1. Параметры Родрига-Гамильтона.
Как было замечено еще Гауссом, положение твердого тела может быть однозначно определено с помощью множества кватернионов $\lambda=\lambda_{0}+i \lambda_{1}+j \lambda_{2}+k \lambda_{3}$ с единичной нормой $\lambda_{0}^{2}+\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}=1$. Они образуют группу $S p(1)$, которая является универсальной накрывающей группы $S O(3)(S O(3) \approx S p(1) / \pm 1)$ [61]. Со способом введения таких избыточных координат, называемых в механике параметрами Родрига – Гамильтона, можно ознакомиться, например, в трактате Уиттекера [154]. Проясним геометрический смысл параметров $\lambda_{s}[108,154]$.
Рис. 2
Из кинематики известно, что из любого положения твердого тела, имеющего неподвижную точку $O$, можно перейти в заданное, совершая поворот на угол $\chi$ относительно оси $O L$, связанной с телом (рис. 2). Ориентацию оси $O L$ зададим единичным вектором е. Положение некоторой точки тела определим радиус-вектором $\overrightarrow{O M}=\mathbf{r}$. Пусть после поворота вектор $\mathbf{r}$ оказывается в положении $\overrightarrow{O M}^{\prime}=\mathbf{r}^{\prime}$. Вектор
\[
\mathbf{p}=\overrightarrow{O M}^{\prime}-\overrightarrow{O M}=\mathbf{r}^{\prime}-\mathbf{r}
\]

можно выразить через $\mathbf{r}, \mathbf{e}$ и $\chi$. Указанная связь определяется формулой Родрига
\[
\mathbf{p}=\frac{1}{1+\frac{1}{4} \theta^{2}} \theta \times\left(\mathbf{r}+\frac{1}{2} \theta \times \mathbf{r}\right),
\]

где вектор
\[
\theta=2 \operatorname{tg} \frac{\chi}{2} \mathbf{e}
\]

называется вектором конечного поворота. Этот вектор направлен по оси единичного вектора е и равен по величине $2 \operatorname{tg}(\chi / 2)$.
Пусть
\[
\mathbf{e}=\mathbf{i} \cos \alpha^{\prime}+\mathbf{j} \cos \beta^{\prime}+\mathbf{k} \gamma^{\prime},
\]

где $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$ – углы, образуемые вектором е с осями $x, y, z$.
Величины:
\[
\begin{array}{ll}
\lambda_{0}=\cos \frac{\chi}{2}, & \lambda_{1}=\cos \alpha^{\prime} \sin \frac{\chi}{2}, \\
\lambda_{2}=\cos \beta^{\prime} \sin \frac{\chi}{2}, & \lambda_{3}=\cos \gamma^{\prime} \sin \frac{\chi}{2}
\end{array}
\]

и есть параметры Родрига-Гамильтона. Нулевой параметр $\lambda_{0}$ равен косинусу половинного угла $\chi$, определяющего конечный поворот тела. Остальные параметры $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ пропорциональны синусу половинного угла $\chi$, умноженному на косинусы углов, образуемых осью $O L$ с осями координат.

Имеется связь параметров Родрига-Гамильтона с углами Эйлера $\theta, \varphi, \psi$ :
\[
\begin{array}{ll}
\lambda_{0}=\cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\psi+\varphi}{2}, & \lambda_{1}=\sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\psi-\varphi}{2}, \\
\lambda_{2}=\sin \frac{\theta}{2} \sin \frac{\psi-\varphi}{2}, & \lambda_{3}=\cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\psi+\varphi}{2},
\end{array}
\]

Направляющие косинусы $\alpha, \beta, \gamma$ связаны с кватернионами квадратичными соотношениями, задающими параметризацию Кэли группы $S O(3)$ (при этом получается двулистное накрытие $S O(3)$ трехмерной сферой $S^{3}$ – кватернионам $\lambda_{i}$ и $-\lambda_{i}$ соответствует один и тот же элемент из $S O(3)$ ). Матрица направляющих косинусов (1.1) в кватернионном представлении имеет вид:
\[
\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{ccc}
\lambda_{0}{ }^{2}+\lambda_{1}{ }^{2}-\lambda_{2}{ }^{2}-\lambda_{3}{ }^{2} & 2\left(\lambda_{0} \lambda_{3}+\lambda_{1} \lambda_{2}\right) & 2\left(\lambda_{1} \lambda_{3}-\lambda_{0} \lambda_{2}\right) \\
2\left(\lambda_{1} \lambda_{2}-\lambda_{0} \lambda_{3}\right) & \lambda_{0}{ }^{2}-\lambda_{1}{ }^{2}+\lambda_{2}{ }^{2}-\lambda_{3}{ }^{2} & 2\left(\lambda_{0} \lambda_{1}+\lambda_{2} \lambda_{3}\right) \\
2\left(\lambda_{0} \lambda_{2}+\lambda_{1} \lambda_{3}\right) & 2\left(\lambda_{2} \lambda_{3}-\lambda_{0} \lambda_{1}\right) & \lambda_{0}{ }^{2}-\lambda_{1}{ }^{2}-\lambda_{2}{ }^{2}+\lambda_{3}{ }^{2}
\end{array}\right) .
\]

В индексной форме для компонент матрицы $\mathbf{Q}$ справедливо следующее выражение
\[
q_{i j}=-2\left(\lambda_{i} \lambda_{j}+\left(\lambda_{0}^{2}-\frac{1}{2}\right) \delta_{i j}-\lambda_{0} \lambda_{k} \varepsilon_{i j k}\right) .
\]

2. Уравнения движения. Обозначим проекции кинетического момента на подвижные оси $\mathbf{M}\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)$. Уравнения движения в переменных $\mathbf{M}, \lambda_{0}, \lambda$ можно получить из уравнений Пуанкаре- Четаева, аналогично $\S 1$. Для этого можно воспользоваться известным соотношением
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1}=2\left(\lambda_{0} \dot{\lambda}_{1}+\lambda_{3} \dot{\lambda}_{2}-\lambda_{2} \dot{\lambda}_{3}-\lambda_{1} \dot{\lambda}_{0}\right), \\
\omega_{2}=2\left(-\lambda_{3} \dot{\lambda}_{1}+\lambda_{0} \dot{\lambda}_{2}+\lambda_{1} \dot{\lambda}_{3}-\lambda_{2} \dot{\lambda}_{0}\right), \\
\omega_{3}=2\left(\lambda_{2} \dot{\lambda}_{1}-\lambda_{1} \dot{\lambda}_{2}+\lambda_{0} \dot{\lambda}_{3}-\lambda_{3} \dot{\lambda}_{0}\right)
\end{array}
\]

или непосредственным выражением $\omega, \lambda$ через переменные Эйлеpa $\theta, \varphi, \psi, p_{\theta}, p_{\varphi}, p_{\psi}$. Вычисляя структурные константы $c_{i j}^{k}$, можно получить следующие коммутационные соотношения
\[
\begin{array}{ll}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, & \left\{M_{i}, \lambda_{0}\right\}=\frac{1}{2} \lambda_{i}, \\
\left\{M_{i}, \lambda_{j}\right\}=-\frac{1}{2}\left(\varepsilon_{i j k} \lambda_{k}+\delta_{i j} \lambda_{0}\right), & \left\{\lambda_{\mu}, \lambda_{
u}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Определяющая их алгебра Ли представляет собой полупрямую сумму алгебры вращений $s o(3)$ и алгебры трансляций $\mathbb{R}^{4}: l(7) \approx s o(3) \oplus_{s} \mathbb{R}^{4}$.

Скобка (2.7) является вырожденной. Она обладает единственной функцией Казимира
\[
F(\lambda)=\lambda_{0}^{2}+\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2} .
\]

Неособый симплектический лист гомеоморфен кокасательному расслоению трехмерной сферы $T^{*} S^{3}$, его размерность равна шести. Гамильтоновы уравнения могут быть записаны в следующем виде
\[
\begin{array}{l}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\frac{1}{2} \lambda \times \frac{\partial H}{\partial \lambda}+\frac{1}{2} \frac{\partial H}{\partial \lambda_{0}} \lambda-\frac{1}{2} \lambda_{0} \frac{\partial H}{\partial \lambda}, \\
\dot{\lambda}_{0}=-\frac{1}{2}\left(\lambda, \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}\right), \\
\dot{\lambda}=\frac{1}{2} \lambda \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\frac{1}{2} \lambda_{0} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}} .
\end{array}
\]

Уравнения (2.9) по сравнению с (1.2) содержат меньшее количество переменных (всего 7 вместо 12-ти) и очень удобны для численного интегрирования, так как соотношения ортонормированности между $\alpha, \beta, \gamma$ будут заведомо выполнятся.

При описании динамики твердого тела в осесимметричном потенциале уравнения (2.9) также имеют дополнительные преимущества по сравнению с уравнениями Эйлера-Пуассона. В этом случае не требуется выполнять дополнительной квадратуры для угла прецессии, необходимой для полного определения положения тела в пространстве.

По сравнению с обычной кватернионной формой уравнений движения, содержащей наряду с избыточными координатами $\lambda_{0}, \lambda$ соответствующие скорости $\dot{\lambda}_{0}, \dot{\lambda}$ или импульсы $p_{0}, p=\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)$, уравнения (2.9) имеют меньшее количество переменных ( 7 вместо 8 ) и более простую алгебраическую структуру (например, для суперпозиции однородных полей, уравнения (2.9) являются однородными квадратичными, см. §3). Кроме того, нетрудно показать, уравнения (2.9) сохраняют стандартную инвариантную меру при произвольной функции Гамильтона $H$.

Замечание 1. Некоторые интегрируемые случаи уравнений (2.9), отличные от указанных в $§ 1$, для которых не выполнены условия осесимметричности силового поля, можно извлечь из работ $[17,81]$.
Замечание 2. После выхода работы [32] возможность применения системы (2.9) к анализу уравнений Эйлера – Пуассона была отмечена в работе [144]. К сожалению, никакой ссылки на [32] в ней нет.

3. Представление на алгебре $e(4)$. Укажем еще одну форму уравнений движения твердого тела в виде гамильтоновой системы на алгебре Ли $e(4)$ движений четырехмерного евклидова пространства. Рассмотрим отображение семимерной алгебры $l(7)$ с образующими $\mathbf{M}, \lambda$ (2.7) в алгебру движений четырехмерного евклидова пространства $e(4)$ (см. приложение D) с образующими $\mathbf{L}, \pi, \lambda$, заданное формулами:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{L}=\lambda \mathbf{M} \lambda^{-1}-\mathbf{M}, \\
\pi=\lambda \mathbf{M} \lambda^{-1}+\mathbf{M} .
\end{array}
\]

Нетрудно проверить, что коммутационные соотношения (2.7) при этом отображении переходят в коммутационные соотношения алгебры $e(4)$

в стандартном представлении [8]. Как следует из (2.10), между векторами $\mathbf{L}, \pi$ выполнены соотношения
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{L} \lambda_{0}+\pi \times \lambda=0, \\
(\mathbf{L}, \lambda)=0,
\end{array}
\]

которые вместе с уравнением $\sum_{\mu=0}^{3} \lambda_{\mu}{ }^{2}=1$ задают особый (сингулярный) симплектический лист ранга шесть.
Замечание 3. Напомним, что симплектический лист алгебры $e(4)$ является совместной поверхностью уровня двух функций Казимира
\[
F_{1}=\sum_{\mu=0}^{3} \lambda_{\mu}^{2}, \quad F_{2}=\sum_{\mu=0}^{3} W_{\mu}^{2},
\]

где $W_{\mu}$ – компоненты четырехмерного вектора, (аналога вектора ПаулиЛюбанского для алгебры Пуанкаре [8]) определяются формулами
\[
W_{0}=(\mathbf{L}, \lambda), \quad \mathbf{W}=\mathbf{L} \lambda_{0}+\pi \times \lambda .
\]

Размерность регулярного симплектического листа ( $F_{1}=c_{1}
eq 0, F_{2}=c_{2}
eq 0$ ) равна восьми. Для листа, определяемого соотношениями (2.11) $F_{1}=1 F_{2}=0$, размерность падает на две единицы.

Трехмерный вектор $\lambda \mathbf{M} \lambda^{-1}=\mathbf{N}$, фигурирующий в (2.10), имеет ясный механический смысл – это вектор кинетического момента в абсолютном пространстве. Его проекции на оси неподвижной системы координат:
\[
N_{1}=(\mathbf{M}, \alpha), \quad N_{2}=(\mathbf{M}, \beta), \quad N_{3}=(\mathbf{M}, \gamma) .
\]

С учетом этих соотношений можно выразить $\pi, \mathbf{L}$ через направляющие косинусы по формулам
\[
\begin{array}{lll}
\mathbf{L}_{1}=(\mathbf{M}, \alpha)-M_{1}, & \mathbf{L}_{2}=(\mathbf{M}, \beta)-M_{2}, & \mathbf{L}_{3}=(\mathbf{M}, \gamma)-M_{3}, \\
\pi_{1}=(\mathbf{M}, \alpha)+M_{1}, & \pi_{2}=(\mathbf{M}, \beta)+M_{2}, & \pi_{3}=(\mathbf{M}, \gamma)+M_{3} .
\end{array}
\]

Воспользовавшись коммутационными соотношениями алгебры $e(4)$ для образующих
\[
\mathbf{M}=\frac{1}{2}(\pi-\mathbf{L}), \quad \mathbf{N}=\frac{1}{2}(\pi+\mathbf{L}),
\]

получим новую форму гамильтоновых уравнений динамики твердого тела:
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{M}} & =\mathbf{M} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\frac{1}{2} \lambda \times \frac{\partial H}{\partial \lambda}+\frac{1}{2} \frac{\partial H}{\partial \lambda_{0}} \lambda-\frac{1}{2} \lambda_{0} \frac{\partial H}{\partial \lambda}, \\
\dot{\mathbf{N}} & =-\mathbf{N} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{N}}-\frac{1}{2} \lambda \times \frac{\partial H}{\partial \lambda}+\frac{1}{2} \frac{\partial H}{\partial \lambda_{0}} \lambda-\frac{1}{2} \lambda_{0} \frac{\partial H}{\partial \lambda}, \\
\dot{\lambda} & =\frac{1}{2} \lambda \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\frac{1}{2} \lambda_{0} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}-\frac{1}{2} \lambda \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{N}}+\frac{1}{2} \lambda_{0} \frac{\partial H}{\partial \mathbf{N}}, \\
\dot{\lambda}_{0} & =-\frac{1}{2}\left(\lambda, \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}\right)-\frac{1}{2}\left(\lambda, \frac{\partial H}{\partial \mathbf{N}}\right) .
\end{aligned}
\]

Сингулярная орбита алгебры $e(4)$, определяющая (2.11), на которой разыгрывается реальная динамика, определяется соотношениями
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{M}^{2}=\mathbf{N}^{2}, \\
(\mathbf{N}-\mathbf{M}) \lambda_{\mathbf{0}}+(\mathbf{M}+\mathbf{N}) \times \lambda=0 .
\end{array}
\]

Как уже было отмечено, гамильтониан $H$ является однородной квадратичной формой по всем слагаемым ( $\mathbf{M}, \mathbf{N}, \lambda_{0}, \lambda$ ) в случае, если твердое тело движется вокруг неподвижной точки в суперпозиции трех однородных силовых полей:
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A M}, \mathbf{M})+\sum_{i, j=0}^{3} c_{i j} \lambda_{i} \lambda_{j} .
\]

При этом уравнения (2.15) можно представлять себе как уравнения Кирхгофа, описывающими движение четырехмерного твердого тела в идеальной жидкости [135]. В §1 было показано, что сходная ситуация существует между движением твердого тела вокруг неподвижной точки в однородном магнитном поле и обычными уравнениями Кирхгофа на $e(3)$.

Отметим, что кинетический член в (2.17) является вырожденным (он не зависит от $\mathbf{N}$ ) и не соответствует кинетической энергии какого либо четырехмерного твердого тела.