Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим систему $n$ дифференциальных уравнений Тензорное поле $\mathbf{T}(\mathbf{x})$ называется инвариантным для системы (2.1), если его производная Ли вдоль поля $\mathbf{v}$ равна нулю $\mathcal{L}_{\mathrm{v}} \mathbf{T}=0$. Явное выражение для производной Ли тензорного поля типа $(p, q)$ следующее: Наиболее употребительными в динамике являются скалярные инварианты, называемые первыми интегралами, инвариантные векторные поля — поля симметрий $\mathbf{u}$ (они коммутируют с полем $\mathbf{v}$ : $\mathcal{L}_{\mathbf{v}} \mathbf{u}=[\mathbf{u}, \mathbf{v}]=0$.) В гамильтоновой механике инвариантные внешние формы (типа $\omega^{2}=d \mathbf{p} \wedge d \mathbf{q}$ ) порождают интегральные инварианты системы канонических уравнений. В классической механике используется также инвариантная мера, являющаяся $n$-мерным тензорным инвариантом. Для канонических уравнений Гамильтона ее существование следует из теоремы Лиувилля, для неголономных систем факт ее существования, вообще говоря, является исключением [83]. Примеры неголономных систем с инвариантной мерой приведены в [79]. Можно показать, используя тождество Якоби, что структурный тензор $J^{i j}(\mathbf{x})$, определяющий уравнения Гамильтона даже если он вырожден, также определяет тензорный (бивекторный) инвариант уравнений (2.3). Введем еще один дополнительный, далее используемый, объект. Скобкой Схоутена кососимметрических контравариантных $i$-тензора $\mathbf{A}$ и $j$-тензора $\mathbf{B}$ (которые по общей терминологии являются мультивекто- рами) называется мультивектор размерности $(k+l-1)$ и определяемый координатным образом как Скобка Схоутена имеет свойство «антисимметричности» и удовлетворяет аналогу тождества Якоби (для $k$-мультивектора C) В частности, для бивектора (контравариантного 2-тензора) скобка Схоутена Тождество Якоби для скобки, определяемой тензором (2.5) можно представить в виде Поэтому то обстоятельство, что скобка (2.6) удовлетворяет тождеству Якоби, эквивалентно требованию $[\omega, \omega] \equiv 0$. Пуассонова структура $\Omega$ согласована с пуассоновой структурой $\omega$, если $[\omega, \Omega]=0$. Это определение будет использоваться в разделе, связанном с бигамильтоновыми системами. В этом (и только в этом) случае, любая скобка из набора $\lambda \omega+\mu \Omega, \lambda, \mu \in \mathbb{R}$ снова удовлетворяют тождеству Якоби. Сам набор образует пуассонов пучок скобок Пуассона прямую в пространстве скобок Пуассона. Любые две скобки из этого пучка являются согласованными. В некотором смысле условие согласованности пуассоновых структур является обобщением понятия инволютивности скалярных тензорных инвариантов — первых интегралов движения. Явная форма записи условия согласованности скобок $\{\cdot, \cdot\}_{0}$ и $\{\cdot, \cdot\}_{1}$ имеет вид: для любых трех функций $f, g, h$. В формуле (2.7) суммирование выполнено по всем циклическим перестановкам $f, g, h$. Для невырожденных бигамильтоновых систем, определенными согласованными тензорными полями $J_{0}$ и $J_{1}$ (при этом хотя бы одно поле является невырожденным, например $J_{0}$ ), можно ввести оператор рекурсии $R=J_{1} J_{0}^{-1}$. Он определяет инвариантное тензорное поле $(1,1)$ и порождает бесконечную иерархию согласованных пуассоновых структур и соответствующих им тензорных инвариантов. Для плотности инвариантной меры $f\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)$ уравнений (2.1), определяющей интегральный инвариант $f(\mathbf{x}) d x^{1} \wedge \ldots \wedge d x^{n}$, условие $\mathcal{L}_{\mathrm{v}} f=0$ сводится к известному уравнению Лиувилля Уравнения Гамильтона в канонической форме записи (1.1) имеют стандартную инвариантную меру $f=$ const (теорема Лиувилля). Эта мера может быть получена из интегральных инвариантов уравнений (1.1) вида $\left(\omega^{2} \wedge \ldots \wedge \omega^{2}\right)^{k}$ при $k=n(2 n-$ размерность фазового пространства). Такого рода инвариантные меры называются лиувиллевыми [89]. В случае вырожденного структурного тензора $J^{i j}$ система (2.3) будет обладать тензорными инвариантами где $k$ — ранг пуассоновой структуры (более высокие степени тождественно равны нулю). При этом инвариантной меры у системы (1.3) может не быть вообще. Замечание 1. Наличие достаточно большого числа инвариантов произвольной структуры тесно связано с возможностью нахождения точного решения. В добавлении к книге [72] высказана гипотеза, что для интегрируемости системы кроме тривиального тензорного инварианта — поля симметрий $\mathbf{v}(x)$ необходимо знать еще $n-1$ инвариантов. Существует несколько эмпирических фактов, подтверждающих эту гипотезу. Дейстивтельно, для интегрируемости системы (2.10) достаточно знать $n-1$ независимых первых интегралов или $n-1$ независимых полей симметрий, пораждающих разрешимую алгебру Ли (теорема Ли), либо $n-2$ независимых интеграла и инвариантную меру (теорема Эйлера-Якоби). Теорема Лиувилля о полной интегрируемости гамильтоновых систем также укладывается в эту схему — в гамильтоновом случае, кроме полного набора первых интегралов всегда существуют соответствующие им $n$ гамильтоновых полей симметрии, порождаемых этими интегралами (сам гамильтониан порождает тривиальный инвариант). Вопрос о возможности интегрируемости многомерных гамильтоновых систем с помощью различных наборов тензорных инвариантах и их влияние на динамику является очень интересным, но к сожалению, совсем не изучен.
|
1 |
Оглавление
|