1. Движение на плоскости. Рассмотрим движение вихрей на плоскости при условии
\[
A=a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{1} a_{3} \leqslant 0 .
\]

В этом случае алгеброй скобок Пуассона при $A<0$ является алгебpa $\mathbb{R} \oplus s o(2,1)$, а в случае $A=0$ – разрешимая алгебра. Каю указано в $\S 3$, симплектический лист в обоих случаях является некомпактным (в первом случая – гиперболоид, во втором – параболоид), а траектории изображающей точки на нем могут быть как финитными, так и инфинитными (то же самое относится к динамике трех вихрей в относительных расстояниях). Во втором случае говорят о рассеянии вихрей.

Рассмотрим сначала случай $A<0$. Без ограничения общности можно положить $\Gamma_{2}, \Gamma_{3}>0, \Gamma_{1}<0,-\Gamma_{1}<\Gamma_{2}+\Gamma_{3}$. Из формулы
\[
\lambda^{2}=\frac{-3 a_{1} a_{2} a_{3}}{D^{2}}\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)^{3}
\]

для коэффициента устойчивости томсоновских конфигураций следует, что устойчивость такой конфигурации в линейном приближении при различных $D$ определяется величиной суммы обратных интенсивностей $S=\sum a_{k}$. Поэтому разберем отдельно три случая, соответствующих значениям $S>0, S<0$, и $S=0$.

Рис. 41. Геометрическая интерпретация при различных значениях параметров $A, S, D$. Темным цветом обозначена область положительных значений $M_{k} \geqslant 0$, для которой $\Delta^{2}>0$.

Геометрическая интерпретация и бифуркационные диаграммы для различных характерных комбинаций параметров $A, S$ и $D$ приведены соответственно на рис. 41 и рис. 30.

Случай $A<0$ и $S>0$. Геометрическая интерпретация показывает, что в этом случае при $D \leqslant 0$ возможны лишь финитные движения, при которых траектория на плоскости интеграла полного момента ограничена с обоих сторон соотношением $\Delta^{2}>0$ (рис. $41, \mathrm{a}, \mathrm{b}$ ).

Бифуркационная диаграмма (рис. 43, a) при этом содержит лишь одну коллинеарную конфигурацию. По сравнению с компактным случаем меняется также тип устойчивости: устойчивые при положительных интенсивностях томсоновские конфигурации – становятся неустойчивыми (рис. 43, а)), а коллинеарные конфигурации устойчивы. Как томсоновские, так и коллинеарные решения определены только в области $D>0$ (рис. 41, с). При положительных значениях полного момента воз-

Рис. 42. Бифуркационные кривые на плоскости для случаев а) $A<0$ и $S>0$; b) $A<0$ и $S<0$; с) $A<0$ и $S=0$; d) $A=0$ и $S>0$.

можны как финитные, так и инфинитные движения. В силу неустойчивости томсоновского решения, допустимы решения с любой положительной энергией.

Случай $A<0$ и $S<0$. При этом для любых значений полного момента движение является финитным (рис. 41, d-f). Томсоновские и коллинеарные решения определены только при $D<0$ и замечательны тем, что энергия всех конфигураций стремится к бесконечности при уменьшении абсолютного значения полного момента до нуля (см. рис. 42, b). Кривая томсоновских конфигураций лежит выше кривой коллинеарных и ограничивает сверху область возможного движения. Они соответственно устойчивы и неустойчивы в линейном приближении (рис. $43, \mathrm{~b}$ ).

Случай $A<0$ и $S=0$. При значениях $D<0$ возможно касание траекторией границы области, что соответствует устойчивой (см. рис. 43, с) коллинеарной конфигурации (рис. 41, с), энергия кото-

Рис. 43. Коэффициент устойчивости на плоскости для случаев а) $A<0$ и $S>0$; b) $A<0$ и $S<0$; с) $A<0$ и $S=0$; d) $A=0$ и $S>0$.

рой при уменьшении $D$ стремится к нулю (рис. 42, с). Томсоновские решения присутствуют только при $D=0$, являются вырожденными, их равновесие – безразлично ( $\lambda^{2}=0$ ), а сами они возможны при любых расстояниях между вихрями и заполняют целую прямую (жирная линия на рис. $41, \mathrm{~h}$ ). Зависимость угловой скорости от расстояния между вихрями также определяется формулой (3.31).

Прямая, соответствующая томсоновским конфигурациям, разделяет области рассеивающего и коллапсирующего поведения трех вихрей. Под «коллапсом» понимается процесс одновременного столкновения (в данном случае, трех) вихрей. Более подробный анализ возникновения коллапса приведен далее.

При $D
eq 0$ финитные движения присутствуют при любом значении момента, а инфинитные появляются только при отрицательных значениях.

Зависимость угловой скорости вращения как томсоновских, так и коллинеарных конфигураций в первых двух случаях (рис. 41, a-f)

Рис. 44. Бифуркационные кривые на сфере для случаев а) $A<0$ и $S>0$; b) $A<0$ и $S<0$; с) $A<0$ и $S=0$; d) $A=0$ и $S>0$.

качественно одинакова и задается монотонно спадающими, при увеличении абсолютного значения момента, функциями. Для случая $S=0$ угловая скорость вращения коллинеарной конфигурации медленно увеличивается с ростом абсолютного значения $D$.

Последний случай, соответствующий некомпактному движению вихрей, возникает при условии $A=0$ (разрешимая алгебра). Движение возможно только при положительных значениях $D$, при которых существуют только две стационарных конфигурации – одна томсоновская (при этом вихри движутся поступательно) и одна коллинеарная (рис. $42, \mathrm{~d}$ ). При $D=0$ три вихря располагаются на одной прямой, причем каждый вихрь располагается в центре завихренности двух остальных. Это является следствием возможности сведения задачи $n+1$ вихря к $n$ вихрям, рассмотренной в $\S 5$.

2. Движения на сфере.
Аналогично $\S 3$ построим бифуркационные диаграммы для сферы, а также графики параметров абсолютного

движения, используя при малых $D$ соответствующие зависимости для плоскости и пользуясь методом продолжения по параметру.

Геометрическая интерпретация для движения по сфере приведена на рис. 45 .

Рис. 45. Геометрическая интерпретация для сферы при различных значениях параметров $A, S, D$. Темным цветом обозначена область положительных значений $M_{k} \geqslant 0$, для которой $\Delta^{2}>0$.

Случай $A<0$ и $S>0$. Кроме томсоновской и коллинеарной конфигураций, имеющихся в плоском случае, при $D>0$ здесь возникают еще две коллинеарные конфигурации, появляющиеся из задачи двух вихрей (рис. 44, a). При продолжении по моменту одна из них сливается сначала с томсоновской, которая исчезает при значении $d_{m}$, а затем с коллинеарной конфигурацией, имеющей аналог на плоскости, после чего также исчезает. При $D>d_{3}$ и $D<d_{1}$ стационарных конфигураций не существует. Томсоновские конфигурация в данном случае всегда неустойчивы (рис. 46, a), а коллинеарные конфигурации – устойчивы.

Случай $A<0$ и $S<0$. Здесь происходит слияние томсоновской

и одной из коллинеарных (наиболее близких к томсоновской по энергии) конфигураций (рис. 44 , b). Кроме того, возникают коллинеарнье конфигурации из задачи двух вихрей (для одной из них $E \rightarrow \infty$ при совпадении вихрей из-за наличия одной отрицательной интенсивности). Одна из них продолжается в область положительных значений $D$. Томсоновская конфигурация, как и в плоском случае, устойчива в линейном приближении (рис. $46, \mathrm{~b}$ ). Устойчивыми являются и некоторые из коллинеарных конфигураций. Одна из них становится устойчивой при слиянии с томсоновской, а другая – теряет устойчивость при слиянии с неустойчивой коллинеарной конфигурацией.

Случай $A<0$ и $S=0$. Вместо одной коллинеарной конфигурации в случае плоскости при отрицательных значениях $D$, в данном случае возникает три различных ветви коллинеарных конфигураций, причем две из них существуют также при $D>0$ (см. рис. 44, c). Решение с более высокой энергией неустойчиво при $D>0$, с более низкой – устойчиво. При $D<0$ – ситуация обратная. Как и на плоскости, томсоновские решения присутствуют лишь при $D=0$. В этом случае все траектории являются коллапсирующими (рис. $45, \mathrm{~h}$ ).

Наконец, при условии $A=0$, бифуркационная диаграмма приведена на рис. 44 , d. Как и в плоском случае, стационарные решения существуют только при $D>0$, (рис. $45, \mathrm{j}-1$ ). Отличие состоит в появлении коллинеарных конфигураций из задачи двух вихрей. Одна из таких конфигураций сливается с томсоновской, после чего они обе изчезают. Все коллинеарные решения устойчивы, а томсоновское – неустойчиво (рис. $46, \mathrm{~d}$ ).

Зависимость угловой скорости вращения для перечисленных ситуаций представлена на рис. 47. Как и в компактном случае происходит резкое увеличении частоты вращения при возникновении третьего вихря из задачи двух вихрей.

Изучение динамики угла наклона оси вращения к плоскости вихрей показывает, что в первых двух перечисленных случаях происходит постепенное изменение угла наклона оси от нуля до $\pi / 2$, в результате чего ось вращения стремится занять положение в плоскости вихрей и соответствующая томсоновская конфигурация переходит в коллинеарную (рис. 48).

3. Условие коллапса вихрей на плоскости и сфере. Рассмотрим условия возникновения коллапса трех вихрей на плоскости и сфере. Известно, что коллапс невозможен для взятой отдельно любой из пар

Рис. 46. Коэффициент устойчивости на сфере для случаев а) $A<0$ и $S>0$; b) $A<0$ и $S<0$; c) $A<0$ и $S=0$; d) $A=0$ и $S>0$.

вихрей, поскольку при сближении такой пары влияние третьего (удаленного) вихря пренебрежимо мало, а два вихря на плоскости (сфере) двигаются относительно друг друга так, что расстояние между ними сохраняется. Необходимым условием коллапса является выполнение $D=0$, так как при этом все $M_{k}=0$. Условие $D=0$ позволяет перейти от четырехмерной алгебры Ли к трехмерной – при этом реальная динамика происходит на сингулярном симплектическом листе, причем нетривиальный сингулярный симплектический лист (поверхность конуса) будет соответствовать только алгебре $s o(2,1)$. Аналогичные утверждения справедливы и для одновременного коллапса $n$ вихрей, который почти не изучен (исключая случаи $n=4,5$ ) [128].

Условия коллапса вихрей на сфере, очевидно, будут совпадать с условиями для плоскости, так как на малых расстояниях влияние кривизны на динамику вихрей несущественно.

Замечание 1. Проблема коллапса является одной из наиболее интересных

Рис. 47. Угловая скорость на сфере для случаев а) $A<0$ и $S>0$; b) $A<0$ и $S<0$; с) $A<0$ и $S=0$; d) $A=0$ и $S>0$.

проблем, связанных с вихрями и представляет большой интерес для теоретической гидромеханики как одна из моделей, на которой может быть понят сценарий перехода к турбулентности, заключенный в неединственности решений гидродинамических уравнений Эйлера. Действительно, теоремы существования и единственности для этих уравнений доказаны в предположении достаточной гладкости первоначального поля скоростей. С математической точки зрения процесс коллапса вихрей, представляющий собой слияние особых решений уравнения Эйлера типа $\delta$-функции, при обращении времени будет определять распад вихрей с соответствующей потерей единственности. Поэтому большой интерес представляет изучение этой проблемы с точки зрения регуляризации столкновений аналогично тому, как это делается в классической небесной механике [4]. Для физики атмосферы явление коллапса может рассматриваться как модель формирования крупных атмосферных вихрей.

Исследуем сначала возможность однородного коллапса для трех вихрей. При однородном коллапсе все расстояния между вихрями оди-

Рис. 48. Угол наклона на сфере для случаев а) $A<0$ и $S>0$; b) $A<0$ и $S<0$.

наковым образом зависят от времени и находятся в постоянной пропорции [128]. Используя изоморфизм с задачей Лоттки-Вольтерра (§3), рассмотрим однородную систему уравнений вида
\[
\hookrightarrow \frac{d M_{1}}{d \tau}=\Gamma_{1} M_{1}\left(M_{2}-M_{3}\right) .
\]

Однородные асимптотические решения (4.3) будем искать в виде
\[
M_{k}=\frac{C_{k}}{\tau} .
\]

Отметим, что такие решения используются в методе Ковалевской для построения полнопараметрического лорановского разложения. Нетривиальные решения такого вида возможны только при условии $a_{1}+a_{2}+a_{3}=0$. Если это условие выполняется, то решение может быть записано в виде
\[
M_{1}=\frac{C}{\tau}, \quad M_{2}=\frac{C+a_{3}}{\tau} \quad M_{3}=\frac{C-a_{2}}{\tau},
\]

где $C$ – произвольная постоянная.
Решение (4.5) уже является полнопараметрическим и содержит только коллапсирующие и разбегаюшиеся (для плоскости) траектории. Однако, существует еще особое решение $M_{1}=M_{2}=M_{3}=$ const, описывающее томсоновские конфигурации, которые в этом случае являются вырожденными. Пользуясь соотношением
\[
d t=\frac{2 \pi M_{1} M_{2} M_{3}}{\Delta} d \tau
\]

можно получить асимптотику решения (4.5) в реальном времени

1. для плоскости: $t=\frac{D}{\tau}, M_{i}=C_{i}^{*} t$;
2. для сферы: $t=A R^{2}\left(1-\sqrt{1-\frac{B}{\tau R^{2}}}\right)$,
\[
M_{i}=D_{i} R^{2}\left(1-\left(1-\frac{t}{A R^{2}}\right)^{2}\right)
\]

где $A, B, C_{i}^{*}, D, D_{i}=$ const. Для сферы абсолютное движение вихрей при условиях $D=0$ и $S=0$ заключается в разбегании вихрей из одной точки до момента достижения экватора и дальнейшем сближении в другой точке.

Проанализируем возможность коллапса в системе трех вихрей на плоскости в общем неоднородном случае. Записывая необходимое условие коллапса $D=\mathbf{0}$ в абсолютных переменных ( $\S 1$ )
\[
\left(\sum \Gamma_{i}\right) I-P^{2}-Q^{2}=0,
\]

находим, что выделяется два случая $\sum \Gamma_{i}=0$ и $\sum \Gamma_{i}
eq 0$. Без ограничения общности положим
\[
\Gamma_{3}=a_{3}=-1, a_{1}, a_{2}, \Gamma_{1}, \Gamma_{2}>0, \quad\left(a_{i}=1 / \Gamma_{i}\right) .
\]

Из условия $\sum \Gamma_{i}=0$ следует $P=Q=0$. Это означает, что третий вихрь находится в центре завихренности первых двух вихрей, вращающихся равномерно с частотой
\[
\Omega=\frac{1}{2 \pi} \frac{\Gamma_{1}+\Gamma_{2}}{M_{12}}\left(1+\frac{\Gamma_{1}}{\Gamma_{2}}+\frac{\Gamma_{2}}{\Gamma_{1}}\right),
\]

вокруг точки с радиус-вектором
\[
\mathbf{r}=\frac{\Gamma_{1}^{\prime} \mathbf{r}_{1}+\Gamma_{2}^{\prime} \mathbf{r}_{2}}{\Gamma_{1}^{\prime}+\Gamma_{2}^{\prime}}, \quad \Gamma_{1}^{\prime}=\Gamma_{1}-\frac{\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)^{2}}{\Gamma_{1}}, \quad \Gamma_{2}^{\prime}=\Gamma_{2}-\frac{\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)^{2}}{\Gamma_{2}},
\]

где $M_{12}$ – квадрат расстояния между первым и вторым вихрями, a $\mathbf{r}_{i}, \Gamma_{i}$ – соответствующие им радиус-векторы и интенсивности. Следовательно, коллапс при нулевой суммарной интенсивности невозможен.

При условии $\sum \Gamma_{i}
eq 0$ коллапс возможен лишь при условии некомпактности алгебры вихрей $A=a_{1} a_{2}-a_{1}-a_{2}<0$, поскольку в компактном случае симплектический лист (сфера) не проходит через начало координат $M_{i}=0$.

Для нахождения достаточных условий коллапса рассмотрим проекцию траекторий на плоскость $M_{1}, M_{2}$. Выразим $M_{3}$ из интеграла полного момента (при $D=0$ )
\[
M_{3}=a_{1} M_{1}+a_{2} M_{2} .
\]

Физическая область на плоскости $M_{1}, M_{2}$ при $D=0$ ограничена прямыми, проходящими через ноль и имеющими коэффициенты наклона
\[
k_{1,2}=\left(\frac{1 \pm \sqrt{-A}}{1-a_{2}}\right) .
\]

Траектория регуляризованной системы определяется соотношением (4.8) и уравнением для энергии системы, которое можно представить в виде
\[
M_{1}^{-a_{1}} M_{2}^{-a_{2}}\left(a_{1} M_{1}+a_{2} M_{2}\right)=C=\text { const. }
\]

Анализ уравнения (4.10) показывает, что при различных значениях параметров $a_{1}, a_{2}$ существует три типа траекторий:
$1^{\circ} . a_{1}+a_{2}<1$ – все траектории компактны, имеют вид петель, выходящих из начала координат, касаясь осей $O M_{1}$ и $O M_{2}$ (рис. 41, e);
$2^{\circ} . a_{1}+a_{2}>1$ – все траектории некомпактны, уходят на бесРис. 49 конечность, асимптотически касаясь осей $O M_{1}$ и $O M_{2}$ (рис. $41, \mathrm{~b}$ );
$3^{\circ}$. $a_{1}+a_{2}=1$ – все траектории являются прямыми линиями, выходящими из начала координат под разными углами (рис. $41, \mathrm{~h}$ ).

Отметим на плоскости параметров $a_{1}, a_{2}$ области, соответствующие данным типам траекторий (рис. 49).

Необходимо отметить на этой плоскости также значения параметров, характеризующих различный вид физической области. Согласно (4.10), физическая область при $a_{1}
eq 1, a_{2}
eq 1$ (таких, что $A<0$ ) представляет собой внутренность острого угла, целиком расположенного внутри квадранта $M_{1}>0, M_{2}>0$. Если $a_{1}=1\left(a_{2}=1\right)$, одна из сторон физической области совпадает с осью $O M_{2}\left(O M_{1}\right)$. В случае $a_{1}=a_{2}=1$ движение разрешено во всем квадранте $M_{1}>0, M_{2}>0$.

Сравнивая возможные типы траекторий (при $A<0, D=0$ ) с типами областей движения с учетом того, что при достижении границы двигается по той же траектории в обратном направлении, заключаем:
– В системе трех вихрей возможен уже изученный однородный коллапс (разбегание), при этом между обратными интенсивностями выполняется соотношение $a_{1}+a_{2}=1$.
– Рассеяние вихрей возможно лишь при условиях $a_{1}=1, a_{2}=1$, $a_{1}=a_{2}=1$ (в последнем случае вихри при движении никогда не проходят через коллинеарную конфигурацию).
– При других значениях обратных интенсивностей $a_{i}$ движение вихрей заключено между двумя коллинеарными конфигурациями, а расстояние между ними ограничено (см. рис. $41, \mathrm{~b}, \mathrm{e}$ ).

Замечание. Задача о движении трех вихрей на сфере с помощью традиционного подхода изучалось в $[260,261]$, а также в $[284,285]$. Почти все эти результаты существенно перекрываются в работах [205, 206, 207], вышедших одновременно с $[260,261,284,285]$.

4. Рассеяние вихрей на плоскости. В системе трех вихрей рассеивающимися назовем траектории, для которых, по крайней мере, одно из взаимных расстояний ( $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ ) бесконечно увеличивается. В отличие от коллапса, рассеяние может происходить при $D
eq 0$.

Определим новые переменные, с помощью которых задача о разбегании вихрей на плоскости может быть сведена к исследованию коллапса:
\[
\hookrightarrow x_{k}=\frac{1}{M_{i} M_{j}} .
\]

Уравнения движения для них имеют вид
\[
\hookrightarrow \dot{x}_{1}=x_{1}\left(\left(\Gamma_{2}-\Gamma_{3}\right) x_{1}+\Gamma_{3} x_{2}-\Gamma_{2} x_{3}\right),
\]

а соотношение, ограничивающее физическую область $\Delta^{2} \geqslant 0$, не изменится
\[
2\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2} \geqslant 0 .
\]

Выберем, как и выше $a_{3}=-1, a_{2}, a_{3}>0$. Траектория в пространстве переменных $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ задается интегралами момента $D$ и энергии $C$, которые можно представить в форме
\[
\begin{array}{c}
a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3}=D \sqrt{x_{1} x_{2} x_{3}}, \\
x_{1}^{a_{2}-a_{1}-1} x_{2}^{a_{1}-a_{2}-1} x_{1}^{1+a_{1}+a_{2}}=C=\mathrm{const.} .
\end{array}
\]

При $D=0$ типы траекторий (раздел 3 , случаи $1^{\circ}, 2^{\circ}, 3^{\circ}$ ), определяемые (4.14), аналогичны разобраным выше. Неоднородному рассеянию $1^{\circ}$ в системе трех вихрей соответствует неоднородный коллапс в системе (4.12), при условиях $a$ ) $\left.a_{1}=1, b\right) a_{2}=1, c$ ) $a_{1}=a_{2}=1$.

Однородный коллапс и рассеяние $3^{\circ}$ в переменных $M_{i}$ остаются однородными в системе $x_{i}$, меняется только направление движения по траекториям. Явные квадратуры и анализ абсолютного движения в этом случае приведены в [105].

Численное исследование при $D
eq 0$ также показывает, что в системе (4.12) существуют только траектории типов $1^{\circ}, 2^{\circ}, 3^{\circ}$ предыдущего пункта. В связи с этим, по-видимому, наличие в системе вихревой пары ( $a_{1}=1$ или $a_{2}=1$ ) является необходимым и достаточным условием рассеяния.