Задача о движения материальной точки в пространстве постоянной кривизны впервые изучалась Н. И. Лобачевским, который с помощью геометрических соображений обобщил закон всемирного тяготения (точнее, получил аналог силы ньютоновского притяжения) для про-
странства постоянной отрицательной кривизны (пространства Лобачевского). Интегрируемость задачи Кеплера на трехмерной сфере $S^{3}$, которую А. Эйнштейн предлагал использовать в качестве модели реального пространства, была указана Э. Шредингером [167]. Он также провел ее предварительное исследование, необходимое для целей последующего квантования. Интересно привести его соображения по этому поводу:
«Может показаться безрассудным принимать во внимание ничтожную кривизн Вселенной, имея дело с атомом водорода, потому что влияние даже таких значительно более сильных гравитационных полей, при наличии которых в действительности происходят все наши наблюдения, пренебрежимо мало. Но эта задача, вследствие возможности стирания в ее рамках резкой границы между «элиптическими и гиперболическими орбитами» (классические орбиты здесь все замкнуты) и представления непрерывного спектра посредством густо заполненного линейчатого спектра, имеет весьма интересные черты, которые оказываются здесь едва ли более сложными, чем в плоском случае».

Со своей стороны заметим, что изучение динамики в искривленном пространстве важно хотя бы потому, что позволяет глубже понять динамику в обычном плоском пространстве, уравнения движения в котором обладают дополнительной замечательной симметрией – они инвариантны относительно группы преобразований Галилея.

Обобщение законов Кеплера для $S^{3}$ и $L^{3}$ приведено в работах Н. А. Черникова [221] (для $L^{3}$ ) и В. В. Козлова [90] (для $S^{3}$ и $L^{3}$ ). Аналог уравнения Кеплера для движения в $S^{3}$ несколько ранее был получен в работе П. Хиггса [250] с использованием гномонической проекции. В работах $[90,318]$ аналог ньютоновского и гуковского потенциалов получены из теоремы Бертрана для $S^{3}$ и указана аналогия с движением шарового волчка. В работе $[270]$ доказана интегрируемость движения частицы на двумерной сфере $S^{2}$ в поле двух неподвижных гравитирующих ньютоновских центров (задача Эйлера).

Свободное движение двумерного твердого тела на плоскости Лобачевского изучалось Н. Е. Жуковским [62]. Он показал, что уже в этой простой ситуации не справедлива теорема Бернулли, согласно которой в плоском пространстве движение центра масс твердого тела отделяется от вращения вокруг центра масс. Отсутствие понятия центра масс в искривленном пространстве приводит, вообще говоря, к различному поведению классических задач и их аналогов в искривленном пространстве.

1. Алгебра интегралов задачи Кеплера. Остановимся более подробно на задаче Кеплера на трехмерной сфере и в пространстве Лобачевского. В случае плоской задачи Кеплера (в $\mathbb{R}^{3}$ ) хорошо известна природа ньютоновского (кулоновского) вырождения, обусловленная повышенной (так называемой «скрытой») симметрией задачи Кеплера. Как было показано Баргманом, известные интегралы движения – момент М и вектор Лапласа-Рунге-Ленца А образуют в этом пространстве алгебру $o(4)$ для отрицательных энергий и $o(3,1)$ для положительных энергий [137].

Уравнения задачи Кеплера на единичной трехмерной сфере $S^{3}$ (пространстве Лобачевского) можно записать в виде системы (1.16) с гамильтонианом (для $S^{3}$ и $L^{3}$ ) (1.9):
\[
H=\frac{1}{2}\left(\mathbf{L}^{2} \pm \pi^{2}\right)+V, \quad V=\gamma \operatorname{ctg} \theta=\gamma \frac{q_{0}}{|\mathbf{q}|}, \quad(V=\gamma \operatorname{cth} \theta),
\]

где мы полагаем, что притягивающий центр помещен в один из полюсов сферы, а «угол» $\theta$ может быть найден из параметризации обычными сферическими (псевдосферическими) координатами.
\[
\begin{array}{lll}
q_{1}=R \sin \theta \sin \varphi \sin \psi, & q_{2}=R \sin \theta \sin \varphi \cos \psi, & \text { (для } \left.S^{3}\right) \\
q_{3}=R \sin \theta \cos \varphi, & q_{0}=R \cos \theta . & \\
q_{1}=R \operatorname{sh} \theta \sin \varphi \sin \psi, & q_{2}=R \operatorname{sh} \theta \sin \varphi \cos \psi, & \text { (для } \left.L^{3}\right) \\
q_{3}=R \operatorname{sh} \theta \cos \varphi, & q_{0}=R \operatorname{ch} \theta .
\end{array}
\]

В дальнейшем, для простоты мы ограничимся рассмотрением $S^{3}$, все результаты будут также справедливы для $L^{3}$ при учете смены знаков и замене тригонометрических функций на гиперболические.

Физическое обоснование задания ньютоновского потенциала в виде (2.1), а гуковского – в виде $V=\gamma \operatorname{tg}^{2} \theta$ содержится в работах $[90,270,318]$. Эти аналоги могут быть получены из обобщения теоремы Бертрана для пространств постоянной кривизны – только для указанных потенциалов все траектории частицы замкнуты. Ньютоновский (кулоновский) потенциал является также решением уравнения

Лапласа-Бельтрами для искривленного пространства
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin ^{2} \theta \frac{\partial V}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta \sin \varphi} \frac{\partial}{\partial \varphi}\left(\sin \varphi \frac{\partial V}{\partial \varphi}\right)+ \\
+\frac{1}{\sin ^{2} \theta \sin ^{2} \varphi} \frac{\partial^{2} V}{\partial \psi^{2}}=0 \quad \text { для } S^{3}, \\
\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\operatorname{sh}^{2} \theta \frac{\partial V}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} \theta \sin \varphi} \frac{\partial}{\partial \varphi}\left(\sin \varphi \frac{\partial V}{\partial \varphi}\right)+ \\
+\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} \theta \sin ^{2} \varphi} \frac{\partial^{2} V}{\partial \psi^{2}}=0 \text { для } L^{3},
\end{array}
\]

которое инвариантно относительно группы $S O(3)$ (не зависит от углов $\varphi, \psi$ ) и имеет особенность в полюсе $\theta=0$. (Для сферы $S^{3}$, вследствие компактности, особенность возникает также в противоположном полюсе $\theta=\pi$ ). Эти особенности можно рассматривать как обобщение понятия точечной массы (заряда) в пространстве постоянной кривизны.

Несложно проверить, что в силу инвариантности гамильтониана относительно вращений вокруг фиксированной оси в $\mathbb{R}^{4}$, проходящей через полюса (преобразований группы $S O(3)$ ), уравнения движения имеют векторный интеграл момента $\mathbf{L}=$ const, (1.7) компоненты которого образуют алгебру $s o(3):\left\{L_{i}, L_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{k}$. Аналог вектора Лапласа-Рунге-Ленца, обусловленный скрытой симметрией, для этих уравнений был найден в [55]:
\[
\mathbf{A}=\mathbf{L} \times \boldsymbol{\pi}+\gamma \frac{\mathbf{q}}{|\mathbf{q}|} .
\]

Коммутационные соотношения между $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\left\{A_{i}, A_{j}\right\}=-2 \varepsilon_{i j k} L_{k}\left(H+\mathbf{L}^{2}\right), \\
\left\{L_{i}, A_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} A_{k}, \\
\left\{L_{i}, L_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{k} .
\end{array}
\]

Эти коммутационные соотношения задают нелинейную (бесконечномерную) алгебру Ли (по терминологии [55] алгебру Якоби). Ее ранг

равен четырем и она обладает двумя центральными функциями
\[
\begin{array}{l}
F_{1}=(\mathbf{L}, \mathbf{A}), \\
F_{2}=\mathbf{A}^{2}+\left(\mathbf{L}^{2}+1\right)\left(\mathbf{L}^{2}+1+2 H\right)-\gamma^{2}+1 .
\end{array}
\]

В действительном движении выполняется $F_{1}=0, F_{2}=0$. Для плоского пространства нелинейный член в (2.4) исчезает, и на уровне $H=E$ получается алгебра Ли, изоморфная $o(4)$ для $E<0$ или $o(3,1)$ для $E>0$. Если рассматриваются уравнения, получающиеся при ограничении системы на сингулярную орбиту, то в формулах (2.4) надо предполагать компоненты $\mathbf{L}, \mathbf{A}$, выраженными через $\mathbf{M}, q$ по формулам ( 2.10$) \S 2$ гл. 2.

2. Регуляризация. В плоском случае (на $\mathbb{R}^{2}$ ) известна регуляризация Болина (называемая также регуляризацией Леви-Чивита) задачи Кеплера, приводящая систему (2.1) на уровне энергии при замене времени к уравнениям гармонического осциллятора. Для случая сферы $S^{3}$, инвариантными поверхностями на которой в случае задачи Кеплера являются двумерные сферы, аналогичная регуляризация не приводит к такому наглядному результату.

Рассмотрим гномоническую проекцию из центра сферы на плоскость $\mathbb{R}^{2}$. При этой проекции большие дуги на сфере переводятся в отрезки прямых на плоскости. Однако, кроме точек на главном меридиане (при проецировании уходящими в бесконечность), прообразом каждой точки на $\mathbb{R}^{2}$ будут две точки на $S^{2}$. Формулы, задающие эту проекцию, могут быть записаны в виде
\[
x_{i}= \pm \frac{q_{i}}{\sqrt{1-(\mathbf{q}, \mathbf{q}) / R^{2}}}, \quad i=1,2 .
\]

где $\mathbf{q}$ – двумерный вектор.
Гамильтониан (2.1) в переменных $\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right)$ и соответствующих им канонических импульсах $\mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}\right)$ может быть представлен в виде
\[
H=\frac{1}{2}\left(1+\lambda r^{2}\right)\left(\mathbf{y}^{2}+\lambda(\mathbf{y}, \mathbf{x})^{2}\right)-\frac{\gamma}{r},
\]

где $\lambda=1 / R-$ кривизна сферы, $r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$.

Произведем (следуя Болину) в (2.6) каноническое преобразование $(\mathbf{y}, \mathbf{x}) \longmapsto(\mathbf{w}, \mathbf{z}):$
\[
\begin{array}{ll}
x_{1}=\frac{1}{2}\left(z_{1}^{2}-z_{2}^{2}\right), & y_{1}=\frac{w_{1} z_{1}-w_{2} z_{2}}{z_{1}^{2}+z_{2}^{2}}, \\
x_{2}=z_{1} z_{2}, & y_{2}=\frac{w_{2} z_{1}-w_{1} z_{2}}{z_{1}^{2}+z_{2}^{2}},
\end{array}
\]

при котором
\[
\begin{array}{c}
y_{1}^{2}+y_{2}^{2}=\frac{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}{z_{1}^{2}+z_{2}^{2}}, \quad x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\frac{1}{2}\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)^{2}, \\
(\mathbf{y}, \mathbf{x})=\frac{1}{2}(\mathbf{w}, \mathbf{z}) .
\end{array}
\]

Гамильтониан (2.6) при таком преобразовании примет вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(1+\alpha\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)^{2}\right)\left[\frac{w_{1}^{2}+w_{2}^{2}}{z_{1}^{2}+z_{2}^{2}}+\alpha(\mathbf{w}, \mathbf{z})^{2}\right]-\frac{2 \gamma}{z_{1}^{2}+z_{2}^{2}},
\]

здесь $\alpha=\lambda / 4$. После замены времени $d t / d \tau=r=\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)$ на уровне энергии $H=h$ гамильтониан регуляризованной системы может быть представлен в виде
\[
H=\frac{1}{2}\left(1+\alpha \mathbf{z}^{4}\right)\left[\mathbf{w}^{2}+\alpha(\mathbf{w}, \mathbf{z})^{2} \mathbf{z}^{2}\right]+h \mathbf{z}^{2} .
\]

При этом гамильтониан гармонического осциллятора на $S^{2}$ (его потенциал $V=k \operatorname{tg}^{2} \theta$ ) имеет форму
\[
H=\frac{1}{2}\left(1+\alpha \mathbf{z}^{2}\right)\left[\mathbf{w}^{2}+\alpha(\mathbf{w}, \mathbf{z})^{2}\right]+k \mathbf{z}^{2} .
\]

При $\lambda=\alpha=0$, переход от (2.8) к (2.10) соответствует регуляризующему преобразованию Болина и связывает задачу Кеплера с гармоническим осциллятором. При $\lambda
eq 0$ потенциал (2.9) не совпадает с (2.10), но имеет осцилляторный тип с тем отличием, что кривизна в (2.9) в отличие от (2.10) изменяется по закону $\alpha\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)$.

Аналогичным образом не могут быть так просто интерпретированы для искривленного пространства регуляризация Мозера $[4,137]$

и $K S$-преобразование [168] (см. §4). После перехода к декартовым координатам при помощи гномонической проекции и замене времени на уровне энергии, регуляризация уравнений задачи Кеплера будет достигнута, однако, с помощью этих преобразований мы не получим геодезический поток на сфере [137] или четырехмерный осциллятор [168]. Возможно, что этот способ не является самым удачным для регуляризации, но к сожалению, эта и другие постановки задачи совсем не изучены.

3. Бифуркационная диаграмма задачи Кеплера. Рассмотрим систему (2.1) на инвариантной поверхности, определяемой векторным интегралом $\mathbf{L}=$ const (1.7). Для $S^{3}$ эта поверхность совпадает с двумерной сферой $S^{2}$, а для $L^{3}$ – с плоскостью Лобачевского $L^{2}$.

В стандартных сферических (псевдосферических) координатах после редукции Рауса задача Кеплера приводится к системе с одной степенью свободы
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{1}{2 R^{2}}\left(p_{\theta}^{2}+\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}\right)-\frac{\gamma}{R} \operatorname{ctg} \theta, \quad \text { на } S^{3}, \\
H=\frac{1}{2 R^{2}}\left(p_{\theta}^{2}+\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{\operatorname{sh}^{2} \theta}\right)-\frac{\gamma}{R} \operatorname{cth} \theta, \quad \text { на } L^{3},
\end{array}
\]

где $\alpha_{\varphi}=p_{\varphi}=R^{2} \dot{\varphi} \sin ^{2} \theta\left(\alpha_{\varphi}=p_{\varphi}=R^{2} \dot{\varphi} \operatorname{sh}^{2} \theta\right)$ – квадрат вектора момента $L^{2}=$ const.

Исследуем топологические перестройки областей возможного движения (ОВД) в зависимости от постоянной энергии $H=E$ и момента $\alpha_{\varphi}$.

Произведем в (2.11) замену $r=R \operatorname{tg} \theta(r=R \operatorname{th} \theta)$, тогда ОВД при фиксированных $h$ и $\alpha_{\varphi}$ определяются неравенством
\[
\frac{\alpha_{\varphi}}{2 m}\left(\frac{1}{r^{2}} \pm \frac{1}{R^{2}}\right)-\frac{\gamma}{r} \leqslant E .
\]

Следовательно, построение бифуркационных диаграмм (см. рис. 5) сводится к исследованию квадратного уравнения
\[
h r^{2}+\gamma r-\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{2 m}=0,
\]

Рис. 5

где $h=E \mp \frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{2 R^{2}}$. Бифуркационное множество (то есть множество значений $\left(E, \alpha_{\varphi}\right)$ при которых области возможного движения меняют свой топологический тип) состоит из кривых
\[
\gamma_{1}: E= \pm 2 R^{2} \alpha_{\varphi}^{2}, \quad \gamma_{2}: E=\frac{m \gamma^{2}}{2 \alpha_{\varphi}^{2}} \pm 2 R^{2} \alpha_{\varphi}^{2} .
\]

Если оба корня $r_{1}$ и $r_{2}$ уравнения (2.13) — комплексные (область I на рис. 5), то движение невозможно. Если оба корня – вещественные и положительные (II), то допустимые значения $r$ определяются неравенствами $r_{1} \leqslant r \leqslant r_{2}$. Это соответствует движению в кольце $\theta_{1} \leqslant \theta \leqslant \theta_{2}$, причем для $S^{2} 0<\theta_{1}, \theta_{2}<\frac{\pi}{2}$. Если меньший из корней, $\left(r_{1}\right)$ – отрицателен (III), то для реальных движений на плоскости Лобачевского $r_{2} \leqslant r$, а на сфере $r_{2} \leqslant r, r \leqslant r_{1}$, поскольку значениям $\theta$ от $\frac{\pi}{2}$ до $\pi$ соответствует отрицательные $r$. Это означает, что на $L^{2}$ движение происходит во внешности круга $\theta=\theta_{2}$, а на $S^{2}$ – кольце $\theta_{1} \leqslant \theta \leqslant \theta_{2}$, но теперь $0<\theta_{1}<\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}<\theta_{2}<\pi$.

4. Переменные действие-угол и аналог элементов Делоне. Запишем гамильтониан системы (2.1) в сферических координатах (2.2)
\[
H=\frac{1}{2 R^{2}}\left(p_{\theta}^{2}+\frac{1}{\sin ^{2} \theta}\left(p_{\varphi}^{2}+\frac{p_{\psi}^{2}}{\sin ^{2} \varphi}\right)\right)-\frac{\gamma}{R} \operatorname{ctg} \theta .
\]

Переменные разделяются по Лиувиллю, причем выполняются соотношения
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{\psi}=p_{\psi}, \quad \alpha_{\varphi}^{2}=p_{\varphi}^{2}+\frac{\alpha_{\psi}^{2}}{\sin ^{2} \varphi}, \\
E=\frac{1}{2 R^{2}}\left(p_{\theta}^{2}+\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \theta}\right)-\frac{\gamma}{R} \operatorname{ctg} \theta
\end{array}
\]

где $\alpha_{\psi}$ имеет смысл проекции момента $\mathbf{L}$ на ось $q_{1}, \alpha_{\varphi}$ – квадрат момента $\mathbf{L}^{2}, E$ – постоянная энергии. (Для плоскости Лобачевского все тригонометрические функции от $\theta$ нужно заменить на гиперболические).
Переменные действия вводятся по формулам [2]
\[
I_{\psi}=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{\psi} d \psi, \quad I_{\varphi}=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{\varphi} d \varphi, \quad I_{\theta}=\frac{1}{2 \pi} \oint p_{\theta} d \theta,
\]

где интегрирование ведется по полному циклу изменения координат. Так как $p_{\psi}=$ const, то для первого из интегралов (2.16) получаем $I_{\psi}=p_{\psi}=\alpha_{\psi}$.

Кинетическая энергия в сферических координатах на $S^{3}$ имеет вид $T=\frac{1}{2}\left(p_{\theta} \dot{\theta}+p_{\varphi} \dot{\varphi}+p_{\psi} \dot{\psi}\right)$, а в координатах на сфере $S^{2}$, в которой лежит орбита, $T=\frac{1}{2}\left(p_{\theta} \dot{\theta}+\alpha_{\varphi} \dot{
u}\right)$, где $
u$ – истинная аномалия, то есть азимутальный угол на инвариантной поверхности $S^{2}$. Приравнивая эти два выражения, получаем $p_{\varphi} d \varphi=\alpha_{\varphi} d
u-I_{\psi} d \psi$. Координаты $
u$ и $\psi$ за один оборот по орбите изменяются на $2 \pi$, поэтому после интегрирования получим
\[
I_{\varphi}=\alpha_{\varphi}-I_{\psi}
\]

Для вычисления третьего интеграла (2.16) произведем замену $r=$ $=R \operatorname{tg} \theta(r=R \operatorname{th} \theta)$ и воспользуемся уравнением орбиты $r(
u)$ [4]
\[
r=\frac{p}{1+e \cos
u},
\]

где $p=\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{\gamma}$ – параметр орбиты, $e=\sqrt{1+\frac{2 \alpha_{\varphi}^{2}}{\gamma^{2}} h}$ – эксцентриситет. Находим
\[
I_{\theta}=\frac{\sqrt{-2 h}}{\pi} \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{\sqrt{\left(r-r_{1}\right)\left(r_{2}-r\right)}}{r\left(1 \pm r^{2} / R^{2}\right)} d r
\]

где $r_{1}=\frac{p}{1+e}, r_{2}=\frac{p}{1-e}$.

Интегрируя, получаем ( $h$ находится из (2.13)): для $S^{3}$
\[
I_{\theta}=\sqrt{-2 h}\left(\frac{r_{1} \sqrt{r_{2}^{2}+R^{2}}+r_{2} \sqrt{r_{1}^{2}+R^{2}}}{\sqrt{2\left(\sqrt{\left(r_{2}^{2}+R^{2}\right)\left(r_{1}^{2}+R^{2}\right)}+R^{2}+r_{1} r_{2}\right)}}-\sqrt{r_{1} r_{2}}\right),
\]

для $L^{3}$
\[
I_{\theta}=\frac{\sqrt{-2 h}}{2}\left(\sqrt{\left(R+r_{1}\right)\left(R+r_{2}\right)}-\sqrt{\left(R-r_{1}\right)\left(R-r_{2}\right)}-2 \sqrt{r_{1} r_{2}}\right) .
\]

Учитывая (2.17) и соотношения $r_{1}+r_{2}=-\frac{\gamma}{h}, r_{1} r_{2}=-\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{2 h}$, найдем для гамильтониана:
\[
H=-\frac{\gamma^{2}}{2\left(I_{\theta}+I_{\varphi}+I_{\psi}\right)^{2}} \pm \frac{\left(I_{\theta}+I_{\varphi}+I_{\psi}\right)^{2}}{2 R^{2}} .
\]

Как и в случае пространства $\mathbb{R}^{3}$, гамильтониан зависит только от суммы $I_{\theta}+I_{\varphi}+I_{\psi}$, то есть частоты $\omega_{i}=\frac{\partial H}{\partial I_{i}}, i=\theta, \varphi, \psi$, соответствующие переменным $I_{\theta}, I_{\varphi}, I_{\psi}$ совпадают. Это случай полного вырождения – все трехмерные торы Лиувилл-Арнольда расслоены на одномерные.

Введем переменные $L, G, H, g, h$, аналогичные переменным Делонэ в классической небесной механике [36], по формулам:
\[
\begin{array}{l}
L=I_{\theta}+I_{\varphi}+I_{\psi}, \quad G=I_{\varphi}+I_{\psi}, \quad H=I_{\psi}, \\
l=w_{\theta}, \quad g=w_{\phi}-w_{\theta}, \quad h=w_{\psi}-w_{\varphi} . \\
\end{array}
\]

В новых переменных гамильтониан запишется в виде
\[
H=-\frac{\gamma^{2}}{2 L^{2}} \pm \frac{L^{2}}{2 R^{2}}
\]

из (2.23) и (2.22) получаем
\[
L=\sqrt{\frac{\gamma}{-E / \gamma+\sqrt{E^{2} / \gamma^{2} \pm 1 / R^{2}}}}, \quad G=\alpha_{\varphi}, \quad H=\alpha_{\psi} .
\]

Из (2.22) следует, что все переменные Делоне кроме $l$, являются интегралами движения. Угол $l$ является аналогом средней аномалии $\zeta$ в небесной механике [4] и меняется равномерно с течением времени $l=\frac{2 \pi}{T}(t-\tau)$. Здесь $\tau$ – момент прохождения точки через перицентр, $T$ – период обращения по орбите, который, согласно (2.23) зависит только от энергии $H=E$, выражающейся через угловую длину большой оси орбиты $a$ по формуле $E=-\gamma / R \operatorname{tg} a(E=-\gamma / R \operatorname{th} a)$.
\[
T=\pi \sqrt{\frac{1}{\gamma}} R \sqrt{\frac{ \pm H / \gamma \pm \sqrt{H^{2} / \gamma^{2} \pm 1 / R^{2}}}{H^{2} / \gamma^{2} \pm 1 / R^{2}}} .
\]

Переменные Делоне могут быть выражены через параметры орбиты, аналогично плоскому случаю [36]. Выберем угловые константы $g, h$ таким образом, чтобы они были образом параметра перицентра и долготы восходящего узла при гномонической проекции. Обозначим их через $\omega$ и $\Omega$. Введем аналог наклонения орбиты $i$ как угол между осью $q_{1}$ и вектором $\mathbf{L}$.

Выразим переменные $L, G, H, l, h$ через элементы орбиты $p, e$, $i, \tau, \omega, \Omega:$
\[
\begin{aligned}
L & =\sqrt{\gamma R \operatorname{tg}(a / 2)}, & & l=\zeta, \\
G & =\sqrt{\gamma p}, & & g=\omega, \\
H & =\sqrt{\gamma p} \cos \imath, & & h=\Omega .
\end{aligned}
\]

В случае пространства Лобачевского $L=\sqrt{\gamma R \operatorname{th}(a / 2)}$.