1. Квазиоднородные системы. Показатели Ковалевской. Система $n$ дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}^{i}=v^{i}\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right), \quad i=1, \ldots, n,
\]

называется квазиоднородной с показателями квазиоднородности $g_{1}, \ldots, g_{n}$, если
\[
v^{i}\left(\alpha^{g_{i}} x^{1}, \ldots, \alpha^{g_{n}} x^{n}\right)=\alpha^{g_{i}+1} v^{i}\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)
\]

при всех значениях $\mathbf{x}$ и $\alpha>0$. Таким образом, уравнения (7.1) инвариантны при подстановке $x^{i} \mapsto \alpha^{g_{i}} x^{i}, t \mapsto t / \alpha[338]$.

Замечание 1. Более общее определение квазиоднородности степени $m$ состоит в том, чтобы система (7.1) оставалась инвариантной после преобразования $x^{i} \mapsto \alpha^{g_{i}} x^{i}, t \rightarrow t / \alpha^{m-1}$ [100]. Все дальнейшие результаты остаются справедливыми и для этого случая.

Важным примером уравнений (7.1), (7.2) служит система с однородными квадратичными правыми частями – в этом случае $g_{1}=\ldots=g_{n}=1$. Квазиоднородный вид имеют уравнения движения многих важных задач динамики (уравнения Эйлера-Пуассона, Кирхгофа, уравнения Эйлера-Пуанкаре на алгебрах Ли, цепочки Тоды и пр.)

Дифференцируя (7.2) по $\alpha$ и полагая $\alpha=1$, получим формулу Эйлера для квазиоднородных функций:
\[
\sum_{k=1}^{n} g_{k} x^{k} \frac{\partial v^{i}}{\partial x^{k}}=\left(g_{i}+1\right) v^{i}, \quad i=1, \ldots, n .
\]

Уравнения (7.1) имеют частные решения
\[
x^{i}=C_{i} t^{-g_{i}}, \quad i=1, \ldots, n,
\]

где комплексные постоянные $C_{1}, \ldots, C_{n}$ должны удовлетворять алгебраической системе уравнений
\[
v^{i}\left(C_{1}, \ldots, C_{n}\right)=-g_{i} C_{i}, \quad i=1, \ldots, n .
\]

Запишем уравнения в вариациях для частного решения (7.5) в виде
\[
\dot{y}^{i}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial v^{i}}{\partial x^{k}}\left(C_{1} t^{-g_{1}}, \ldots, C_{n} t^{-g_{n}}\right) y^{k} .
\]

Линейная система (7.6) имеет частные решения вида
\[
y^{1}=\varphi^{1} t^{\rho-g_{1}}, \ldots, \quad y^{n}=\varphi^{n} t^{\rho-g_{n}},
\]

где $\rho$ – собственное значение, а $\varphi$ – собственный вектор матрицы $\mathbf{K}=\left\|K_{j}^{i}\right\|, K_{j}^{i}=\left(\partial v^{i} / \partial x^{j}(\mathbf{C})+g_{i} \delta_{j}^{i}\right), \delta_{j}^{i}$ – символ Кронекера. Матрица $\mathbf{K}$ называется матрицей Ковалевской, а ее собственные значения показателями Ковалевской (см. [338]). Один из показателей Ковалевской всегда равен -1 [338].

Если общее решение системы (7.1) представляется однозначными (мероморфными) функциями комплексного времени, то показатели Ковалевской, за исключением -1 являются целыми (соответственно, целыми неотрицательными) числами.

В работе [87] указаны соотношения между показателями Ковалевской, которые появляются из-за наличия у системы (7.1) инвариантного тензорного поля. Напомним, что тензорное поле $\mathbf{T}$ типа $(p, q)$ называется квазиоднородным степени $m$ с показателями квазиоднородности $g_{1}, \ldots, g_{n}$, если
\[
\begin{aligned}
T_{j_{1} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p}}\left(\alpha^{g_{1}} x^{1}, \ldots, \alpha^{g_{n}} x^{n}\right) & = \\
= & \alpha^{m-g_{j_{1}}-\ldots-g_{j_{q}}+g_{i_{1}}+\ldots+g_{i_{p}}} T_{j_{1} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p}}\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right) .
\end{aligned}
\]

Это тензорное поле будет инвариантным для системы (7.1), если его производная Ли вдоль поля $\mathbf{v}$ равна нулю (см. §2).

2. Уравнения Гамильтона. Рассмотрим квазиоднородные уравнения вида:
\[
\dot{x}^{i}=\sum_{k} J^{i k} \frac{\partial H}{\partial x^{k}}, \quad i=1, \ldots, n,
\]

где $\mathbf{J}=\left\|J^{i k}\right\|$ – постоянный кососимметричный тензор типа $(2,0)$, а $H$ – квазиоднородная функция степени $m+1$ :
\[
H\left(\alpha^{g_{1}} x^{1}, \ldots, \alpha^{g_{n}} x^{n}\right)=\alpha^{m+1} H\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right) .
\]

Проверяя выполнение условия (7.2) и используя (7.8), получим
\[
\sum_{k=1}^{n} J^{i k} \alpha^{m+1-g_{k}} \frac{\partial H(x)}{\partial x^{k}}=\alpha^{g_{i}+1} \sum_{k=1}^{n} J^{i k} \frac{\partial H(x)}{\partial x^{k}} .
\]

Положим $\Gamma=\operatorname{diag}\left(g_{1}, \ldots, g_{n}\right)$. Дифференцируя последнее тождество по $\alpha$ и полагая $\alpha=1$, приходим к следующим, записанным в матричном

виде условиям, которым должны удовлетворять показатели квазиоднородности:
\[
\mathbf{J} \Gamma+\Gamma \mathbf{J}=m \mathbf{J} .
\]

Заметим, что уравнения (7.7) представляют собой уравнения Гамильтона с гамильтонианом $H$ в (возможно) неканонических переменных. Если $\mathbf{J}$ – симплектическая матрица, то условия (7.9) имеют простой вид:
\[
g_{k}+g_{k+n / 2}=m .
\]

В работах $[281,87]$ показано, что в случае диагонализируемости матрицы Ковалевской, ее показатели удовлетворяют аналогичным соотношениям
\[
\rho_{k}+\rho_{k+n / 2}=m,
\]

причем среди них всегда будут числа -1 и $m+1$.
Следующее предложение уточняет соответствующие результаты $[281,87]$ в общем случае недиагонализуемой матрицы К. Отметим, что в недиагонализируемой ситуации не приходится говорить об однозначности или мероморфности общего решения.
Теорема 8 ([27]). Пусть для уравнений (7.7) $\mathbf{J}$ – невырожденная кососимметричная матрица. Тогда показатели Ковалевской разбиваются на пары, удовлетворяющие соотношениям
\[
\rho_{k}+\rho_{k+n / 2}=m, \quad k=1, \ldots, n / 2,
\]

причем строение жордановых клеток, соответствующих показателям $\rho_{*} и\left(m-\rho_{*}\right)$ одинаково.
Доказательство.
Представим матрицу Ковалевской в виде $\mathbf{K}=\mathbf{J B}+\Gamma$, где
\[
\mathbf{B}=\left\|\frac{\partial^{2} H}{\partial x^{i} \partial x^{k}}(\mathbf{C})\right\|
\]
– симметричная матрица. Тогда все заключения теоремы 1 следуют из цепочки равносильных утверждений:
$\operatorname{det}\|\mathbf{K}-\rho \mathbf{E}\|=0 \Leftrightarrow \operatorname{det}\|\mathbf{K}-\rho \mathbf{E}\|^{T}=0 \Leftrightarrow \operatorname{det}\left\|(\mathbf{K}-\rho \mathbf{E})^{T} \mathbf{J}^{-1}\right\|=0 \Leftrightarrow$ $\operatorname{det}\left\|(-\mathbf{B J}+\Gamma-\rho \mathbf{E}) \mathbf{J}^{-1}\right\|=0 \Leftrightarrow \operatorname{det}\left\|\mathbf{J}^{-1}(\mathbf{J B}+\Gamma+(h-1-\rho) \mathbf{E})\right\|=0$. В последнем звене цепочки использован тот факт, что в (7.9) вместо $\mathbf{J}$ можно подставить $\mathbf{J}^{-1}$.

Обобщим проведенные рассуждения на случай, когда матрица $J^{i k}$ не обязательно является невырожденной и постоянной. Это соответствует рассмотрению квазиоднородных систем, допускающих пуассонову структуру более общего вида (структуры Ли-Пуассона, квадратичные структуры и пр.) Докажем предварительно основную теорему. Теорема 9 ([27]). Предположим, что уравнения (7.1) допускают квазиоднородный степени т тензорный инвариант $\mathbf{T}$ типа $(2,0)$. Тогда натуральные числа от 1 до $n$ можно сгруппировать в набор $\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right)$ так, что $\rho_{1}, \ldots, \rho_{n}$ будут удовлетворять как минимум $r=\operatorname{rank} \mathbf{T}(\mathbf{C})$ соотношениям:
\[
\rho_{i}+\rho_{k}=-m, \quad i=1, \ldots, n .
\]

Доказательство.
Используя выражение производной Ли для инвариантного тензорного поля, нетрудно показать (подробнее см. [87]), что тензоры $\mathbf{T}$ и $\mathbf{K}$ связаны следующими соотношениями:
\[
-m T^{i j}=K_{s}^{i} T^{s j}+T^{i s} K_{s}^{j},
\]

которые запишем в матричном виде
\[
-m \mathbf{T}=\mathbf{K} \mathbf{T}+\mathbf{T} \mathbf{K}^{T},
\]

где $\mathbf{T}=\left\|T^{i j}\right\|, \mathbf{K}=\left\|K_{, j}^{i}\right\|$.
Пусть матрица А составлена из вектор-столбцов $e_{1}, \ldots, e_{n}$, которые являются жордановыми векторами $\mathbf{K}$ :
\[
\mathbf{K A}=\mathbf{A K}_{*},
\]

где $\mathbf{K}_{*}$ для определенности имеет следующий вид: на главной диагонали стоят показатели Ковалевской ( $\left.\rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right)$, а над главной диагональю могут стоять единицы. Для транспонированной матрицы $\mathbf{K}^{T}$ справедливо аналогичное соотношение
\[
\mathbf{K}^{T}\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{T}=\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{T} \mathbf{K}_{*}^{T} .
\]

Обозначим вектор-столбцы, составляющие матрицу $\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{T}$ через $f_{1}, \ldots, f_{n}$. Используя (7.10), получим
\[
\mathbf{K T}\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{T}=-m \mathbf{T}\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{T}-\mathbf{T} \mathbf{K}^{T}\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{T}=\mathbf{T}\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{T}\left(-m \mathbf{E}-\left(\mathbf{K}_{*}\right)^{T}\right) .
\]

Матрица $\left(-m \mathbf{E}-\left(\mathbf{K}_{*}\right)^{T}\right.$ ) также имеет жорданов вид, только теперь под главной диагональю могут стоять -1 . Таким образом, жордановым векторам $\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)$ при отображении $\mathbf{A} \longmapsto \mathbf{T}\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{T}$ соответствуют $r=\operatorname{rank} \mathbf{T}(\mathbf{C})$ независимых векторов $\left(\mathbf{T} f_{1}, \ldots, \mathbf{T} f_{n}\right.$ ), которые также являются жордановыми векторами $\mathbf{K}$ с собственными значениями $\left(-m-\rho_{1}\right), \ldots,\left(-m-\rho_{n}\right)$.

Следствие. Пусть тензор $\mathbf{T}$ – кососимметрический. Тогда среди натуральных чисел от 1 до п можно выделить два поднабора с несовпадающими числами $\left(i_{1}, \ldots, i_{l}\right)$ и $\left(k_{1}, \ldots, k_{l}\right), l=\frac{1}{2} \operatorname{rank} \mathbf{T}(\mathbf{C})$, таких, что показатели Ковалевской удовлетворяют $l$ соотношениям
\[
\rho_{i_{s}}+\rho_{k_{s}}=-m, \quad s=1, \ldots, l .
\]

Действительно, в случае кососимметричного $\mathbf{T}$ ненулевой вектор $\mathbf{T} f_{i}$ не может быть пропорционален $e_{i}$. Это следует из-за того, что $\left(e_{i}, f_{j}\right)=\delta_{i j}$, где $(\cdot, \cdot)$ – стандартное скалярное произведение в $\mathbb{R}^{n}$ $\left(\mathbf{A A}^{-1}=\mathbf{E}\right)$, а из-за кососимметричности $\mathbf{T}$ следует, что $\left(\mathbf{T} f_{i}, f_{i}\right)=0$.

Так как для общих гамильтоновых систем кососимметрический структурный тензор $J_{i j}$ является тензорным инвариантом уравнений движения (§2), то из следствия теоремы вытекает, что показатели Ковалевской являются спаренными и число пар равняется $\frac{1}{2} \operatorname{rank} \mathbf{J}(\mathbf{C})$.

3. Инвариантная мера. Как правило, квазиоднородные уравнения динамики (уравнения Эйлера-Пуассона, Кирхгофа и др.), кроме вырожденной пуассоновой структуры (определяемой алгеброй $e(3)$ ), обладают инвариантной мерой. Ее существование накладывает дополнительное условие на показатели Ковалевской.

Действительно, предположим, что система (7.1) допускает квазиоднородный тензорный инвариант типа $(n, 0)$
\[
\Omega=\Omega(\mathbf{x}) d x^{1} \wedge \ldots \wedge d x^{n}, \quad \Omega(\mathbf{C})
eq 0 .
\]

Тогда $\sum_{i=1}^{n} \rho_{i}=m$, где $m-\underset{n}{n}$ квзиоднородная степень $\Omega$. Если $\Omega$ – стандартная мера, то $\sum_{i=1}^{n} \rho_{i}=\sum_{i=1}^{n} g_{i}$; в частности, для систем с однородными квадратичными правыми частями сумма показателей Ковалевской равна размерности системы $n$. Этот результат следует из рассуждений работы [87].

Как отмечено в [91], в однородном случае ( $g_{i}=1$ ) показатели Ковалевской связаны с мультипликаторами периодических решений и их спаренность для гамильтоновых систем будет следовать из теоремы Пуанкаре-Ляпунова о возвратности корней характеристического многочлена уравнений в вариациях.

4. Примеры. Рассмотрим один вариант системы типа ЛоткиВольтерра [49, 304], который можно записать в виде системы
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}_{i}=x_{i}\left(\alpha_{i+1} x_{i+1}-\beta_{i-1} x_{i-1}\right), \quad i=1, \ldots, n, \\
x_{0}=x_{n}, \quad x_{n+1}=x_{1},
\end{array}
\]

где $\alpha_{i}, \beta_{i}$ являются константами. Уравнения (7.11) являются обобщением интегрируемой периодической системы Вольтерра, для которой $\alpha_{i}=\beta_{i}=$ const [18].

Непосредственное вычисление показателей Ковалевской для системы (7.11) показывает, что они удовлетворяют условиям спаренности $\rho_{i}+\rho_{j}=0$, что (по определению степени квазиоднородности) соответствует наличию квадратичного тензорного инварианта $T^{i j}$. Однако выполнения условия теоремы недостаточно для существования пуассоновой структуры. При выполнении соотношения $\prod_{i=1}^{n} \alpha_{i}=\prod_{i=1}^{n} \beta_{i}$ уравнения (7.11) имеют дополнительный линейный интеграл $F=(l, x), l \in \mathbb{R}^{n}$, а при условии $\alpha_{i}=\beta_{i}$ система (7.11) действительно является гамильтоновой с квадратичной скобкой Пуассона $J^{i j}=C^{i j} x_{i} x_{j}$ и линейным гамильтонианом. Такого рода системы более подробно рассмотрены в главе 5.

В качестве другого примера рассмотрим обобщенную задачу Сусло$в a$, описывающую движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки при наличии неголономной связи $\omega_{3}=0$ [79]. Уравнения движения системы при условии, что центр тяжести находится на главной оси, вдоль которой $\omega_{3}=0$ имеют вид:
\[
\begin{array}{c}
I_{1} \dot{\omega}_{1}=\varepsilon \gamma_{2}, \quad I_{2} \dot{\omega}_{2}=-\varepsilon \gamma_{1}, \\
\dot{\gamma}_{1}=-\omega_{2} \gamma_{3}, \quad \dot{\gamma}_{2}=\omega_{1} \gamma_{3}, \quad \dot{\gamma}_{3}=\gamma_{1} \omega_{2}-\gamma_{2} \omega_{1},
\end{array}
\]

где $I_{1}, I_{2}$ – компоненты тензора инерции, $\varepsilon$ – расстояние точки подвеса до центра масс. Вычисление показателей Ковалевской приводит к

следующей серии значений

1. $\rho_{1}=-1, \quad \rho_{2}=2, \quad \rho_{3}=4, \rho_{4,5}=\frac{1}{2}\left(3 \pm \sqrt{1+8 I_{2} / I_{1}}\right)$,

2. $\rho_{1}=-1, \quad \rho_{2}=2, \quad \rho_{3}=4, \rho_{4,5}=\frac{1}{2}\left(3 \pm \sqrt{1+8 I_{1} / I_{2}}\right)$.

Аналогичные по структуре, но более сложные выражения для показателей Ковалевской можно получить в общем случае, когда положение центра тяжести и неинтегрируемая связь в теле никак не связаны [125]. Эти показатели Ковалевской также не удовлетворяют условиям спаренности и, по-видимому, поэтому система (7.12) не может быть представлена в гамильтоновой форме. (При $I_{1}=I_{2}$ система является интегрируемой и аналогична случаю Лагранжа). Однако, этому не противоречит возможность представить уравнения (7.12) в гамильтоновом виде с помощью специальной замены, основанной на исключении $\gamma_{3}$ из интеграла энергии
\[
\frac{1}{2}\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}\right)+\varepsilon \gamma_{2}=h,
\]

после которой уравнения (7.12) можно переписать в форме уравнений Лагранжа [79]
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot{\omega}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial \omega_{i}}, \quad L=T-V
\]

где
\[
T=\frac{1}{2}\left(I_{1}^{2} \dot{\omega}_{1}^{2}+I_{2}^{2} \dot{\omega}_{2}^{2}\right), \quad V=\frac{1}{2}\left(h-\frac{1}{2}\left(I_{1} \omega_{1}^{2}+I_{2} \omega_{2}^{2}\right)\right)^{2} .
\]

Эти уравнения при $I_{1}
eq I_{2}$ не являются интегрируемыми [66].