Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1. Квазиоднородные системы. Показатели Ковалевской. Система $n$ дифференциальных уравнений называется квазиоднородной с показателями квазиоднородности $g_{1}, \ldots, g_{n}$, если при всех значениях $\mathbf{x}$ и $\alpha>0$. Таким образом, уравнения (7.1) инвариантны при подстановке $x^{i} \mapsto \alpha^{g_{i}} x^{i}, t \mapsto t / \alpha[338]$. Замечание 1. Более общее определение квазиоднородности степени $m$ состоит в том, чтобы система (7.1) оставалась инвариантной после преобразования $x^{i} \mapsto \alpha^{g_{i}} x^{i}, t \rightarrow t / \alpha^{m-1}$ [100]. Все дальнейшие результаты остаются справедливыми и для этого случая. Важным примером уравнений (7.1), (7.2) служит система с однородными квадратичными правыми частями — в этом случае $g_{1}=\ldots=g_{n}=1$. Квазиоднородный вид имеют уравнения движения многих важных задач динамики (уравнения Эйлера-Пуассона, Кирхгофа, уравнения Эйлера-Пуанкаре на алгебрах Ли, цепочки Тоды и пр.) Дифференцируя (7.2) по $\alpha$ и полагая $\alpha=1$, получим формулу Эйлера для квазиоднородных функций: Уравнения (7.1) имеют частные решения где комплексные постоянные $C_{1}, \ldots, C_{n}$ должны удовлетворять алгебраической системе уравнений Запишем уравнения в вариациях для частного решения (7.5) в виде Линейная система (7.6) имеет частные решения вида где $\rho$ — собственное значение, а $\varphi$ — собственный вектор матрицы $\mathbf{K}=\left\|K_{j}^{i}\right\|, K_{j}^{i}=\left(\partial v^{i} / \partial x^{j}(\mathbf{C})+g_{i} \delta_{j}^{i}\right), \delta_{j}^{i}$ — символ Кронекера. Матрица $\mathbf{K}$ называется матрицей Ковалевской, а ее собственные значения показателями Ковалевской (см. [338]). Один из показателей Ковалевской всегда равен -1 [338]. Если общее решение системы (7.1) представляется однозначными (мероморфными) функциями комплексного времени, то показатели Ковалевской, за исключением -1 являются целыми (соответственно, целыми неотрицательными) числами. В работе [87] указаны соотношения между показателями Ковалевской, которые появляются из-за наличия у системы (7.1) инвариантного тензорного поля. Напомним, что тензорное поле $\mathbf{T}$ типа $(p, q)$ называется квазиоднородным степени $m$ с показателями квазиоднородности $g_{1}, \ldots, g_{n}$, если Это тензорное поле будет инвариантным для системы (7.1), если его производная Ли вдоль поля $\mathbf{v}$ равна нулю (см. §2). 2. Уравнения Гамильтона. Рассмотрим квазиоднородные уравнения вида: где $\mathbf{J}=\left\|J^{i k}\right\|$ — постоянный кососимметричный тензор типа $(2,0)$, а $H$ — квазиоднородная функция степени $m+1$ : Проверяя выполнение условия (7.2) и используя (7.8), получим Положим $\Gamma=\operatorname{diag}\left(g_{1}, \ldots, g_{n}\right)$. Дифференцируя последнее тождество по $\alpha$ и полагая $\alpha=1$, приходим к следующим, записанным в матричном виде условиям, которым должны удовлетворять показатели квазиоднородности: Заметим, что уравнения (7.7) представляют собой уравнения Гамильтона с гамильтонианом $H$ в (возможно) неканонических переменных. Если $\mathbf{J}$ — симплектическая матрица, то условия (7.9) имеют простой вид: В работах $[281,87]$ показано, что в случае диагонализируемости матрицы Ковалевской, ее показатели удовлетворяют аналогичным соотношениям причем среди них всегда будут числа -1 и $m+1$. причем строение жордановых клеток, соответствующих показателям $\rho_{*} и\left(m-\rho_{*}\right)$ одинаково. Обобщим проведенные рассуждения на случай, когда матрица $J^{i k}$ не обязательно является невырожденной и постоянной. Это соответствует рассмотрению квазиоднородных систем, допускающих пуассонову структуру более общего вида (структуры Ли-Пуассона, квадратичные структуры и пр.) Докажем предварительно основную теорему. Теорема 9 ([27]). Предположим, что уравнения (7.1) допускают квазиоднородный степени т тензорный инвариант $\mathbf{T}$ типа $(2,0)$. Тогда натуральные числа от 1 до $n$ можно сгруппировать в набор $\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right)$ так, что $\rho_{1}, \ldots, \rho_{n}$ будут удовлетворять как минимум $r=\operatorname{rank} \mathbf{T}(\mathbf{C})$ соотношениям: Доказательство. которые запишем в матричном виде где $\mathbf{T}=\left\|T^{i j}\right\|, \mathbf{K}=\left\|K_{, j}^{i}\right\|$. где $\mathbf{K}_{*}$ для определенности имеет следующий вид: на главной диагонали стоят показатели Ковалевской ( $\left.\rho_{1}, \ldots, \rho_{n}\right)$, а над главной диагональю могут стоять единицы. Для транспонированной матрицы $\mathbf{K}^{T}$ справедливо аналогичное соотношение Обозначим вектор-столбцы, составляющие матрицу $\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{T}$ через $f_{1}, \ldots, f_{n}$. Используя (7.10), получим Матрица $\left(-m \mathbf{E}-\left(\mathbf{K}_{*}\right)^{T}\right.$ ) также имеет жорданов вид, только теперь под главной диагональю могут стоять -1 . Таким образом, жордановым векторам $\left(e_{1}, \ldots, e_{n}\right)$ при отображении $\mathbf{A} \longmapsto \mathbf{T}\left(\mathbf{A}^{-1}\right)^{T}$ соответствуют $r=\operatorname{rank} \mathbf{T}(\mathbf{C})$ независимых векторов $\left(\mathbf{T} f_{1}, \ldots, \mathbf{T} f_{n}\right.$ ), которые также являются жордановыми векторами $\mathbf{K}$ с собственными значениями $\left(-m-\rho_{1}\right), \ldots,\left(-m-\rho_{n}\right)$. Следствие. Пусть тензор $\mathbf{T}$ — кососимметрический. Тогда среди натуральных чисел от 1 до п можно выделить два поднабора с несовпадающими числами $\left(i_{1}, \ldots, i_{l}\right)$ и $\left(k_{1}, \ldots, k_{l}\right), l=\frac{1}{2} \operatorname{rank} \mathbf{T}(\mathbf{C})$, таких, что показатели Ковалевской удовлетворяют $l$ соотношениям Действительно, в случае кососимметричного $\mathbf{T}$ ненулевой вектор $\mathbf{T} f_{i}$ не может быть пропорционален $e_{i}$. Это следует из-за того, что $\left(e_{i}, f_{j}\right)=\delta_{i j}$, где $(\cdot, \cdot)$ — стандартное скалярное произведение в $\mathbb{R}^{n}$ $\left(\mathbf{A A}^{-1}=\mathbf{E}\right)$, а из-за кососимметричности $\mathbf{T}$ следует, что $\left(\mathbf{T} f_{i}, f_{i}\right)=0$. Так как для общих гамильтоновых систем кососимметрический структурный тензор $J_{i j}$ является тензорным инвариантом уравнений движения (§2), то из следствия теоремы вытекает, что показатели Ковалевской являются спаренными и число пар равняется $\frac{1}{2} \operatorname{rank} \mathbf{J}(\mathbf{C})$. 3. Инвариантная мера. Как правило, квазиоднородные уравнения динамики (уравнения Эйлера-Пуассона, Кирхгофа и др.), кроме вырожденной пуассоновой структуры (определяемой алгеброй $e(3)$ ), обладают инвариантной мерой. Ее существование накладывает дополнительное условие на показатели Ковалевской. Действительно, предположим, что система (7.1) допускает квазиоднородный тензорный инвариант типа $(n, 0)$ Тогда $\sum_{i=1}^{n} \rho_{i}=m$, где $m-\underset{n}{n}$ квзиоднородная степень $\Omega$. Если $\Omega$ — стандартная мера, то $\sum_{i=1}^{n} \rho_{i}=\sum_{i=1}^{n} g_{i}$; в частности, для систем с однородными квадратичными правыми частями сумма показателей Ковалевской равна размерности системы $n$. Этот результат следует из рассуждений работы [87]. Как отмечено в [91], в однородном случае ( $g_{i}=1$ ) показатели Ковалевской связаны с мультипликаторами периодических решений и их спаренность для гамильтоновых систем будет следовать из теоремы Пуанкаре-Ляпунова о возвратности корней характеристического многочлена уравнений в вариациях. 4. Примеры. Рассмотрим один вариант системы типа ЛоткиВольтерра [49, 304], который можно записать в виде системы где $\alpha_{i}, \beta_{i}$ являются константами. Уравнения (7.11) являются обобщением интегрируемой периодической системы Вольтерра, для которой $\alpha_{i}=\beta_{i}=$ const [18]. Непосредственное вычисление показателей Ковалевской для системы (7.11) показывает, что они удовлетворяют условиям спаренности $\rho_{i}+\rho_{j}=0$, что (по определению степени квазиоднородности) соответствует наличию квадратичного тензорного инварианта $T^{i j}$. Однако выполнения условия теоремы недостаточно для существования пуассоновой структуры. При выполнении соотношения $\prod_{i=1}^{n} \alpha_{i}=\prod_{i=1}^{n} \beta_{i}$ уравнения (7.11) имеют дополнительный линейный интеграл $F=(l, x), l \in \mathbb{R}^{n}$, а при условии $\alpha_{i}=\beta_{i}$ система (7.11) действительно является гамильтоновой с квадратичной скобкой Пуассона $J^{i j}=C^{i j} x_{i} x_{j}$ и линейным гамильтонианом. Такого рода системы более подробно рассмотрены в главе 5. В качестве другого примера рассмотрим обобщенную задачу Сусло$в a$, описывающую движение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки при наличии неголономной связи $\omega_{3}=0$ [79]. Уравнения движения системы при условии, что центр тяжести находится на главной оси, вдоль которой $\omega_{3}=0$ имеют вид: где $I_{1}, I_{2}$ — компоненты тензора инерции, $\varepsilon$ — расстояние точки подвеса до центра масс. Вычисление показателей Ковалевской приводит к следующей серии значений 1. $\rho_{1}=-1, \quad \rho_{2}=2, \quad \rho_{3}=4, \rho_{4,5}=\frac{1}{2}\left(3 \pm \sqrt{1+8 I_{2} / I_{1}}\right)$, 2. $\rho_{1}=-1, \quad \rho_{2}=2, \quad \rho_{3}=4, \rho_{4,5}=\frac{1}{2}\left(3 \pm \sqrt{1+8 I_{1} / I_{2}}\right)$. Аналогичные по структуре, но более сложные выражения для показателей Ковалевской можно получить в общем случае, когда положение центра тяжести и неинтегрируемая связь в теле никак не связаны [125]. Эти показатели Ковалевской также не удовлетворяют условиям спаренности и, по-видимому, поэтому система (7.12) не может быть представлена в гамильтоновой форме. (При $I_{1}=I_{2}$ система является интегрируемой и аналогична случаю Лагранжа). Однако, этому не противоречит возможность представить уравнения (7.12) в гамильтоновом виде с помощью специальной замены, основанной на исключении $\gamma_{3}$ из интеграла энергии после которой уравнения (7.12) можно переписать в форме уравнений Лагранжа [79] где Эти уравнения при $I_{1}
|
1 |
Оглавление
|