1. Предельный переход и механика Дирака. В §9 гл. 1 была описана процедура Дирака ограничения гамильтоновой системы на связи в фазовом пространстве. Применимость описанной процедуры в динамике может быть обоснована для систем с предельным переходом, когда лагранжиан становится вырожденным по скоростям (реализация связей при помощи малых масс [4].)
Рассмотрим голономную систему с функцией Лагранжа
\[
L_{\varepsilon}=L_{0}(\dot{\mathbf{q}}, \mathbf{q}, Q)+\frac{\varepsilon \dot{Q}^{2}}{2}+\varepsilon L_{1}(\dot{\mathbf{q}}, \mathbf{q}, Q, \varepsilon),
\]

где $\varepsilon$ – малый параметр. При $\varepsilon=0$ получается вырожденная по $\dot{Q}$ система. Следуя §9 гл. 1 получим связи и гамильтоновы уравнения движения. Первичной связью будет служить
\[
P=\left.\frac{\partial L}{\partial \dot{Q}}\right|_{\varepsilon=0}=0 .
\]

Вторичная связь получается из условия совместности
\[
\left\{P, H_{0}\right\}=-\frac{\partial H_{0}}{\partial Q}=0,
\]

где $H_{0}(\mathbf{p}, \mathbf{q}, Q)=\mathbf{p} \dot{\mathbf{q}}-\left.L_{0}\right|_{\dot{\mathbf{q}} \rightarrow \mathbf{p}}$.
Пусть $Q=f(\mathbf{p}, \mathbf{q}) \xrightarrow{-}$ решение уравнения (12.2). Это дает возможность вторичную связь представить в виде уравнения $\Psi=Q-f(\mathbf{q}, \mathbf{p})=0$, причем $\{P, \Psi\}=-1
eq 0$.

Используем форму уравнений с неопределенным множителем. Гамильтониан $H$ является суммой $H_{0}+\lambda P+\mu(Q-f)$, а коэффициенты $\lambda, \mu$ однозначно находятся из условий совместности
\[
\begin{aligned}
\{P, H\} & =\left\{P, H_{0}\right\}-\mu=0, \\
\{Q-f, H\} & =-\left\{f, H_{0}\right\}-\lambda=0 .
\end{aligned}
\]
Таким образом,
\[
\mu=-\frac{\partial H_{0}}{\partial Q}, \quad \lambda=\left\{H_{0}, f\right\} .
\]

Уравнения Гамильтона со связями примут вид
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{p}} & =-\frac{\partial \hat{H}_{0}}{\partial \mathbf{q}}, & & \dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial \hat{H}_{0}}{\partial \mathbf{p}}, \\
P & =0, & Q & =f,
\end{aligned}
\]

где $\hat{H}_{0}(\mathbf{p}, \mathbf{q})=\left.H_{0}(\mathbf{p}, \mathbf{q}, Q)\right|_{Q=f}$.
Обоснованность механики Дирака вытекает из следующих рассуждений. Если функцию Гамильтона полной системы ( $\varepsilon
eq 0$ ) обозначить через $H$, то
\[
H=H_{0}(\mathbf{p}, \mathbf{q})+\frac{P^{2}}{2 \varepsilon}+\varepsilon H_{1}(\mathbf{p}, \mathbf{q}, Q, \varepsilon) .
\]

Соответствующие канонические уравнения будут
\[
\begin{array}{rlrl}
\dot{p} & =-\frac{\partial H_{0}}{\partial q}-\varepsilon \frac{\partial H_{1}}{\partial q}, & \dot{q}=\frac{\partial H_{0}}{\partial p}+\varepsilon \frac{\partial H_{1}}{\partial p}, \\
\dot{P} & =-\frac{\partial H_{0}}{\partial Q}-\varepsilon \frac{\partial H_{1}}{\partial Q}, & \dot{Q} & =\frac{P}{\varepsilon} .
\end{array}
\]

Решением (12.4) служат формальные ряды
\[
\begin{aligned}
p & =p_{0}(t)+\varepsilon p_{1}(t)+\cdots, & q & =q_{0}(t)+\varepsilon q_{1}(t)+\cdots, \\
P & =\varepsilon P_{1}(t)+\cdots, & Q & =f\left(p_{0}(t), q_{0}(t)\right)+\varepsilon Q_{1}(t)+\cdots,
\end{aligned}
\]

где $p_{0}(t), q_{0}(t)$ удовлетворяют уравнениям (12.3). Эти ряды не всегда сходятся. Но в случае, если для начальных данных выполнено условие $\partial H_{0} / \partial Q=0$, определяющего вторичную связь, уравнения (12.4) перестают быть сингулярными, ряды будут сходиться, а вместо импульса $P$ следует взять новую переменную $P / \varepsilon$. Случай, когда условие $\frac{\partial H_{0}}{\partial Q}=0$ выполнено тождественно, является особым. (При этом $P$ является интегралом системы при $\varepsilon=0$ ). Уравнения (12.5) описывают в этом случае решение для $P / \varepsilon$ и $Q$, которые не удовлетворяют (12.3), и вообще каким-либо гамильтоновым уравнениям (при этом, как правило $\left.\frac{\partial H_{1}}{\partial Q}=0\right)$. Эта ситуация соответствует так называемым ограниченным задачам типа ограниченной задачи трех тел в небесной механике.

Рассмотрим две задачи динамики твердого тела, в которых производится предельный переход в инерционных характеристиках твердого тела двумя различными способами. В одном случае он эквивалентен наложению связей в фазовом пространстве и дает возможность использовать процедуру Дирака. При этом как первоначальная скобка, так и скобка Дирака, являются вырожденными. В другом – получающаяся предельная система, которая не может быть получена процедурой Дирака и априори негамильтонова (ограниченная задача динамики твердого тела).

2. Движение твердого тела в осесимметричном поле. Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой в лагранжевом виде можно записать в виде уравнений Пуанкаре на группе $S O(3)$ (см. §1)
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \omega}=\frac{\partial L}{\partial \omega} \times \omega+\frac{\partial L}{\partial \gamma} \times \gamma, \\
\dot{\gamma}=\gamma \times \omega,
\end{array}
\]

лагранжиан задачи в случае осесимметричного твердого тела можно представить в форме
\[
L=\frac{1}{2}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\varepsilon \omega_{3}^{2}\right)-x \gamma_{1}-z \gamma_{3},
\]

где $\varepsilon$ характеризует отношение моментов инерции осесимметричного тензора инерции, $(x, 0, z)$ – координаты центра масс. При $\varepsilon \rightarrow 0$ (обоснование возможности придать механический смысл этому предельному переходу см. в [101]) обычный переход от уравнений Пуанкаре (12.6) к уравнениям Пуанкаре-Четаева (см. §6 гл. 1) с помощью преобразования Лежандра теряет смысл и получается первичная связь
\[
M_{3}=\left.\frac{\partial L}{\partial \omega_{3}}\right|_{\varepsilon=0}=0 .
\]

Введем функцию Гамильтона, выраженную через $M_{1}=\frac{\partial L}{\partial \omega_{1}}$, $M_{2}=\frac{\partial L}{\partial \omega_{2}}$
\[
H=\omega_{1} \frac{\partial L}{\partial \omega_{1}}+\omega_{2} \frac{\partial L}{\partial \omega_{2}}-L=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+z \gamma_{3}+x \gamma_{1} .
\]

При этом скобка Пуассона определяется алгеброй $e(3)$. Полагая $H^{*}=$ $=H+\lambda M_{3}$, получим условие совместности
\[
\dot{M}_{3}=\left\{M_{3}, H^{*}\right\}=-x \gamma_{2}=0
\]

и вторичную связь $\gamma_{2}=0$.
Определим новый гамильтониан $H^{*}=H+\lambda M_{3}+\mu \gamma_{2}$. Из условия совместности связей
\[
\dot{M}_{3}=\left\{M_{3}, H\right\}=0, \quad \dot{\gamma}_{2}=\left\{\gamma_{2}, H\right\}=0,
\]

получим $\lambda=M_{1} \gamma_{3} / \gamma_{1}, \mu=0$ (как отмечалось в 99 гл. 1 , вторичная связь не сказывается на уравнениях движения). Можно составить уравнения движения, пользуясь скобкой Дирака, вычисленной по формуле (9.3) §9 гл. 1 и гамильтонианом $H$ (12.8)
\[
\begin{array}{l}
\left\{M_{1}, M_{2}\right\}_{D}=M_{1} \frac{\gamma_{3}}{\gamma_{1}}, \quad\left\{M_{1}, M_{3}\right\}_{D}=-2 M_{2}, \quad\left\{M_{2}, M_{3}\right\}_{D}=2 M_{1}, \\
\left\{M_{1}, \gamma_{1}\right\}_{D}=0, \quad\left\{M_{1}, \gamma_{2}\right\}_{D}=2 \gamma_{3}, \quad\left\{M_{1}, \gamma_{3}\right\}_{D}=0, \\
\left\{M_{2}, \gamma_{1}\right\}_{D}=-\gamma_{3}, \quad\left\{M_{2}, \gamma_{2}\right\}_{D}=0, \quad\left\{M_{2}, \gamma_{3}\right\}_{D}=\gamma_{1}, \\
\left\{M_{3}, \gamma_{1}\right\}_{D}=0, \quad\left\{M_{3}, \gamma_{2}\right\}_{D}=-2 \gamma_{1}, \quad\left\{M_{3}, \gamma_{3}\right\}_{D}=0, \\
\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}_{D}=0, \\
\end{array}
\]

или, записывая уравнения движения на алгебре $e(3)$ с функцией Гамильтона $H^{*}$. В обоих случаях получим систему
\[
\begin{array}{l}
\dot{M}_{1}=\frac{M_{1} M_{2} \gamma_{3}}{\gamma_{1}}, \quad \dot{M}_{2}=-M_{1}^{2} \frac{\gamma_{3}}{\gamma_{1}}+\gamma_{3} x-\gamma_{1} z, \\
\dot{\gamma}_{1}=-\gamma_{3} M_{2}, \quad \dot{\gamma}_{3}=-\gamma_{1} M_{2}, \\
\end{array}
\]

имеющую, кроме интеграла энергии и связей, геометрический интеграл и интеграл площадей
\[
\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1, \quad M_{1} \gamma_{1}=C .
\]

Из (12.12) вытекает, что $\gamma_{1}=\sin \theta, \gamma_{3}=\cos \theta$ и поэтому $\dot{\theta}=-M_{2}$. Выражая $M_{1}=C / \gamma_{1}$, получим уравнение для $\theta$ :
\[
\ddot{\theta}=\frac{C^{2}}{\sin ^{3} \theta} \cos \theta+x \cos \theta-z \sin \theta,
\]

которое можно записать в лагранжевой (гамильтоновой) форме с одной степенью свободы:
\[
\ddot{\theta}=-\frac{\partial V}{\partial \theta}, \quad V=\frac{C^{2}}{2 \sin ^{2} \theta}-x \sin \theta-z \cos \theta .
\]

Система (12.14) эквивалентна приведенной системе для сферического маятника в осесимметричном поле $U=-x \sin \theta-z \cos \theta$. Качественный анализ решения (12.13) содержится в $[101]$, где разобранная задача и редукция Дирака рассматриваются в канонических переменных.

При $x=0$ в (12.9) задача Дирака имеет бесконечное множество решений ( $\lambda$ произвольно). В этом случае $M_{3}$ – первый интеграл, поэтому редукция Дирака должна быть заменена редукцией по симметриям (см. $\S \S 8,9$ гл. 1). Однако, если произвести предельный переход непосредственно в лагранжевой форме (12.6), предположив, что
\[
L=\frac{1}{2}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\varepsilon \omega_{3}^{2}\right)-\varepsilon \gamma_{1}-z \gamma_{3},
\]

и $\varepsilon \rightarrow 0$, получим уравнения «ограниченной задачи динамики твердого тела». Физический смысл предельного перехода и геометрическая интерпретация движения в этой задаче обсуждаются в $[58,97]$.
\[
\begin{aligned}
\dot{\omega}_{1} & =\omega_{2} \omega_{3}+z \gamma_{2}, \\
\dot{\omega}_{2} & =-\omega_{1} \omega_{3}-z \gamma_{1}, \\
\dot{\omega}_{3} & =-\gamma_{2}, \\
\dot{\gamma} & =\gamma \times \omega .
\end{aligned}
\]

Уравнения (12.16) при $z=0$ исследованы в [97], где методом расщепления сепаратрис показана их неинтегрируемость, в [28] приведены картинки стохастического поведения.

В общем случае, когда $z
eq 0$, система (12.16) является квазиоднородной, в смысле [338], и имеет следующие наборы частных решений $\omega_{i}=\omega_{i}^{0} / t, \gamma_{i}=\gamma_{i}^{0} / t^{2}$, где
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1}^{0}=0, \quad \omega_{2}^{0}=0, \quad \omega_{3}^{0}=2 i, \\
\gamma_{1}^{0}=2, \quad \gamma_{2}^{0}=2 i, \quad \gamma_{3}^{0}=0 ; \\
\end{array}
\]

и
\[
\begin{array}{lll}
\omega_{1}^{0}=0, & \omega_{2}^{0}=2 i, & \omega_{3}^{0}=0, \\
\gamma_{1}^{0}=\frac{2 i}{z}, & \gamma_{2}^{0}=0, & \gamma_{3}^{0}=\frac{2}{z} .
\end{array}
\]

Показатели Ковалевской, соответствующие выбранным частным решениям, имеют вид:
\[
\rho=\left(-1,0,1, \rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}\right),
\]

где $\left(\rho_{1}, \rho_{2}, \rho_{3}\right)$ являются корнями кубического уравнения $\rho^{3}-9 \rho^{2}+26 \rho-$ $-(24+8 z)=0$, решения которого при любых $z$ имеют сложный алгебраический вид. Это, видимо, препятствует существованию у системы (12.16) алгебраических интегралов движения.

3. Твердое тело в суперпозиции однородных полей. Редуцированные кватернионные уравнения для твердого тела в суперпозиции однородных силовых полей (см. §5), могут быть записаны в лагранжевом виде
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \omega}=\frac{\partial L}{\partial \omega} \times \omega+\frac{\partial L}{\partial \gamma} \times \gamma+\frac{F}{\gamma_{3}^{2}} e_{3} \times \omega, \\
\dot{\gamma}=\gamma \times \omega,
\end{array}
\]

с лагранжианом
\[
L=\frac{1}{2}\left(\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}+\varepsilon \omega_{3}^{2}\right)-\frac{1}{2}\left(c_{1} \gamma_{1}^{2}+c_{2} \gamma_{2}^{2}\right) .
\]

Выполняя предельный переход $\varepsilon \rightarrow 0$ в (12.18), снова приходим к динамической системе, вырожденной по (квази)скоростям. Использование процедуры Дирака приводит (при $c_{1}
eq c_{2}
eq 0$ ) к одной первичной и одной вторичной связям:
\[
M_{3}=0, \quad \gamma_{1}=0 \quad \text { (или } \gamma_{2}=0 \text { ). }
\]

Условия совместности приводят к исследованию системы с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(c_{1} \gamma_{1}^{2}+c_{2} \gamma_{2}^{2}\right)+\lambda M_{3}+\mu \gamma_{1},
\]

при $\lambda=M_{2} \gamma_{3} / \gamma_{2}, \mu=0$.
Уравнения движения
\[
\begin{aligned}
\dot{M}_{1} & =\frac{M_{2}^{2} \gamma_{3}}{\gamma_{2}}-c_{2} \gamma_{2} \gamma_{3}-\frac{F}{\gamma_{3}^{2}} M_{2}, \\
\dot{M}_{2} & =-\frac{M_{1} M_{2} \gamma_{3}}{\gamma_{2}}+\frac{F}{\gamma_{3}^{2}} M_{1}, \\
\dot{\gamma}_{2} & =\gamma_{3} M_{1} \\
\dot{\gamma}_{3} & =-\gamma_{2} M_{1}
\end{aligned}
\]

с помощью замены $\gamma_{2}=\sin \theta, \dot{\gamma}_{3}=\cos \theta$ приводятся к одному уравнению
\[
\ddot{\theta}=\frac{F^{2}}{\sin \theta \cos \theta}\left(\frac{1}{\sin ^{2} \theta}-\frac{1}{\cos ^{2} \theta}\right)-c_{2} \sin \theta \cos \theta,
\]

которое легко интегрируется.
Если в уравнениях $(12.17),(12.18) c_{i} \rightarrow \varepsilon c_{i}, \varepsilon \rightarrow 0$, то, с точки зрения процедуры Дирака, задача вновь поставлена некорректно. Предельный переход, выполненный непосредственно в системе (12.17), приводит к следующим уравнениям ограниченной задачи
\[
\begin{aligned}
\dot{\omega}_{1} & =\omega_{2} \omega_{3}-\frac{F}{\gamma_{3}^{2}} \omega_{2}, \\
\dot{\omega}_{2} & =-\omega_{1} \omega_{3}+\frac{F}{\gamma_{3}^{2}} \omega_{1}, \\
\dot{\omega}_{3} & =\left(c_{1}-c_{2}\right) \gamma_{1} \gamma_{2}, \\
\dot{\gamma} & =\gamma \times \omega .
\end{aligned}
\]

Система (12.23) имеет интегралы
\[
F=\left(\omega_{1} \gamma_{1}+\omega_{2} \gamma_{2}\right) \gamma_{3}, \quad \omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}=2 h, \quad \gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}+\gamma_{3}^{2}=1 .
\]

Вводя новые переменные по формулам
\[
\omega_{1}=\sqrt{2 h} \sin \xi, \quad \omega_{2}=\sqrt{2 h} \cos \xi,
\]

и используя выражения $\gamma_{1}, \gamma_{2}$ через $\gamma_{3}, \dot{\gamma}_{3}, \xi$, получим
\[
\gamma_{1}=\frac{1}{2 h}\left(\frac{F \omega_{1}}{\gamma_{3}}+\dot{\gamma}_{3} \omega_{2}\right), \quad \gamma_{2}=\frac{1}{2 h}\left(\frac{F \omega_{2}}{\gamma_{3}}-\omega_{1} \dot{\gamma}_{3}\right) .
\]

Из геометрического интеграла получается дифференциальное уравнение для $\gamma_{3}$ :
\[
2 h \gamma_{3}^{2} \dot{\gamma}_{3}^{2}=4 h^{2} \gamma_{3}^{2}\left(1-\gamma_{3}^{2}\right)-2 F^{2} h,
\]

которое решается с помощью эллиптических функций. Как и в $[97]$, используя $\dot{\xi}=\omega_{3}-\frac{F}{\gamma_{3}^{2}}$, для $\xi$ получается гамильтоново уравнение маятникова типа с периодическим по времени возмущением. Это уравнение также не является интегрируемым.

Отметим, хотя обе постановки ограниченной задачи (12.16), (12.23) сводятся к исследованию неавтономных гамильтоновых уравнений, непосредственно предъявить вид пуассоновой структуры для них видимо невозможно (она не получается из скобки Ли-Пуассона алгебры $e(3)$ при помощи предельного перехода). Аналогичный предельный переход, приводящий к интегрируемой и априори негамильтоновой системе, рассмотрен в приложении А.