1. Уравнения Пуанкаре. Рассмотрим уравнения движения лагранжевой динамической системы, определенной обобщенными избыточными координатами $q_{1}, \ldots, q_{n}$ (вообще говоря, зависимыми, то есть наложены $m<n$ голономных связей вида $f_{j}(\mathbf{q})=0, j=1, \ldots, m$ ) и квазискоростями $\omega_{1}, \ldots, \omega_{k}$, которые выражаются через обобщенные скорости по формулам
\[
\dot{q}_{i}=\sum_{s} v_{i}^{s}(\mathbf{q}) \omega_{s}, \quad i=1, \ldots, n ; s=1, \ldots, k, .
\]

При этом предполагается, что все голономные связи учтены, то есть
\[
\left(
abla f_{j}, \dot{\mathbf{q}}\right)=\sum_{i s} v_{i}^{s}(\mathbf{q}) \omega_{s} \frac{\partial f_{j}}{\partial q_{i}} \equiv 0, \quad j=1, \ldots m .
\]

В случае $k>n$ это условие приводит к тому, что между квазискоростями выполнены линейные по $\omega_{i}$ соотношения.

Величины $\omega_{s}$ называются параметрами Пуанкаре и представляют собой компоненты скорости системы в неголономном базисе векторных полей
\[
v^{s}=\sum_{i} v_{i}^{s} \frac{\partial}{\partial q_{i}}
\]

Предположим, что векторные поля образуют замкнутую систему
\[
\left[v^{i}, v^{j}\right]=c_{i j}^{s}(\mathbf{q}) v^{s}, \quad i, j, s=1, \ldots, k .
\]

В случае $k \leqslant n$ это условие является следствием интегрируемости связей [61]. Если все $c_{i j}^{s}$ являются постоянными, то поля $v^{s}$ определяют некоторую конечномерную алгебру Ли. Уравнения движения в переменных $\left(q_{1}, \ldots, q_{n}, \omega_{1}, \ldots, \omega_{k}\right)$ в лагранжевой форме были получены А. Пуанкаре [307]:
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \omega_{i}}\right)=\sum_{r, s} c_{r i}^{s} \omega_{r} \frac{\partial L}{\partial \omega_{s}}+v^{i}(L), \quad i=1, \ldots, k,
\]

где дифференцирование вдоль векторного поля $v^{i}$ определено с помощью формулы (6.2).

2. Гамильтонова форма. Уравнения Пуанкаре-Четаева. Н.Г. Четаев преобразовал уравнения Пуанкаре [164], введя новые переменные $M_{i}=\partial L / \partial \omega_{i}$ (квазиимпульсы) и осуществив преобразование Лежандра:
\[
\sum_{i} \omega_{i} M_{i}-\left.L\right|_{\omega \rightarrow \mathrm{M}}=H\left(M_{1}, \ldots, M_{k}, q_{1}, \ldots, q_{n}\right) .
\]

При этом $\omega_{i}=\partial H / \partial M_{i}$ и уравнения (6.4) можно записать в виде:
\[
\dot{M}_{i}=\sum_{r s} c_{r i}^{s} \frac{\partial H}{\partial M_{r}} M_{s}-v^{i}(H), \quad i=1, \ldots, k .
\]

Чтобы получить замкнутую систему, надо добавить к (6.6) уравнения (6.1):
\[
\dot{q}_{i}=\sum_{s} v_{i}^{s}(\mathbf{q}) \frac{\partial H}{\partial M_{s}}, \quad i=1, \ldots, n .
\]

Система уравнений (6.6), (6.7) является гамильтоновой, вообще говоря, с вырожденной скобкой Пуассона, определяемой для произвольных функций $f(\mathbf{M}, \mathbf{q}), g(\mathbf{M}, \mathbf{q})$ формулой $[143,164]$
\[
\{f, g\}=\sum_{i}\left(\frac{\partial g}{\partial M_{i}} v^{i}(f)-\frac{\partial f}{\partial M_{i}} v^{i}(g)\right)+\sum_{s i j} c_{i j}^{s} \frac{\partial f}{\partial M_{j}} \frac{\partial g}{\partial M_{i}} M_{s} .
\]

Нетрудно проверить, что эта скобка удовлетворяет всем необходимым условиям §1. Из соотношения (6.8) легко получить структурную матрицу $J^{i j}$ :
\[
\begin{array}{c}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=\sum_{s} c_{i j}^{s}(\mathbf{q}) M_{s}, \\
\left\{q_{i}, q_{j}\right\}=0, \quad\left\{q_{i}, M_{j}\right\}=v_{i}^{j}(\mathbf{q}) .
\end{array}
\]

Таким образом, компоненты $J^{i j}$, в общем случае, являются нелинейными функциями (хотя и линейны по квазиимпульсам $M_{i}$ ). Наиболее содержательными в динамике являются примеры, когда структурный тензор $c_{i j}^{s}$ не зависит от координат. Обсудим наиболее типичные ситуации.

3. Уравнения Пуанкаре-Четаева на группе Ли. Пусть конфигурационное пространство системы – группа Ли, тогда удобно в качестве базиса векторных полей $v^{\varepsilon}(6.2)$ выбирать левоинвариантные векторные поля из ее алгебры Ли. При этом тензор $c_{i j}^{k}$ не зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли. Скобка (6.8) при этом определяет так называемую каноническую структуру на кокасательном расслоении с базой – группой Ли.

Если гамильтониан $H$ не зависит от $q_{i},\left(v_{i}(H)=0\right)$, то уравнения для $M_{1}, \ldots, M_{k}$ замыкаются. Так могут быть получены уравнения Эйлера движения твердого тела по инерции (константы $c_{i j}^{s}$ определяются алгеброй so(3)). Для произвольной алгебры со структурными константами $c_{i j}^{s}$ такого рода уравнения с квадратичным гамильтонианом называются уравнениями Эйлера-Пуанкаре.

Если гамильтониан $H$ зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей $v_{r}^{s}(\mathbf{q})$ линейны по $\mathbf{q}$, то скобка (6.9) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все связи будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме $g \oplus_{s} \mathbb{R}^{n^{2}}$, где $\mathbb{R}^{n^{2}}-$ пространство матриц $n \times n, g$ – алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасательного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. $\S 1$, гл. 2).

Функции $c_{i j}^{k}$ также являются постоянными, если конфигурационное пространство является базой расслоения некоторой группы Ли (в частности является римановым симметрическим пространством). При этом необходимо в качестве базиса квазискоростей брать левоинвариантные векторные поля алгебры Ли данной группы, а в качестве обобщенных координат – координаты на базе (в общем случае избыточные).

Одним из примеров подобной ситуации могут служить уравнения Эйлера-Пуассона для твердого тела в осесимметричном потенциале. В данном случае уравнения записываются на сфере Пуассона, которая является базой расслоения $S O(3)$ со слоем $S O(2)$.

Аналогичным образом могут быть записаны уравнения движения точки по $n$-мерной сфере $S^{n} \approx S O(n+1) / S O(n)$, которая является базой расслоения группы $S O(n+1)$ со слоем $S O(n)$ (подгруппа оставляющая на месте произвольную точку сферы).
Пример 8. Рассмотрим двумерную сферу $S^{2}=\left\{(\gamma, \gamma)=R^{2}\right\}$ (являющуюся базой расслоения группы $S O(3)$ на окружности $S^{1} \approx S O(2)$ ), по которой движется материальная точка в некотором силовом поле с потенциалом $U(\gamma)$.

Уравнения Пуанкаре на группе $S O(3)$ в направляющих косинусах (являющихся избыточными координатами на $S O(3)$, см. $\S 1$ гл. 2) имеют вид
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \omega}\right) & =\frac{\partial L}{\partial \omega} \times \omega+\frac{\partial L}{\partial \alpha} \times \alpha+\frac{\partial L}{\partial \beta} \times \beta+\frac{\partial L}{\partial \gamma} \times \gamma, \\
\dot{\alpha} & =\alpha \times \omega, \quad \dot{\beta}=\beta \times \omega, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \omega .
\end{aligned}
\]

При этом лагранжиан частицы на поверхности сферы $(\gamma, \gamma)=R^{2}$ в поле некоторых потенциальных сил может быть представлен как функция угловой скорости и одного из единичных векторов, например, $\gamma$
\[
L=\frac{1}{2} \omega^{2}-U(\gamma),
\]

а угловая скорость частицы определяется уравнением
\[
\omega=\gamma \times \dot{\gamma} .
\]

Как следует из (6.10) уравнения для $\gamma, \omega$ отделяются (они описывают эволюцию системы на базе), а уравнения для $\alpha, \beta$ не имеют для частицы

смысла (они описывают эволюцию системы на слое) и могут быть в данном случае опущены.

Переходя к гамильтонову формализму получаем редуцированную систему на алгебре $e(3)$
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \gamma}, \\
\dot{\gamma}=\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}
\end{array}
\]

с функцией Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2} \mathbf{M}^{2}+U(\gamma) .
\]

В силу соотношения (6.11) необходимо рассматривать систему (6.12) на орбите, удовлетворяющей условию $(\mathbf{M}, \gamma)=0,(\gamma, \gamma)=R^{2}$, физический смысл которого заключается в отсутствии проекции угловой скорости на радиус-вектор положения частицы.

Уравнения Эйлера-Пуассона могут быть получены таким же способом, однако для твердого тела постоянная интеграла площадей $(\mathbf{M}, \gamma)=c$ не обязательно равна нулю (роль двумерной сферы при этом выполняет сфера Пуассона).

4. Инвариантная мера. Условия существования для уравнений Эйлера-Пуанкаре инвариантной меры обсуждаются в [84]. Оказывается, что эти уравнения имеют интегральный инвариант в том и только в том случае, когда группа $G$ унимодулярна (то есть $\sum_{k} c_{i k}^{k}=0$ для структурных констант алгебры Ли группы g.)

Рассмотрим частную постановку вопроса о существовании инвариантной меры для общих уравнений Пуанкаре-Четаева (6.6), (6.7), когда плотность интегрального инварианта $f$ не зависит от импульсов $f=f(\mathbf{q})$.

Из уравнений Лиувилля (§2) можно получить условия существования инвариантной меры в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных (в общем случае явно неразрешимой)
\[
\sum_{s}\left(f(\mathbf{q}) c_{r s}^{s}(\mathbf{q})-\frac{\partial f(\mathbf{q}) v_{s}^{r}}{\partial q_{s}}\right)=0 .
\]

Если выполнено соотношение $\sum_{s} c_{r s}^{s}(\mathbf{q})=0$ (которое заведомо справедливо, если конфигурационное пространство является унимодулярной группой), то система (6.13) несколько упрощается, в частности,

уравнения (6.6), (6.7) сохраняют стандартную меру ( $f(\mathbf{q})=1$ ), если все векторные поля $v^{s}$ (6.2) бездивергентны. Если в качестве координат $\mathbf{q}$ выбрать компоненты матриц для матричной реализации группы Ли (естественная каноническая структура кокасательного расслоения), то условие унимодулярности является необходимым и достаточным для сохранения стандартной меры.

Нетрудно показать, что уравнения (6.6), (6.7) также сохраняют инвариантную меру с плотностью не зависящей от квазиимпульсов, если число координат $q_{i}$ равно размерности группы, а векторные поля $v^{1}, \ldots, v^{k}$ независимы и образуют базис (при этом $k=n$ и равно числу степеней свободы системы). В этом случае плотность $f(q)$ задается якобианом перехода от канонических переменных $q_{i}, p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}$ к переменным $q_{i}, M_{i}$ :
\[
J=\operatorname{det}\left\|\frac{\partial p_{i}}{\partial M_{j}}\right\| .
\]

Так как
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}=\frac{\partial L}{\partial \omega_{j}} \frac{\partial \omega_{j}}{\partial \dot{q}_{i}}=M_{j} \frac{\partial \omega_{j}}{\partial \dot{q}_{i}},
\]

получаем плотность инвариантной меры в виде
\[
f(\mathbf{q})=J=\operatorname{det} V^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} V}, \quad \text { где } \quad V=\left\|\frac{\partial \dot{q}_{i}}{\partial \omega_{r}}\right\|=\left\|v_{r}^{s}\right\| .
\]

Эта инвариантная мера является лиувиллевой (§2).
Обсуждение обобщений уравнений Пуанкаре-Четаева на неголономные системы, а также их связи с другими общими формами уравнений динамики содержится в [143].