lambda_{2} \lambda_{3}\right), \gamma_{3}=\lambda_{0}^{2}-\lambda_{1}^{2}-\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}$ через канонические переменные (8.6) и условие нормировки $\lambda_{0}^{2}+\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}=1$, придем к следующим соотношениям:
\[
\begin{aligned}
\lambda_{0}= & \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin (g / 2) \sin \left(y_{+}\right) \cos \left(x_{-}\right)+\sin (g / 2) \cos \left(y_{+}\right) \cos \left(x_{-}\right)+\right. \\
& \left.+\cos (g / 2) \sin \left(y_{+}\right) \sin \left(x_{+}\right)-\cos (g / 2) \cos \left(y_{+}\right) \sin \left(x_{+}\right)\right), \\
\lambda_{1}= & \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin (g / 2) \cos \left(y_{-}\right) \sin \left(x_{-}\right)-\sin (g / 2) \sin \left(y_{-}\right) \sin \left(x_{-}\right)-\right. \\
& \left.-\cos (g / 2) \sin \left(y_{-}\right) \cos \left(x_{+}\right)-\cos (g / 2) \cos \left(y_{-}\right) \cos \left(x_{+}\right)\right), \\
\lambda_{2}= & \frac{1}{\sqrt{2}}\left(-\sin (g / 2) \sin \left(y_{-}\right) \sin \left(x_{-}\right)-\sin (g / 2) \cos \left(y_{-}\right) \sin \left(x_{-}\right)+\right. \\
& \left.+\cos (g / 2) \sin \left(y_{-}\right) \cos \left(x_{+}\right)-\cos (g / 2) \cos \left(y_{-}\right) \cos \left(x_{+}\right)\right), \\
\lambda_{3}= & \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin (g / 2) \sin \left(y_{+}\right) \cos \left(x_{-}\right)-\sin (g / 2) \cos \left(y_{+}\right) \cos \left(x_{-}\right)-\right. \\
& \left.-\cos (g / 2) \sin \left(y_{+}\right) \sin \left(x_{+}\right)-\cos (g / 2) \cos \left(y_{+}\right) \sin \left(x_{+}\right)\right) .
\end{aligned}
\]

В формулах (8.11) введены углы $\zeta, \tau$ (см. далее рис. 4)
\[
\zeta=\arcsin H / G, \quad \tau=\arcsin L / G
\]

и комбинации:
\[
x_{+} \equiv \frac{1}{2}(\zeta+\tau), \quad x_{-} \equiv \frac{1}{2}(\zeta-\tau), \quad y_{+} \equiv \frac{1}{2}(l+h), \quad y_{-} \equiv \frac{1}{2}(l-h) .
\]

Если действовать формально, то с помощью предложенного алгоритма можно ввести канонические переменные, не интересуясь их механическим смыслом. Однако, переменные Андуайе – Депри, возникающие из приведенных рассуждений, имеют естественное динамическое происхождение. Оно иллюстрируется на рис. 4.

Здесь через $O X Y Z$ обозначен неподвижный трехгранник с началом в точке подвеса, $O x y z$ – жестко связанная с телом система координат, $\Sigma$ – плоскость, проходящая через точку закрепления и перпендикулярная вектору кинетического момента волчка М. В принятых обозначениях:

Рис. 4

$L$ – проекция кинетического момента на подвижную ось $O z$;
$G$ – величина кинетического момента;
$H$ – его проекция на неподвижную ось $O Z$;
$l$ – угол между осью $O x$ и линией пересечения $\Sigma$ с плоскостями $O x y$ и $O X Y$;
$g$ – угол между линиями пересечения $\Sigma$ с плоскостями $O x y$ и $O X Y$;
$h$ – угол между осью $O x$ и линией пересечения $\Sigma$ с плоскостью $O X Y$.
Отметим, что система переменных Андуайе-Депри не разбивается на позиционную и чисто импульсную составляющие подобно углам Эйлера и сопряженным им каноническим импульсам. Однако, они очень удобны для применения метода теории возмущений, т. к. связаны с компонентами кинетического момента. В двух наиболее известных интегрируемых (невозмущенных) задачах динамики твердого тела – случаях Эйлера и Лагранжа переменные $G$ и $L$ соответственно являются интегралами движения. Сходные системы оскулирующих элементов, не обязательно являющихся каноническими, использовались еще в прошлом веке Пуассоном, Шарлье, Андуайе и Тиссераном при построении теорий вращательного движения планет в небесной механике. Их независимое введение в этом веке А. Депри позволило осознать их универсальный характер в динамике твердого тела – они использовались для применения методов качественного анализа в [77] (где называются специальными каноническими переменными) и для численных исследований [28].

Формулы (8.11) могут быть использованы при применении методов теории возмущений для изучения задачи о движении твердого тела в суперпозиции потенциальных силовых полей (см. $\S \S 3,4$ ).