Главная > Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (А.В. Борисов, И.С. Мамаев)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

1. Предельный переход и механика Дирака. В §9 гл. 1 была описана процедура Дирака ограничения гамильтоновой системы на связи в фазовом пространстве. Применимость описанной процедуры в динамике может быть обоснована для систем с предельным переходом, когда лагранжиан становится вырожденным по скоростям (реализация связей при помощи малых масс [4].)
Рассмотрим голономную систему с функцией Лагранжа
Lε=L0(q˙,q,Q)+εQ˙22+εL1(q˙,q,Q,ε),

где ε — малый параметр. При ε=0 получается вырожденная по Q˙ система. Следуя §9 гл. 1 получим связи и гамильтоновы уравнения движения. Первичной связью будет служить
P=LQ˙|ε=0=0.

Вторичная связь получается из условия совместности
{P,H0}=H0Q=0,

где H0(p,q,Q)=pq˙L0|q˙p.
Пусть Q=f(p,q) решение уравнения (12.2). Это дает возможность вторичную связь представить в виде уравнения Ψ=Qf(q,p)=0, причем {P,Ψ}=1eq0.

Используем форму уравнений с неопределенным множителем. Гамильтониан H является суммой H0+λP+μ(Qf), а коэффициенты λ,μ однозначно находятся из условий совместности
{P,H}={P,H0}μ=0,{Qf,H}={f,H0}λ=0.
Таким образом,
μ=H0Q,λ={H0,f}.

Уравнения Гамильтона со связями примут вид
p˙=H^0q,q˙=H^0p,P=0,Q=f,

где H^0(p,q)=H0(p,q,Q)|Q=f.
Обоснованность механики Дирака вытекает из следующих рассуждений. Если функцию Гамильтона полной системы ( εeq0 ) обозначить через H, то
H=H0(p,q)+P22ε+εH1(p,q,Q,ε).

Соответствующие канонические уравнения будут
p˙=H0qεH1q,q˙=H0p+εH1p,P˙=H0QεH1Q,Q˙=Pε.

Решением (12.4) служат формальные ряды
p=p0(t)+εp1(t)+,q=q0(t)+εq1(t)+,P=εP1(t)+,Q=f(p0(t),q0(t))+εQ1(t)+,

где p0(t),q0(t) удовлетворяют уравнениям (12.3). Эти ряды не всегда сходятся. Но в случае, если для начальных данных выполнено условие H0/Q=0, определяющего вторичную связь, уравнения (12.4) перестают быть сингулярными, ряды будут сходиться, а вместо импульса P следует взять новую переменную P/ε. Случай, когда условие H0Q=0 выполнено тождественно, является особым. (При этом P является интегралом системы при ε=0 ). Уравнения (12.5) описывают в этом случае решение для P/ε и Q, которые не удовлетворяют (12.3), и вообще каким-либо гамильтоновым уравнениям (при этом, как правило H1Q=0). Эта ситуация соответствует так называемым ограниченным задачам типа ограниченной задачи трех тел в небесной механике.

Рассмотрим две задачи динамики твердого тела, в которых производится предельный переход в инерционных характеристиках твердого тела двумя различными способами. В одном случае он эквивалентен наложению связей в фазовом пространстве и дает возможность использовать процедуру Дирака. При этом как первоначальная скобка, так и скобка Дирака, являются вырожденными. В другом — получающаяся предельная система, которая не может быть получена процедурой Дирака и априори негамильтонова (ограниченная задача динамики твердого тела).

2. Движение твердого тела в осесимметричном поле. Уравнения движения твердого тела с неподвижной точкой в лагранжевом виде можно записать в виде уравнений Пуанкаре на группе SO(3) (см. §1)
ddtLω=Lω×ω+Lγ×γ,γ˙=γ×ω,

лагранжиан задачи в случае осесимметричного твердого тела можно представить в форме
L=12(ω12+ω22+εω32)xγ1zγ3,

где ε характеризует отношение моментов инерции осесимметричного тензора инерции, (x,0,z) — координаты центра масс. При ε0 (обоснование возможности придать механический смысл этому предельному переходу см. в [101]) обычный переход от уравнений Пуанкаре (12.6) к уравнениям Пуанкаре-Четаева (см. §6 гл. 1) с помощью преобразования Лежандра теряет смысл и получается первичная связь
M3=Lω3|ε=0=0.

Введем функцию Гамильтона, выраженную через M1=Lω1, M2=Lω2
H=ω1Lω1+ω2Lω2L=12(M12+M22)+zγ3+xγ1.

При этом скобка Пуассона определяется алгеброй e(3). Полагая H= =H+λM3, получим условие совместности
M˙3={M3,H}=xγ2=0

и вторичную связь γ2=0.
Определим новый гамильтониан H=H+λM3+μγ2. Из условия совместности связей
M˙3={M3,H}=0,γ˙2={γ2,H}=0,

получим λ=M1γ3/γ1,μ=0 (как отмечалось в 99 гл. 1 , вторичная связь не сказывается на уравнениях движения). Можно составить уравнения движения, пользуясь скобкой Дирака, вычисленной по формуле (9.3) §9 гл. 1 и гамильтонианом H (12.8)
{M1,M2}D=M1γ3γ1,{M1,M3}D=2M2,{M2,M3}D=2M1,{M1,γ1}D=0,{M1,γ2}D=2γ3,{M1,γ3}D=0,{M2,γ1}D=γ3,{M2,γ2}D=0,{M2,γ3}D=γ1,{M3,γ1}D=0,{M3,γ2}D=2γ1,{M3,γ3}D=0,{γi,γj}D=0,

или, записывая уравнения движения на алгебре e(3) с функцией Гамильтона H. В обоих случаях получим систему
M˙1=M1M2γ3γ1,M˙2=M12γ3γ1+γ3xγ1z,γ˙1=γ3M2,γ˙3=γ1M2,

имеющую, кроме интеграла энергии и связей, геометрический интеграл и интеграл площадей
γ22+γ32=1,M1γ1=C.

Из (12.12) вытекает, что γ1=sinθ,γ3=cosθ и поэтому θ˙=M2. Выражая M1=C/γ1, получим уравнение для θ :
θ¨=C2sin3θcosθ+xcosθzsinθ,

которое можно записать в лагранжевой (гамильтоновой) форме с одной степенью свободы:
θ¨=Vθ,V=C22sin2θxsinθzcosθ.

Система (12.14) эквивалентна приведенной системе для сферического маятника в осесимметричном поле U=xsinθzcosθ. Качественный анализ решения (12.13) содержится в [101], где разобранная задача и редукция Дирака рассматриваются в канонических переменных.

При x=0 в (12.9) задача Дирака имеет бесконечное множество решений ( λ произвольно). В этом случае M3 — первый интеграл, поэтому редукция Дирака должна быть заменена редукцией по симметриям (см. §§8,9 гл. 1). Однако, если произвести предельный переход непосредственно в лагранжевой форме (12.6), предположив, что
L=12(ω12+ω22+εω32)εγ1zγ3,

и ε0, получим уравнения «ограниченной задачи динамики твердого тела». Физический смысл предельного перехода и геометрическая интерпретация движения в этой задаче обсуждаются в [58,97].
ω˙1=ω2ω3+zγ2,ω˙2=ω1ω3zγ1,ω˙3=γ2,γ˙=γ×ω.

Уравнения (12.16) при z=0 исследованы в [97], где методом расщепления сепаратрис показана их неинтегрируемость, в [28] приведены картинки стохастического поведения.

В общем случае, когда zeq0, система (12.16) является квазиоднородной, в смысле [338], и имеет следующие наборы частных решений ωi=ωi0/t,γi=γi0/t2, где
ω10=0,ω20=0,ω30=2i,γ10=2,γ20=2i,γ30=0;

и
ω10=0,ω20=2i,ω30=0,γ10=2iz,γ20=0,γ30=2z.

Показатели Ковалевской, соответствующие выбранным частным решениям, имеют вид:
ρ=(1,0,1,ρ1,ρ2,ρ3),

где (ρ1,ρ2,ρ3) являются корнями кубического уравнения ρ39ρ2+26ρ (24+8z)=0, решения которого при любых z имеют сложный алгебраический вид. Это, видимо, препятствует существованию у системы (12.16) алгебраических интегралов движения.

3. Твердое тело в суперпозиции однородных полей. Редуцированные кватернионные уравнения для твердого тела в суперпозиции однородных силовых полей (см. §5), могут быть записаны в лагранжевом виде
ddtLω=Lω×ω+Lγ×γ+Fγ32e3×ω,γ˙=γ×ω,

с лагранжианом
L=12(ω12+ω22+εω32)12(c1γ12+c2γ22).

Выполняя предельный переход ε0 в (12.18), снова приходим к динамической системе, вырожденной по (квази)скоростям. Использование процедуры Дирака приводит (при c1eqc2eq0 ) к одной первичной и одной вторичной связям:
M3=0,γ1=0 (или γ2=0 ). 

Условия совместности приводят к исследованию системы с гамильтонианом
H=12(M12+M22)+12(c1γ12+c2γ22)+λM3+μγ1,

при λ=M2γ3/γ2,μ=0.
Уравнения движения
M˙1=M22γ3γ2c2γ2γ3Fγ32M2,M˙2=M1M2γ3γ2+Fγ32M1,γ˙2=γ3M1γ˙3=γ2M1

с помощью замены γ2=sinθ,γ˙3=cosθ приводятся к одному уравнению
θ¨=F2sinθcosθ(1sin2θ1cos2θ)c2sinθcosθ,

которое легко интегрируется.
Если в уравнениях (12.17),(12.18)ciεci,ε0, то, с точки зрения процедуры Дирака, задача вновь поставлена некорректно. Предельный переход, выполненный непосредственно в системе (12.17), приводит к следующим уравнениям ограниченной задачи
ω˙1=ω2ω3Fγ32ω2,ω˙2=ω1ω3+Fγ32ω1,ω˙3=(c1c2)γ1γ2,γ˙=γ×ω.

Система (12.23) имеет интегралы
F=(ω1γ1+ω2γ2)γ3,ω12+ω22=2h,γ12+γ22+γ32=1.

Вводя новые переменные по формулам
ω1=2hsinξ,ω2=2hcosξ,

и используя выражения γ1,γ2 через γ3,γ˙3,ξ, получим
γ1=12h(Fω1γ3+γ˙3ω2),γ2=12h(Fω2γ3ω1γ˙3).

Из геометрического интеграла получается дифференциальное уравнение для γ3 :
2hγ32γ˙32=4h2γ32(1γ32)2F2h,

которое решается с помощью эллиптических функций. Как и в [97], используя ξ˙=ω3Fγ32, для ξ получается гамильтоново уравнение маятникова типа с периодическим по времени возмущением. Это уравнение также не является интегрируемым.

Отметим, хотя обе постановки ограниченной задачи (12.16), (12.23) сводятся к исследованию неавтономных гамильтоновых уравнений, непосредственно предъявить вид пуассоновой структуры для них видимо невозможно (она не получается из скобки Ли-Пуассона алгебры e(3) при помощи предельного перехода). Аналогичный предельный переход, приводящий к интегрируемой и априори негамильтоновой системе, рассмотрен в приложении А.

1
Оглавление
email@scask.ru