Рассмотрим задачу двух тел (материальных точек) в искривленных пространствах $S^{3}\left(L^{3}\right)$, движущихся в некотором потенциальном поле $U\left(q_{1}, q_{2}\right)\left(q_{1}, q_{2}\right.$ – координаты точек на $\left.S^{3}\left(L^{3}\right)\right)$. В частном случае, потенциальная энергия $U$ может зависеть от взаимного расстояния (измеряемого вдоль геодезической) между двумя точками. В отличие от плоского случая, в искривленном пространстве не существует такой системы отсчета (связанной с центром инерции), в которой задача двух тел приводится к задаче о движении частицы в поле неподвижного притягивающего центра (в случае ньютоновского взаимодействия – к задаче Кеплера). Как было уже показано, задача Кеплера в $S^{3}\left(L^{3}\right)$ является интегрируемой. Задача двух тел, взаимодействие которых аналогично ньютоновскому в $S^{3}$ и $L^{3}$, уже не будет являться интегрируемой.

1. Уравнения движения и первые интегралы. Как и выше, полагаем сферу $S^{3}$ (пространство Лобачевского $L^{3}$ ) стандартно вложенными в евклидово пространство $\mathbb{R}^{4}$ (пространство Минковского $\mathbb{M}^{4}$ ), $\langle q, q\rangle=q_{0}^{2}+\mathbf{q}^{2}=R^{2}\left(\langle q, q\rangle=q_{0}^{2}-\mathbf{q}^{2}=R^{2}\right)$. В избыточных канонических переменных $q_{a}, p_{a}$ ( $a=1,2$ нумерует частицу с массой $m_{a}$ ) гамильтониан системы можно представить в виде (§1)
\[
\begin{aligned}
H= & \frac{1}{2 m_{1}} \frac{\left\langle p_{1}, p_{1}\right\rangle\left\langle q_{1}, q_{1}\right\rangle-\left\langle p_{1}, q_{1}\right\rangle^{2}}{\left\langle q_{1}, q_{1}\right\rangle}+ \\
& +\frac{1}{2 m_{2}} \frac{\left\langle p_{2}, p_{2}\right\rangle\left\langle q_{2}, q_{2}\right\rangle-\left\langle p_{2}, q_{2}\right\rangle^{2}}{\left\langle q_{2}, q_{2}\right\rangle}+U\left(\left\langle q_{1}, q_{2}\right\rangle\right) .
\end{aligned}
\]

В случае зависимости потенциальной энергии от расстояния $U=U\left(\left\langle q_{1}, q_{2}\right\rangle\right)$, где $\left\langle q_{1}, q_{2}\right\rangle=R^{2} \cos \theta_{12}\left(\left\langle q_{1}, q_{2}\right\rangle=R^{2} \operatorname{ch} \theta_{12}\right)$.

По аналогии с динамикой материальной точки, уравнение движения которой можно представить на особой орбите алгебры $e(3)(e(1,3))$ (см. §1), представим уравнения задачи двух тел в виде гамильтоновой системы со скобкой Ли-Пуассона. Введем переменные
\[
\begin{aligned}
\pi_{a} & = \pm q_{a}^{0} \mathbf{p}_{a}-p_{a}^{0} \mathbf{q}_{a}, \\
\mathbf{L}_{a} & =\mathbf{q}_{a} \times \mathbf{p}_{a}, \quad a=1,2 .
\end{aligned}
\]
(Нижний знак везде далее соответствует пространству Лобачевского).

В этих переменных, как несложно заключить из рассуждений, приведенных ранее для одной материальной точки, уравнения движения можно записать как уравнения Гамильтона на прямой сумме алгебр $e(3) \oplus e(3)(e(3,1) \oplus e(3,1))$ с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2 m_{1}}\left(L_{1}^{2} \pm \pi_{1}^{2}\right)+\frac{1}{2 m_{2}}\left(L_{2}^{2} \pm \pi_{2}^{2}\right)+U\left(\left\langle q_{1}, q_{2}\right\rangle\right) .
\]

Коммутационные соотношения между переменными $\pi_{a}, L_{a}$ задаются формулами
\[
\begin{array}{lll}
\left\{L_{a i}, L_{a j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{a k}, & \left\{L_{a i}, \pi_{a j}\right\}=\varepsilon_{i j k} \pi_{a k}, & \left\{L_{a i}, q_{a j}\right\}=\varepsilon_{i j k} q_{a k}, \\
\left\{\pi_{a i}, \pi_{a j}\right\}= \pm \varepsilon_{i j k} L_{a k}, & \left\{\pi_{a i}, q_{a j}\right\}= \pm \delta_{i j} q_{a 0}, & \left\{\pi_{a i}, q_{a 0}\right\}= \pm q_{a i}, \\
\left\{L_{a i}, q_{a 0}\right\}=0, & a=1,2 ; & i=1,2,3 .
\end{array}
\]

Как следует из (5.2), между $\mathbf{L}_{a}$ и $\boldsymbol{\pi}_{a}$ выполнено инвариантное соотношение
\[
q_{a}^{0} \mathbf{L}_{a}=\mathbf{q}_{a} \times \pi_{a}, \quad\left(\mathbf{L}_{a}, \pi_{a}\right)=0 .
\]

Эти соотношения задают сингулярную орбиту в каждом экземпляре $e(4)(e(3,1))$ и позволяют записать гамильтоновы уравнения движения на прямой сумме алгебр $l\left(\mathbf{M}_{1}, q_{1}\right) \oplus l\left(\mathbf{M}_{2}, q_{2}\right)$, где $\mathbf{M}_{a}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{L}_{a}-\pi_{a}\right)$ $\left(\mathbf{M}_{a}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{L}_{a}-i \pi_{a}\right)\right)$ с функцией Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2 m_{1}} \mathbf{M}_{1}^{2}+\frac{1}{2 m_{2}} \mathbf{M}_{2}^{2}+U\left(\left\langle q_{1}, q_{2}\right\rangle\right) .
\]

Уравнения получаются вещественными только для $S^{3}$. (Комплексный вид уравнений в пространстве Лобачевского связан с невозможностью вещественного разложения $s o(3,1)$ ).

Отметим также, что уравнения с гамильтонианом (5.6) могут быть получены при рассмотрении задачи о взаимодействии двух шаровых волчков. Такая задача рассматривалась в [17], в которой приведен пример интегрируемой системы, потенциал которой однако не может быть представлен как функция взаимного расстояния между телами.

Несложно обобщить предыдущие рассуждения на случай произвольного числа точек (или взаимодействующих волчков) и написать уравнения на прямой сумме алгебр $e(4)(e(3,1))$.

Так как функция Гамильтона (5.3) инвариантна относительно группы движений $S^{3}\left(L^{3}\right)$, которая совпадает с $S O(4)(S O(3,1))$, суммарный кинетический момент двух тел сохраняется
\[
\pi=\pi_{1}+\pi_{2}=\text { const }, \quad \mathbf{L}=\mathbf{L}_{1}+\mathbf{L}_{2}=\text { const } .
\]

Эти интегралы не инволютивны, однако, всегда имеется четыре независимых инволютивных интеграла (например, $\pi_{3}, \pi^{2}, L_{3}, \mathbf{L}^{2}$ ). Для рассматриваемой задачи, обладающей шестью степенями свободы, для полной интегрируемости не хватает еще одного дополнительного интеграла. В общем случае этого интеграла не существует, хотя это строго и не доказано.

2. Инвариантные многообразия. Непосредственное изучение пространственной задачи двух тел довольно сложно, поэтому естественным является (аналогично плоскому случаю) нахождение инвариантных подмногообразий системы и изучение динамики на них. Исследование системы на инвариантном многообразии (например, ее неинтегрируемость и стохастичность на нем) позволяет сделать соответствующие выводы для всего фазового пространства (хотя бы на физическом уровне строгости).

Если в задаче $n$ тел на $\mathbb{R}^{3}$ инвариантными многообразиями являются плоскости, то для задачи $n$ тел в искривленном пространстве многообразия являются сферами $S^{2}$ (псевдосферами $L^{2}$ ).
Действительно, справедливо

Предложение 1. Если потенциальная энергия системы взаимодействующих материальных точек в $S^{3}\left(L^{3}\right)$ зависит лищь от взаимного расстояния между точками, то для нее существуют инвариантные многообразия, являющиеся сферали $S^{2}$ (псевдосферами $L^{2}$ ). Іри этом через каждую точку пространства $S^{3}\left(L^{3}\right)$ проходит трехпараметрическое семейство этих многообразий.

Дадим набросок доказательства этого утверждения. Действительно, запишем уравнение движения $a$-той точки в избыточных координатах
\[
m_{a} \ddot{q}_{a}=-\frac{\partial U}{\partial q_{a}}-\lambda_{a} G q_{a},
\]

где $G=\operatorname{diag}(1,1,1,1)$ или $G=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$ в зависимости от метрики объемлющего пространства, $\lambda_{a}$ – неопределенный множитель Лагранжа. Зафиксируем некоторый четырехмерный вектор $\xi$ в $\mathbb{R}^{4}\left(M^{4}\right)$ и зададим многообразие $N$ в пространстве координат и скоростей в виде
\[
N=\left\{q_{a}, \dot{q}_{a}:\left\langle\xi_{a}, q_{a}\right\rangle=0, \quad\left\langle\xi, \dot{q}_{a}\right\rangle=0\right\},
\]
(для $L^{3}$ вектор $\xi$ должен лежать вне конуса $q_{0}^{2}-\mathbf{q}^{2}=0$ ). Непосредственным дифференцированием соотношений, задающих $N$ вдоль траекторий системы (5.8) проверяется, что $N$ является инвариантным многообразием. При этом траектории системы лежат в гиперплоскости $\langle\xi, q\rangle=0$, которая пересекается с $S^{3}\left(L^{3}\right)$ по подмногообразию $S^{2}\left(L^{2}\right)$.

Очевидно также, что не все траектории первоначальной системы на $S^{3}\left(L^{3}\right)$ принадлежат найденным инвариантным многообразиям. Для этого достаточно рассмотреть движение по геодезическим $U=0$ на $S^{3}\left(L^{3}\right)$, траектории которых будут «скрещиваться», аналогично прямым в случае плоского пространства $\mathbb{R}^{3}$.

3. Ограниченная задача двух тел. В евклидовом пространстве $\mathbb{R}^{3}$ существует предельный переход в задаче двух тел, при котором масса одного из тел стремится к бесконечности, а энергия взаимодействия остается конечной. При этом предельной задачей является задача Кеплера, так как существует инерциальная система отсчета, связанная с «массивной» частицей.

Рассмотрим аналогичный предельный переход на $S^{3}\left(L^{3}\right)$. Лагранжевы уравнения движения двух тел можно записать в виде (5.8)
\[
\begin{array}{l}
\ddot{q}_{1}=-\frac{1}{m_{1}} \frac{\partial U}{\partial q_{1}}-\lambda_{1} G q_{1}, \\
\ddot{q}_{2}=-\frac{1}{m_{2}} \frac{\partial U}{\partial q_{2}}-\lambda_{2} G q_{2} .
\end{array}
\]

Оставляя потенциальную энергию $U$ конечной и переходя к пределу $m_{1} \rightarrow \infty$, получаем уравнения движения в виде
\[
\begin{array}{l}
\ddot{q}_{1}=-\lambda_{1} G q_{1}, \\
\ddot{q}_{2}=-\frac{\partial U}{\partial q_{2}}-\lambda_{2} G q_{2} .
\end{array}
\]
Из уравнений (5.10) следует, что первая частица движется свободно (по геодезической), а вторая частица движется в поле первой.

Если перейти в систему отсчета, связанную с первой частицей, то получается задача о материальной точке, движущейся под действием неподвижного центра и гироскопических сил. Функция Лагранжа для такой системы имеет вид
\[
L=\frac{1}{2} \dot{q}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{\mu,
u} \omega_{\mu
u} \dot{q}_{\mu} q_{
u}+\frac{1}{2} \sum \omega_{\mu \alpha} q_{\alpha} \omega_{\mu \beta} q_{\beta}-V(\mathbf{q}),
\]

где $\omega=\left\|\omega_{i j}\right\|$ – матрица угловой скорости системы отсчета (см. $\S 7$ ). В данном случае $\omega \in S O(4)$ для $S^{3}$ и $\omega \in S O(3,1)$ для $L^{3}$.

4. Ограниченная задача двух тел на $S^{2}$. Наличие инвариантных многообразий в общей задаче двух тел позволяет также рассматривать ограниченную постановку задачи на них. Рассмотрим более подробно компактный случай – двумерную сферу.

В ограниченной задаче на $S^{2}$ «массивная» частица движется по некоторому меридиану (движение «легкой» частицы не оказывает на нее влияния). В системе отсчета, в которой она неподвижна (и находится в северном полюсе) функция Лагранжа «легкой» частицы имеет вид
\[
L=\frac{1}{2} \dot{\mathbf{q}}^{2}+(\dot{\mathbf{q}}, \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{q})+\frac{1}{2}(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{q})^{2}-U(\mathbf{q}),
\]

где $\boldsymbol{\omega}$ – постоянный вектор угловой скорости системы отсчета, связанной с первой частицей.

Переходя к гамильтонову формализму с учетом связи $\mathbf{q}^{2}=1$ получим функцию Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2}\left(\mathbf{p}^{2}-(\mathbf{p}, \mathbf{q})^{2}\right)+(\mathbf{p} \times \mathbf{q}, \boldsymbol{\omega})+U(\mathbf{q}),
\]

Введем новые переменные ( $\mathbf{M}, \gamma$ ) при помощи отображения $T^{*} \mathbb{R}^{3} \rightarrow$ $\rightarrow e(3)$, задаваемого формулами $\mathbf{M}=\mathbf{q} \times \mathbf{p}, \gamma=\mathbf{q}$ (см. $\S \S 6,7$ гл. 2).

Таким образом двумерную ограниченную задачу двух тел можно представить в виде гамильтоновой системы на алгебре $e(3)$ (уравнения Кирхгофа, см. §1 гл. 2) с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2} \mathbf{M}^{2}+(\mathbf{M}, \boldsymbol{\omega})+U(\gamma)
\]

Траектории, соответствующие реальным движениям, находятся на симплектическом листе, задаваемом соотношениями $(\mathbf{M}, \gamma)=0$, $(\gamma, \gamma)=1$.

Для анализа системы (5.14) на интегрируемость мало пригодны известные до настоящего времени аналитические методы [91]. Поэтому воспользуемся численными методами, основанными на исследовании отображения Пуанкаре. На четырехмерном симплектическом листе исследуемой системы можно ввести систему канонических переменных. Одной из таких систем являются углы Эйлера и сопряженные им канонические импульсы. Другой системой канонических переменных являются переменные Андуайе- – епри ( $L, G, l, g$ ), применяемые в динамике твердого тела ( $\S 8$, гл. 2).

Наиболее естественными кандидатами на интегрируемость являются случаи ньютоновского $\left(U=\gamma \operatorname{ctg} \theta\right.$ ) и гуковского $\left(U=\gamma \operatorname{tg}^{2} \theta\right.$ ) потенциалов. В случае $\boldsymbol{\omega}=0$ эти системы вырождены и имеют «слишком» много интегралов.

Рис. 6

Как показывают численные расчеты, проведенные для регуляризованных уравнений движения, оба этих потенциала при $\boldsymbol{\omega}
eq 0$ не приводят к интегрируемой системе (см. рис. 6).

Для гамильтоновой системы (5.14) остается открытым вопрос о существовании интегрируемых потенциалов, зависящих от расстояния до полюса. Пока ни одного такого потенциала не найдено. Неинтегрируемость ограниченной задачи приводит, вообще говоря, к отсутствию общей интегрируемости неограниченных постановок задачи двух тел на $S^{2}\left(L^{2}\right)$ или $S^{3}\left(L^{3}\right)$. Постановка задачи о существовании интегриру-

емых потенциалов, зависящих от расстояния в системе двух тел, на двумерной сфере $S^{2}$ принадлежит Е.И.Кугушеву.

Система с гамильтонианом (5.13) имеет четыре степени свободы и для ее интегрируемости не хватает еще трех независимых инволютивных интегралов. В силу симметрии относительно поворотов системы вокруг произвольной оси, проходящей через центр сферы, сохраняется вектор суммарного кинетического момента частиц
\[
\mathbf{M}=\mathbf{p}_{1} \times \mathbf{q}_{1}+\mathbf{p}_{2} \times \mathbf{q}_{2} .
\]

Однако компоненты вектора не находятся в инволюции $\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=$ $=\varepsilon_{i j k} M_{k}$. Из них можно построить лишь два инволютивных независимых интеграла (например $M_{1}, \mathbf{M}^{2}$ ). Еще одного дополнительного интеграла в задаче Кугушева до сих пор не найдено ни при одной зависимости потенциала $U$ от расстояния (возможно, что он всегда отсутствует).

Существует, однако, простейший случай частной интегрируемости, при котором $M_{i}=0(i=1,2,3)$, и компоненты момента находятся в инволюции (см. п. 6).

5. Частные решения задачи двух тел на $S^{2}$ и $L^{2}$. Рассмотрим семейство частных решений задачи $n$ тел на $S^{2}\left(L^{2}\right)$, которые являются аналогами относительных равновесий в задаче $n$ тел на плоскости [4]. Зафиксируем некоторую ось $z$ в $\mathbb{R}^{3}\left(\mathbb{M}^{3}\right)$ так, что уравнения сферы и псевдосферы будут соответственно $z^{2}+x^{2}+y^{2}=R^{2}, z^{2}-y^{2}-x^{2}=R^{2}$, и рассмотрим фиксированную конфигурацию $n$-тел, которая равномерно вращается вокруг оси $z$.

Предложение 2. Равномерно вращающаяся конфигурация п тел (положение относительного равновесия системы) является частным решением тогда и только тогда, когда она является критической точкой приведенного (эффективного) потенциала
\[
U_{e f f}=U-\frac{\mathbf{M}^{2}}{2 I},
\]

дде $\mathrm{M}^{2}$ – величина момента системы относительно оси $z, I$ – суммарный момент инериии системы относительно оси $z$.

Доказательство.
Перейдем в систему, равномерно вращающуюся с угловой скорос-

тью $\omega$ вокруг оси $z$. Функция Лагранжа в ней имеет вид
\[
\begin{array}{l}
L=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i}\left(\dot{\theta}_{i}{ }^{2}+\sin ^{2} \theta_{i} \dot{\varphi}_{i}{ }^{2}\right)+\omega \sum_{i=1}^{n} m_{i} \dot{\varphi}_{i} \sin ^{2} \theta_{i}-U_{\text {eff }} \quad \text { для } S^{2}, \\
L=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} m_{i}\left({\dot{\theta_{i}}}^{2}+\operatorname{sh}^{2} \theta_{i} \dot{\varphi}_{i}{ }^{2}\right)+\omega \sum_{i=1}^{n} m_{i} \dot{\varphi}_{i} \operatorname{sh}^{2} \theta_{i}-U_{\text {eff }} \quad \text { для } L^{2} .
\end{array}
\]

Здесь $i$ соответствует номеру частицы.
Уравнения движения имеют вид
\[
\begin{array}{l}
m_{i} \ddot{\theta}_{i}=\frac{1}{2} m_{i} \sin 2 \theta_{i} \dot{\varphi}^{2}+\omega m_{i} \sin 2 \theta_{i} \dot{\varphi}_{i}-\frac{\partial U_{e f f}}{\partial \theta_{i}}, \\
\left(\sin ^{2} \theta_{i} \varphi_{i}+\omega m_{i} \sin ^{2} \theta_{i}\right)^{*}=-\frac{\partial U_{e f f}}{\partial \varphi_{i}} .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что условие относительного равновесия
\[
\ddot{\theta}_{i}=\dot{\theta}_{i}=\ddot{\varphi}_{i}=\dot{\varphi}_{i}=0
\]

эквивалентно условию экстремума для $U_{\text {eff }}$.
Для плоскости анализ относительных равновесий задачи трех тел был проведен Эйлером и Лагранжем, которые обнаружили коллинеарные и треугольные центральные конфигурации [4]. В искривленном пространстве также существуют аналогичные конфигурации, которые, однако, имеют существенные отличия (см. §6). Рассмотрим здесь более простую ситуацию – относительные равновесия в задаче двух тел.

Для краткости ограничимся рассмотрением стационарных конфигураций на $S^{2}$ (на $L^{2}$ анализ даже упрощается, так как отсутствует ряд интересных закономерностей, возникающих на $S^{2}$ ).

По доказанному предложению 2 стационарные конфигурации являются критическими точками функции
\[
U_{e f f}=-\frac{1}{2}\left(m_{1} \sin ^{2} \theta_{1}+m_{2} \sin ^{2} \theta_{2}\right) \omega^{2}-m_{1} m_{2} \operatorname{ctg} \theta .
\]

где $\theta$ – угол между телами. Исходя из уравнений
\[
\frac{\partial U_{e f f}}{\partial \varphi_{1}}=\frac{\partial U_{e f f}}{\partial \varphi_{2}}=0
\]

находим, что $\varphi_{1}-\varphi_{2}=\pi$, то есть частицы во время движения должны оставаться в одной плоскости (на одном меридиане) по разные стороны от оси $z$ (см. рис. 7 ).

В этом случае $\theta=\theta_{1}+\theta_{2}$. С учетом $\frac{\partial U_{e f f}}{\partial \varphi_{1}}=\frac{\partial U_{e f f}}{\partial \varphi_{2}}=0$, находим уравнения, задающее возможные углы $\theta_{1}, \theta_{2}$
\[
\begin{array}{l}
m_{1} \sin \theta_{1} \cos \theta_{1} \omega^{2}-\frac{m_{1} m_{2}}{\sin ^{2}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}=0 \\
m_{2} \sin \theta_{1} \cos \theta_{2} \omega^{2}-\frac{m_{1} m_{2}}{\sin ^{2}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right)}=0 .
\end{array}
\]

Заметим, что при $\theta<\pi / 2$ получается конфигурация, когда более массивное тело

Рис. 7 движется по меньшему радиусу (при уменьшении кривизны эта конфигурация переходит в обычное частное круговое движение двух тел на плоскости).

При больших взаимных расстояниях $\theta>\pi / 2$ более массивное тело движется по большей окружности. Данному решению не соответствует никакая конфигурация в плоском случае и в пространстве Лобачевского $L^{2}$.

Отметим, что вопрос о существовании замкнутых орбит в задаче двух тел на $S^{2}\left(L^{2}\right)$ был поставлен в [269]. Частичным ответом на этот вопрос является

Предложение 3. Рассмотренное выше частные решения являются единственными частными решениями задачи двух тел на сфере, для которых остается постоянным расстояние между телами.

Доказательство.
Запишем уравнение движения задачи двух тел на $S^{2}$ в форме уравнений Гамильтона на алгебре $e(3) \oplus e(3)$. Компоненты кинетических моментов $\mathbf{L}_{1}$ и $\mathbf{L}_{2}$ и избыточные координаты $\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \mathbf{y}=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right)$ двух тел коммутируют между собой следующим образом
\[
\begin{array}{l}
\left\{L_{1 i}, L_{1 j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{1 k}, \quad\left\{L_{1 i}, x_{1 j}\right\}=\varepsilon_{i j k} x_{1 k}, \quad\left\{x_{1 i}, x_{1 j}\right\}=0, \\
\left\{L_{2 i}, L_{2 j}\right\}=\varepsilon_{i j k} L_{2 k}, \quad\left\{L_{2 i}, x_{2 j}\right\}=\varepsilon_{i j k} x_{2 k}, \quad\left\{x_{2 i}, x_{2 j}\right\}=0, \\
\left\{L_{1 i}, L_{2 j}\right\}=\left\{L_{1 i}, x_{2 j}\right\}=\left\{L_{2 i}, x_{1 j}\right\}=\left\{x_{1 i}, x_{2 j}\right\}=0,
\end{array}
\]

а функция Гамильтона имеет вид
\[
H=\frac{1}{2 m_{1}} \mathbf{L}_{1}^{2}+\frac{1}{2 m_{2}} \mathbf{L}_{2}^{2}+U(|\mathbf{r}|), \quad \mathbf{r}=\mathbf{x}-\mathbf{y} .
\]

Реальное движение происходит на фиксированном уровне функций Казимира структуры (5.20):
\[
\mathbf{x}^{2}=\mathbf{y}^{2}=1, \quad\left(\mathbf{L}_{1}, \mathbf{x}\right)=\left(\mathbf{L}_{2}, \mathbf{y}\right)=0 .
\]

Система с гамильтонианом (5.21) имеет векторный интеграл полного момента $\mathbf{M}=\mathbf{L}_{1}+\mathbf{L}_{2}$. Им можно воспользоваться для уменьшения числа уравнений. Действительно, введем новые переменные
\[
\mathbf{M}=\mathbf{L}_{1}+\mathbf{L}_{2}, \quad \mathbf{N}=\frac{m_{2} \mathbf{L}_{1}-m_{1} \mathbf{L}_{2}}{m}, \quad m=m_{1}+m_{2} .
\]

Уравнения движения примут вид
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{N}} & =V(|\mathbf{r}|) \mathbf{x} \times \mathbf{y} \\
\dot{\mathbf{x}} & =\frac{1}{m} \mathbf{x} \times \mathbf{M}+\frac{1}{m_{1}} \mathbf{x} \times \mathbf{N} \\
\dot{\mathbf{y}} & =\frac{1}{m} \mathbf{y} \times \mathbf{M}-\frac{1}{m_{2}} \mathbf{y} \times \mathbf{N}
\end{aligned}
\]

где $V(|\mathbf{r}|)=-\frac{1}{|\mathbf{r}|} \frac{\partial V}{\partial|\mathbf{r}|}$.
В уравнениях (5.24) М является постоянным вектором. В новых переменных первые интегралы системы запишутся в виде
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{x}^{2}=\mathbf{y}^{2}=1, \\
m_{1}(\mathbf{x}, \mathbf{M})+m(\mathbf{x}, \mathbf{N})=0 \\
m_{2}(\mathbf{y}, \mathbf{M})+m(\mathbf{y}, \mathbf{N})=0 \\
\frac{1}{2 \mu} \mathbf{N}^{2}+U(|\mathbf{r}|)=E=\text { const, } \quad \mu=\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} .
\end{array}
\]

В плоском пространстве соответствующая замена приводила к разделению движения центра масс и движения вокруг центра масс точки приведенной массы $\mu$. На $S^{2}$ полного разделения не происходит и кинетический момент М входит в уравнения (5.24) в качестве параметра.

Дифференцируя, в силу системы (5.24), условие неизменности расстояния между частицами $(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\cos \theta=$ const с учетом интегралов (5.25), получим следующие соотношения
\[
\begin{array}{c}
(\mathbf{x}, \mathbf{y})=\text { const } \\
(\mathbf{x}, \mathbf{y} \times \mathbf{N})=0, \\
\frac{1}{\mu} \mathbf{N}^{2}(\mathbf{x}, \mathbf{y})+V(|\mathbf{r}|)(\mathbf{x} \times \mathbf{y})^{2}+\frac{2}{m}(\mathbf{x}, \mathbf{M})(\mathbf{y}, \mathbf{M})=0, \\
(\mathbf{x}, \mathbf{M} \times \mathbf{N})=0 .
\end{array}
\]

Из второго и четвертого уравнений (5.26) следует, что векторы $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{M}$ и $\mathbf{N}$ лежат в одной плоскости. Выразив $\mathbf{M}, \mathbf{N}$ через $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ по формулам
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{M}=\frac{(\mathbf{M}, \mathbf{x})-\cos \theta(\mathbf{M}, \mathbf{y})}{\sin ^{2} \theta} \mathbf{x}+\frac{(\mathbf{M}, \mathbf{y})-\cos \theta(\mathbf{M}, \mathbf{x})}{\sin ^{2} \theta} \mathbf{y}, \\
\mathbf{N}=\frac{(\mathbf{N}, \mathbf{x})-\cos \theta(\mathbf{N}, \mathbf{y})}{\sin ^{2} \theta} \mathbf{x}+\frac{(\mathbf{N}, \mathbf{y})-\cos \theta(\mathbf{N}, \mathbf{x})}{\sin ^{2} \theta} \mathbf{y}
\end{array}
\]

после подстановки в (5.25) и (5.26), получим соотношения ( $\mathbf{M}, \mathbf{x})=$ $=$ const, $(\mathbf{M}, \mathbf{y})=$ const. Таким образом частицы должны вращаться по окружностям вокруг некоторой оси, определяемой вектором М, оставаясь в одной плоскости с этой осью.

Между параметрами $\mathbf{M}$ и $\theta$, задающими стационарную конфигурацию, существует связь, которая в случае ньютоновского потенциала $U=-\gamma m_{1} m_{2} \operatorname{ctg} \theta$ имеет вид
\[
\mathbf{M}^{2}=\frac{1}{2} \frac{\gamma m_{3}\left(m_{1}+m_{2}-m_{3}\right)^{2}}{\sin ^{2} \theta \sin 2 \theta}, \quad m_{3}=\sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2 m_{1} m_{2} \cos 2 \theta} .
\]

Как несложно заметить, частные решения на $S^{2}$, для которых $\theta=$ const, образуют трехпараметрическое семейство (их можно характеризовать либо компонентами вектора М, либо направлением оси, вокруг которой вращаются частицы и взаимным углом $\theta$ ).

В плоском случае соответствующее семейство является четырехпараметрическим, так как наряду с вектором полного импульса $\mathbf{p}$, ха-

рактеризующего движение центра масс и полным моментом М, относительно центра масс, остается свободный параметр, определяющий прямую на плоскости, вдоль которой движется центр масс системы.

6. Задача двух тел при нулевом суммарном моменте. Столкновительные траектории. Уравнения (5.24) удобно использовать для интегрирования задачи двух тел при $\mathbf{M}=0$ (см. п. 4). В этом случае они упрощаются
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{N}} & =V(|\mathbf{r}|) \mathbf{x} \times \mathbf{y} \\
\dot{\mathbf{x}} & =\frac{1}{m_{1}} \mathbf{x} \times \mathbf{N} \\
\dot{\mathbf{y}} & =-\frac{1}{m_{2}} \mathbf{y} \times \mathbf{N} .
\end{aligned}
\]

Соотношения (5.25) также имеют более простой вид
\[
\mathbf{x}^{2}=\mathbf{y}^{2}=1, \quad(\mathbf{x}, \mathbf{N})=(\mathbf{y}, \mathbf{N})=0 .
\]

Из (5.30) следует, что $\mathbf{N}=|\mathbf{N}| \mathbf{n}$, где $\mathbf{n}=\frac{\mathbf{x} \times \mathbf{y}}{|\mathbf{x} \times \mathbf{y}|}$. Дифференцируя вектор $\mathbf{n}$ в силу системы (5.29), получим $\dot{\mathbf{n}}=0$, то есть два тела двигаются по сфере в плоскости, проходящей через центр сферы (по меридиану). Это – задача двух тел на окружности. Для ее анализа составим функцию Лагранжа, взяв за обобщенные координаты углы $\theta_{1}$ и $\theta_{2}$ на этой окружности.
\[
L=\frac{1}{2}\left(m_{1} \dot{\theta}_{1}^{2}+m_{2} \dot{\theta}_{2}^{2}\right)+\gamma m_{1} m_{2} \operatorname{ctg} \theta, \quad \theta=\theta_{1}-\theta_{2} .
\]

Для системы (5.31) можно ввести понятие центра масс с угловой координатой $\psi=\left(m_{1} \theta_{1}+m_{2} \theta_{2}\right) /\left(m_{1}+m_{2}\right)$.
В переменных $\psi, \theta$ получим систему
\[
\ddot{\psi}=0, \quad \ddot{\theta}=-\left(m_{1}+m_{2}\right) \frac{\gamma m_{1} m_{2}}{\sin ^{2} \theta} .
\]

Зависимость угла $\theta$ от времени получается обращением квадратуpbI
\[
\int_{\theta_{0}}^{\theta} \frac{d \theta}{\sqrt{h-\gamma\left(m_{1}+m_{2}\right) \operatorname{ctg} \theta}}=t-t_{0}, \quad h=\text { const }
\]

которая находится в элементарных функциях.

Из анализа этой квадратуры следует, что в системе центра масс всегда происходит соударение, причем зависимость угла $\theta$ от времени в точке соударения может быть представлена в виде рядов Пюизо
\[
\theta(t)=(\sqrt[3]{t})^{2} \sum_{n=0}^{\infty} C_{n}(\sqrt[3]{t})^{n} .
\]

Отметим, что не для всех столкновительных траекторий суммарный момент М равен нулю. Можно

Рис. 8 только показать, что в точке соударения $\mathbf{q} \in S^{2}$ всегда должно выполняться соотношение $(\mathbf{M}, \mathbf{q})=\mathbf{0}$.

Аналогично задаче двух тел на окружности (являющейся инвариантным многообразием) можно рассмотреть движение системы $n$-тел, которая описывается гамильтониантом
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n} p_{i}^{2}+\gamma \sum_{i<j} m_{i} m_{j} \operatorname{ctg}\left(\theta_{i}-\theta_{j}\right) .
\]

Для притягивающего потенциала ( $\gamma<0$ ) в общем случае система будет эволюционировать к взаимному столкновению пар частиц. В случае отталкивания ( $\gamma>0$ ) возможны нелинейные колебательные режимы, и траектории обладают свойством возвращаемости. Как показывают компьютерные эксперименты (рис. 8), проведенные для трех одинаковых отталкивающихся зарядов, фазовый портрет отображения Пуанкаре имеет области стохастичности, что препятствует существованию дополнительного аналитического интеграла движения.