В гл. 5 были рассмотрены задачи, для которых существование пуассоновой структуры не очевидно заранее и не следует из физических соображений. В более общей постановке может быть поставлен вопрос о гамильтоновости (пуассоновости) динамической системы, заданной дифференциальными уравнениями
\[
\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{v}(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in M^{n} .
\]

Эта задача впервые обсуждалась, по-видимому, в работе [90]. При этом предполагается, что $\mathbf{v}(\mathbf{x})$ – аналитическое (алгебраическое) векторное поле на многообразии $M^{n}$. Если система (A.1) гамильтонова, то существуют функция $H(\mathbf{x})$ и структурный тензор $J^{i j}(\mathbf{x})$ такие, что векторное поле $\mathbf{v}(\mathbf{x})$ можно представить в виде
\[
v^{i}(\mathbf{x})=\sum_{j=1}^{n} J^{i j}(\mathbf{x}) \frac{\partial H}{\partial x^{j}} .
\]

Если ограничиться только алгебраическими (или даже квадратичными) системами (А.1), то и функции $J^{i j}(\mathbf{x}), H(\mathbf{x})$ следует искать в алгебраической (однородной) форме. В этом разделе мы сформулируем ряд проблем, для которых вопрос о пуассоновости до сих пор остается открытым. Для некоторых из них содержательными являются также вопросы о существовании дополнительных первых интегралов и других тензорных инвариантов. Условия гамильтоновости линейных систем расмотрены в [88].

Замечание 1. Как было известно еще Лиувиллю, любую систему (А.1) можно записать в гамильтоновой форме, если к координатам $\mathbf{x}$ добавить импульсы $\mathbf{y}$ и рассмотреть гамильтонову систему с гамильтонианом $H=(\mathbf{y}, \mathbf{v}(\mathbf{x}))$. Однако, такая искусственная гамильтонизация системы, увеличивающая в два раза ее размерность и приводящая к вырожденному по импульсам гамильтониану, мало интересна для теоретических исследований.

Замечание 2. С аналитической точки зрения вблизи каждой неособой точки любая динамическая система на четномерном многообразии является гамильтоновой [11] (для нечетномерных систем тоже гамильтоновой, но с вырожденной скобкой Пуассона). Это следует из теоремы о выпрямлении в подходящих локальных координатах система может быть записана в виде $\dot{x}_{1}=1, \dot{x}_{2}=\ldots=\dot{x}_{2 n}=0$. При этом скобка Пуассона определяется формулой
\[
\{f, g\}=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial x_{i}} \frac{\partial g}{\partial x_{i+n}}-\frac{\partial f}{\partial x_{i+n}} \frac{\partial g}{\partial x_{i}}\right),
\]

а функция Гамильтона $H$ равна $x_{n+1}$. Таким образом, вопрос о гамильтоновости является содержательным либо в окрестности особой точки, либо в области фазового пространства, где траектории обладают свойством возвращаемости (в окрестности периодической орбиты). Как отмечено в [91], эта задача пока совсем не изучена.

Замечание 3. Вопрос о гамильтоновости и существовании инвариантной меры для системы, близкой к интегрируемой гамильтоновой, рассмотрен в работе [89], где используется метод малого параметра Пуанкаре. Лиувиллевы замены времени, сохраняющие гамильтоновость, изучались в [42].

Замечание 4. Для вариационных задач с высшими производными существует обобщенное преобразование Лежандра, основывающееся на теореме Остроградского $[3,61]$, в невырожденном случае приводящее систему к гамильтоновой форме.

Замечание 5. Уравнения механики Биркгофа в стационарном случае имеют вид [11]

\[
\begin{aligned}
(\operatorname{rot} \mathbf{u}) \dot{\mathbf{x}} & =\frac{\partial B}{\partial \mathbf{x}}, \quad \mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}, \\
\operatorname{rot} \mathbf{u} & =\left\|\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}-\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}\right\|,
\end{aligned}
\]

где $u_{i}, B$ – некоторые гладкие функции переменных $\mathbf{x}$ ( $B$ – функция Биркгофа или биркгофиан).

При четном $n$ и при условии невырожденности матрицы $\operatorname{rot} \mathbf{u}$ уравнение (А.3) определяет однозначное векторное поле в переменных $\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)$. В этом случае уравнения (А.3) являются гамильтоновыми с гамильтонианом $B$ и невырожденной пуассоновой структурой, определяемой 2-формой
\[
\Omega=d \sum u_{j} d x_{j}=\sum \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}} d x_{i} \wedge d x_{j}=\sum\left(\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}-\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}\right) d x_{i} \wedge d x_{j} .
\]

Как показано в [91] гамильтоновость уравнений Биргкофа сохраняется и в общем случае.

В случае уравнений (А.3), а также для вариационных задач с высшими производными [3], гамильтоновость является следствием возможности получения уравнений динамики из вариационного принципа Гамильтона.

1. Обобщенные уравнения Пуассона. Вопрос об интегрируемости уравнений
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{M}} & =\mathbf{M} \times \mathbf{A M}, \\
\dot{\gamma} & =\gamma \times \mathbf{B M},
\end{aligned}
\]

где $\mathbf{M}, \gamma$ векторы в $\mathbb{R}^{3}, \mathbf{A}, \mathbf{B}$ являются диагональными матрицами с компонентами $a_{1}
eq a_{2}
eq a_{3}
eq a_{1}, b_{1}
eq b_{2}
eq b_{3}
eq b_{1}$ был поставлен и исследован в работах $[34,35]$.

В случае $\mathbf{A} \equiv$ В уравнения (А.4) описывают интегрируемый случай Эйлера-Пуансо (движение твердого тела вокруг неподвижной точки по инерции). При этом второе уравнение совпадает с уравнениями Пуассона, описывающими эволюцию неподвижного орта вертикали в осях, жестко связанных с твердым телом. В общем случае система (А.4) может быть получена из гамильтоновых уравнений Эйлера на алгебре $s o(4)$ при помощи предельного перехода. Действительно, уравнения (А.4) могут быть получены при замене $\gamma \rightarrow \varepsilon \gamma$ в уравнениях Гамильтона на $s o(4)$ (см. §1, гл. 2):
\[
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \gamma},
\]

где
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A M}, \mathbf{M})+(\mathbf{B M}, \gamma)+\frac{1}{2}(\mathbf{C} \boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{\gamma}) .
\]

Этот предельный переход не сохраняет первоначальную (на $s o(4)$ ) пуассонову структуру. Однако, при этом возможно, что уравнения (А.4) будут гамильтоновы в новой пуассоновой структуре.
Система (А.4) обладает интегралами
\[
I_{1}=\frac{1}{2}(\mathbf{M}, \mathbf{M}), \quad I_{2}=\frac{1}{2}(\mathbf{M}, \mathbf{A M}), \quad I_{3}=\frac{1}{2}(\gamma, \gamma)
\]

и стандартной инвариантной мерой. Для поиска интегралов удобно сначала определить поля симметрии (А.4), задаваемые векторным полем
\[
\mathbf{x}^{\prime}=\mathbf{w}(\mathbf{x}), \quad\left(‘=\frac{d}{d t}\right) .
\]

Напомним, что определение поля симметрии системы (А.1) следует из условия коммутируемости дифференциальных операторов, задаваемых уравнениями (А.2) и (А.4). Очевидно также, что если $F(\mathbf{x})$ есть интеграл (A.1), то производная Ли функции $F(\mathbf{x})$ вдоль поля $\mathbf{w}(\mathbf{x})$ также является интегралом движения.

Справедливо следующее утверждение:

Теорема ([34]). При условии
\[
b_{1}^{2} a_{32}+b_{2}^{2} a_{13}+b_{3}^{2} a_{21}+k^{2} a_{32} a_{13} a_{21}=0, \quad a_{i j}=a_{i}-a_{j},
\]
$k>1$ – нечетное число, уравнение (A.2) допускает однородное поле симметрий степени $k: \mathbf{w}=w_{k} \partial / \partial \gamma_{k}$ :
\[
w_{k}=\mathbf{X} \prod_{j=0}^{n}\left(T_{2 j+1}{ }^{-1} \mathbf{X}^{2}\right) w_{0}, \quad n=(k-3) / 2,
\]

где $\mathbf{X}=\operatorname{diag}\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)$,
\[
\mathbf{T}_{m}=\left(\begin{array}{ccc}
-m a_{32} & b_{3} & -b_{2} \\
-b_{3} & -m a_{13} & b_{1} \\
b_{2} & -b_{1} & -m a_{21}
\end{array}\right),
\]

причем вектор $w_{0}$ определяется из решения системы линейных уравнений $\mathbf{T}_{k} w_{0}=0$. Недостающий интеграл системы (А.2) получатся действием поля симметрии $\mathbf{w}$ на интеграл $I_{3}=\frac{1}{2}(\gamma, \gamma)$. Он линеен по $\gamma: I_{4}=(\mathbf{P}, \gamma)$ и является однородной формой степени $k+1$. Таким образом, для системы уравнений (A.2) указано счетное семейство алгебрачески интегрируемых случаев с интегралами движения четной степени по переменным $\mathbf{M}, \gamma$.

Замечание 6. Можно указать явную форму дополнительного интеграла и при остальных нечетных $k$. Случай $k=-1$ обсуждается в работе [33], а наиболее полные результаты содержатся в $[34,35]$. Можно показать, что если $a_{1}
eq a_{2}
eq a_{3}
eq a_{1}$ при иррациональных $k$ решение ветвится на конечнолистном накрытии комплексной плоскости времени. Оно также ветвится при четных $|k|$. Вероятно, что при рациональных $|k|
eq 2 n, n \in N$ решение имеет конечнолистное ветвление и существует дополнительный рациональный интеграл.

Несмотря на то, что система (А.4) имеет при нечетных $k$ из равенства (А.5) полный набор интегралов (и сопряженных им полей симметрии), вопрос о гамильтоновости этой системы (и гамильтоновости

поля симметрий (А.7)) остается открытым. Случай $k=-1$ является исключительным, так как система бигамильтонова на алгебрах $e(3)$ и $s o(4)$. Это связано с тем, что случай $k=-1$ линейным преобразованием координат приводится к случаю $k=1$, для которого известны две согласованные пуассоновы структуры ( $\$ \S 9,10$ гл. 2).

Наша гипотеза для систем (А.4) состоит в том что, исключая случаи $k=0, \pm 1$, система не является гамильтоновой с алгебраическим структурным тензором $J^{i j}$. Более того, не существует такого алгебраического якобиева бивектора $J^{i j}$, который является тензорным инвариантом (А.4), т. е. $\mathcal{L}_{\mathrm{v}} J^{i j}=0$ ( $\mathcal{L}_{\mathrm{v}}$ – производная Ли вдоль поля (А.4)). ЗАМЕчАниЕ 7. Для системы (А.2), исключая случаи $k= \pm 1$, до сих пор не найдено спектральное представление Лакса и не решен вопрос о возможности интегрирования в тэта-функциях. Возможно, что одним из препятствий к этому является отсутствие пуассоновой структуры. Действительно, представления Лакса со спектральным параметром в динамике найдены только для интегрируемых систем, являющихся гамильтоновыми.

Отметим, однако, что в пользу гамильтоновости (А.4) говорит тот факт, что по отдельности две трехмерные системы из (А.4) являются гамильтоновыми. Первая из них представляет собой уравнения Эйлера на алгебре $s o(3)$ с гамильтонианом $H=\frac{1}{2}(\mathbf{A M}, \mathbf{M})$. Вторая, после разрешения $\mathbf{M}=\mathbf{M}(t)$ представляет собой также гамильтонову неавтономную систему на $s o(3)$ с гамильтонианом $H=-(\mathbf{B M}(t), \gamma)$. Из этого следует, что при любых матрицах А и В движение системы не может быть хаотическим и определяется из решения линейной гамильтоновой системы с периодическими коэффициентами. Однако, при этом дополнительный первый интеграл и, возможно, пуассонова структура не являются алгебраическими в переменных ( $\mathbf{M}, \boldsymbol{\gamma})$.

2. Обобщение системы Жуковского-Вольтерра. Рассмотрим систему уравнений
\[
\dot{\mathbf{M}}=(\mathbf{M}+\mathbf{g}) \times \mathbf{A M}, \quad \mathbf{g}=\left(g_{1}, g_{2}, g_{3}\right), \quad \mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right),
\]

описывающей движение уравновешенного гиростата по инерции. В (А.8) $\mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}, \mathbf{I}$ – тензор инерции, $\mathbf{g}$ – постоянный вектор гиростатического момента. Первые интегралы:
\[
F_{1}=(\mathbf{M}+\mathbf{g}, \mathbf{M}+\mathbf{g}), \quad F_{2}=\frac{1}{2}(\mathbf{A M}, \mathbf{M})
\]

были указаны Н.Е.Жуковским [63] при исследовании задачи о вращении твердого тела с полостями, заполненными идеальной жидкостью, а интегрирование в тэта-функциях было выполнено В. Вольтерра [333].

Уравнения (А.8) определяют только эволюцию вектора кинетического момента в осях, жестко связанных с твердым телом. Для описания положения твердого тела в пространстве (при игнорировании угла прецессии) к уравнениям (А.8) следует добавить уравнения Пуассона $\dot{\gamma}=\boldsymbol{\gamma} \times$ AМ. Полученную шестимерную систему можно записать на алгебре $e(3)$ с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A M}, \mathbf{M})+(\mathbf{M}, \lambda), \quad \lambda=\mathbf{A g} .
\]

В [33] была приведена одна модификация системы ЖуковскогоВольтерра, которая состоит в том, что в уравнениях Пуассона надо поменять знак с плюса на минус $\dot{\gamma}=\mathbf{A M} \times \gamma$ и рассмотреть совместную систему:
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{M}} & =(\mathbf{M}+\mathbf{g}) \times \mathbf{A} \mathbf{M}, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}} & =\mathbf{A M} \times \gamma .
\end{aligned}
\]

Система (А.10) обладает интегралами $F_{1}, F_{2}, F_{3}=(\gamma, \gamma)$, стандартной мерой и для ее интегрирумости не хватает еще одного первого интеграла (в классическом случае этим интегралом является интеграл площадей). Как показано в [34], к анализу уравнений (А.10) приводит ряд одна задача из неголономной механики – качение неголономного шара Чаплыгина с гиростатом по сфере.

Можно показать, что дополнительный квадратичный интеграл (А.10) существует лишь в случае $A_{i} g_{i}=0$. Однако, возможно, система интегрируема и в более общем случае. Интересно было бы найти для системы (А.10) условия интегрируемости, а также выяснить возможности представить ее в гамильтоновой форме. Заметим при этом, что классическая система Жуковского-Вольтерра является не только гамильтоновой, но и бигамильтоновой. Но если даже система (А.10) не является алгебраически интегрируемой, ее поведение не будет хаотическим (как и уравнений (А.4)), вследствие того, что она разбивается на две подсистемы, поведение каждой из которых регулярно (эти две подсистемы по отдельности также являются гамильтоновыми см. раздел 1 ).

3. Движение ферромагнетика при наличии эффекта Барнетта-Лондона. Суть квантовомеханического эффекта Барнетта заключается в том, что нейтральный ферромагнетик намагничивается вдоль оси вращения. При этом магнитный момент В связан с его угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}$ соотношением $\mathbf{B}=\boldsymbol{\Lambda}_{1} \boldsymbol{\omega}$, где $\boldsymbol{\Lambda}_{1}$ – некоторый симметрический линейный оператор. Аналогичный момент возникает при вращении сверхпроводящего твердого тела под действием эффекта Лондона. Если тело вращается в однородном магнитном поле с напряженностью $\mathbf{H}$, то на него действуют магнитные силы с моментом $\mathbf{B} \times \mathbf{H}$. Обозначив $\gamma=\mathbf{H}$, уравнения движения можно записать в виде:
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \mathbf{A M}+\mathbf{\Lambda} \mathbf{M} \times \gamma, \\
\dot{\boldsymbol{\gamma}}=\boldsymbol{\gamma} \times \mathbf{A} \mathbf{M}, \\
\mathbf{\Lambda}=\mathbf{\Lambda}_{1} \mathbf{A}, \quad \mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) .
\end{array}
\]

Как показано в $[80]$, уравнения являются гамильтоновыми при $\boldsymbol{\Lambda}=\mathbf{A}$ (они приводятся к уравнениям Кирхгофа, т. е. уравнениям на алгебpe $e(3))$, а также при $\boldsymbol{\Lambda}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right), \mathbf{A}=\mathbf{E}$. В последнем случае они являются интегрируемыми и линейным преобразованием координат приводятся к случаю Клебша на алгебре $e(3)$ [46].

Уравнения (А.11) обладают двумя интегралами $F_{1}=(\mathbf{M}, \gamma), F_{2}=$ $=(\gamma, \gamma)$ и стандартной инвариантной мерой. В общем случае для их интегрируемости не хватает еще двух интегралов.

При $\boldsymbol{\Lambda}=0$ такими интегралами являются $F_{3}=(\mathbf{M}, \mathbf{M}), F_{4}=$ $=(\mathbf{M}, \mathbf{A M})$. При $\boldsymbol{\Lambda}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)$, используя метод расщепления сепаратрис, можно показать, что при $a_{1}
eq a_{2}
eq a_{3}
eq a_{1}$ условия существования хотя бы одного из дополнительных интегралов движения, порождаемых $F_{3}$ или $F_{4}$, имеют вид
\[
\sum_{\hookrightarrow} \frac{\lambda_{2}-\lambda_{3}}{a_{1}}=0, \quad \sum_{\hookrightarrow} a_{1}^{-1}\left[a_{2} \lambda_{3}-a_{3} \lambda_{2}+\lambda_{1}\left(a_{2}-a_{3}\right)\right]=0 .
\]

Из (А.12) видно, что еще один интеграл может действительно существовать при $\boldsymbol{\Lambda}=\mathbf{E}$. Это интеграл момента $F_{3}=(\mathbf{M}, \mathbf{M})$. При $a_{1}=a_{2}=a, \boldsymbol{\Lambda}=\mathbf{E}$ система (А.11) является уже полностью интегрируемой и дополнительным интегралом является
\[
\boldsymbol{F}_{4}=a M_{3}+\gamma_{3} .
\]

Вопрос о гамильтоновости уравнений (А.11) был поставлен в [82], однако до сих пор не является решенным. Как отмечено в [7], в случае $a_{1}
eq a_{2}
eq a_{3}
eq a_{1}$ для гамильтоновости необходимо, чтобы матрица $\boldsymbol{\Lambda}$ была диагональной $\boldsymbol{\Lambda}=\operatorname{diag}\left(\Lambda_{1}, \Lambda_{2}, \Lambda_{3}\right)$.

Вычисление показателей Ковалевской при $a_{2}=a_{3}=B, a_{1}=1$ для решения
\[
\left(c_{1}, \ldots, c_{6}\right)=\left(0, \sqrt{\frac{\lambda_{3}}{\lambda_{2}-\lambda_{3}}}, \sqrt{\frac{\lambda_{2}}{\lambda_{3}-\lambda_{2}}}, \frac{c_{3}}{\lambda_{2} c_{2}},-\frac{c_{2}}{\lambda_{3}},-\frac{c_{3}}{\lambda_{2}}\right)
\]

приводит к следующему набору
\[
\left(-1,1,2,2,1+\sqrt{B^{2}-2 B}, 1-\sqrt{B^{2}-2 B}\right) .
\]

Для него не выполнено условие спаренности, типичное (в общей ситуации невырожденности в точке $\left(c_{1}, \ldots, c_{6}\right)$ структурного тензора) для гамильтоновых систем. Однако, это наблюдение не может считаться строгим доказательством негамильтоновости системы (А.12) (§7 гл. 1).