Рассмотрим систему $n$ потенциально взаимодействующих между собой частиц на прямой. Функция Гамильтона в канонических переменных $(\mathbf{p}, \mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{2 n}$ может быть представлена в форме
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{p}, \mathbf{p})+\sum_{i=1}^{N} g_{i} v\left(\left(\boldsymbol{\alpha}_{i}, \mathbf{q}\right)\right),
\]

где $(\cdot, \cdot)$ скалярное произведение в $\mathbb{R}^{n}, \mathbf{q}$ – вектор $\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ координат частиц, а $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ – произвольные векторы из $\mathbb{R}^{n}$. Случаю периодической цепочки с взаимодействием ближайших соседей соответствует $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,-1,0, \ldots, 0), \boldsymbol{\alpha}_{2}=(0,1,-1, \ldots, 0), \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}=(-1,0, \ldots, 1)$. Если $v(x)=e^{-\alpha x}$, то система (3.1) описывает обобщенные цепочки Тоды.

В [212] (1971 г.) Калоджеро, исследуя квантовую задачу $n$ тел на прямой, высказал предположение об интегрируемости цепочки (3.1) с потенциалом
\[
v(x)=\frac{1}{x^{2}}+\omega^{2} x^{2}, \quad g_{i}=g, \quad i=1, \ldots, N, \quad N=n(n-1) / 2 .
\]

и попарным взаимодействием всех частиц (в отличие от цепочек Тоды, где взаимодействуют только ближайшие соседи)
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^{n} p_{i}^{2}+g \sum_{i<j}^{n} v\left(q_{i}-q_{j}\right) .
\]

Замечание 1. В системе центра инерции ( $\sum_{i=1}^{n} q_{i}=0$ ) система (3.3) с потенциалом (3.2) при $g_{i}=1$ может быть представлена в форме
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} p_{i}^{2}+\sum_{i<j} \frac{1}{\left(q_{i}-q_{j}\right)^{2}}+\omega^{2}(n-1) \sum_{i=1}^{n} q_{i}^{2} .
\]

Для задачи на окружности аналогичный потенциал был указан в $[323]$
\[
v(x)=\frac{1}{\sin ^{2} x} .
\]

Доказательство интегрируемости этих систем методом построения $\mathbf{L}$ – A-пары дано Мозером [294] (см. ниже). С помощью указанного в [294] анзатца для представления Лакса – Гейзенберга найдены также интегрируемые потенциалы вида $[137,213]$
\[
\begin{array}{l}
v(x)=\frac{1}{\operatorname{sh}^{2} x}, \\
v(x)=\mathcal{P}\left(x, \omega_{1}, \omega_{2}\right),
\end{array}
\]

где $\mathcal{P}$ – функция Вейерштрасса с периодами $2 \omega_{1}$ и $2 \omega_{2}$, которая при бесконечном увеличении периодов может быть приведена к любому из потенциалов (3.4), (3.5) и (3.2) при $\omega=0$.

Замечание 2. Для цепочек (3.2), (3.4)-(3.6) с гамильтонианом (3.3) понятие замкнутости, введенное для цепочек Тоды ( $\S 1$ гл. 5), теряет смысл, так как все частицы взаимодействуют между собой. Потенциалы (3.4), (3.6) являются периодическими функциями, поэтому система эквивалентна цепочке на окружности и все траектории ее финитны. Для потенциала (3.5), напротив, частицы асимптотически свободны при $t \rightarrow \infty$, в связи с тем, что потенциал спадает в обе стороны $x \rightarrow \pm \infty$. Для цепочки (3.2) при $\omega=0$ частицы также разбегаются, а при $\omega
eq 0$, в системе центра инерции ( $\sum q_{i}=0$ ) все траектории ограничены.

1. Представление на квадратичной алгебре. Предположим, что векторы $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\alpha}_{n}$ образуют базис в пространстве $\mathbb{R}^{n}$, представим систему (3.1) с потенциалом (3.2) при $\omega=0$, в новых избыточных переменных
\[
b_{i}=\left(\boldsymbol{\beta}_{i}, \mathbf{p}\right), \quad a_{k}=\frac{1}{\left(\boldsymbol{\alpha}_{k}, \mathbf{q}\right)}, \quad i=1, \ldots, n, k=1, \ldots, N .
\]

Здесь $\boldsymbol{\beta}_{1}, \ldots, \boldsymbol{\beta}_{n}$ дуальный базис в $\mathbb{R}^{n}:\left(\boldsymbol{\alpha}_{i}, \boldsymbol{\beta}_{j}\right)=\delta_{i j}$ (см. §1 гл. 5). Векторы $\boldsymbol{\alpha}_{k}$ при $k>n$ выражаются через базисные по формуле
\[
\boldsymbol{\alpha}_{k}=\sum_{i=1}^{n} A_{k i} \boldsymbol{\alpha}_{i}, \quad k=n+1, \ldots, N .
\]

Переменные (3.7) определяют квадратичную пуассонову структуру
\[
\begin{array}{l}
\left\{a_{i}, b_{j}\right\}=-\delta_{i j} a_{i}^{2}, \\
\left\{a_{k}, b_{j}\right\}=-A_{k j} a_{k}^{2},
\end{array} \quad k=n+1, \ldots, N, i, j=1, \ldots, n,
\]

в которой $a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{n}$ образуют $2 n$-мерную подалгебру, изоморфную прямой сумме двумерных подалгебр.

Функции Казимира скобки (3.9) получаются с помощью соотношений (3.8)
\[
F_{k}=\frac{1}{a_{k}}-\sum_{i=1}^{n} A_{k i} \frac{1}{a_{i}}, \quad k=n+1, \ldots, N
\]

причем реальные движения лежат на уровне $F_{k}=0$.
Гамильтониан представляется в виде квадратичной формы («волчок Эйлера» на квадратичной алгебре)
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i, j}^{n}\left(\boldsymbol{\alpha}_{i}, \boldsymbol{\alpha}_{j}\right) b_{i} b_{j}+\sum_{k=1}^{N} g_{k} a_{k}^{2} .
\]

Для потенциалов типа (3.4) и (3.5) выберем образующие, аналогичные (3.7), используя гномоническую проекцию для окружности (гиперболы) радиуса $R$
\[
\begin{array}{rlrl}
b_{i} & =\frac{1}{R}\left(\boldsymbol{\beta}_{i}, \mathbf{p}\right), & & i=1, \ldots, n, \\
a_{k} & =\frac{1}{R} \operatorname{ctg}\left(\boldsymbol{\alpha}_{k}, \mathbf{q}\right), & k=1, \ldots, N \quad \text { для (3.4), } \\
a_{k} & =\frac{1}{R} \operatorname{cth}\left(\boldsymbol{\alpha}_{k}, \mathbf{q}\right), & k=1, \ldots, N \quad \text { для (3.5). }
\end{array}
\]

Скобка Пуассона в новых переменных записывается в виде
\[
\begin{array}{l}
\left\{a_{i}, b_{j}\right\}=-\delta_{i j}\left(a_{i}^{2} \pm \frac{1}{R^{2}}\right), \\
\left\{a_{k}, b_{j}\right\}=-A_{k j}\left(a_{k}^{2} \pm \frac{1}{R^{2}}\right),
\end{array} \quad i, j=1, \ldots, n, k=n+1, \ldots, N,
\]

где знак плюс соответствует окружности, минус – гиперболе. Алгебра (3.9) получается контракцией ( $R \rightarrow \infty$ ) «искривленных» скобок (3.13).

В новых переменных гамильтониан совпадает с (3.11), а функции Казимира (3.10) имеют вид
\[
F_{k}=\operatorname{arctg} \frac{1}{a_{k}}-\sum_{i=1}^{n} A_{k i} \operatorname{arctg} \frac{1}{a_{i}}, \quad k=n+1, \ldots, N .
\]
(для потенциала (3.5) необходимо заменить $\operatorname{arctg} \rightarrow \operatorname{arcth}$ ), причем для реальных движений $F_{k}=0, k=n+1, \ldots, N$.
ЗамЕчАниЕ 3. Используя представление для $\mathcal{P}$ функции
\[
\mathcal{P}\left(x, \omega_{1}, \omega_{2}\right)=\frac{a}{\operatorname{sn}^{2}(x, k)}+\text { const },
\]

систему (3.1) с потенциалом (3.6) также можно записать с алгебраической скобкой и квадратичным гамильтонианом.

2. Представление Лакса-Гейзенберга систем КалоджероМозера. Общий метод построения представлений Лакса-Гейзенберга для систем типа (3.3) был предложен Мозером [294] (см. также [137]), который доказал таким способом интегрируемость системы (3.2). L – Aпара для потенциала (3.5) найдена в работе [215]. Общий вид потенциала (3.6) для интегрируемых систем Калоджеро-Мозера найден независимо друг от друга несколькими авторами $[299,138,336]$.

В [299] М. А. Ольшанецкий и А.М.Переломов указали интегрируемость обобщенных цепочек Калоджеро-Мозера, связанных с классическими простыми алгебрами Ли $-A_{n}, B_{n}, C_{n}, B C_{n}, D_{n}$. Векторы $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ в (3.1) определяются при этом системой всех положительных корней соответствующей алгебры Ли, в отличие от цепочек Тоды, где $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ соответствуют только простым корням алгебры. Для обычной цепочки Калоджеро-Мозера $\boldsymbol{\alpha}_{i}$ могут быть взяты в форме $\boldsymbol{\alpha}_{i j}=e_{i}-e_{j}$, $i<j \leqslant n$, где $e_{i}$ – стандартный ортонормированный базис в $\mathbb{R}^{n}$.

Указанные выше представления Лакса – Гейзенберга систем Калоджеро-Мозера не содержат спектрального параметра. Однако в отличие от многомерных обобщений динамики твердого тела (см. $\S \S 9,10$ гл. 2) это не препятствует полноте набора интегралов $\operatorname{Tr} \mathbf{L}^{k}$. $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-представление со спектральным параметром для обычной цепочки $\left(A_{n}\right)$ найдено в [109].

Обобщение анзатца Мозера и построение представлений Лакса со спектральным параметром для всех простых алгебр Ли (включая исключительные) получено совсем недавно Докером (D’Hoker E.) и Фонгом (Phong D.H.) [226]. В этой работе найдены также интегрируемые

цепочки, связанные с некоторыми пополненными корневыми системами алгебр Ли.

Несмотря на интегрируемость систем Калоджеро-Мозера ни для одной из цепочек до сих пор, видимо, не найдено бигамильтоново описание.

3. Метод проектирования, отображение рассеяния. М. А. Ольшанецким и А. М. Переломовым [137] предложено явное описание решений систем Калоджеро-Мозера, с помощью проектирования геодезического потока на некотором пространстве матриц. Интерпретация метода проектирования с точки зрения отображения момента и при редукции по симметриям приведена в [257].

Каноническое отображение $S:\left(p^{-}, q^{-}\right) \rightarrow\left(p^{+}, q^{+}\right)$, определяющее процесс рассеяния для цепочек, допускающих асимптотическое свободное поведение
\[
q_{i}(t) \simeq p_{i}^{ \pm} t+q_{i}^{ \pm}, \quad t \rightarrow \pm \infty
\]

является интегрируемым. Для обычной цепочки (3.3) с потенциалом (3.2) при $\omega=0$ отображение рассеяния выглядит особенно просто $[137]$
\[
\begin{aligned}
p_{n-i+1}^{+} & =p_{i}^{-}, \\
q_{n-i+1}^{+} & =q_{i}^{-}, \quad i=1, \ldots, n .
\end{aligned}
\]
\[
i=1, \ldots, n \text {. }
\]

4. Задача Якоби. Интегрируемость системы трех частиц на прямой, взаимодействие которых обратно пропорционально квадрату взаимных расстояний, была известна еще Якоби [170]. Он показал, что данная задача допускает разделение переменных при произвольных массах частиц и константах взаимодействия.
Функция Лагранжа в этом случае имеет вид
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{3} m_{i} \dot{q}_{i}^{2}-\sum_{i<j} \frac{g_{i j}}{\left(q_{i}-q_{j}\right)^{2}} .
\]

Перейдем к координатам Якоби
\[
\left\{\begin{array}{l}
R=\frac{m_{1} q_{1}+m_{2} q_{2}+m_{3} q_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}, \\
x_{1}=q_{1}-\frac{m_{2} q_{2}+m_{3} q_{3}}{m_{2}+m_{3}}, \\
x_{2}=q_{2}-q_{3} .
\end{array}\right.
\]

Кинетическая энергия при этом остается диагональной
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{1}{2} M \dot{R}^{2}+\frac{1}{2} M_{1} \dot{x}_{1}^{2}+\frac{1}{2} M_{2} \dot{x}_{2}^{2}, \\
M=m_{1}+m_{2}+m_{3}, M_{1}=\frac{m_{1}\left(m_{2}+m_{3}\right)}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}, M_{2}=\frac{m_{2} m_{3}}{m_{1}+m_{2}},
\end{array}
\]

а потенциальная не зависит от $R$.
Введем полярные координаты $r, \varphi$ в плоскости $x_{1}, x_{2}$ по формулам
\[
x_{1}=\sqrt{M_{1}} r \cos \varphi \quad x_{2}=\sqrt{M_{2}} r \sin \varphi
\]

и перейдем к каноническим переменным в системе центра масс ( $\dot{R}=0$ )
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2}}\right)+\frac{1}{r^{2}} B(\varphi),
\]

где
\[
\begin{aligned}
B(\varphi)= & \frac{1}{\sqrt{M_{2}}}\left(\frac{g_{12}}{\left(\sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}} \cos \varphi-\frac{m_{3}}{m_{2}+m_{3}} \sin \varphi\right)^{2}}+\right. \\
& \left.+\frac{g_{13}}{\left(\sqrt{\frac{M_{2}}{M_{1}}} \cos \varphi+\frac{m_{2}}{m_{2}+m_{3}} \sin \varphi\right)^{2}}+\frac{g_{23}}{\sin ^{2} \varphi}\right) .
\end{aligned}
\]

Система (3.16) может быть проинтегрирована методом разделения переменных. Ее траектории определяются уравнением
\[
\frac{d r}{r^{2} \sqrt{2 E-\frac{\alpha_{\varphi}}{r^{2}}}}=\frac{d \varphi}{\alpha_{\varphi}-2 B(\varphi)},
\]

где $\alpha_{\varphi}$ – константа разделения, $E$ – полная энергия.
В случае совпадения масс $m_{1}=m_{2}=m_{3}=1$ и констант взаимодействия $g_{12}=g_{13}=g_{23}=1$, функция $B$ не зависит от $\varphi$. В этом случае задача остается интегрируемой также для потенциалов взаимодействия типа $V=r^{k}, k=1,2,4$. Неинтегрируемость систем при других $k$ обсуждается в [339].

Вследствие разделения переменных система (3.15) обладает дополнительным (кроме циклического, связанного с инвариантностью относительно трансляций) квадратичным интегралом. В случае $g_{i j}=m_{i} m_{j}$ он имеет вид [253]
\[
\begin{aligned}
G= & 2\left(\sum_{i=1}^{3} m_{i}\left(q_{i}-q_{G}\right)^{2}\right)\left[\frac{\left(p_{i}-p_{G}\right)^{2}}{m_{i}}+\right. \\
& \left.+\sum_{i<j} \frac{m_{i} m_{j}}{\left(q_{i}-q_{j}\right)^{2}}\right]-\left(\sum_{i=1}^{3} q_{i} p_{i}-q_{G} p_{G}\right)^{2}
\end{aligned}
\]

где $q_{G}=\frac{\sum m_{i} q_{i}}{\sum m_{i}}$ – координата центра масс, $p_{G}=\sum p_{i}$ – постоянная циклического интеграла. Этот интеграл допускает непосредственное обобщение на задачу четырех масс $m_{1}, \ldots, m_{4}$ на прямой, взаимодействующих с потенциалом $\sum_{1 \leqslant i<j \leqslant 4} \frac{m_{i} m_{j}}{\left(q_{i}-q_{j}\right)^{2}}$ при условии $m_{1}=m_{4}=1$, $m_{2}=m_{3}=m$ [253]. Однако для полной интегрируемости этой системы недостает еще одного интеграла, который пока неизвестен.