1. Динамически несимметричный случай. Рассмотрим условия интегрируемости системы (2.9) с потенциалом (3.2), (3.7), который для удобства представим в виде:
\[
V=\frac{1}{2}(\mathbf{C} \lambda, \lambda)+(\mathbf{b}, \lambda) \lambda_{0}+a \lambda_{0}^{2}, \quad a \in \mathbb{R} .
\]

При этом $\mathbf{C}=\left\|c_{i j}\right\|$ является произвольной трехмерной симметрической матрицей, $\mathbf{b}$ – произвольным вектором, а постоянная $a$ несущественна (в дальнейшем положим $a=0$ ) в силу наличия функции Казимира $\sum_{\mu=0}^{3} \lambda_{\mu}^{2}=1$. Как и в (3.2), в формуле (4.1) присутствует девнть произвольных коэффициентов, которые совместно с тремя произвольными величинами $a_{i}$, определяющими кинетическую энергию
\[
T=\frac{1}{2}(\mathbf{A M}, \mathbf{M}), \quad \mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)
\]

задают систему, обладающую двенадцатью произвольными параметрами. Для анализа интегрируемости этой системы можно применить метод, восходящий к С.В.Ковалевской и А.М.Ляпунову ([5, 75], см. также [51]) и связывающий существование полного набора интегралов с мероморфностью общего решения на комплексной плоскости времени. В неинтегрируемой ситуации общее решение, вообще говоря, ветвится и имеет существенные особенности на этой плоскости [220].
Уравнения движения для системы с потенциалом (4.1) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \mathbf{A M}+\frac{1}{2} \lambda \times \mathbf{C} \lambda+\frac{1}{2}(\mathbf{b}, \lambda) \lambda-\frac{1}{2} \lambda_{0}\left(\mathbf{C} \lambda+\mathbf{b} \lambda_{0}\right), \\
\dot{\lambda}_{0}=-\frac{1}{2}(\lambda, \mathbf{A M}), \quad \dot{\lambda}=\frac{1}{2}(\lambda \times \mathbf{A M})+\frac{1}{2} \lambda_{0} \mathbf{A M} .
\end{array}
\]

Рассмотрим прежде всего динамически несимметричный случай $a_{1}<a_{2}<a_{3}$. Для исследования ветвления воспользуемся методом малого параметра [51]. Для этого в уравнениях (4.3) произведем замену

$\lambda_{0} \rightarrow \sqrt{\varepsilon} \lambda_{0}, \lambda \rightarrow \sqrt{\varepsilon} \lambda$. При $\varepsilon=0$ (случай Эйлера-Пуансо) система допускает частное четырехпараметрическое семейство решений:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{M}^{0}=\mathbf{f} / t, \quad \mathbf{f}=\left(f_{1}, f_{2}, f_{3}\right), \\
\left(\lambda_{0}^{0}, \lambda_{1}^{0}, \lambda_{2}^{0}, \lambda_{3}^{0}\right)= \\
=C_{1}\left(a_{1} f_{1},-1, a_{3} f_{3},-a_{2} f_{2}\right) t^{-1 / 2}+C_{2}\left(1, a_{1} f_{1}, a_{2} f_{2}, a_{3} f_{3}\right) t^{-1 / 2}+ \\
+C_{3}\left(-1, a_{1} f_{1}, a_{2} f_{2}, a_{3} f_{3}\right) t^{1 / 2}+C_{4}\left(a_{1} f_{1}, 1, a_{3} f_{3},-a_{2} f_{2}\right) t^{1 / 2} \\
f_{1}= \pm \frac{i}{\sqrt{a_{31} a_{21}}}, \quad f_{2}=-\frac{1}{\sqrt{a_{21} a_{32}}}, \quad f_{3}= \pm \frac{i}{\sqrt{a_{32} a_{31}}},
\end{array}
\]

где $C_{i}$ – произвольные постоянные, $a_{i j}=a_{i}-a_{j}$. Разлагая решение (4.3) в ряд по малому параметру
\[
\mathbf{M}=\mathbf{M}^{0}+\varepsilon \mathbf{M}^{1}+\ldots, \quad \lambda_{0}=\lambda_{0}^{0}+\varepsilon \lambda_{0}^{1}+\ldots, \quad \lambda=\lambda^{0}+\varepsilon \lambda^{1}+\ldots,
\]

получим для $\mathbf{M}^{1}$ линейное неоднородное уравнение с коэффициентами, зависящими от времени. С помощью замены времени $t=\exp (i \tau)$ эта система сводится к линейной неоднородной системе с периодическими коэффициентами. Отсутствие вековых членов $\tau^{k} e^{n \tau}$ в общем решении такой системы равносильно отсутствию логарифмических членов по первоначальному времени $t$. Находя спектр и общее решение однородной системы и пользуясь методом вариации произвольных постоянных, можно получить условия отсутствия логарифмических членов.

Пользуясь также несложными симметрийными соображениями, можно заключить, что логарифмических членов не появится только при одновременном выполнении условий $c_{i j}=0, b_{i}=0$ для любых значений индексов $i, j$. Не приводя подробные вычисления, вполне аналогичные приведенным в [51], сформулируем окончательный результат.

Теорема 1. В случае динамической несимлетрии необходимым и достаточным условиями отсутствия логарифмического ветвления уравнений (4.3) с потенциалом (4.1) является выполнение условия $b_{i}=c_{i j}=0, i, j=1, \ldots, 3$, что соответствует интегриремому случаю Эйлера-Пуансо (т. е. добавление еще двух однородных полей к уравнениям Эйлера-Пуассона не может сделать систему интегрируемой).

Заметим, что решение уравнений (4.3) задачи Эйлера-Пуансо будет обладать ветвлением на комплексной плоскости времени типа квадратного корня, это в какой-то мере противоречит основной установке классиков (Вейерштрасс, Ковалевская, Ляпунов), которые связывали

интегрируемость системы с ее однозначностью на комплексной плоскости времени. Однако, это согласуется с концепцией «слабого» свойства Пенлеве – Ковалевской $[240,340]$, при котором вместо рядов Лорана ищутся полнопараметрические решения на комплексной плоскости времени в виде рядов Пюизо (V. Puiseaux) (по дробным степеням времени $t^{1 / n}, n \in \mathbb{N}$ ). При этом общее решение будет однозначным не на комплексной плоскости времени, а на ее $n$-листном накрытии. Отметим также, что в этом случае система остается алгебраически вполне интегрируемой в обобщенном смысле – в уравнениях ЭйлераПуассона аналогичная ситуация возникает в частном случае ГорячеваЧаплыгина [65].

2. Обобщение интеграла Гесса-Аппельрота. Как и в классических уравнениях Эйлера-Пуассона для уравнений (4.3) можно найти условия на коэффициенты $b_{i}, c_{i j}$, при которых существует частный интеграл, обобщающий интеграл Гесса-Аппельрота. Несложные вычисления показывают, что уравнения движения (4.3) обладают частным интегралом
\[
F=\alpha M_{1}+\beta M_{3},
\]

на уровне $F=0$, если выполнены следующие соотношения между коэффициентами
\[
\begin{aligned}
b_{2} & =\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{\beta} c_{11}-\frac{\beta}{\alpha} c_{33}\right), \\
c_{13} & =-\frac{1}{2}\left(\frac{\alpha}{\beta} c_{11}+\frac{\beta}{\alpha} c_{33}\right), \\
c_{22} & =c_{11}+c_{33} .
\end{aligned}
\]

Можно показать, что условия (4.6) действительно обобщают условия Гесса-Аппельрота и сводятся к ним при наличии всего лишь одного однородного силового поля. Аналогично можно получить два оставшихся условия путем циклической перестановки индексов в (4.6).

Оказывается, что этого интеграла достаточно для интегрируемости уравнений (4.4) в общем случае (А.Г.Холмская).

Запишем классические уравнения Эйлера – Пуассона в специальной системе координат, где $a_{23}=0$. В случае однородного силового поля

решение Гесса получается при условиях $a_{22}=a_{33}, a_{31}=a_{32}=0$, т. е. гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(a_{11} M_{1}^{2}+2 a_{12} M_{1} M_{2}+a_{22}\left(M_{2}^{2}+M_{3}^{2}\right)\right)+\gamma_{1} r_{1},
\]

при этом частный интеграл записывается как $M_{1}=0$. При дополнительном условии $a_{12}=0$ гамильтониан (4.7) переходит в гамильтониан системы Лагранжа. Отсюда следует, что центр масс тела в случае Гесса, как и в случае Лагранжа при $M_{1}=0$, движется по закону сферического маятника.

Редуцированные с помощью интеграла $M_{1}$ уравнения движения волчка Гесса и волчка Лагранжа совпадают. Однако при «поднятии» систем дополнительные члены с коэффициентом $a_{12}$ в уравнениях движения системы Гесса приводят к отличию в динамике двух систем, в частности, одна из переменных подчиняется уравнению Риккати, что делает невозможным выразить решения Гесса в квадратурах. Отметим, что аналогия между случаями Гесса и Лагранжа была указана в [59].

Найдем, при каких соотношениях между коэффициентами $c_{i j}$ кватернионные уравнения системы с потенциалом $U=\sum_{i, j=0}^{3} c_{i j} \lambda_{i} \lambda_{j}$ обладают интегралом Гесса $M_{1}=0$ (в специальной системе координат). В результате получим следующие условия
\[
\begin{array}{lll}
c_{00}=c_{11}, & c_{02}=-c_{13}, & c_{01}=0, \\
c_{22}=c_{33}, & c_{03}=-c_{12}, & c_{23}=0 .
\end{array}
\]

Таким образом, потенциальная энергия приводится к виду $U=$ const + $+a \alpha_{1}+b \beta_{1}+c \gamma_{1}$, т. е. имеем случай одного однородного силового поля $(\S 3)$.

3. Случай динамической симметрии. Исследование условий однозначности существенно усложняется при наличии динамической симметрии $a_{1}=a_{2}$. Для краткости ограничимся рассмотрением случая, когда $V=(\mathbf{C} \lambda, \lambda), \mathbf{C}=\operatorname{diag}\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)$, что соответствует тому, что все три силовых центра находятся на различных главных осях эллипсоида инерции.

Вычислим показатели Ковалевской для некоторых частных решений (см. $\S 7$ гл. 1). В качестве таких частных решений возьмем $M_{i}=M_{i}^{0} / t, \lambda_{i}=\lambda_{i}^{0} / t$, где

1. $M_{1}^{0}=M_{2}^{0}=\lambda_{3}^{0}=\lambda_{0}^{0}=0, \quad M_{3}^{0}=2 i a_{3}^{-1}$,
\[
\lambda_{1}^{0}=\sqrt{\frac{1}{\left(c_{1}-c_{2}\right) a_{3}}}, \quad \lambda_{2}^{0}=i \sqrt{\frac{1}{\left(c_{1}-c_{2}\right) a_{3}}} ;
\]
2. $M_{1}^{0}=M_{2}^{0}=\lambda_{2}^{0}=\lambda_{0}^{0}=0, \quad M_{2}^{0}=2 i a_{2}^{-1}$.
\[
\lambda_{1}^{0}=i \sqrt{\frac{1}{\left(c_{3}-c_{1}\right) a_{2}}}, \quad \lambda_{3}^{0}=\sqrt{\frac{1}{\left(c_{3}-c_{1}\right) a_{2}}} ;
\]
3. $M_{1}^{0}=M_{3}^{0}=\lambda_{1}^{0}=\lambda_{3}^{0}=0, \quad M_{2}^{0}=2 i a_{2}^{-1}$,
\[
\lambda_{0}^{0}=i \sqrt{\frac{1}{a_{2} c_{2}}}, \quad \lambda_{2}^{0}=\sqrt{\frac{1}{a_{2} c_{2}}} .
\]

Показатели Ковалевской для этих решений следующие:

1. $\left(-1,2,2,0,3, \frac{1}{2} \pm \sqrt{2\left(2 a^{2}-3 a+\frac{9}{8}\right)}\right)$, где $a=a_{1} / a_{3}$;
2. ( $\left.-1,2,2,0,3,1-s_{1}, 1-s_{2}\right)$, где $s_{1}, s_{2}$ являются корнями квадратного уравнения $s^{2}-s+\frac{\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(c_{1}-c_{2}-c_{3}\right)}{a_{1}\left(c_{1}-c_{3}\right)}=0$;
3. ( $\left.-1,2,2,0,3,1-s_{1}, 1-s_{2}\right)$, где $s_{1}, s_{2}$ являются корнями квадратного уравнения $s^{2}-s-\frac{\left(a_{1}-a_{3}\right)\left(c_{1}-c_{2}-c_{3}\right)}{a_{1} c_{2}}=0$.

Для нахождения условий интегрируемости можно воспользоваться методом Ковалевской (см. $[75,178,338]$ ), который требует существования полнопараметрического лорановского разложения общего решения. В этом случае система будет являться вполне алгебраически интегрируемой по Адлеру и ван Мербеке $[175,176,178]$. Для большей общности будем требовать, чтобы (как и в случае Эйлера-Пуансо) существовало полнопараметрическое разложение общего решения в ряды Пюизо с дробным показателем $1 / 2$ (алгебраическая интегрируемость в обобщенном смысле [292]). Это условие можно также получить, если требовать, чтобы общее решение для направляющих косинусов $\alpha, \beta, \gamma$, связанными с компонентами кватернионов $\lambda_{\mu}$ формулами (1.1), (2.6), было мероморфным. Из анализа показателей Ковалевской для первого решения

следует, что для этого необходимо, чтобы $a=a_{1} / a_{3}=1 / 2$ или $a=3 / 4$. В первом случае набор показателей Ковалевской $(-1,2,2,0,3,0,1)$, во втором $\left(-1,2,2,0,3, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$. Показатели 0 и $1 / 2$ соответственно в первом и втором случае являются кратными, и для отсутствия логарифмического ветвления необходимо, чтобы все миноры шестого порядка матрицы Ковалевской равнялись нулю. Для первого набора это приводит к условию $c_{3}=c_{1}+c_{2}$, для второго набора $-c_{3}=0$.

При условии $c_{3}=c_{1}+c_{2}$ полный набор интегралов будет указан далее (см. п. 4). В этом случае гамильтониан можно представить в виде
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)+c_{1} \lambda_{1}^{2}+c_{2} \lambda_{2}^{2}+\left(c_{1}+c_{2}\right) \lambda_{3}^{2},
\]

или
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)-x \alpha_{1}-y \beta_{2} .
\]

Аналогичный анализ оставшихся двух частных решений приводит к необходимым условиям интегрируемости $c_{1}=c_{2}, c_{3}=0$, которые определяют волчок Лагранжа – динамически симметричный волчок с одним центром приведения, расположенным на оси динамической симметрии (см. §1).

Отметим, что для условий $c_{3}=c_{1}+c_{2}$, полученных из анализа первого решения, среди показателей Ковалевской для решений 2,3 появятся дополнительно $(2,-1)$ и ряды Лорана, которые можно получить из этих решений по известному алгоритму (см., например, [178]) уже не будут являться полнопараметрическими (вследствие появления дополнительного отрицательного показателя Ковалевской). Соответствующий набор показателей Ковалевской называется вторичным балансом, в отличие от главного баланса, определяющего полнопараметрическое семейство.

В различных обобщениях метода Ковалевской требуется, чтобы в интегрируемой ситуации существовал лишь вторичный баланс и показатели Ковалевской были бы целыми (не обязательно положительными). В этом случае решение будет однозначным, но, вообще говоря, не мероморфным. Исследованием однозначности уравнений ЭйлераПуассона занимался А.М.Ляпунов [111]. Однако, его рассуждения не переносятся непосредственно на систему (4.3).

Для второго случая, подозрительного на интегрируемость ( $a=3 / 4$, $c_{3}=0$ ) вторичный баланс, вообще говоря, не является рациональным. Вероятно, что эти условия не порождают новой интегрируемой задачи.

Несколько более сложный, но сходный анализ можно выполнить для случая, когда часть силовых центров лежит на оси вращения, а другая часть в экваториальной плоскости. В этом (и только в этом) случае существуют частные решения типа $1,2,3$, и условия неотрицательности и целочисленности показателей Ковалевской приводит к наиболее полному обобщению классического случая Ковалевской. В этом случае гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)-\left(\mathbf{r}_{1}, \alpha\right)-\left(\mathbf{r}_{2}, \beta\right),
\]
т. е. два силовых центра, определяемые радиус-векторами $\mathbf{r}_{1}=$ $=\left(g_{\alpha}, h_{\alpha}, 0\right)$ и $\mathbf{r}_{2}=\left(g_{\beta}, h_{\beta}, 0\right)$ произвольно располагаются в экваториальной плоскости эллипсоида инерции (исходя из рассуждений $\S 3$ можно полагать, что все три силовых центра находятся в экваториальной плоскости).

4. Обобщение случая Ковалевской. Система с гамильтонианом (4.9) обладает двумя дополнительными инволютивными интегралами
\[
\begin{array}{c}
F_{2}=\left(N_{1} \mathbf{r}_{1}+N_{2} \mathbf{r}_{2}\right)^{2}+2 N_{3}\left(\mathbf{r}_{1} \times \mathbf{r}_{2}, \mathbf{M}\right)+ \\
+2\left(\mathbf{r}_{1} \times \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{2} \times \alpha-\mathbf{r}_{1} \times \beta\right), \\
F_{3}=\left(\frac{M_{1}{ }^{2}-M_{2}{ }^{2}}{2}+g_{\alpha} \alpha_{1}-h_{\alpha} \alpha_{2}+g_{\beta} \beta_{1}-h_{\beta} \beta_{2}\right)^{2}+ \\
+\left(M_{1} M_{2}+g_{\alpha} \alpha_{2}+h_{\alpha} \alpha_{1}+g_{\beta} \beta_{2}+h_{\beta} \beta_{1}\right)^{2} .
\end{array}
\]

Фактически эти интегралы были указаны А.Г.Рейманом и М. А. Семеновым-Тян-Шанским, хотя эти авторы получили их несколько для иной постановки задачи. Из работы $[312,196]$ также следует, что интегрируемость сохранится при добавлении гиростата вдоль оси динамической симметрии.

При $g_{\beta}=h_{\beta}=0$ или $g_{\alpha}=h_{\alpha}=0$ интеграл (4.10) переходит в интеграл площадей $(\mathbf{M}, \alpha)$ или $(\mathbf{M}, \beta)$. При $g_{\alpha}=h_{\beta}, h_{\alpha}=g_{\beta}=0$ или $h_{\alpha}=g_{\beta}, g_{\alpha}=h_{\beta}=0$ интеграл (4.10) переходит, соответственно, в интегралы $M_{3} \mp(\mathbf{M}, \gamma)$. Если в случае интегралов площадей циклической переменной является угол прецессии $\psi$, то во второй ситуации циклической переменной является угол $\varphi \mp \psi$. Это обобщение случая Ковалевской до появления работы [312] было указано Х. Яхьей [171].

В $\S \S 5,6$ нашей книги этот случай изучен более подробно – в частности, указан его изоморфизм на нулевом уровне циклического интеграла с интегрируемым случаем Чаплыгина в уравнениях Кирхгофа [163].

Отметим интересное наблюдение – интеграл (4.10) для уравнений в переменных $\mathbf{M}, \alpha, \beta, \gamma$ имеет степень квазиоднородности 6 и является простым квадратичным интегралом в переменных $\mathbf{M}, \mathbf{N}, \lambda_{0}, \lambda$ для уравнений (2.15).

При этом интегралы типа площадей имеют запись $N_{i}=$ const. Поэтому вопрос о наличии линейных или квадратичных интегралов разумно поставить именно для уравнений (2.15). Исследование линейных по $\mathbf{M}$ и $\mathbf{N}$ интегралов приводит только к трем возможным случаям их существования (с учетом возможности приведения путем смены неподвижного базиса (см. §3):

1. $N_{i}=$ const $(i=1,2,3$ ) (обычные интегралы площадей);
2. $N_{i} \pm M_{i}=$ const (этот случай и его динамическое происхождение подробно разобраны в $\S 4$ );
3. $M_{i}=$ const (это интегралы типа Лагранжа – если он существует, то всегда есть и еще один циклический интеграл $N_{i}=$ const и система является интегрируемой).

В случаях 1,2 ранг скобки Пуассона может быть понижен на две единицы (см. §5), и система (4.3) может быть сведена к системе с двумя степенями свободы, для интегрируемости которой не хватает еще одного дополнительного первого интеграла.
5. Обобщение случая Делоне. Кроме понижения порядка по циклическим переменным для обобщенного волчка Ковалевской (4.9) возможен один случай сведения к двум степеням свободы с использованием редукции Дирака. Для этого рассмотрим интеграл Ковалевской (4.11) при условии $F_{2}=0$, определяющим обобщенный случай Делоне [5]. Легко видеть, что система корректно ограничивается по Дираку на инвариантные соотношения
\[
\begin{array}{c}
\frac{M_{1}^{2}-M_{2}^{2}}{2}+g_{\alpha} \alpha_{1}-h_{\alpha} \alpha_{2}+g_{\beta} \beta_{1}-h_{\beta} \beta_{2}=0, \\
M_{1} M_{2}+g_{\alpha} \alpha_{2}+h_{\alpha} \alpha_{1}+g_{\beta} \beta_{2}+h_{\beta} \beta_{1}=0,
\end{array}
\]

которые являются центральными функциями структуры Дирака ( 99 гл. 1). На четырехмерном симплектическом листе имеется также два интеграла (4.9), (4.10), позволяющие полностью проинтегрировать систему.

Интересные коммутационные соотношения порождаются функциями $z_{1}, z_{2}$. Несложно проверить, что
\[
\left\{z_{1}, z_{2}\right\}=-M_{3}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+2 \alpha_{3}\left[M_{1} g_{\alpha}+M_{2} h_{\alpha}\right]+2 \beta_{3}\left[M_{1} g_{\beta}+M_{2} h_{\beta}\right],
\]

а также, что функция $J$ является первым интегралом системы при выполнении условий (4.12).
Действительно,
\[
\begin{aligned}
\{J, H\}= & 2 z_{1}\left(-g_{\alpha} \alpha_{2}-h_{\alpha} \alpha_{1}-g_{\beta} \beta_{2}-h_{\beta} \beta_{1}\right)- \\
& -2 z_{2}\left(-g_{\alpha} \alpha_{1}+h_{\alpha} \alpha_{2}-g_{\beta} \beta_{1}+h_{\beta} \beta_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

Поэтому интегрируемость обобщенного волчка Ковалевской в (обобщенном) смысле Делоне может быть условлена и без использования интеграла (4.10). Оказывается также, что полный набор интегралов, включающий (4.13) и (4.10) уже оказывается зависимым. Интересно заметить также, что в случае одного силового поля ( $g_{\alpha}=g_{\beta}=h_{\beta}=0$ ) кубичный по моментам интеграл (4.13) имеет структуру, почти аналогичную частному интегралу Горячева-Чаплыгина для уравнений Эйлера-Пуассона (см. §6). Несомненно, что между интегрируемыми случаями Ковалевской и Горячева-Чаплыгина существуют глубокие взаимосвязи на уровне пуассоновых структур, проясняющие скрытые симметрии этих систем. Однако они практически совсем не исследованы.

6. Известные случаи интегрируемости. В заключение систематически приведем все случаи интегрируемости, известные в задаче о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в суперпозиции однородных ортогональных силовых полей.

1. Случай Эйлера-Пуансо – при этом $c_{i j}=0, b_{i}=0, \forall i, j=1,2,3$, а интегрируемость является некоммутативной – интегралы площадей $N_{i}$ образуют алгебру $s o(3):\left\{N_{i}, N_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} N_{k}$.
2. Обобщенный случай Лагранжа – при этом тело является динамически симметричным, а все три силовых центра лежат на оси динамической симметрии. Как показано в $\S 3$, этот случай сводится к обычному тяжелому волчку Лагранжа.
3. Обобщенный случай Ковалевской – эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения, между моментами инерции выполняется соотношение $a_{1}=a_{2}=1 / 2 a_{3}\left(a_{i}=I_{i}^{-1}\right)$, а три силовых центра произвольно располагаются в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.
4. Обобщенный шаровой волчок – он реализуется при $a_{1}=a_{2}=a_{3}$ и при произвольном потенциале (4.1). Как показано в гл. 3 в этом случае уравнения волчка сводятся к уравнениям движения материальной точки по трехмерной сфере в поле сил с квадратичным потенциалом. Для двумерной сферы интегрируемость этой задачи была показана еще К. Нейманом. В работе [294] Ю. Мозер доказал интегрируемость $n$-мерной системы Неймана (на $S^{n}$ ). Заметим, что в нашем случае движение будет происходить по трехмерным торам, вложенным в шестимерное фазовое пространство. Трехмерные торы возникают также существенным образом (то есть порядок системы не может быть понижен глобально и слоение не может быть сведено к слоению на двумерные торы) в обобщенном случае Ковалевской. Эти случаи наиболее сложны для топологического и качественного анализа и практически не изучены.
Еще одно интересное замечание состоит в том, что условия существования квадратичных по $\mathbf{M}, \mathbf{N}$ интегралов системы (4.3) совпадают с условиями ее полной интегрируемости по Лиувиллю. Таким образом, нелинейный по импульсам интеграл системы (4.3) отдельно существовать не может – он сразу влечет за собой полную интегрируемость системы (4.3). Отметим также, что нам неизвестен пример из гамильтоновой механики, в котором система с более чем двумя степенями свободы обладает нелинейным по импульсам дополнительным первым интегралом, но не является интегрируемой.
7. Неинтегрируемость и теоремы несуществования. Вероятно, что для уравнения (4.3) других общих случаев интегрируемости не существует. Единственно возможным частным случаем интегрируемости, видимо, является случай Горячева-Чаплыгина, существующий при наличии одного силового поля (уравнения Эйлера-Пуассона) и нулевой постоянной площадей. Однако строгое доказательство неинтегрируемости пока отсутствует (кроме классических уравнений ЭйлераПуассона, являющихся частным случаем (4.3)). Отметим, что многие классические и современные методы доказательства неинтегрируемости (метод Пуанкаре, расщепление сепаратрис [64, 91], метод Гюссона [5], метод Зиглина [65]) при их применении к рассматриваемой задаче требуют некоторой модификации (иногда и весьма существенной).

Например, невозможность непосредственного применения техники расщепления сепаратрис связана с тем, что в шестимерном фазовом пространстве неустойчивые перманентные вращения (являющиеся
гиперболическими периодическими решениями приведенной системы) невозмущенной системы Эйлера-Пуансо определяют вырожденные неустойчивые трехмерные инвариантные многообразия. Эти многообразия разрушаются при возмущении, и применение стандартной теории Пуанкаре-Мельникова невозможно. Интересно было бы найти условия расщепления сепаратрис к родившимся невырожденным инвариантным многообразиям и вытекающие из них необходимые условия интгерируемости (по некоторым направлениям это расщепление будет экспоненциально малым). Маловероятно, что наложение двух дополнительных полей может привести к нетривиальной интегрируемой ситуации, однако, возможно появление условий типа Гесса-Аппельрота, определяющих пару сдвоенных сепаратрис. Все эти вопросы остаются пока неизученными.

Замечание 1. Гамильтоновы системы с гамильтонианом (4.9) являются интегрируемыми на сингулярной орбите алгебры $e(4)$. На всех других орбитах поведение системы также будет регулярным, т. к. уравнения (2.15) для $\dot{\mathbf{N}}$ отделяются и интегрируются после того как решены уравнения для $\dot{M}, \dot{\lambda}, \dot{\lambda} \dot{\lambda}_{0}$. В $[135]$ приведены системы на $e(4)$, являющиеся обобщениями случаев Клебша уравнений Кирхгофа на $e(3)$, которые обладают полным набором инволютивных интегралов на любой (не обязательно сингулярной) орбите. Однако они не порождают интегрируемые задачи рассматриваемой системы $(4.1,4.2)$, кроме случая шарового волчка. Интегрируемое обобщение случая Ковалевской (4.9) также не может быть получено из результатов [135] и является новой интегрируемой системой для уравнений Кирхгофа на $e(4)$.
Замечание 2. В работе [94] поставлен вопрос об условиях регулярности гамильтоновой системы. Эти условия предполагают возможность регулярного поведения при отсутствии полного набора первых интегралов (интегрируемость по Лиувиллю, $\S 3$ гл. 1). В этом случае, однако, должны существовать поля симметрии, многозначные интегралы или другие тензорные инварианты, наличие которых в определенной комбинации приводит к интегрируемости в квадратурах. По-видимому, для квазиоднородных гамильтоновых (в общем случае с вырожденной скобкой Пуассона) систем, условия регулярности и интегрируемости по Лиувиллю совпадают, т. е. наличие полного набора тензорных инвариантов обеспечивает существование полного набора инволютивных интегралов, необходимых для теоремы Лиувилля. Однако это утверждение не доказано, а контрпример к нему также не найден.