Задача о движения материальной точки в пространстве постоянной кривизны впервые изучалась Н. И. Лобачевским, который с помощью геометрических соображений обобщил закон всемирного тяготения (точнее, получил аналог силы ньютоновского притяжения) для про-
странства постоянной отрицательной кривизны (пространства Лобачевского). Интегрируемость задачи Кеплера на трехмерной сфере $S^3$, которую А. Эйнштейн предлагал использовать в качестве модели реального пространства, была указана Э. Шредингером [167]. Он также провел ее предварительное исследование, необходимое для целей последующего квантования. Интересно привести его соображения по этому поводу:
«Может показаться безрассудным принимать во внимание ничтожную кривизн Вселенной, имея дело с атомом водорода, потому что влияние даже таких значительно более сильных гравитационных полей, при наличии которых в действительности происходят все наши наблюдения, пренебрежимо мало. Но эта задача, вследствие возможности стирания в ее рамках резкой границы между «элиптическими и гиперболическими орбитами» (классические орбиты здесь все замкнуты) и представления непрерывного спектра посредством густо заполненного линейчатого спектра, имеет весьма интересные черты, которые оказываются здесь едва ли более сложными, чем в плоском случае».

Со своей стороны заметим, что изучение динамики в искривленном пространстве важно хотя бы потому, что позволяет глубже понять динамику в обычном плоском пространстве, уравнения движения в котором обладают дополнительной замечательной симметрией — они инвариантны относительно группы преобразований Галилея.

Обобщение законов Кеплера для $S^3$ и $L^3$ приведено в работах Н. А. Черникова [221] (для $L^3$ ) и В. В. Козлова [90] (для $S^3$ и $L^3$ ). Аналог уравнения Кеплера для движения в $S^3$ несколько ранее был получен в работе П. Хиггса [250] с использованием гномонической проекции. В работах $[90,318]$ аналог ньютоновского и гуковского потенциалов получены из теоремы Бертрана для $S^3$ и указана аналогия с движением шарового волчка. В работе $[270]$ доказана интегрируемость движения частицы на двумерной сфере $S^2$ в поле двух неподвижных гравитирующих ньютоновских центров (задача Эйлера).

Свободное движение двумерного твердого тела на плоскости Лобачевского изучалось Н. Е. Жуковским [62]. Он показал, что уже в этой простой ситуации не справедлива теорема Бернулли, согласно которой в плоском пространстве движение центра масс твердого тела отделяется от вращения вокруг центра масс. Отсутствие понятия центра масс в искривленном пространстве приводит, вообще говоря, к различному поведению классических задач и их аналогов в искривленном пространстве.

1. Алгебра интегралов задачи Кеплера. Остановимся более подробно на задаче Кеплера на трехмерной сфере и в пространстве Лобачевского. В случае плоской задачи Кеплера (в ${\mathbb{R}}^3$ ) хорошо известна природа ньютоновского (кулоновского) вырождения, обусловленная повышенной (так называемой «скрытой») симметрией задачи Кеплера. Как было показано Баргманом, известные интегралы движения — момент М и вектор Лапласа-Рунге-Ленца А образуют в этом пространстве алгебру $o(4)$ для отрицательных энергий и $o(3,1)$ для положительных энергий [137].

Уравнения задачи Кеплера на единичной трехмерной сфере $S^3$ (пространстве Лобачевского) можно записать в виде системы (1.16) с гамильтонианом (для $S^3$ и $L^3$ ) (1.9):
$$H=\frac{1}{2}({\mathbf{L}}^2\pm {\pi }^2)+V,V=\gamma \mathrm{ctg}\theta =\gamma \frac{q_0}{|\mathbf{q}|},(V=\gamma \mathrm{cth}\theta ),$$

где мы полагаем, что притягивающий центр помещен в один из полюсов сферы, а «угол» $\theta$ может быть найден из параметризации обычными сферическими (псевдосферическими) координатами.
$$\begin{array}{lll}{q}_1=R\sin \theta \sin \phi \sin \psi ,& q_2=R\sin \theta \sin \phi \cos \psi ,& \text{ (для }{S}^3)\\ q_3=R\sin \theta \cos \phi ,& q_0=R\cos \theta .& \\ q_1=R\mathrm{sh}\theta \sin \phi \sin \psi ,& q_2=R\mathrm{sh}\theta \sin \phi \cos \psi ,& \text{ (для }{L}^3)\\ q_3=R\mathrm{sh}\theta \cos \phi ,& q_0=R\mathrm{ch}\theta .\end{array}$$

В дальнейшем, для простоты мы ограничимся рассмотрением $S^3$, все результаты будут также справедливы для $L^3$ при учете смены знаков и замене тригонометрических функций на гиперболические.

Физическое обоснование задания ньютоновского потенциала в виде (2.1), а гуковского — в виде $V=\gamma {\mathrm{tg}}^2\theta$ содержится в работах $[90,270,318]$. Эти аналоги могут быть получены из обобщения теоремы Бертрана для пространств постоянной кривизны — только для указанных потенциалов все траектории частицы замкнуты. Ньютоновский (кулоновский) потенциал является также решением уравнения

Лапласа-Бельтрами для искривленного пространства
$$\begin{array}{c}\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }({\sin }^2\theta \frac{\partial V}{\partial \theta })+\frac{1}{{\sin }^2\theta \sin \phi }\frac{\partial }{\partial \phi }(\sin \phi \frac{\partial V}{\partial \phi })+\\ +\frac{1}{{\sin }^2\theta {\sin }^2\phi }\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\psi }^2}=0\text{ для }{S}^3,\\ \frac{1}{{\mathrm{sh}}^2\theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\left({\mathrm{sh}}^2\theta \frac{\partial V}{\partial \theta }\right)+\frac{1}{{\mathrm{sh}}^2\theta \sin \phi }\frac{\partial }{\partial \phi }(\sin \phi \frac{\partial V}{\partial \phi })+\\ +\frac{1}{{\mathrm{sh}}^2\theta {\sin }^2\phi }\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\psi }^2}=0\text{ для }{L}^3,\end{array}$$

которое инвариантно относительно группы $SO(3)$ (не зависит от углов $\phi ,\psi$ ) и имеет особенность в полюсе $\theta =0$. (Для сферы $S^3$, вследствие компактности, особенность возникает также в противоположном полюсе $\theta =\pi$ ). Эти особенности можно рассматривать как обобщение понятия точечной массы (заряда) в пространстве постоянной кривизны.

Несложно проверить, что в силу инвариантности гамильтониана относительно вращений вокруг фиксированной оси в ${\mathbb{R}}^4$, проходящей через полюса (преобразований группы $SO(3)$ ), уравнения движения имеют векторный интеграл момента $\mathbf{L}=$ const, (1.7) компоненты которого образуют алгебру $so(3):\{L_i,L_j\}={\epsilon }_{ijk}{L}_k$. Аналог вектора Лапласа-Рунге-Ленца, обусловленный скрытой симметрией, для этих уравнений был найден в [55]:
$$\mathbf{A}=\mathbf{L}\times \mathit{\pi }+\gamma \frac{\mathbf{q}}{|\mathbf{q}|}.$$

Коммутационные соотношения между $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}$ имеют вид
$$\begin{array}{l}\{A_i,A_j\}=-2{\epsilon }_{ijk}{L}_k(H+{\mathbf{L}}^2),\\ \{L_i,A_j\}={\epsilon }_{ijk}{A}_k,\\ \{L_i,L_j\}={\epsilon }_{ijk}{L}_k.\end{array}$$

Эти коммутационные соотношения задают нелинейную (бесконечномерную) алгебру Ли (по терминологии [55] алгебру Якоби). Ее ранг

равен четырем и она обладает двумя центральными функциями
$$\begin{array}{l}{F}_1=(\mathbf{L},\mathbf{A}),\\ F_2={\mathbf{A}}^2+({\mathbf{L}}^2+1)({\mathbf{L}}^2+1+2H)-{\gamma }^2+1.\end{array}$$

В действительном движении выполняется $F_1=0,F_2=0$. Для плоского пространства нелинейный член в (2.4) исчезает, и на уровне $H=E$ получается алгебра Ли, изоморфная $o(4)$ для $E<0$ или $o(3,1)$ для $E>0$. Если рассматриваются уравнения, получающиеся при ограничении системы на сингулярную орбиту, то в формулах (2.4) надо предполагать компоненты $\mathbf{L},\mathbf{A}$, выраженными через $\mathbf{M},q$ по формулам ( 2.10$)\mathrm{\S }2$ гл. 2.

2. Регуляризация. В плоском случае (на ${\mathbb{R}}^2$ ) известна регуляризация Болина (называемая также регуляризацией Леви-Чивита) задачи Кеплера, приводящая систему (2.1) на уровне энергии при замене времени к уравнениям гармонического осциллятора. Для случая сферы $S^3$, инвариантными поверхностями на которой в случае задачи Кеплера являются двумерные сферы, аналогичная регуляризация не приводит к такому наглядному результату.

Рассмотрим гномоническую проекцию из центра сферы на плоскость ${\mathbb{R}}^2$. При этой проекции большие дуги на сфере переводятся в отрезки прямых на плоскости. Однако, кроме точек на главном меридиане (при проецировании уходящими в бесконечность), прообразом каждой точки на ${\mathbb{R}}^2$ будут две точки на $S^2$. Формулы, задающие эту проекцию, могут быть записаны в виде
$$x_i=\pm \frac{q_i}{\sqrt{1-(\mathbf{q},\mathbf{q})/R^2}},i=1,2.$$

где $\mathbf{q}$ — двумерный вектор.
Гамильтониан (2.1) в переменных $\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ и соответствующих им канонических импульсах $\mathbf{y}=(y_1,y_2)$ может быть представлен в виде
$$H=\frac{1}{2}(1+\lambda r^2)({\mathbf{y}}^2+\lambda (\mathbf{y},\mathbf{x}{)}^2)-\frac{\gamma }{r},$$

где $\lambda =1/R-$ кривизна сферы, $r^2=x_1^2+x_2^2$.

Произведем (следуя Болину) в (2.6) каноническое преобразование $(\mathbf{y},\mathbf{x})⟼(\mathbf{w},\mathbf{z}):$
$$\begin{array}{ll}{x}_1=\frac{1}{2}(z_1^2-z_2^2),& y_1=\frac{w_1{z}_1-w_2{z}_2}{z_1^2+z_2^2},\\ x_2=z_1{z}_2,& y_2=\frac{w_2{z}_1-w_1{z}_2}{z_1^2+z_2^2},\end{array}$$

при котором
$$\begin{array}{c}{y}_1^2+y_2^2=\frac{w_1^2+w_2^2}{z_1^2+z_2^2},x_1^2+x_2^2=\frac{1}{2}{(z_1^2+z_2^2)}^2,\\ (\mathbf{y},\mathbf{x})=\frac{1}{2}(\mathbf{w},\mathbf{z}).\end{array}$$

Гамильтониан (2.6) при таком преобразовании примет вид
$$H=\frac{1}{2}(1+\alpha {(z_1^2+z_2^2)}^2)[\frac{w_1^2+w_2^2}{z_1^2+z_2^2}+\alpha (\mathbf{w},\mathbf{z}{)}^2]-\frac{2\gamma }{z_1^2+z_2^2},$$

здесь $\alpha =\lambda /4$. После замены времени $dt/d\tau =r=(z_1^2+z_2^2)$ на уровне энергии $H=h$ гамильтониан регуляризованной системы может быть представлен в виде
$$H=\frac{1}{2}(1+\alpha {\mathbf{z}}^4)[{\mathbf{w}}^2+\alpha (\mathbf{w},\mathbf{z}{)}^2{\mathbf{z}}^2]+h{\mathbf{z}}^2.$$

При этом гамильтониан гармонического осциллятора на $S^2$ (его потенциал $V=k{\mathrm{tg}}^2\theta$ ) имеет форму
$$H=\frac{1}{2}(1+\alpha {\mathbf{z}}^2)[{\mathbf{w}}^2+\alpha (\mathbf{w},\mathbf{z}{)}^2]+k{\mathbf{z}}^2.$$

При $\lambda =\alpha =0$, переход от (2.8) к (2.10) соответствует регуляризующему преобразованию Болина и связывает задачу Кеплера с гармоническим осциллятором. При $\lambda eq0$ потенциал (2.9) не совпадает с (2.10), но имеет осцилляторный тип с тем отличием, что кривизна в (2.9) в отличие от (2.10) изменяется по закону $\alpha (z_1^2+z_2^2)$.

Аналогичным образом не могут быть так просто интерпретированы для искривленного пространства регуляризация Мозера $[4,137]$

и $KS$-преобразование [168] (см. §4). После перехода к декартовым координатам при помощи гномонической проекции и замене времени на уровне энергии, регуляризация уравнений задачи Кеплера будет достигнута, однако, с помощью этих преобразований мы не получим геодезический поток на сфере [137] или четырехмерный осциллятор [168]. Возможно, что этот способ не является самым удачным для регуляризации, но к сожалению, эта и другие постановки задачи совсем не изучены.

3. Бифуркационная диаграмма задачи Кеплера. Рассмотрим систему (2.1) на инвариантной поверхности, определяемой векторным интегралом $\mathbf{L}=$ const (1.7). Для $S^3$ эта поверхность совпадает с двумерной сферой $S^2$, а для $L^3$ — с плоскостью Лобачевского $L^2$.

В стандартных сферических (псевдосферических) координатах после редукции Рауса задача Кеплера приводится к системе с одной степенью свободы
$$\begin{array}{l}H=\frac{1}{2R^2}(p_{\theta }^2+\frac{{\alpha }_{\phi }^2}{{\sin }^2\theta })-\frac{\gamma }{R}\mathrm{ctg}\theta ,\text{ на }{S}^3,\\ H=\frac{1}{2R^2}(p_{\theta }^2+\frac{{\alpha }_{\phi }^2}{{\mathrm{sh}}^2\theta })-\frac{\gamma }{R}\mathrm{cth}\theta ,\text{ на }{L}^3,\end{array}$$

где ${\alpha }_{\phi }=p_{\phi }=R^2\dot{\phi }{\sin }^2\theta ({\alpha }_{\phi }=p_{\phi }=R^2\dot{\phi }{\mathrm{sh}}^2\theta )$ — квадрат вектора момента $L^2=$ const.

Исследуем топологические перестройки областей возможного движения (ОВД) в зависимости от постоянной энергии $H=E$ и момента ${\alpha }_{\phi }$.

Произведем в (2.11) замену $r=R\mathrm{tg}\theta (r=R\mathrm{th}\theta )$, тогда ОВД при фиксированных $h$ и ${\alpha }_{\phi }$ определяются неравенством
$$\frac{{\alpha }_{\phi }}{2m}(\frac{1}{r^2}\pm \frac{1}{R^2})-\frac{\gamma }{r}⩽E.$$

Следовательно, построение бифуркационных диаграмм (см. рис. 5) сводится к исследованию квадратного уравнения
$$h{r}^2+\gamma r-\frac{{\alpha }_{\phi }^2}{2m}=0,$$

Рис. 5

где $h=E\mp \frac{{\alpha }_{\phi }^2}{2R^2}$. Бифуркационное множество (то есть множество значений $(E,{\alpha }_{\phi })$ при которых области возможного движения меняют свой топологический тип) состоит из кривых
$${\gamma }_1:E=\pm 2R^2{\alpha }_{\phi }^2,{\gamma }_2:E=\frac{m{\gamma }^2}{2{\alpha }_{\phi }^2}\pm 2R^2{\alpha }_{\phi }^2.$$

Если оба корня $r_1$ и $r_2$ уравнения (2.13) — комплексные (область I на рис. 5), то движение невозможно. Если оба корня — вещественные и положительные (II), то допустимые значения $r$ определяются неравенствами $r_1⩽r⩽r_2$. Это соответствует движению в кольце ${\theta }_1⩽\theta ⩽{\theta }_2$, причем для $S^{2}0<{\theta }_1,{\theta }_2<\frac{\pi }{2}$. Если меньший из корней, $\left(r_1\right)$ — отрицателен (III), то для реальных движений на плоскости Лобачевского $r_2⩽r$, а на сфере $r_2⩽r,r⩽r_1$, поскольку значениям $\theta$ от $\frac{\pi }{2}$ до $\pi$ соответствует отрицательные $r$. Это означает, что на $L^2$ движение происходит во внешности круга $\theta ={\theta }_2$, а на $S^2$ — кольце ${\theta }_1⩽\theta ⩽{\theta }_2$, но теперь $0<{\theta }_1<\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}<{\theta }_2<\pi$.

4. Переменные действие-угол и аналог элементов Делоне. Запишем гамильтониан системы (2.1) в сферических координатах (2.2)
$$H=\frac{1}{2R^2}(p_{\theta }^2+\frac{1}{{\sin }^2\theta }(p_{\phi }^2+\frac{p_{\psi }^2}{{\sin }^2\phi }))-\frac{\gamma }{R}\mathrm{ctg}\theta .$$

Переменные разделяются по Лиувиллю, причем выполняются соотношения
$$\begin{array}{c}{\alpha }_{\psi }=p_{\psi },{\alpha }_{\phi }^2=p_{\phi }^2+\frac{{\alpha }_{\psi }^2}{{\sin }^2\phi },\\ E=\frac{1}{2R^2}(p_{\theta }^2+\frac{{\alpha }_{\phi }^2}{{\sin }^2\theta })-\frac{\gamma }{R}\mathrm{ctg}\theta \end{array}$$

где ${\alpha }_{\psi }$ имеет смысл проекции момента $\mathbf{L}$ на ось $q_1,{\alpha }_{\phi }$ — квадрат момента ${\mathbf{L}}^2,E$ — постоянная энергии. (Для плоскости Лобачевского все тригонометрические функции от $\theta$ нужно заменить на гиперболические).
Переменные действия вводятся по формулам [2]
$$I_{\psi }=\frac{1}{2\pi }\oint p_{\psi }d\psi ,I_{\phi }=\frac{1}{2\pi }\oint p_{\phi }d\phi ,I_{\theta }=\frac{1}{2\pi }\oint p_{\theta }d\theta ,$$

где интегрирование ведется по полному циклу изменения координат. Так как $p_{\psi }=$ const, то для первого из интегралов (2.16) получаем $I_{\psi }=p_{\psi }={\alpha }_{\psi }$.

Кинетическая энергия в сферических координатах на $S^3$ имеет вид $T=\frac{1}{2}(p_{\theta }\dot{\theta }+p_{\phi }\dot{\phi }+p_{\psi }\dot{\psi })$, а в координатах на сфере $S^2$, в которой лежит орбита, $T=\frac{1}{2}(p_{\theta }\dot{\theta }+{\alpha }_{\phi }\dot{u})$, где $u$ — истинная аномалия, то есть азимутальный угол на инвариантной поверхности $S^2$. Приравнивая эти два выражения, получаем $p_{\phi }d\phi ={\alpha }_{\phi }du-I_{\psi }d\psi$. Координаты $u$ и $\psi$ за один оборот по орбите изменяются на $2\pi$, поэтому после интегрирования получим
$$I_{\phi }={\alpha }_{\phi }-I_{\psi }$$

Для вычисления третьего интеграла (2.16) произведем замену $r=$ $=R\mathrm{tg}\theta (r=R\mathrm{th}\theta )$ и воспользуемся уравнением орбиты $r(u)$ [4]
$$r=\frac{p}{1+e\cos u},$$

где $p=\frac{{\alpha }_{\phi }^2}{\gamma }$ — параметр орбиты, $e=\sqrt{1+\frac{2{\alpha }_{\phi }^2}{{\gamma }^2}h}$ — эксцентриситет. Находим
$$I_{\theta }=\frac{\sqrt{-2h}}{\pi }{\int }_{r_1}^{r_2}\frac{\sqrt{(r-r_1)(r_2-r)}}{r(1\pm r^2/R^2)}dr$$

где $r_1=\frac{p}{1+e},r_2=\frac{p}{1-e}$.

Интегрируя, получаем ( $h$ находится из (2.13)): для $S^3$
$$I_{\theta }=\sqrt{-2h}(\frac{r_1\sqrt{r_2^2+R^2}+r_2\sqrt{r_1^2+R^2}}{\sqrt{2(\sqrt{(r_2^2+R^2)(r_1^2+R^2)}+R^2+r_1{r}_2)}}-\sqrt{r_1{r}_2}),$$

для $L^3$
$$I_{\theta }=\frac{\sqrt{-2h}}{2}(\sqrt{(R+r_1)(R+r_2)}-\sqrt{(R-r_1)(R-r_2)}-2\sqrt{r_1{r}_2}).$$

Учитывая (2.17) и соотношения $r_1+r_2=-\frac{\gamma }{h},r_1{r}_2=-\frac{{\alpha }_{\phi }^2}{2h}$, найдем для гамильтониана:
$$H=-\frac{{\gamma }^2}{2{(I_{\theta }+I_{\phi }+I_{\psi })}^2}\pm \frac{{(I_{\theta }+I_{\phi }+I_{\psi })}^2}{2R^2}.$$

Как и в случае пространства ${\mathbb{R}}^3$, гамильтониан зависит только от суммы $I_{\theta }+I_{\phi }+I_{\psi }$, то есть частоты ${\omega }_i=\frac{\partial H}{\partial I_i},i=\theta ,\phi ,\psi$, соответствующие переменным $I_{\theta },I_{\phi },I_{\psi }$ совпадают. Это случай полного вырождения — все трехмерные торы Лиувилл-Арнольда расслоены на одномерные.

Введем переменные $L,G,H,g,h$, аналогичные переменным Делонэ в классической небесной механике [36], по формулам:
$$\begin{array}{l}L=I_{\theta }+I_{\phi }+I_{\psi },G=I_{\phi }+I_{\psi },H=I_{\psi },\\ l=w_{\theta },g=w_{\varphi }-w_{\theta },h=w_{\psi }-w_{\phi }.\end{array}$$

В новых переменных гамильтониан запишется в виде
$$H=-\frac{{\gamma }^2}{2L^2}\pm \frac{L^2}{2R^2}$$

из (2.23) и (2.22) получаем
$$L=\sqrt{\frac{\gamma }{-E/\gamma +\sqrt{E^2/{\gamma }^2\pm 1/R^2}}},G={\alpha }_{\phi },H={\alpha }_{\psi }.$$

Из (2.22) следует, что все переменные Делоне кроме $l$, являются интегралами движения. Угол $l$ является аналогом средней аномалии $\zeta$ в небесной механике [4] и меняется равномерно с течением времени $l=\frac{2\pi }{T}(t-\tau )$. Здесь $\tau$ — момент прохождения точки через перицентр, $T$ — период обращения по орбите, который, согласно (2.23) зависит только от энергии $H=E$, выражающейся через угловую длину большой оси орбиты $a$ по формуле $E=-\gamma /R\mathrm{tg}a(E=-\gamma /R\mathrm{th}a)$.
$$T=\pi \sqrt{\frac{1}{\gamma }}R\sqrt{\frac{\pm H/\gamma \pm \sqrt{H^2/{\gamma }^2\pm 1/R^2}}{H^2/{\gamma }^2\pm 1/R^2}}.$$

Переменные Делоне могут быть выражены через параметры орбиты, аналогично плоскому случаю [36]. Выберем угловые константы $g,h$ таким образом, чтобы они были образом параметра перицентра и долготы восходящего узла при гномонической проекции. Обозначим их через $\omega$ и $\mathrm{\Omega }$. Введем аналог наклонения орбиты $i$ как угол между осью $q_1$ и вектором $\mathbf{L}$.

Выразим переменные $L,G,H,l,h$ через элементы орбиты $p,e$, $i,\tau ,\omega ,\mathrm{\Omega }:$
$$\begin{array}{rlrl}L& =\sqrt{\gamma R\mathrm{tg}(a/2)},& & l=\zeta ,\\ G& =\sqrt{\gamma p},& & g=\omega ,\\ H& =\sqrt{\gamma p}\cos ı,& & h=\mathrm{\Omega }.\end{array}$$

В случае пространства Лобачевского $L=\sqrt{\gamma R\mathrm{th}(a/2)}$.