Рассмотрим твердое тело, вращающееся в потенциальном силовом поле вокруг неподвижной точки $O$. Для описания его движения используются различные системы переменных. Конфигурационное пространство, представляющее собой множество всех положений твердого тела, является группой Ли $S O(3)$ (группа ортогональных матриц с определителем единица), и в качестве координат, определяющих положение твердого тела, можно взять, например, углы Эйлера $\theta, \varphi, \psi[5]$.
Для их введения расположим в точке $O$ вершины двух ортогональных трехгранников: неподвижного $O \bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$ и подвижного Охуz, жестко связанного с вращающимся твердым телом (рис. 1).
Первый поворот на угол $\psi$ (угол прецессии) вокруг оси $O \bar{z}$ переводит подвижный трехгранник $O x y z$ в положение $O x^{\prime} y^{\prime} z^{\prime}$. Второй поворот на угол $\theta$ (угол нутации) совершается вокруг оси $O x^{\prime}$, называемой линией узРис. 1 лов. Последний поворот на угол $\varphi$ (угол собственного вращения) вокруг оси $O z$ совмещает оба трехгранника. Таким образом, три поворота, определяемые углами Эйлера, позволяют полностью задать положение подвижного трехгранника оносительно неподвижного.

Углы Эйлера являются локальными координатами на группе и не могут без особенностей параметризовать все гладкое многообразие. Гамильтониан в углах Эйлера $\theta, \varphi, \psi$ и соответствующих им канонических импульсах $p_{\theta}, p_{\varphi}, p_{\psi}$ также содержит особенности и, кроме того, (при

задании некоторого потенциала $V$ ) является слишком громоздким и неалгебраическим, что делает канонические уравнения движения неудобными для поиска первых интегралов и проведения численных расчетов.

1. Уравнения движения в направляющих косинусах. Рассмотрим другую систему переменных ( $\mathbf{M}, \alpha, \beta, \gamma)$, где $\mathbf{M}=\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)$ компоненты кинетического момента на оси связанной с телом системы координат, а $\alpha, \beta, \gamma$ единичные орты неподвижного пространства в проекциях на оси связанной с телом системы координат. Матрица направляющих косинусов (матрица поворота), определяющая положение твердого тела в неподвижном пространстве
\[
\mathbf{Q}=\left(\begin{array}{lll}
\alpha_{1} & \beta_{1} & \gamma_{1} \\
\alpha_{2} & \beta_{2} & \gamma_{2} \\
\alpha_{3} & \beta_{3} & \gamma_{3}
\end{array}\right)
\]

является ортогональной и принадлежит группе $S O(3)$.
Запишем уравнения Пуанкаре ( $\S 6$ гл. 1) на группе $S O(3)$, используя в качестве квазискоростей компоненты угловой скорости $\omega$ на оси, связанной с телом системы координат, а в качестве избыточных координат на группе, компоненты направляющех косинусов. При этом в качестве базиса векторных полей $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ выступают левоинвариантные векторные поля на $S O(3)$, отвечающие вращениям твердого тела вокруг главных осей $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ элипсоида инерции с единичной угловой скоростью. В трехмерном евклидовом пространстве, вследствие $e_{1} \times e_{2}=e_{3}, e_{2} \times e_{3}=e_{1}, e_{3} \times e_{1}=e_{2}$, получаются следующие соотношения для коммутаторов $\left[v_{1}, v_{2}\right]=v_{3},\left[v_{2}, v_{3}\right]=v_{1},\left[v_{3}, v_{1}\right]=v_{2}$. Пользуясь формулами Пуассона, выражающими условия постоянства векторов $\alpha, \beta, \gamma$ в неподвижной системе координат: $\dot{\alpha}=\alpha \times \omega, \ldots$, получим выражения для $v^{i}(L)$ (формула (6.4) §6 гл. 1)
\[
\dot{L}=\left\langle\frac{\partial L}{\partial \alpha}, \dot{\alpha}\right\rangle+\left\langle\frac{\partial L}{\partial \beta}, \dot{\beta}\right\rangle+\left\langle\frac{\partial L}{\partial \gamma}, \dot{\gamma}\right\rangle=\left\langle\omega, \frac{\partial L}{\partial \alpha} \times \alpha+\frac{\partial L}{\partial \beta} \times \beta+\frac{\partial L}{\partial \gamma} \times \gamma\right\rangle
\]

Таким образом, уравнения Пуанкаре в потенциальном поле сил с лагранжианом $L=T+V$, где $T=\frac{1}{2}(I \omega, \omega)$ – левоинвариантная квадратичная форма кинетической энергии с диагональным тензором инерции $I=\operatorname{diag}\left(I_{1}, I_{2}, I_{3}\right), V$ – потенциальная функция, зависящая, вообще говоря, от всех компонент направляющих косинусов $V=V(\alpha, \beta, \gamma)$,

имеют явный вид
\[
\left\{\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \omega}+\frac{\partial L}{\partial \omega} \times \omega=\frac{\partial L}{\partial \alpha} \times \alpha+\frac{\partial L}{\partial \beta} \times \beta+\frac{\partial L}{\partial \gamma} \times \gamma, \\
\dot{\alpha}=\alpha \times \omega, \quad \dot{\beta}=\beta \times \omega, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \omega .
\end{array}\right.
\]

В такой форме уравнения остаются справедливыми и при наличии гироскопических сил. При этом в лагранжиане появляются дополнительные, линейные по $\omega$ слагаемые, определяющие обобщенный потенциал $L=T+(W, \omega)-V, W=W(\alpha, \beta, \gamma), V=V(\alpha, \beta, \gamma)$. Компоненты вектора $W$ задают векторный потенциал гироскопических сил.

Переходя с помощью преобразования Лежандра к проекциям момента на оси, связанной с телом системы координат $\mathbf{M}=\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)$ $\mathbf{M}=\frac{\partial L}{\partial \omega}, H=(\mathbf{M}, \omega)-\left.L\right|_{\omega \rightarrow \mathbf{M}}$, получим уравнения движения в гамильтоновой форме (уравнения Пуанкаре-Четаева)
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\alpha \times \frac{\partial H}{\partial \alpha}+\beta \times \frac{\partial H}{\partial \beta}+\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \gamma}, \\
\dot{\alpha}=\alpha \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}, \quad \dot{\beta}=\beta \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}, \\
H=\frac{1}{2}\left(\mathbf{M}^{*}, \mathbf{A} \mathbf{M}^{*}\right)+V(\alpha, \beta, \gamma), \quad \mathbf{M}=\mathbf{M}^{*}+W(\alpha, \beta, \gamma), \quad \mathbf{A}=\mathbf{I}^{-1} .
\end{array}
\]

Уравнения (1.2) являются уравнениями Гамильтона с пуассоновой структурой, определяемой алгеброй $s o(3) \oplus_{s} \mathbb{R}^{3} \oplus \mathbb{R}^{3} \oplus \mathbb{R}^{3}$, являющейся полупрямой суммой алгебры вращений и трех алгебр трансляций (см. формулу (6.10) §6 гл. 1)
\[
\begin{array}{l}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, \alpha_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \alpha_{k}, \\
\left\{M_{i} \beta_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \beta_{k}, \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \\
\left\{\alpha_{i}, \alpha_{j}\right\}=\left\{\beta_{i}, \beta_{j}\right\}=\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=\left\{\alpha_{i}, \beta_{j}\right\}=\left\{\alpha_{i}, \gamma_{j}\right\}=\left\{\beta_{i}, \gamma_{j}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Скобка Пуассона (1.3) является вырожденной и обладает шестью функциями Казимира
\[
\begin{array}{lll}
f_{1}=(\alpha, \alpha), & f_{2}=(\beta, \beta), & f_{3}=(\gamma, \gamma), \\
f_{4}=(\alpha, \beta), & f_{5}=(\alpha, \gamma), & f_{6}=(\beta, \gamma) .
\end{array}
\]

Размерность неособого симплектического листа, гомеоморфного (ко)касательному расслоению $S O(3)$, равна шести. Вследствие выполнения соотношений ортонормированности, симплектический лист определяется условиями: $f_{1}=f_{2}=f_{3}=1, f_{4}=f_{5}=f_{6}=0$.

Замечание 1. Отметим, что если за переменные, определяющие движение твердого тела, выбраны проекции кинетического момента тела на оси неподвижной системы координат $O \bar{x} \bar{y} \bar{z}$ и строки матрицы поворота $\mathbf{A}$ (1.1) (а не столбцы, как в (1.2)), то образуетея алгебра, изоморфная (1.3) (но следует везде заменить знаки «минус» на «плюс»). Уравнения движения на ней рассматриваются в $\S 10$ гл. 2.
Замечание 2. Компоненты момента М связаны с переменными Эйлера следующими сотношениями, получающимися из кинематических уравнений Эйлера
\[
\begin{array}{l}
M_{1}=\frac{\sin \varphi}{\sin \theta}\left(p_{\psi}-p_{\varphi} \cos \theta\right)+p_{\theta} \cos \varphi, \\
M_{2}=\frac{\cos \varphi}{\sin \theta}\left(p_{\psi}-p_{\varphi} \cos \theta\right)-p_{\theta} \sin \varphi, \\
M_{3}=p_{\varphi} .
\end{array}
\]

Для практических вычислений избыточность уравнений (1.2) является очень неудобной, так как, например, при численном интегрировании этих уравнений быстро нарушаются соотношения ортонормированности (хотя уравнения (1.2) остаются справедливыми и в случае, если вектора $\alpha, \beta, \gamma$ необразуют ортонормированный базис – в этом случае динамика развертывается на других симплектических листах). В следующем параграфе будет рассмотрена кватернионная форма уравнений движения, которая лишена этого недостатка.

Уравнения (1.2) были изучены на интегрируемость при разных видах потенциала $V$. Так как симплектический лист является шестимерным, то для интегрируемости по Лиувиллю недостает еще двух инволютивных интегралов. Для линейного по $\alpha, \beta, \gamma$ потенциала эти уравнения будут подробно обсуждаться в $\S \S 3,4$, в которых, в частности, приведена классификация интегрируемых случаев. Для квадратичного потенциала $V$ интегрируемые задачи были указаны еще Бруном и более подробно изучены О. И. Богоявленским (§10). В этом параграфе мы остановимся на более простом случае, когда гамильтониан $H$ обладает осевой симметрией в абсолютном пространстве, а стало быть, может быть представлен как функция лишь части напрявляющих косинусов, например, $\gamma=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right)$. В такой форме могут быть представлены

уравнения движения классических проблем динамики твердого тела уравнения Эйлера-Пуассона, Кирхгофа, Бруна-Тиссерана [5, 28].

Уравнения движения при наличии осевой симметрии представляют всего лишь часть уравнений (1.2), так как скобка Пуассона (1.3) обладает замкнутой подалгеброй ( $\mathbf{M}, \gamma$ ), хотя они и могут быть получены из общих соображений редукции, изложенных в §8 гл. 1. Эти уравнения и соответствующая им пуассонова структура, определяющаяся алгеброй $e(3)=s o(3) \oplus_{s} \mathbb{R}^{3}$, имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\left\{\begin{array}{l}
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \gamma}, \\
\dot{\gamma}=\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}},
\end{array}\right. \\
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Уравнения (1.5) всегда обладают двумя первыми интегралами
\[
F_{1}=(\mathbf{M}, \gamma)=\mathbf{c}_{1}, \quad F_{2}=(\gamma, \gamma)=\mathbf{c}_{2},
\]

являющимися функциями Казимира пуассоновой структуры. Первый из них – линейный по моменту $\mathbf{M}$ – представляет собой интеграл площадей и связан с существованием циклической переменной $\psi$. Второй является геометрическим и выражает постоянство величины орта $\gamma$, определяющего ось симметрии силового поля в абсолютном пространстве $\left(\mathbf{c}_{2}=1\right)$. Для интегрируемости системы (1.5) недостает еще одного дополнительного интеграла.

Рассмотрим две классические задачи, допускающие запись в форме (1.5). Первая из них – задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, описываемая уравнениями ЭйлераПуассона, вторая – задача об инерционном движении односвязного твердого тела в жидкости, описываемая уравнениями Кирхгофа.

2. Уравнения Эйлера-Пуассона. В этом случае гамильтониан $H$ имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A M}, \mathbf{M})-P(\mathbf{r}, \gamma),
\]

где $\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)-$ матрица, обратная тензору инерции, $P-$ вес тела, $\mathbf{r}$ – радиус-вектор центра масс в связанной с телом системе

координат. Все известные общие и частные случаи интегрируемости уравнений (1.5) были найдены в прошлом и в начале нынешнего века. Они приведены в таблице 1 (под степенью дополнительного интеграла понимается его степень по моментам $\mathbf{M}$, или, что тоже самое, степень квазиоднородности).

Таблица 1.
Более подробный анализ случаев интегрируемости, сами дополнительные интегралы, а также различные системы инвариантных соотношений для системы (1.5),(1.6) можно найти в книгах $[5,28,51,77]$.

В общем случае уравнения Эйлера-Пуассона не являются интегрируемыми и демонстрируют хаотическое поведение [28].

3. Уравнения Кирхгофа. Эти уравнения также могут быть записаны в виде (1.5). Такое представление для них было указано А. Клебшем $[223]$. Он получил его при помощи преобразования Лежандpa $(\omega, \mathbf{v}) \rightarrow(\mathbf{M}, \gamma)$ из лагранжевой формы уравнений
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \omega}=\frac{\partial L}{\partial \omega} \times \omega+\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}} \times \mathbf{v} \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}}=\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}} \times \omega
\end{array}
\]

полученной ранее Кирхгофом [74].
Функция Гамильтона уравнений Кирхгофа $H$ имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A M}, \mathbf{M})+(\mathbf{B M}, \gamma)+\frac{1}{2}(\mathbf{C} \gamma, \gamma)
\]

и представляет собой кинетическую энергию системы «тело+жидкость». Матрицы $\mathbf{A , B}, \mathbf{C}$ без ограничения общности можно считать симметричными, а матрицу $\mathbf{A}$ – диагональной. Они определяют присоединенные массы и моменты инерции, обусловленные взаимодействием

тела с жидкостью $[12,110]$. Компоненты $M_{i}$ и $\gamma_{i}$, называемые в гидродинамики векторами импульсивного момента и импульсивной силы соответственно, получаются при помощи преобразования Лежандра $\mathbf{M}=\frac{\partial L}{\partial \omega}, \gamma=\frac{\partial L}{\partial \mathbf{v}}$ из групповых переменных $\omega_{i}, v_{i}$, являющихся компонентами в базисе левоинвариантных векторных полей, соответствующих «единичным» вращениям и трансляциям вокруг осей, фиксированных в поле. При отсутствии жидкости $\mathbf{B}=0, \mathbf{C}=m \mathbf{E}$, где $m-$ масса тела. В этом случае первая часть уравнений (1.5) отделяется и представляют собой уравнения Эйлера на $s o(3)$, а вторая часть выражает закон сохранения суммарного импульса в неподвижной системе координат (теорема Бернулли о независимости движения центра масс и вокруг центра масс).

ЗАмЕчАниЕ 3. Указанная различная интерпретация векторов $\mathbf{M}, \gamma$ в уравнениях Кирхгофа и при движении вокруг неподвижной точки в осесимметричном поле, позволяет указать аналогии между решениями этих задач. Первая такая аналогия была указана В. А. Стекловым в [320] (интеграл КлебшаБруна-Тиссерана). Ее обобщение на случай движения твердого тела вогруг неподвижной точки в обобщенно-потенциальном поле, квадратичном по $\mathbf{M}, \gamma$ (например, заряженное твердое тело в однородном магнитном поле) обсуждается, например, в $[7]$.

В некотором смысле, эта общая аналогия является алгебраическим выражением концепции Герца [4], который считал, что все потенциальные силы в механике можно обънснить «скрытыми» циклическими движениями.

Замечание 4. Гамильтоновость уравнений Кирхгофа на (ко)алгебре $e(3)$ была явно указана в $[129]$, хотя понимание этого факта было достигнуто физиками существенно раньше (Г. Биркгоф [12]). Их гамильтоновость была естественной для Пуанкаре, который во вполне современных понятиях обсуждал ее в родственной проблеме [308].

Случаи интегрируемости уравнений Кирхгофа приведены в таблице 2. Для всех случаев интегрируемости выполнено условие $\mathbf{B}=$ $=\operatorname{diag}\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right), \mathbf{C}=\operatorname{diag}\left(c_{1}, c_{2}, c_{3}\right)$.

Вид функций $f_{i}$, дополнительные первые интегралы и анализ случаев интегрируемости читатель может найти, например, в [18].

Случаи Клебша I и III, а также случаи Ляпунова и Стеклова являются взаимными, т. е. дополнительные интегралы одной из проблем могут быть приняты за функции Гамильтона для второй. Эти взаимные случаи могут быть включены в единое семейство (для случаев Ляпунова и Стеклова такое включение было указано Колосовым).

Таблица 2.
В общем случае уравнения Кирхгофа также являются неинтегрируемыми. Необходимые условия существования квадратичных интегралов были изучены В. А. Стекловым, обсуждение вопросов несуществования аналитических, однозначных, алгебраических интегралов содержится в работе $[7,25]$.

Замечание 5. В работе [129] выполнена также гамильтонова редукция системы Кирхгофа на функции Казимира $F_{1}=(\mathbf{M}, \gamma), F_{2}=(\gamma, \gamma)$ и введена одна из возможных систем «почти» канонических переменных (при этом в скобку Пуассона внесены члены, отвечающие магнитному полю «монополя Дирака»). Эта система, естественно, совпадает с переменными Эйлера ( $\left.p_{\theta}, p_{\varphi}, \theta, \varphi\right)$ после исключения циклической координаты $\psi$. Однако, во многих случаях, более удобной системой канонических координат на симплектических слоях пуассоновой структуры алгебры $e(3)$ являются переменные Андуайе – Депри (см. напр. [5]). Избыточные канонические переменные $\mathbf{q}, \mathbf{p}$ на особом листе $(\mathbf{M}, \gamma)=0,(\gamma, \gamma)=1$ указаны в работе $[78]$, при этом $\mathbf{M}=\mathbf{q} \times \mathbf{p}, \gamma=\mathbf{q}$.

Замечание 6. Неавтономная система на алгебре so(3) была рассмотрена Ж. Лиувиллем [280] в связи с исследованием одной задачи из небесной механики (движение твердого тела с изменяющимися во времени моментами инерции). В работе [24] исследована интегрируемость этих уравнений при периодической зависимости от времени, в [31] рассматриваются вопросы возникновения адиабатического хаоса при медленном периодическом изменении параметров (в [93] приведена «вихревая» интерпретация этих уравнений). Неавтономные уравнения динамики твердого тела на алгебре $e(3)$ изучались в [86] в связи с задачей Чаплыгина о падении тяжелого твердого тела в безграничном объеме идеальной безвихревой несжимаемой жидкости.

Приведем еще одну классическую задачу, имеющую различные взаимосвязи с только что рассмотренной.

4. Уравнения Пуанкаре-Ламба-Жуковского. Под этими уравнениями понимается система, описывающая движение вокруг неподвижной точки твердого тела, имеющего эллипсоидальную полость, полностью заполненную однородной вихревой идеальной несжимаемой жидкостью $[28,110,121]$. Эта система является гамильтоновой со скобкой Пуассона, определяемой полупростой алгеброй so(4) и квадратичным гамильтонианом (1.8). В случае его положительной определенности эти уравнения могут рассматриваться как уравнения геодезических на группе $s o(4)$, или как уравнения Эйлера для свободного движения четырехмерного твердого тела. С этой точки зрения задача рассматривалась в прошлом веке В. Фрамом (1875 г.) и Ф. Шоттки (1891 г.) [18].

В зависимости от динамического происхождения рассматриваемых уравнений удобнее пользоваться различными системами переменных $(\mathbf{M}, \gamma$ ) или $(\mathbf{K}, \mathbf{S})$, связанных между собой соотношениями $\mathbf{M}=\frac{\mathbf{K}+\mathbf{S}}{2}, \gamma=\frac{\mathbf{K}-\mathbf{S}}{2}$ и соответствующие возможности разложения алгебры $s o(4)$ в прямую сумму $s o(3) \oplus s o(3)$. Скобки Пуассона и соответствующие формы уравнений движения для этих систем переменных имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\left\{K_{i}, K_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} K_{k}, \quad\left\{K_{i}, S_{j}\right\}=0, \quad\left\{S_{i}, S_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} S_{k}, \\
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \quad\left\{\gamma_{i}, \gamma_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} \gamma_{k}, \\
\dot{\mathbf{K}}=\mathbf{K} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{K}}, \quad \dot{\mathbf{S}}=\mathbf{S} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{S}}, \\
\dot{\mathbf{M}}=\mathbf{M} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \gamma}, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}+\mathbf{M} \times \frac{\partial H}{\partial \gamma} .
\end{array}
\]

Векторы $\mathbf{K}, \mathbf{S}$ для уравнений Пуанкаре-Ламба-Жуковского имеют смысл кинетического момента системы тело + жидкость и вектора однородной завихренности соответственно. Эволюция последнего определяется уравнениями Гельмгольца [110].

Пуассоновы структуры (1.9) имеют соответственно по две центральные функции
\[
\begin{array}{ll}
F_{1}=(\mathbf{K}, \mathbf{K})=c_{1}, & F_{2}=(\mathbf{S}, \mathbf{S})=c_{2}, \\
F_{1}=(\mathbf{M}, \mathbf{M})-(\gamma, \gamma)=c_{1}, & F_{2}=(\mathbf{M}, \gamma)=c_{2},
\end{array}
\]

и для интегрируемости соответствующих уравнений недостает еще одного первого интеграла.

При замене $\gamma \rightarrow \varepsilon \gamma$ и предельном переходе $\varepsilon \rightarrow 0$ в коммутационных соотношениях (1.9) получается алгебра $e(3)$. Эта процедура носит название контракиии (стягивания) алгебр Ли и позволяет установить взаимосвязь между различными интегрируемыми случаями, имеющимися у уравнений (1.5) и (1.9).

Известные до настоящего времени интегрируемые случаи системы (1.9) представлены в таблице 3.

Таблица 3.
В таблице 3 не приведены условия на параметры, при которых реализуются интегрируемые случаи, так как они имеют достаточно сложный вид. Их можно найти в [18], где приводятся также различные формы дополнительных интегралов. Случай Шоттки, который указал также явное сведение к квадратурам, обычно связывают с именем Манакова, который показал интегрируемость его $n$-мерного аналога. Как замечено в работе [129], случаи Шоттки и Стеклова [321] после контракции переходят в случаи Клебша и Стеклова для уравнений Кирхгофа. Более того, как показано в [13], эти случаи переводятся друг в друга линейным преобразованием.

Частный случай Богоявленского [18] во многом аналогичен случаю Чаплыгина в уравнениях Кирхгофа, однако, видимо, ему не изоморфен. Общий случай интегрируемости, найденный Адлером и ван Мербеке [177], является до сих пор в динамике твердого тела наиболее сложным и наименее изученным. Он не имеет аналогов для уравнений Кирхгофа.

Замечание 7. Интегрируемые случаи, указанные в таблице 3 не все обладают физическим содержанием, так как для уравнений Пуанкаре-ЛамбаЖуковского коэффициенты матриц А, В, С не являются произвольными и имеют достаточно ограниченную область изменения.

Замечание 8. На алгебре so(4) можно также рассмотреть уравнения Эйлера-Пуассона, определяемые гамильтонианом (1.7). Нам неизвестно, можно ли придать этим уравнениям механическую интерпретацию, тем не

менее для них существует аналог случая Ковалевской, указанный в [104], который также не контрагируется в классический случай Ковалевской и пока еще мало изучен.

5. Многомерные обобщения. Постановка задачи о $n$-мерных обобщенных уравнениях Эйлера восходит к А. Кэли. Более подробный исторический комментарий по этому поводу содержится в книге [18]. В этом веке интерес к $n$-мерным обобщениям был возобновлен, начиная с работы В. И. Арнольда [1], которая повлекла за собой серию многочисленных чисто математических исследований, связанных с интегрируемостью уравнений Эйлера на различных (иногда совсем экзотических) алгебрах Ли $[152,156]$. Тем не менее, как будет показано в гл. 5 , некоторые из этих абстрактных результатов допускают естественную физическую интерпретацию.

Существуют различные многомерные обобщения для уравнений $(1.5),(1.9)$ и указанных случаев интегрируемости. Это обобщение неоднозначно, так как, например, для $s o(n)$ уже не справедливо прямое разложение в прямую сумму полупростых слагаемых и можно отдельно рассматривать обобщения на $S O(n)$ и $S O(m) \oplus S O(m)$. Многомерный аналог случая Лагранжа рассмотрен в [10,141], случая Ковалевской в $[136,141,247,312]$. Многомерное обобщение случая Клебша на $e(n)$ приведен Переломовым [135], случая Шоттки-Манаковым $[18,115]$. Одно из возможных обобщений семейств Стеклова-Ляпунова построено в [22]. Многомерные системы взаимодействующих волчков обсуждаются в [137]. Во всех этих работах интегрируемость полученных обобщений доказывается с помощью явного построения $\mathbf{L}-\mathbf{A}$ пары и анализа полноты набора первых интегралов.

В $\S \S 9,10$ этой главы указанные интегрируемые обобщения построены с помощью единого метода, основанного на анализе согласованных пучков на полупростых алгебрах Ли. Соответствующие пучки порождают представление Лакса-Гейзенберга, а в двойственном пространстве определяют бигамильтонову структуру. Использование утверждений $\S 5$ гл. 1 позволяет доказать полноту получившегося семейства инволютивных интегралов. Этот метод также дает возможность указать явные формулы, определяющие изоморфизм многомерных систем Клебша и Манакова, а также для семейств Ляпунова-Стеклова.

Отметим, что многомерные аналоги приведенных частных случаев интегрируемости, которые, видимо, следует искать на сингулярных орбитах (ко)алгебр Ли, до сих не получены.