1. Уравнения Пуанкаре. Рассмотрим уравнения движения лагранжевой динамической системы, определенной обобщенными избыточными координатами $q_1,\dots ,q_n$ (вообще говоря, зависимыми, то есть наложены $m<n$ голономных связей вида $f_j(\mathbf{q})=0,j=1,\dots ,m$ ) и квазискоростями ${\omega }_1,\dots ,{\omega }_k$, которые выражаются через обобщенные скорости по формулам
$${\dot{q}}_i=\sum _s{v}_i^s(\mathbf{q}){\omega }_s,i=1,\dots ,n;s=1,\dots ,k,.$$

При этом предполагается, что все голономные связи учтены, то есть
$$(abla{f}_j,\dot{\mathbf{q}})=\sum _{is}{v}_i^s(\mathbf{q}){\omega }_s\frac{\partial f_j}{\partial q_i}\equiv 0,j=1,\dots m.$$

В случае $k>n$ это условие приводит к тому, что между квазискоростями выполнены линейные по ${\omega }_i$ соотношения.

Величины ${\omega }_s$ называются параметрами Пуанкаре и представляют собой компоненты скорости системы в неголономном базисе векторных полей
$$v^s=\sum _i{v}_i^s\frac{\partial }{\partial q_i}$$

Предположим, что векторные поля образуют замкнутую систему
$$[v^i,v^j]=c_{ij}^s(\mathbf{q})v^s,i,j,s=1,\dots ,k.$$

В случае $k⩽n$ это условие является следствием интегрируемости связей [61]. Если все $c_{ij}^s$ являются постоянными, то поля $v^s$ определяют некоторую конечномерную алгебру Ли. Уравнения движения в переменных $(q_1,\dots ,q_n,{\omega }_1,\dots ,{\omega }_k)$ в лагранжевой форме были получены А. Пуанкаре [307]:
$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\omega }_i}\right)=\sum _{r,s}{c}_{ri}^s{\omega }_r\frac{\partial L}{\partial {\omega }_s}+v^i(L),i=1,\dots ,k,$$

где дифференцирование вдоль векторного поля $v^i$ определено с помощью формулы (6.2).

2. Гамильтонова форма. Уравнения Пуанкаре-Четаева. Н.Г. Четаев преобразовал уравнения Пуанкаре [164], введя новые переменные $M_i=\partial L/\partial {\omega }_i$ (квазиимпульсы) и осуществив преобразование Лежандра:
$$\sum _i{\omega }_i{M}_i-{L|}_{\omega \to \mathrm{M}}=H(M_1,\dots ,M_k,q_1,\dots ,q_n).$$

При этом ${\omega }_i=\partial H/\partial M_i$ и уравнения (6.4) можно записать в виде:
$${\dot{M}}_i=\sum _{rs}{c}_{ri}^s\frac{\partial H}{\partial M_r}{M}_s-v^i(H),i=1,\dots ,k.$$

Чтобы получить замкнутую систему, надо добавить к (6.6) уравнения (6.1):
$${\dot{q}}_i=\sum _s{v}_i^s(\mathbf{q})\frac{\partial H}{\partial M_s},i=1,\dots ,n.$$

Система уравнений (6.6), (6.7) является гамильтоновой, вообще говоря, с вырожденной скобкой Пуассона, определяемой для произвольных функций $f(\mathbf{M},\mathbf{q}),g(\mathbf{M},\mathbf{q})$ формулой $[143,164]$
$$\{f,g\}=\sum _i(\frac{\partial g}{\partial M_i}{v}^i(f)-\frac{\partial f}{\partial M_i}{v}^i(g))+\sum _{sij}{c}_{ij}^s\frac{\partial f}{\partial M_j}\frac{\partial g}{\partial M_i}{M}_s.$$

Нетрудно проверить, что эта скобка удовлетворяет всем необходимым условиям §1. Из соотношения (6.8) легко получить структурную матрицу $J^{ij}$ :
$$\begin{array}{c}\{M_i,M_j\}=\sum _s{c}_{ij}^s(\mathbf{q})M_s,\\ \{q_i,q_j\}=0,\{q_i,M_j\}=v_i^j(\mathbf{q}).\end{array}$$

Таким образом, компоненты $J^{ij}$, в общем случае, являются нелинейными функциями (хотя и линейны по квазиимпульсам $M_i$ ). Наиболее содержательными в динамике являются примеры, когда структурный тензор $c_{ij}^s$ не зависит от координат. Обсудим наиболее типичные ситуации.

3. Уравнения Пуанкаре-Четаева на группе Ли. Пусть конфигурационное пространство системы — группа Ли, тогда удобно в качестве базиса векторных полей $v^{\epsilon }(6.2)$ выбирать левоинвариантные векторные поля из ее алгебры Ли. При этом тензор $c_{ij}^k$ не зависит от координат и определяется структурными константами алгебры Ли. Скобка (6.8) при этом определяет так называемую каноническую структуру на кокасательном расслоении с базой — группой Ли.

Если гамильтониан $H$ не зависит от $q_i,(v_i(H)=0)$, то уравнения для $M_1,\dots ,M_k$ замыкаются. Так могут быть получены уравнения Эйлера движения твердого тела по инерции (константы $c_{ij}^s$ определяются алгеброй so(3)). Для произвольной алгебры со структурными константами $c_{ij}^s$ такого рода уравнения с квадратичным гамильтонианом называются уравнениями Эйлера-Пуанкаре.

Если гамильтониан $H$ зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей $v_r^s(\mathbf{q})$ линейны по $\mathbf{q}$, то скобка (6.9) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все связи будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме $g{\oplus }_s{\mathbb{R}}^{n^2}$, где ${\mathbb{R}}^{n^2}-$ пространство матриц $n\times n,g$ — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасательного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. $\mathrm{\S }1$, гл. 2).

Функции $c_{ij}^k$ также являются постоянными, если конфигурационное пространство является базой расслоения некоторой группы Ли (в частности является римановым симметрическим пространством). При этом необходимо в качестве базиса квазискоростей брать левоинвариантные векторные поля алгебры Ли данной группы, а в качестве обобщенных координат — координаты на базе (в общем случае избыточные).

Одним из примеров подобной ситуации могут служить уравнения Эйлера-Пуассона для твердого тела в осесимметричном потенциале. В данном случае уравнения записываются на сфере Пуассона, которая является базой расслоения $SO(3)$ со слоем $SO(2)$.

Аналогичным образом могут быть записаны уравнения движения точки по $n$-мерной сфере $S^n\approx SO(n+1)/SO(n)$, которая является базой расслоения группы $SO(n+1)$ со слоем $SO(n)$ (подгруппа оставляющая на месте произвольную точку сферы).
Пример 8. Рассмотрим двумерную сферу $S^2=\{(\gamma ,\gamma )=R^2\}$ (являющуюся базой расслоения группы $SO(3)$ на окружности $S^1\approx SO(2)$ ), по которой движется материальная точка в некотором силовом поле с потенциалом $U(\gamma )$.

Уравнения Пуанкаре на группе $SO(3)$ в направляющих косинусах (являющихся избыточными координатами на $SO(3)$, см. $\mathrm{\S }1$ гл. 2) имеют вид
$$\begin{array}{rl}\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \omega }\right)& =\frac{\partial L}{\partial \omega }\times \omega +\frac{\partial L}{\partial \alpha }\times \alpha +\frac{\partial L}{\partial \beta }\times \beta +\frac{\partial L}{\partial \gamma }\times \gamma ,\\ \dot{\alpha }& =\alpha \times \omega ,\dot{\beta }=\beta \times \omega ,\dot{\gamma }=\gamma \times \omega .\end{array}$$

При этом лагранжиан частицы на поверхности сферы $(\gamma ,\gamma )=R^2$ в поле некоторых потенциальных сил может быть представлен как функция угловой скорости и одного из единичных векторов, например, $\gamma$
$$L=\frac{1}{2}{\omega }^2-U(\gamma ),$$

а угловая скорость частицы определяется уравнением
$$\omega =\gamma \times \dot{\gamma }.$$

Как следует из (6.10) уравнения для $\gamma ,\omega$ отделяются (они описывают эволюцию системы на базе), а уравнения для $\alpha ,\beta$ не имеют для частицы

смысла (они описывают эволюцию системы на слое) и могут быть в данном случае опущены.

Переходя к гамильтонову формализму получаем редуцированную систему на алгебре $e(3)$
$$\begin{array}{c}\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M}\times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \gamma },\\ \dot{\gamma }=\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}\end{array}$$

с функцией Гамильтона
$$H=\frac{1}{2}{\mathbf{M}}^2+U(\gamma ).$$

В силу соотношения (6.11) необходимо рассматривать систему (6.12) на орбите, удовлетворяющей условию $(\mathbf{M},\gamma )=0,(\gamma ,\gamma )=R^2$, физический смысл которого заключается в отсутствии проекции угловой скорости на радиус-вектор положения частицы.

Уравнения Эйлера-Пуассона могут быть получены таким же способом, однако для твердого тела постоянная интеграла площадей $(\mathbf{M},\gamma )=c$ не обязательно равна нулю (роль двумерной сферы при этом выполняет сфера Пуассона).

4. Инвариантная мера. Условия существования для уравнений Эйлера-Пуанкаре инвариантной меры обсуждаются в [84]. Оказывается, что эти уравнения имеют интегральный инвариант в том и только в том случае, когда группа $G$ унимодулярна (то есть $\sum _k{c}_{ik}^k=0$ для структурных констант алгебры Ли группы g.)

Рассмотрим частную постановку вопроса о существовании инвариантной меры для общих уравнений Пуанкаре-Четаева (6.6), (6.7), когда плотность интегрального инварианта $f$ не зависит от импульсов $f=f(\mathbf{q})$.

Из уравнений Лиувилля (§2) можно получить условия существования инвариантной меры в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных (в общем случае явно неразрешимой)
$$\sum _s(f(\mathbf{q})c_{rs}^s(\mathbf{q})-\frac{\partial f(\mathbf{q})v_s^r}{\partial q_s})=0.$$

Если выполнено соотношение $\sum _s{c}_{rs}^s(\mathbf{q})=0$ (которое заведомо справедливо, если конфигурационное пространство является унимодулярной группой), то система (6.13) несколько упрощается, в частности,

уравнения (6.6), (6.7) сохраняют стандартную меру ( $f(\mathbf{q})=1$ ), если все векторные поля $v^s$ (6.2) бездивергентны. Если в качестве координат $\mathbf{q}$ выбрать компоненты матриц для матричной реализации группы Ли (естественная каноническая структура кокасательного расслоения), то условие унимодулярности является необходимым и достаточным для сохранения стандартной меры.

Нетрудно показать, что уравнения (6.6), (6.7) также сохраняют инвариантную меру с плотностью не зависящей от квазиимпульсов, если число координат $q_i$ равно размерности группы, а векторные поля $v^1,\dots ,v^k$ независимы и образуют базис (при этом $k=n$ и равно числу степеней свободы системы). В этом случае плотность $f(q)$ задается якобианом перехода от канонических переменных $q_i,p_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}$ к переменным $q_i,M_i$ :
$$J=\det \Vert \frac{\partial p_i}{\partial M_j}\Vert .$$

Так как
$$p_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}=\frac{\partial L}{\partial {\omega }_j}\frac{\partial {\omega }_j}{\partial {\dot{q}}_i}=M_j\frac{\partial {\omega }_j}{\partial {\dot{q}}_i},$$

получаем плотность инвариантной меры в виде
$$f(\mathbf{q})=J=\det V^{-1}=\frac{1}{\det V},\text{ где }V=\Vert \frac{\partial {\dot{q}}_i}{\partial {\omega }_r}\Vert =\Vert v_r^s\Vert .$$

Эта инвариантная мера является лиувиллевой (§2).
Обсуждение обобщений уравнений Пуанкаре-Четаева на неголономные системы, а также их связи с другими общими формами уравнений динамики содержится в [143].