Динамика системы $n$ взаимодействующих частиц равной массы описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \sum y_{i}^{2}+\sum_{i<j} V\left(x_{i}-x_{j}\right) .
\]

Здесь $x_{1}, \ldots, x_{n}$ – координаты, $y_{1}, \ldots, y_{n}$ – импульсы частиц, $V$ потенциальная энергия взаимодействия. Рассмотрим, следуя Дайсону [230], случай, когда
\[
V(z)=\ln |\sin z| .
\]

Системы с таким потенциалом изучались в работе [230] в связи с анализом статистических свойств уровней энергии одномерного классического кулоновского газа. Аналогично ситуации, отмеченной Калоджеро, для системы точечных вихрей на плоскости [205], положения равновесия системы (E.1), (E.2) определяют стационарные коллинеарные конфигурации на сфере (точечные вихри располагаются в экваториальной плоскости, равномерно вращающейся вокруг некоторой оси, также лежащей в этой плоскости (см. гл. 4)).

Поскольку функция $V 2 \pi$-периодична (она даже $\pi$-периодическая), то можно считать, что частицы движутся по окружности. Система с гамильтонианом (Е.1) всегда допускает два интеграла
\[
H, \quad F=\sum y_{i} .
\]

Отысканию условий на потенциал $V$, при котором рассматриваемая система вполне интегрируема (допускает набор из $n$ независимых интегралов, полиномиальных по импульсам $y_{1}, \ldots, y_{n}$ ), посвящено большое число работ (см. обзоры в $[91,137]$ ). Если $V$ – непостоянная аналитическая периодическая функция без сингулярностей, то при $n \geqslant 3$ система с гамильтонианом (E.1) не может быть вполне интегрируемой $[91,137]$.

Потенциал Дайсона (Е.2) имеет вещественную логарифмическую особенность. Задача об интегрируемости этой системы обсуждалась в работе [214].

Как отметил Дайсон, система с потенциалом (Е.2) допускает семейство равновесий
\[
x_{j}^{0}=x_{0}+\pi j / n, \quad j=1, \ldots, n, \quad x_{0} \in \mathbb{R} .
\]

Частоты малых колебаний, вычисленные в [214], равны
\[
\omega_{s}^{2}=2 s(n-s), \quad s=1, \ldots, n .
\]

Равенство $\omega_{n}=0$ связано с неизолированностью равновесий (3).
Рассмотрим простейший нетривиальный случай, когда $n=3$. С помощью интеграла момента $F$ можно понизить число степеней свободы на единицу. Для этого перейдем к неинерциальной барицентрической системе отсчета с помощью канонического преобразования $x, y \rightarrow q, p$ :
\[
\begin{array}{c}
y_{1}=p_{1}+p_{3}, \quad y_{2}=-p_{1}+p_{2}+p_{3}, \quad y_{3}=-p_{2}+p_{3}, \\
q_{1}=x_{1}-x_{2}, \quad q_{2}=x_{2}-x_{3}, \quad q_{3}=x_{1}+x_{2}+x_{3} .
\end{array}
\]

С учетом равенства $p_{3}=0$ и четности потенциала гамильтониан редуцированной системы имеет вид
\[
H=p_{1}^{2}-p_{1} p_{2}+p_{2}^{2}+V\left(q_{1}\right)+V\left(q_{2}\right)+V\left(q_{1}+q_{2}\right) .
\]

Эта система имеет устойчивое равновесие $q_{1}=q_{2}=\pi / 3$ с равными частотами малых колебаний $\omega_{1}=\omega_{2}=2$ (согласно (Е.4)). Вычитая из потенциала $\ln \sqrt{3} / 2$, можно считать, что в состоянии равновесия полная энергия равна нулю.

Естественно ожидать, что при малых положительных значениях полной энергии $h$ система с потенциалом (Е.2) будет демонстрировать интегрируемое поведение. Ситуация здесь точно такая же, как и в известной системе Хенона-Хейлеса ([248], см. также [120]). Применяя метод нормальных форм с учетом резонанса $\omega_{1}=\omega_{2}$, можно найти «квазиинтеграл», который очень медленно меняется со временем в окрестности положения равновесия (для системы Хенона-Хейлеса такую функцию вычислил Густавсон [244]).

Численные расчеты подтверждают это предположение. На рис. 73 показано почти интегрируемое поведение системы при $H=10$. Для

Рис. 73
Рис. 74

больших $H$ система хаотизируется в окрестности сепаратрис. При этом формальные ряды, определяюшие «квазиинтеграл», расходятся и для больших $H$ он не аппроксимирует поведение системы. Рис. 74 и 75 соответствуют значениям энергии $H=20$ и $H=22$, при которых начинается реальная стохастизация системы.

Рис. 75

К задаче об интегрируемости системы взаимодействующих частиц с потенциалом Дайсона можно подойти с более простой точки зрения, считая канонические координаты $x, y$ и время $t$ комплексными переменными. Будем искать первые интегралы в виде полиномов по импульсам с однозначными аналитическими коэффициентами. (Заметим,

что ввиду логарифмической особенности потенциала, энергия $H$ ветвится в комплексном фазовом пространстве).

Оказывается, интеграл момента $F$ – единственный полиномиальный интеграл с однозначными коэффициентами в системе Дайсона. Это утверждение доказывается с помощью результатов работы [95].

Действительно, пусть $F_{j}=y_{j}(1 \leqslant j \leqslant n)$ – полный набор независимых интегралов в задаче о движении частиц по окружности без взаимодействия. Вычислим производные этих функций в силу гамильтоновой системы с гамильтонианом (1), (2):
\[
\dot{F}_{j}=\sum_{k=1}^{n} \operatorname{ctg}\left(x_{j}-x_{k}\right), \quad 1 \leqslant j \leqslant k .
\]

Подставим теперь в правую часть этих равенств какое-нибудь решение «свободной» системы, например,
\[
x_{1}=\pi / n, \ldots, x_{n-1}=(n-1) \pi / n, x_{n}=t .
\]

Тогда правые части (6) будут мероморфными функциями на плоскости комплексного времени, причем $n-1$ точек $t=\pi / n, \ldots, t=(n-1) \pi / n$ будут простыми полюсами. Вычисляя вычеты в этих точках для функции $(\dot{F})_{t}$, нетрудно заметить, что они (как векторы $\mathbb{C}^{n}$ ) линейно независимы. Следовательно, согласно [95], рассматриваемая система может иметь только один однозначный полиномиальный первый интеграл.