Одним из экспериментов, подтверждающих теорию относительности является наблюдение смещения перигелия Меркурия [169]. Это смещение связано с искривлением пространства вблизи гравитирующего тела. Покажем, что в ньютоновской механике искривленного пространства кеплеровская орбита также прецессирует, хотя и по другим законам [219]. В качестве модельной, рассмотрим ограниченную задачу

двух тел, которая не является интегрируемой, но при малой скорости движения тяжелого тела (выбираемой как малый параметр), допускает анализ по теории возмущений. Здесь мы никоим образом не стараемся поколебать фундамент общей теории относительности, но только укажем, что некоторые факты практической небесной механики допускают и другие интерпретации (наряду с несферичностью планет, рефракцией атмосферы и пр.).

Рассмотрим ограниченную задачу двух тел на $S^{2}\left(L^{2}\right)(\S 5)$, которые полагаем стандартно вложенными в $\mathbb{R}^{3}\left(\mathbb{M}^{3}\right):\{\mathbf{q}=(x, y, z) \mid\langle\mathbf{q}, \mathbf{q}\rangle=$ $\left.=x^{2}+y^{2} \pm z^{2}= \pm R^{2}\right\}$. Пусть «массивная» частица (притягивающий центр) движется по геодезической в плоскости $x z$. В инерциальной системе координат, жестко связанной с притягивающим центром, который поместим в северный полюс сферы (псевдосферы) $\mathbf{e}_{3}=(0,0,1)$, функция Лагранжа «легкой» частицы (материальной точки) имеет вид (5.12)
\[
L=\frac{1}{2}\langle\dot{\mathbf{q}}, \dot{\mathbf{q}}\rangle+\gamma \frac{\left\langle\mathbf{e}_{3}, \mathbf{q}\right\rangle}{\sqrt{R^{2} \mp\left\langle\mathbf{e}_{3}, \mathbf{q}\right\rangle^{2}}}+\langle\dot{\mathbf{q}}, \mathbf{w q}\rangle+\frac{1}{2}\langle\mathbf{w q}, \mathbf{w q}\rangle .
\]

Здесь w – матрица угловой скорости системы отсчета
\[
\mathbf{w}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & w \\
0 & 0 & 0 \\
\mp w & 0 & 0
\end{array}\right)
\]

Для анализа по теории возмущений выберем в качестве координат на сфере (псевдосфере) $r=R \operatorname{tg} \theta(r=R \operatorname{th} \theta)$ и азимутальный угол $\varphi$ и представим (6.1) в виде
\[
\begin{aligned}
L= & \frac{1}{2}\left(\frac{\dot{r}^{2}}{\left(1 \pm \frac{r^{2}}{R^{2}}\right)^{2}}+\frac{r^{2} \dot{\varphi}^{2}}{1 \pm \frac{r^{2}}{R^{2}}}\right)+\frac{\gamma}{r}+ \\
& +2 \frac{w}{R} \frac{r^{2} \dot{r}}{\left(1 \pm \frac{r^{2}}{R^{2}}\right)^{2}} \cos \varphi \mp \frac{w^{2}}{2} \frac{r^{2}}{1 \pm \frac{r^{2}}{R^{2}}} \sin ^{2} \varphi .
\end{aligned}
\]

Здесь $w$ имеет порядок $1 / R$. При $R \rightarrow \infty$ задача сводится к плоской задаче Кеплера.

Линейные по скоростям слагаемые в (6.2) имеют порядок $\frac{1}{R^{2}}$ и не могут быть опущены. Для исследования эволюции формы орбиты, соответствующей невозмущенной задаче Кеплера, представим уравнения движения системы (6.2) в переменных $p, \omega, e, \varphi$. Здесь $e$ – эксцентриситет, $\omega$ – долгота перицентра орбиты, $\varphi$ – азимутальный угол, $p-$ параметр орбиты, связанный с энергией $E$ невозмущенной задачи Кеплера по формуле
\[
E=-\frac{1-e^{2}}{2 p} \pm \frac{p}{2 R^{2}} .
\]

Новые переменные выражаются через координаты и скорости по формулам (далее полагаем $\gamma=1$ )
\[
r=\frac{p}{1+e \cos (\varphi-\omega)}, \quad \frac{r^{2}}{1 \pm \frac{r^{2}}{R^{2}}} \dot{r}=\frac{e \sin (\varphi-\omega)}{\sqrt{p}}, \quad \frac{r^{2} \dot{\varphi}}{1 \pm \frac{r^{2}}{R^{2}}}=\sqrt{p} .
\]

Здесь и ниже для сокращения записи мы не подставляем выражение $r$ через $p, e, \omega, \varphi$. Используя канонические переменные $r, \varphi, p_{r}, p_{\varphi}$, находим скобки Пуассона для $p, e, \omega, \varphi$ :
\[
\begin{array}{l}
\{p, e\}=-\frac{4 w}{R} \frac{p r^{2}}{1 \pm \frac{r^{2}}{R^{2}}} \sin \varphi \sin (\varphi-\omega) ; \\
\{p, \omega\}=-2 \sqrt{p}+\frac{4 w}{R} \frac{p r^{2}}{1 \pm \frac{r^{2}}{R^{2}}} \sin \varphi \cos (\varphi-\omega) ; \\
\{e, \omega\}=\frac{1-e^{2}+\frac{p^{2}}{R^{2}}}{e \sqrt{p}}+\frac{4 w}{R} \frac{p r}{e\left(1 \pm \frac{r^{2}}{R^{2}}\right)} \sin \varphi ; \\
\{p, \varphi\}=-2 \sqrt{p} ; \\
\{e, \varphi\}=-\frac{2 \cos (\varphi-\omega)+e+e \cos ^{2}(\varphi-\omega)}{\sqrt{p}} \\
\{\omega, \varphi\}=-\frac{\sin (\varphi-\omega)(2+e \cos (\varphi-\omega))}{e \sqrt{p}}
\end{array}
\]

и функцию Гамильтона
\[
H=-\frac{1-e^{2}}{2 p} \pm \frac{p}{2 R^{2}} \pm \frac{w^{2}}{2} \frac{r^{2} \sin ^{2} \varphi}{1 \pm \frac{r^{2}}{R^{2}}} .
\]

Из (6.5) и (6.6) следует, что при $R \rightarrow \infty$ переменные $p, e, \omega$ – медленные, а $\varphi$ – быстрая. Для определения векового изменения параметров орбиты при $R \gg r$ отбросим слагаемые порядка выше $\frac{1}{R^{2}}$ и усредним уравнения движения по периоду невозмущенного движения. Получим следующую систему
\[
\begin{aligned}
\dot{p} & =-\frac{v}{R^{2}} \frac{2 e p^{7 / 2}}{\left(1-e^{2}\right)^{5 / 2}}\left(\cos \omega+\frac{5}{2} v \frac{e \sqrt{p} \sin \omega \cos \omega}{1-e^{2}}\right), \\
\dot{e} & =\frac{v}{R^{2}} \frac{p^{5 / 2}}{\left(1-e^{2}\right)^{3 / 2}}\left(\cos \omega+\frac{5}{2} v \frac{e \sqrt{p} \sin \omega \cos \omega}{1-e^{2}}\right), \\
\dot{\omega} & =-\frac{v}{R^{2}} \frac{p^{5 / 2}}{\left(1-e^{2}\right)^{5 / 2}}\left(\frac{1-2 e^{2}}{e} \sin \omega+\frac{1}{2} v \sqrt{p}\left(3+\sin ^{2} \omega-4 \cos ^{2} \omega\right)\right) .
\end{aligned}
\]

Параметр $v=\omega R$ имеет смысл линейной скорости движения неинерциальной системы отсчета.

Уравнения (6.7) допускают интеграл
\[
\frac{1-e^{2}}{2 p}=C,
\]

соответствующий отсутствию векового изменения энергии невозмущенной системы (6.3) в данном приближении (теорема Лапласа).

Фазовый портрет системы (6.7) зависит от отношения $\frac{v}{\sqrt{C}}$, его проекция на плоскость $\omega, e$ при различных $v, C$ приведены на рис. 9-14. Из (6.2) следует, что от знака кривизны вид траекторий не зависит, а меняется лишь направление движения по ним.