Понижение порядка в задаче трех тел небесной механики впервые в систематической форме обсуждается в лекциях Якоби [170]. Он подробно останавливается на барицентрической системе координат, позволяющей игнорировать прямолинейное и равномерное движение центра масс, а также на процедуре исключения кинетического момента (исключения узла). Конструктивно этот процесс, приводящий в плоском (пространственном) случае к системе с тремя (четырьмя) степенями свободы был выполнен Радо́, Брунсом, Шарлье, Ли, ЛевиЧивита и Уиттекером, обзор исследований которых содержится в трактатах $[154,166]$. Наиболее естественное и полное понижение порядка в задаче трех тел принадлежит ван Кампену (E.P. van Kampen) и Уинтеру (A. Wintner) [268]. Она обсуждается также в книге [153]. Все эти классические результаты основаны на теории канонических преобразований и связаны с громоздкими вычислениями. Здесь мы приведем более геометрический способ понижения порядка в плоской задаче трех тел, который без труда можно обобщить на пространственнную задачу $n$ тел. Он связан с предварительной алгебраизацией редуцированной системы и последующим введением канонических координат на симплектическом листе. В отличие от классического подхода эта процедура использует только (алгебраическую) пуассонову структуру редуцированной системы и никак не затрагивает гамильтониан (а поэтому справедлива и для других потенциалов, зависящих от взаимного расстояния между телами). Излагаемый алгоритм приведения является универсальным и использует только алгебраические методы. Аналогичные результаты для динамики твердого тела имеются в $\S 8$ гл. 2. Несомнено, что само изучение алгебраической формы задачи $n$-тел помимо более естественной симметризации представляет для небесной механики большие перспективы.

1. Алгебраизация системы. Гамильтониан плоской задачи трех тел можно представить в форме
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{k} \frac{\mathbf{p}_{i}^{2}}{m_{i}}+\frac{1}{2} \sum_{i
eq j}^{3} U\left(\left|\mathbf{r}_{i}-\mathbf{r}_{j}\right|\right),
\]

здесь $\mathbf{r}_{i}\left(x_{i}, y_{i}\right), \mathbf{p}_{i}\left(p_{i x}, p_{i y}\right)$ – двумерные векторы положения и импульсов частиц, для компонент которых $\left(p_{i x}, x_{i}, p_{i y}, y_{i}\right.$ ) коммутационные соотношения канонические.
Рис. 79
Выберем новые образующие, характеризующие относительную динамику частиц, в виде квадратичных форм от канонических переменных:

1. Квадраты взаимных расстояний
\[
\begin{array}{l}
M_{1}=\left|\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}\right|^{2}, \\
M_{2}=\left|\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{3}\right|^{2}, \\
M_{3}=\left|\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}\right|^{2} .
\end{array}
\]

2. Скалярные произведения импульсов и прилежащих сторон треугольника, образованного точками (см. рис. 79)
\[
\begin{aligned}
X_{2} & =\left(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{3}, \mathbf{p}_{1}\right), & X_{3} & =\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}, \mathbf{p}_{1}\right), \\
Y_{1} & =\left(\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}, \mathbf{p}_{2}\right), & Y_{3} & =\left(\mathbf{r}_{2}-\mathbf{r}_{1}, \mathbf{p}_{2}\right), \\
Z_{1} & =\left(\mathbf{r}_{3}-\mathbf{r}_{2}, \mathbf{p}_{3}\right), & Z_{2} & =\left(\mathbf{r}_{1}-\mathbf{r}_{3}, \mathbf{p}_{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Вследствие того, что гамильтониан (Н.1) зависит лишь от модулей импульсов и взаимных расстояний он может быть выражен через относительные переменные (Н.2-Н.3), которые образуют скобку ЛиПуассона.
\[
\begin{array}{l}
\left\{X_{2}, X_{3}\right\}=X_{2}+X_{3}, \quad\left\{X_{2}, Y_{1}\right\}=0, \quad\left\{X_{2}, Y_{3}\right\}=-Y_{1}-Y_{3}, \\
\left\{X_{2}, Z_{1}\right\}=X_{2}+X_{3}, \quad\left\{X_{2}, Z_{2}\right\}=-X_{2}-Z_{2}, \quad\left\{X_{3}, Y_{1}\right\}=-X_{2}-X_{3}, \\
\left\{X_{3}, Y_{3}\right\}=X_{3}+Y_{3}, \quad\left\{X_{3}, Z_{1}\right\}=0, \quad\left\{X_{3}, Z_{2}\right\}=Z_{1}+Z_{2}, \\
\left\{Y_{1}, Y_{3}\right\}=-Y_{1}-Y_{3}, \quad\left\{Y_{1}, Z_{1}\right\}=Y_{1}+Z_{1}, \quad\left\{Y_{1}, Z_{2}\right\}=-Y_{1}-Y_{3}, \\
\left\{Y_{3}, Z_{1}\right\}=-Z_{1}-Z_{2}, \quad\left\{Y_{3}, Z_{2}\right\}=0, \quad\left\{Z_{1}, Z_{2}\right\}=Z_{1}+Z_{2}, \\
\left\{X_{2}, M_{1}\right\}=0, \quad\left\{X_{2}, M_{2}\right\}=-2 M_{2}, \quad\left\{X_{2}, M_{3}\right\}=M_{1}-M_{2}-M_{3}, \\
\left\{X_{3}, M_{1}\right\}=0, \quad\left\{X_{3}, M_{2}\right\}=-M_{1}+M_{2}+M_{3}, \quad\left\{X_{3}, M_{3}\right\}=2 M_{3}, \\
\left\{Y_{1}, M_{1}\right\}=2 M_{1}, \quad\left\{Y_{1}, M_{2}\right\}=0, \quad\left\{Y_{1}, M_{3}\right\}=-M_{2}+M_{1}+M_{3}, \\
\left\{Y_{3}, M_{1}\right\}=M_{2}-M_{1}-M_{3}, \quad\left\{Y_{3}, M_{2}\right\}=0, \quad\left\{Y_{3}, M_{3}\right\}=-2 M_{3}, \\
\left\{Z_{1}, M_{1}\right\}=-2 M_{1}, \quad\left\{Z_{1}, M_{2}\right\}=M_{3}-M_{1}-M_{2}, \quad\left\{Z_{1}, M_{3}\right\}=0, \\
\left\{Z_{2}, M_{1}\right\}=-M_{3}+M_{1}+M_{2}, \quad\left\{Z_{2}, M_{2}\right\}=2 M_{2}, \quad\left\{Z_{2}, M_{3}\right\}=0, \\
\left\{M_{1}, M_{2}\right\}=0, \quad\left\{M_{3}, M_{2}\right\}=0, \quad\left\{M_{1}, M_{3}\right\}=0 . \\
\end{array}
\]

Можно показать, что переменные $M, X, Y, Z$ коммутируют с интегралом полного момента системы относительно произвольной точки и квадратом полного импульса. Следовательно отображение (Н.2)-(Н.3) соответствует редукции по этим интегралам, при этом ранг первоначальной скобки (равный 12) падает на четыре единицы. Таким образом ранг скобки (Н.4) равен восьми, функцией Казимира является квадрат полного импульса (который в отличие от момента выражается через относительные переменные (Н.2)-(Н.3)).
ЗАмЕчаниЕ 1. Использованный здесь и вихревой динамике (см. гл. 4) метод алгебраизации динамической системы, является частным случаем общего метода, который основывается на том, что для канонической симплектической структуры $\omega=\sum_{i} d p_{i} \wedge d x_{i}$ квадратичные функции образуют алгебру $s p(n)$ [3]. Каждой конкретной задаче соответсвует определенная подалгебра в $s p(n)$, образующие которой коммутируют с интегралами движения системы.

2. Барицентрическая система координат и пуассоновы подмногообразия. Приведенная выше редукция относится к произволь-

ной инерциальной системе отсчета, для которой в общем случае две проекции полного импульса и полный момент образуют некоммутативный набор интералов. В системе центра инерции (барицентрическая система отсчета) полный импульс равен нулю, следовательно набор интегралов коммутативен и возможна редукция еще на одну степень свободы. Для понижения порядка в алгебраической форме необходимо ограничить систему на подмногообразие нулевого полного импульса в алгебре (Н.4).

Выберем новые образующие в алгебре (Н.4), соответствующие собственным векторам формы Киллинга [8]
\[
\begin{aligned}
S_{1} & =\frac{2}{\sqrt{3}}\left(X_{2}+X_{3}+Y_{1}+Y_{3}+Z_{1}+Z_{2}\right), \\
S_{2} & =\frac{1}{4}\left(Y_{3}+Z_{2}-X_{2}-Y_{1}\right), \\
S_{3} & =\frac{1}{4 \sqrt{3}}\left(2 X_{3}-Y_{3}+2 Z_{1}-Z_{2}+X_{2}-Y_{1}\right), \\
S_{4} & =\frac{1}{6}\left(X_{2}-X_{3}-Y_{1}+Y_{3}+Z_{1}-Z_{2}\right), \\
S_{5} & =X_{2}-Y_{1}-Y_{3}+Z_{2}, \\
S_{6} & =-X_{2}-X_{3}+Y_{1}+Z_{1}, \\
N_{1} & =-\frac{1}{\sqrt{6}}\left(M_{1}+M_{2}+M_{3}\right), \\
N_{2} & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(M_{1}-M_{3}\right), \\
N_{3} & =-\frac{1}{\sqrt{6}}\left(M_{1}-2 M_{2}+M_{3}\right),
\end{aligned}
\]

Переменные $S_{5}, S_{6}$ пропорциональны проекциям полного импульса на две стороны треугольника (см. рис. 79 ). Линейная оболочка $S_{5}, S_{6}$ образует идеал в алгебре (Н.4), следовательно, подмногообразие нулевого импульса
\[
S_{5}=0, \quad S_{6}=0
\]

является пуассоновым. Ограничивая систему на (Н.6) и, упорядочивая

оставшиеся переменные следующим образом: $\mathbf{x}=\left(S_{1}, S_{2}, S_{3}, S_{4}\right.$, $N_{1}, N_{2}, N_{3}$ ), получим таблицу коммутационных соотношений
\[
\left\|\left\{x_{i}, x_{j}\right\}\right\|=\left(\begin{array}{ccccccc}
0 & S_{3} & -S 2 & 0 & 0 & N_{3} & -N_{2} \\
-S_{3} & 0 & -S_{1} & 0 & -N_{3} & 0 & -N_{1} \\
S 2 & S_{1} & 0 & 0 & N_{2} & N_{1} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & -N_{1} & -N_{2} & -N_{3} \\
0 & N_{3} & -N_{2} & N_{1} & 0 & 0 & 0 \\
-N_{3} & 0 & -N_{1} & N_{2} & 0 & 0 & 0 \\
N_{2} & N_{1} & 0 & N_{3} & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
\]

Функция Казимира структуры (Н.7) совпадает с квадратом полного момента относительно центра масс
\[
M_{z}^{2}=4 \frac{\langle\mathbf{S}, \mathbf{N}\rangle^{2}}{\langle\mathbf{N}, \mathbf{N}\rangle},
\]

где $\langle\mathbf{a}, \mathbf{b}\rangle=a_{1} b_{1}-a_{2} b_{2}-a_{3} b_{3}-$ скалярное произведение в пространстве Минковского. Числитель и знаменатель этой дроби являются функциями Казимира подалгебры $s o(1,2) \otimes_{s} \mathbb{R}^{3}$ с образующими $\left(S_{1}, S_{2}, S_{3}, N_{1}, N_{2}, N_{3}\right)$, при этом $\langle\mathbf{N}, \mathbf{N}\rangle=2 \Delta^{2}$, где $\Delta$ – площадь треугольника, образованного частицами.

Алгебра $l_{7}$, соответствующая скобке (Н.7) представляет собой полупрямую сумму, подалгебры, образованной элементами $S_{i}, i=1, \ldots, 4$ и трехмерного коммутативного идеала: $l_{7}=(s o(1,2) \oplus R) \oplus_{s} R^{3}$.

Квадраты импульсов и взаимных расстояний могут быть записаны в форме
\[
\begin{array}{c}
p_{k}^{2}=\frac{1}{3} \frac{\left\langle\mathbf{e}_{k}, \mathbf{N}\right\rangle S_{4}^{2}-2\left\langle\mathbf{e}_{k}, \mathbf{S}, \mathbf{N}\right\rangle S_{4}+2\left\langle\mathbf{e}_{k}, \mathbf{S}\right\rangle\langle\mathbf{S}, \mathbf{N}\rangle-\left\langle\mathbf{e}_{k}, \mathbf{N}\right\rangle\langle\mathbf{S}, \mathbf{S}\rangle}{\langle\mathbf{N}, \mathbf{N}\rangle}, \\
M_{k}=\left\langle\mathbf{e}_{k}, \mathbf{N}\right\rangle, \quad k=1,2,3,
\end{array}
\]

где $\mathbf{S}=\left(S_{1}, S_{2}, S_{3}\right), \mathbf{N}=\left(N_{1}, N_{2}, N_{3}\right)$, векторы $\mathbf{e}_{k}$ имеют вид
\[
\mathbf{e}_{1}=\frac{1}{\sqrt{6}}(-2,-\sqrt{3}, 1), \quad \mathbf{e}_{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}(-2,0,-2), \quad \mathbf{e}_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}}(-2,-\sqrt{3}, 1)
\]

и удовлетворяют соотношению $\left\langle\mathbf{e}_{i}, \mathbf{e}_{j}\right\rangle=1-\delta_{i j},\langle\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}\rangle$ – определитель матрицы из компонент векторов $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ (форма объема).

Гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{p_{1}^{2}}{m_{1}}+\frac{p_{2}^{2}}{m_{2}}+\frac{p_{3}^{2}}{m_{3}}+\frac{m_{1} m_{2}}{\sqrt{M_{3}}}+\frac{m_{2} m_{3}}{\sqrt{M_{1}}}+\frac{m_{1} m_{3}}{\sqrt{M_{2}}} .
\]

3. Орбиты и симплектические координаты. В алгебре (Н.7) орбиты, соответствующие физическим движениям системы, разделяются на два типа.
1. Регулярные шестимерные орбиты являются поверхностями уровня функции Казимира (Н.8). Квадрат площади треугольника неотрицателен, поэтому для физических симплектических листов $\langle\mathbf{N}, \mathbf{N}\rangle \geqslant \mathbf{0}$. Топологически такая орбита диффеоморфна $T L^{2} \times \mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}$. Здесь $T L^{2}$ – касательное расслоение псевдосферы $\langle\mathbf{N}, \mathbf{N}\rangle=c_{1}$, «радиус» которой принимает неотрицательные значения $c_{1} \in \mathbb{R}^{+}=[0, \infty)$, а последний множитель соответсвует линейной оболочке $S_{4}$.
2. Можно показать (анализируя ранг матрицы (Н.7)), что через точки удовлетворяющие уравнениям $\langle\mathbf{N}, \mathbf{N}\rangle=0,\langle\mathbf{S}, \mathbf{N}\rangle=0$ проходят четырехмерные орбиты, дифферморфные касательному расслоению к конусу $\langle\mathbf{N}, \mathbf{N}\rangle=\mathbf{0}$. Эти орбиты соответсвуют движению частиц по прямой (площадь равна нулю), и параметризуются постоянной $S_{4}=$ const.

Замечание 2. Орбиты, проходящие через точки с отрицательным зачением квадрата площади $\langle\mathbf{N}, \mathbf{N}\rangle<0$ или с нулевыми квадратами расстояний не имеют физического смысла.

Построим симплектические координаты на регулярной орбите, аналогичные переменным Андуайе-Депри в динамике твердого тела (см. §8, гл. 2). Для этого применим следущий алгоритм.

Для алгебры (Н.7) рассмотрим следующую цепочку вложенных подалгебр $s o(1,2) \subset s o(1,2) \oplus_{s} R^{3} \subset l_{7}$.

На подалгебре $s o(1,2)$ в качестве переменной действия (импульса) выберем $L=S_{1}$. Для гамильтонова векторного поля с функцией Гамильтона $\mathcal{H}=L$
\[
\frac{d S_{1}}{d l}=0, \quad \frac{d S_{2}}{d l}=S_{3}, \quad \frac{d S_{3}}{d l}=-S_{2} .
\]

параметр вдоль интегральной кривой $l$ является искомой угловой переменной, канонически сопряженной $L:\{l, L\}=1$. Подбирая константы интегрирования таким образом, чтобы выполнялось соотношение $\left\{S_{2}, S_{3}\right\}=-S_{1}$ получаем
\[
S_{1}=L, \quad S_{2}=\sqrt{L^{2}-G^{2}} \cos l, \quad S_{3}=\sqrt{L^{2}-G^{2}} \sin l .
\]

Функцию Казимира $G=\sqrt{S_{1}^{2}-S_{2}^{2}-S_{3}^{2}}$ подалгебры $s o(1,2)$ выберем в качестве гамильтониана $(H=G)$ на подалгебре $s o(1,2) \oplus_{s} R^{3}$. Интегрируя линейные уравнения
\[
\frac{d N_{1}}{d g}=\frac{S_{3} N_{2}-S_{2} N_{3}}{G}, \frac{d N_{2}}{d g}=\frac{S_{3} N_{1}-S_{1} N_{3}}{G}, \frac{d N_{3}}{d g}=\frac{-S_{2} N_{1}+S_{1} N_{2}}{G},
\]

зависимость констант интегрирования от $L, l, G$ находим из коммутационных соотношений для подалгебры $s o(1,2) \oplus_{s} R^{3}$.
\[
\begin{array}{l}
N_{1}=\frac{H L}{G^{2}}+\frac{\sqrt{L^{2}-G^{2}}}{G} \sqrt{\frac{H^{2}}{G^{2}}-\Delta^{2}} \cos g, \\
N_{2}=\frac{H}{G^{2}} \sqrt{L^{2}-G^{2}} \cos l+\frac{L}{G} \sqrt{\frac{H^{2}}{G^{2}}-\Delta^{2}} \cos g \cos l-\sqrt{\frac{H^{2}}{G^{2}}-\Delta^{2}} \sin g \sin l, \\
N_{3}=\frac{H}{G^{2}} \sqrt{L^{2}-G^{2}} \sin l+\frac{L}{G} \sqrt{\frac{H^{2}}{G^{2}}-\Delta^{2}} \cos g \sin l+\sqrt{\frac{H^{2}}{G^{2}}-\Delta^{2}} \sin g \cos l,
\end{array}
\]

где $H=\langle S, N\rangle, \Delta=\langle N, N\rangle$.
В качестве последней переменной действия выберем $S=S_{4}$. Окончательно получаем следующие выражения через симплектические координаты $(l, g, s, L, G, S)$
\[
\begin{array}{l}
N_{1}=e^{s}\left(\frac{M_{z} L}{G^{2}}+\frac{\sqrt{L^{2}-G^{2}}}{G} \sqrt{\frac{M_{z}^{2}}{G^{2}}-1} \cos g\right), \\
N_{2}=e^{s}\left(\frac{M_{z}}{G^{2}} \sqrt{L^{2}-G^{2}} \cos l+\frac{L}{G} \sqrt{\frac{M_{z}^{2}}{G^{2}}}-1 \cos g \cos l-\sqrt{\frac{M_{z}^{2}}{G^{2}}-1} \sin g \sin l\right), \\
N_{3}=e^{s}\left(\frac{M_{z}}{G^{2}} \sqrt{L^{2}-G^{2}} \sin l+\frac{L}{G} \sqrt{\frac{M_{z}^{2}}{G^{2}}-1} \cos g \sin l+\sqrt{\frac{M_{z}^{2}}{G^{2}}-1} \sin g \cos l\right), \\
S_{4}=S .
\end{array}
\]

Переменные $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ выражаются по формулам (Н.11).

Вместо переменных $s, S$ можно ввести другую пару канонических переменных $x, y$ по формулам $e^{s}=x, S=x y$.

Замечание 3. Используя приведенную алгебраическую структуру задачи трех тел, несложно также реконструировать результаты классиков в проблеме понижения порядка. Однако полученные при этом выражения будут оставаться достаточно громоздскими. Напомним, что в исследованиях Брунса, Уинтнера и ван Кампена в качестве позиционных переменных выбираются взаимные расстояния. Понижение порядка, выполненное Шарлье, использует расстояния трех тел от общего центра инерции.

Используя алгебраическую форму уравнений задачи трех тел насложно исследовать ее частные решения. Одно из таких решений было указано Лагранжем. В этом случае все три тела находятся в вершинах равностороннего треугольника (который в еще более частном случае не меннет своих размеров). Второе решение принадлежит Эйлеру и определяет коллинеарные стационарные конфигурации. Все эти решения можно определить по методу, изложенному в гл. 1, а также получить систему соответствующих инвариантных соотношений, не являющихся, вообще говоря, пуассоновыми многообразиями.

Несложно показать (см. [153]), что «твердотельных» стационарных конфигураций в задаче трех тел всего две – эйлерова и лагранжева. В задаче $n$-тел наиболее подробно изучены коллинеарные конфигурации. По теореме Мультона их число равно $\frac{n !}{2}[149]$.

В работе [149], где дано топологическое доказательство теоремы Мультона с использованием теории Морса. Высказаны также ряд гипотез о количестве неколлинеарных конфигураций в задаче $n$-тел. Насколько нам известно, большинство из них до сих пор не доказаны. Возможно, что алгебраическая форма приведенной системы, предложенная в этом приложении, позволит добиться продвижения в этом вопросе (см. также $\S 6$ гл. 4).