Рассмотрим систему $n$ дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}^{i}=v^{i}\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right), \quad i=1, \ldots, n .
\]

Тензорное поле $\mathbf{T}(\mathbf{x})$ называется инвариантным для системы (2.1), если его производная Ли вдоль поля $\mathbf{v}$ равна нулю $\mathcal{L}_{\mathrm{v}} \mathbf{T}=0$. Явное выражение для производной Ли тензорного поля типа $(p, q)$ следующее:
\[
\begin{array}{c}
\mathcal{L}_{\mathrm{v}} T_{j_{1} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p}}=v^{s} \frac{\partial}{\partial x^{s}} T_{j_{1} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p}}+T_{k j_{2} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p}} \frac{\partial v^{k}}{\partial x^{j_{1}}}+\ldots \\
+T_{j_{1} \ldots j_{q-1} k}^{i_{1} \ldots i_{p}} \frac{\partial v^{k}}{\partial x^{j_{q}}}-T_{j_{1} \ldots j_{q}}^{l i_{2} \ldots i_{p}} \frac{\partial v^{i_{1}}}{\partial x^{l}}-\ldots-T_{j_{1} \ldots j_{q}}^{i_{1} \ldots i_{p-1} l} \frac{\partial v^{i_{p}}}{\partial x^{l}} .
\end{array}
\]

Наиболее употребительными в динамике являются скалярные инварианты, называемые первыми интегралами, инвариантные векторные поля – поля симметрий $\mathbf{u}$ (они коммутируют с полем $\mathbf{v}$ : $\mathcal{L}_{\mathbf{v}} \mathbf{u}=[\mathbf{u}, \mathbf{v}]=0$.) В гамильтоновой механике инвариантные внешние формы (типа $\omega^{2}=d \mathbf{p} \wedge d \mathbf{q}$ ) порождают интегральные инварианты системы канонических уравнений.

В классической механике используется также инвариантная мера, являющаяся $n$-мерным тензорным инвариантом. Для канонических уравнений Гамильтона ее существование следует из теоремы Лиувилля, для неголономных систем факт ее существования, вообще говоря, является исключением [83]. Примеры неголономных систем с инвариантной мерой приведены в [79].

Можно показать, используя тождество Якоби, что структурный тензор $J^{i j}(\mathbf{x})$, определяющий уравнения Гамильтона
\[
\dot{x}^{i}=\sum_{i} J^{i j}(\mathbf{x}) \frac{\partial H}{\partial x^{j}}, \quad i=1, \ldots, n
\]

даже если он вырожден, также определяет тензорный (бивекторный) инвариант уравнений (2.3).

Введем еще один дополнительный, далее используемый, объект. Скобкой Схоутена кососимметрических контравариантных $i$-тензора $\mathbf{A}$ и $j$-тензора $\mathbf{B}$ (которые по общей терминологии являются мультивекто-

рами) называется мультивектор размерности $(k+l-1)$ и определяемый координатным образом как
\[
\begin{array}{c}
{[\mathbf{A}, \mathbf{B}]^{k_{2} \ldots k_{i+j}}=\frac{1}{(i-1) ! j !} \sum_{p, l, m} \varepsilon_{l_{2} \ldots l_{i} m_{1} \ldots m_{j}}^{k_{2} \ldots k_{i+j}} A^{p l_{2} \ldots l_{i}} \frac{\partial}{\partial x_{p}} B^{m_{1} \ldots m_{j}}+} \\
+\frac{(-1)^{i}}{i !(j-1) !} \sum_{p, l, m} \varepsilon k_{2} \ldots k_{i+j_{l_{1}} \ldots l_{i} m_{2} \ldots m_{j}} B^{p m_{2} \ldots m_{j}} \frac{\partial}{\partial x^{p}} A^{l_{1} \ldots l_{i}}
\end{array}
\]

Скобка Схоутена имеет свойство «антисимметричности» и удовлетворяет аналогу тождества Якоби (для $k$-мультивектора C)
\[
\begin{array}{c}
{[\mathbf{A}, \mathbf{B}]=(-1)^{i j}[\mathbf{B}, \mathbf{A}],} \\
(-1)^{i j}[[\mathbf{B}, \mathbf{C}], \mathbf{A}]+(-1)^{j k}[[\mathbf{C}, \mathbf{A}], \mathbf{B}]+(-1)^{k i}[[\mathbf{A}, \mathbf{B}], \mathbf{C}]=0 .
\end{array}
\]

В частности, для бивектора (контравариантного 2-тензора)
\[
\omega=\sum \omega^{i j} \frac{\partial}{\partial x^{i}} \wedge \frac{\partial}{\partial x^{j}}
\]

скобка Схоутена
\[
[\omega, \omega]^{i j k}=\sum_{n}\left(\omega^{n j} \frac{\partial \omega^{i k}}{\partial x^{n}}+\omega^{n i} \frac{\partial \omega^{k j}}{\partial x^{n}}+\omega^{n k} \frac{\partial \omega^{i j}}{\partial x^{n}}\right) .
\]

Тождество Якоби для скобки, определяемой тензором (2.5)
\[
\{F, G\}=\sum \omega^{i j} \frac{\partial F}{\partial x^{i}} \frac{\partial G}{\partial x^{j}},
\]

можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
\{\{F, G\}, H\}+\{\{G, H\}, F\}+\{\{H, F\}, G\}= \\
=\sum_{i j k}[\omega, \omega]^{i j k} \frac{\partial F}{\partial x^{i}} \frac{\partial G}{\partial x^{j}} \frac{\partial H}{\partial x^{k}} .
\end{array}
\]

Поэтому то обстоятельство, что скобка (2.6) удовлетворяет тождеству Якоби, эквивалентно требованию $[\omega, \omega] \equiv 0$.

Пуассонова структура $\Omega$ согласована с пуассоновой структурой $\omega$, если $[\omega, \Omega]=0$. Это определение будет использоваться в разделе, связанном с бигамильтоновыми системами. В этом (и только в этом) случае,

любая скобка из набора $\lambda \omega+\mu \Omega, \lambda, \mu \in \mathbb{R}$ снова удовлетворяют тождеству Якоби. Сам набор образует пуассонов пучок скобок Пуассона прямую в пространстве скобок Пуассона. Любые две скобки из этого пучка являются согласованными. В некотором смысле условие согласованности пуассоновых структур является обобщением понятия инволютивности скалярных тензорных инвариантов – первых интегралов движения.

Явная форма записи условия согласованности скобок $\{\cdot, \cdot\}_{0}$ и $\{\cdot, \cdot\}_{1}$ имеет вид:
\[
\hookrightarrow \sum\left(\left\{\{f, g\}_{0}, h\right\}_{1}+\left\{\{f, g\}_{1}, h\right\}_{0}\right)=0
\]

для любых трех функций $f, g, h$. В формуле (2.7) суммирование выполнено по всем циклическим перестановкам $f, g, h$.

Для невырожденных бигамильтоновых систем, определенными согласованными тензорными полями $J_{0}$ и $J_{1}$ (при этом хотя бы одно поле является невырожденным, например $J_{0}$ ), можно ввести оператор рекурсии $R=J_{1} J_{0}^{-1}$. Он определяет инвариантное тензорное поле $(1,1)$ и порождает бесконечную иерархию согласованных пуассоновых структур и соответствующих им тензорных инвариантов.

Для плотности инвариантной меры $f\left(x^{1}, \ldots, x^{n}\right)$ уравнений (2.1), определяющей интегральный инвариант $f(\mathbf{x}) d x^{1} \wedge \ldots \wedge d x^{n}$, условие $\mathcal{L}_{\mathrm{v}} f=0$ сводится к известному уравнению Лиувилля
\[
\operatorname{div}(f \mathbf{v})=0 .
\]

Уравнения Гамильтона в канонической форме записи (1.1) имеют стандартную инвариантную меру $f=$ const (теорема Лиувилля). Эта мера может быть получена из интегральных инвариантов уравнений (1.1) вида $\left(\omega^{2} \wedge \ldots \wedge \omega^{2}\right)^{k}$ при $k=n(2 n-$ размерность фазового пространства). Такого рода инвариантные меры называются лиувиллевыми [89]. В случае вырожденного структурного тензора $J^{i j}$ система (2.3) будет обладать тензорными инвариантами
\[
J, J \wedge J, \ldots,(J \wedge \ldots \wedge J)^{k / 2},
\]

где $k$ – ранг пуассоновой структуры (более высокие степени тождественно равны нулю). При этом инвариантной меры у системы (1.3) может не быть вообще.

Замечание 1. Наличие достаточно большого числа инвариантов произвольной структуры тесно связано с возможностью нахождения точного решения. В добавлении к книге [72] высказана гипотеза, что для интегрируемости системы
\[
\dot{x}_{i}=v_{i}(x), \quad i=1, \ldots, n
\]

кроме тривиального тензорного инварианта – поля симметрий $\mathbf{v}(x)$ необходимо знать еще $n-1$ инвариантов. Существует несколько эмпирических фактов, подтверждающих эту гипотезу. Дейстивтельно, для интегрируемости системы (2.10) достаточно знать $n-1$ независимых первых интегралов или $n-1$ независимых полей симметрий, пораждающих разрешимую алгебру Ли (теорема Ли), либо $n-2$ независимых интеграла и инвариантную меру (теорема Эйлера-Якоби). Теорема Лиувилля о полной интегрируемости гамильтоновых систем также укладывается в эту схему – в гамильтоновом случае, кроме полного набора первых интегралов всегда существуют соответствующие им $n$ гамильтоновых полей симметрии, порождаемых этими интегралами (сам гамильтониан порождает тривиальный инвариант).

Вопрос о возможности интегрируемости многомерных гамильтоновых систем с помощью различных наборов тензорных инвариантах и их влияние на динамику является очень интересным, но к сожалению, совсем не изучен.