Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Динамика системы $n$ взаимодействующих частиц равной массы описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом Здесь $x_{1}, \ldots, x_{n}$ — координаты, $y_{1}, \ldots, y_{n}$ — импульсы частиц, $V$ потенциальная энергия взаимодействия. Рассмотрим, следуя Дайсону [230], случай, когда Системы с таким потенциалом изучались в работе [230] в связи с анализом статистических свойств уровней энергии одномерного классического кулоновского газа. Аналогично ситуации, отмеченной Калоджеро, для системы точечных вихрей на плоскости [205], положения равновесия системы (E.1), (E.2) определяют стационарные коллинеарные конфигурации на сфере (точечные вихри располагаются в экваториальной плоскости, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси, также лежащей в этой плоскости (см. гл. 4)). Поскольку функция $V 2 \pi$-периодична (она даже $\pi$-периодическая), то можно считать, что частицы движутся по окружности. Система с гамильтонианом (Е.1) всегда допускает два интеграла Отысканию условий на потенциал $V$, при котором рассматриваемая система вполне интегрируема (допускает набор из $n$ независимых интегралов, полиномиальных по импульсам $y_{1}, \ldots, y_{n}$ ), посвящено большое число работ (см. обзоры в $[91,137]$ ). Если $V$ — непостоянная аналитическая периодическая функция без сингулярностей, то при $n \geqslant 3$ система с гамильтонианом (E.1) не может быть вполне интегрируемой $[91,137]$. Потенциал Дайсона (Е.2) имеет вещественную логарифмическую особенность. Задача об интегрируемости этой системы обсуждалась в работе [214]. Как отметил Дайсон, система с потенциалом (Е.2) допускает семейство равновесий Частоты малых колебаний, вычисленные в [214], равны Равенство $\omega_{n}=0$ связано с неизолированностью равновесий (3). С учетом равенства $p_{3}=0$ и четности потенциала гамильтониан редуцированной системы имеет вид Эта система имеет устойчивое равновесие $q_{1}=q_{2}=\pi / 3$ с равными частотами малых колебаний $\omega_{1}=\omega_{2}=2$ (согласно (Е.4)). Вычитая из потенциала $\ln \sqrt{3} / 2$, можно считать, что в состоянии равновесия полная энергия равна нулю. Естественно ожидать, что при малых положительных значениях полной энергии $h$ система с потенциалом (Е.2) будет демонстрировать интегрируемое поведение. Ситуация здесь точно такая же, как и в известной системе Хенона-Хейлеса ([248], см. также [120]). Применяя метод нормальных форм с учетом резонанса $\omega_{1}=\omega_{2}$, можно найти «квазиинтеграл», который очень медленно меняется со временем в окрестности положения равновесия (для системы Хенона-Хейлеса такую функцию вычислил Густавсон [244]). Численные расчеты подтверждают это предположение. На рис. 73 показано почти интегрируемое поведение системы при $H=10$. Для Рис. 73 больших $H$ система хаотизируется в окрестности сепаратрис. При этом формальные ряды, определяюшие «квазиинтеграл», расходятся и для больших $H$ он не аппроксимирует поведение системы. Рис. 74 и 75 соответствуют значениям энергии $H=20$ и $H=22$, при которых начинается реальная стохастизация системы. Рис. 75 К задаче об интегрируемости системы взаимодействующих частиц с потенциалом Дайсона можно подойти с более простой точки зрения, считая канонические координаты $x, y$ и время $t$ комплексными переменными. Будем искать первые интегралы в виде полиномов по импульсам с однозначными аналитическими коэффициентами. (Заметим, что ввиду логарифмической особенности потенциала, энергия $H$ ветвится в комплексном фазовом пространстве). Оказывается, интеграл момента $F$ — единственный полиномиальный интеграл с однозначными коэффициентами в системе Дайсона. Это утверждение доказывается с помощью результатов работы [95]. Действительно, пусть $F_{j}=y_{j}(1 \leqslant j \leqslant n)$ — полный набор независимых интегралов в задаче о движении частиц по окружности без взаимодействия. Вычислим производные этих функций в силу гамильтоновой системы с гамильтонианом (1), (2): Подставим теперь в правую часть этих равенств какое-нибудь решение «свободной» системы, например, Тогда правые части (6) будут мероморфными функциями на плоскости комплексного времени, причем $n-1$ точек $t=\pi / n, \ldots, t=(n-1) \pi / n$ будут простыми полюсами. Вычисляя вычеты в этих точках для функции $(\dot{F})_{t}$, нетрудно заметить, что они (как векторы $\mathbb{C}^{n}$ ) линейно независимы. Следовательно, согласно [95], рассматриваемая система может иметь только один однозначный полиномиальный первый интеграл.
|
1 |
Оглавление
|