1. Задача Бруна. Рассмотрим задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки в силовом поле, потенциал которого является произвольной квадратичной формой относительно направляющих косинусов $(\alpha, \beta, \gamma)$. Эта проблема изучалась Ф. Бруном в прошлом столетии, но окончательные результаты получены совсем недавно [18], (см.

также $[17,139]$ ). Оказалось, что двух дополнительных интегралов движения, найденных Бруном и недостаточных для интегрирования по теории последнего множителя, хватает для интегрирования по теореме Лиувилля, если воспользоваться гамильтоновой структурой уравнений движения. В этой структуре два дополнительных интеграла находятся в инволюции). Хотя интегрируемость волчка в квадратичном потенциале (а также его $n$-мерные обобщения, пары взаимодействующих волчков и движение точки на однородных пространствах в потенциалах специального вида) была формально изучена в [139], наиболее законченное выражение они приобрели в работах Богоявленского $[17,18]$. В них также содержатся различные физические интерпретации этой задачи.

Рассмотрим сначала динамику симметричного твердого тела в ньютоновском гравитационном поле. Гамильтониан системы в этом случае может быть представлен в виде
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}\right)-\frac{a-1}{a}\left(a_{1} \alpha_{3}{ }^{2}+a_{2} \beta_{3}{ }^{2}+a_{3}{\gamma_{3}}^{2}\right),
\]

где $a_{i}, a \in \mathbb{R}$, причем компоненты направляющих косинусов на оси, связанной с телом системы координат, обозначены через $\alpha_{i}, \beta_{i}, \gamma_{i}$ (см. §1). Из уравнений движения следует, что компонента $M_{3}$ является интегралом движения. Кроме того, как следует из непосредственных вычислений, проекции моментов на оси, связанные с абсолютным пространством $K_{1}=(\mathbf{M}, \alpha), K_{2}=(\mathbf{M}, \beta), K_{3}=(\mathbf{M}, \gamma)$, а также проекции на те же оси единичного орта, направленного вдоль оси динамической симметрии (с компонентами $\left(p_{1}, p_{2}, p_{3}\right)=\left(\alpha_{3}, \beta_{3}, \gamma_{3}\right)$, образуют алгебру Ли $e(3)$
\[
\left\{K_{1}, K_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} K_{k}, \quad\left\{K_{i}, p_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} p_{k}, \quad\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=0 .
\]

В силу интеграла $M_{3}=$ const гамильтониан (10.1) можно записать в переменных $K_{i}, p_{j}$ (пользуясь также тем, что $\mathbf{M}^{2}=\mathbf{K}^{2}$ )
\[
H=\frac{1}{2} \mathbf{K}^{2}-\frac{a-1}{a}\left(a_{1} p_{1}^{2}+a_{2} p_{2}^{2}+a_{3} p_{3}^{2}\right) .
\]

Уравнения движения с гамильтонианом (10.3) совпадают с уравнениями движения точки по двумерной сфере в поле сил с квадратичным потенциалом (задача Неймана). Эта аналогия была замечена в [17] без использования уравнений на алгебре (10.2).

Если отказаться от требования динамической симметрии, гамильтониан системы с условиями коммутации (1.3) (§2 гл. 2) имеет вид [18]
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{A M}, \mathbf{M})-x\left(\mathbf{A}^{-1} \alpha, \alpha\right)-y\left(\mathbf{A}^{-1} \beta, \beta\right)-z\left(\mathbf{A}^{-1} \gamma, \gamma\right),
\]

где $x, y, z \in R, \mathbf{A}$ – матрица, обратная матрице инерции I. Отождествим трехмерные векторы $\mathbf{M}, \alpha, \beta, \gamma$ с кососимметрическими матрицами (которые обозначим также) и рассмотрим алгебру переменных $M_{i}$ и компонент симметрической матрицы $\mathbf{u}=x \alpha^{2}+y \beta^{2}+z \gamma^{2}$. В матричных обозначениях условия коммутации в алгебре $l^{9}$, каждый элемент которой представим в форме $\mathbf{l}=\mathbf{M}+\mathbf{u}$, можно записать в виде
\[
[\mathbf{M}, \mathbf{u}]=\mathbf{M u}-\mathbf{u M}, \quad\left[M_{1}, M_{2}\right]=M_{1} M_{2}-M_{2} M_{1}, \quad\left[u_{1}, u_{2}\right]=0,(10.5)
\]

а соответствующая этой алгебре Ли скобка Ли-Пуассона примет вид
\[
\{f, g\}=\sum_{i j k} c_{i j}^{k} x^{k} \frac{\partial f}{\partial x^{i}} \frac{\partial g}{\partial x^{j}} .
\]

Скобка Пуассона (10.6) обладает функциями Казимира
\[
J_{4}=\operatorname{Tr}(\mathbf{u}), \quad J_{5}=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{u}^{2}\right), \quad J_{6}=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{u}^{3}\right),
\]

и при ограничении на шестимерное многообразие $M^{6}$, определяемое этими функциями Казимира, уже является невырожденной. Для интегрируемости системы по Лиувиллю не хватает еще двух дополнительных инволютивных интегралов.
Гамильтониан (10.4) в переменных $\mathbf{M}, \mathbf{u}$ имеет вид
\[
J_{1} \equiv H=\operatorname{Tr}\left(\frac{1}{2}(\mathbf{M}, \mathbf{A} \mathbf{M})-\left(\mathbf{u} \mathbf{A}^{-1}\right)\right),
\]

а сами уравнения можно записать в компактной форме
\[
\dot{\mathbf{M}}=\left[\mathbf{M}, \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}\right], \quad \dot{\mathbf{u}}=\left[\mathbf{u}, \frac{\partial H}{\partial \mathbf{M}}\right] .
\]

Уравнения (10.7) можно записать в виде Лакса-Гейзенберга с параметром $\lambda$, входящем в это представление рациональным образом
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{L}} & =[\mathbf{L}, \mathbf{A}], \\
\mathbf{L} & =\lambda \mathbf{M}+\mathbf{u}+\lambda^{2} \mathbf{B}, \\
\mathbf{A} & =\omega-\lambda I .
\end{aligned}
\]

Кроме указанных выше интегралов движения, уравнения всегда обладают инволютивными интегралами
\[
J_{2}=\operatorname{Tr}\left(\frac{1}{2} \mathbf{M}^{2}+\mathbf{B u}\right), \quad J_{3}=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{M}^{2} \mathbf{u}+\mathbf{B} \mathbf{u}^{2}\right),
\]

где $B_{i j}=\left(a_{1} a_{2} a_{3}\right)^{-1} a_{i} \delta_{i j}$, и поэтому система (10.4) на шестимерном симплектическом многообразии $M^{6}$ является вполне интегрируемой по Лиувиллю, а динамика происходит по трехмерным торам, определяемым интегралами $J_{i}=C_{i}(i=1,2,3)$, квазипериодическим образом.

Формулы (10.8) могут быть получены из общей конструкции, связывающей бигамильтоново описание системы (10.7) и представление Лакса-Гейзенберга [20].

2. Картановское разложение и согласованные семейства скобок. Рассмотрим алгебру Ли $G$, представленную в виде картановского разложения $G=H+V$, где $H$ – подалгебра и выполнены следующие соотношения
\[
[H, H] \subset H, \quad[H, V] \subset V, \quad[V, V] \subset H .
\]

В этом случае алгебра $G$ допускает инволютивный автоморфизм $\theta: G \rightarrow G$, для которого $\left.\theta\right|_{H}=\mathrm{id},\left.\theta\right|_{V}=-\mathrm{id}$ (инволюция Картана). Алгебра $G$ при этом называется симметрической, а пара $(G, H)$ – puмановой симметрической парой.

Двойственное пространство $G^{*}$ может быть представлено в виде $G^{*}=H^{*}+V^{*}$, так, что $H^{*} \perp V, V^{*} \perp H$.

Рассмотрим еще одну алгебру Ли $G_{\theta}$, которая совпадает с $G$ как линейное пространство, а коммутатор отличается только тем, что подпространство $V$ коммутативно (коммутативный идеал): $[V, V]=0$. Для $[H, H]$ и $[H, V]$ коммутатор остается прежним. Несложным вычислением можно доказать следующее [152]:
Предложение 6. Алгебры $G$ и $G_{\theta}$ образуют лиев пучок, а на двойственном пространстве $G^{*}$ возникают две согласованные скобки Пуассо$н а\{\cdot, \cdot\}$ и $\{\cdot, \cdot\}_{\theta}$.

Еще одна скобка $\{\cdot, \cdot\}_{a}$, описанная в $\S 5$ гл. 1, связана со сдвигом аргумента
\[
\{f, g\}_{a}(x)=\langle a,[d f(x), d g(x)]\rangle .
\]

Если $a \in V^{*}$, то в формуле (10.10), коммутаторы $[\cdot, \cdot]$ и $[\cdot, \cdot]_{a}$ можно взаимозаменять.

Предложение 7. Если $a \in V^{*}$, то скобки $\{\cdot, \cdot\},\{\cdot, \cdot\}_{a}$ и $\{\cdot, \cdot\}_{\theta}$ образуют семейство согласованных скобок Пуассона.

Пусть $G$ – полупростая алгебра Ли (или хотя бы алгебра Ли, на которой существует невырожденная аd-инвариантная квадратичная форма, в этом случае $\mathrm{ad}=\mathrm{ad}^{*}$ ). При этом разложение $I I+V$ ортогонально. Оказывается, что в этом случае скобка $\{\cdot, \cdot\}_{\alpha \beta \gamma}=\alpha\{\cdot, \cdot\}+\beta\{\cdot, \cdot\}_{\theta}+$ $+\gamma\{\cdot, \cdot\}_{a}$ может быть представлена в следующем явном виде.

Действительно, для элемента $x \in G^{*} \equiv G$, представимого в виде $x=h+v, h \in H^{*} \equiv H, v \in V^{*} \equiv V$ и функции $f$ на $G^{*} \equiv G$, дифференциал $d f$ может быть записан в виде $d f=\xi+\eta$, где $\xi \in H, \eta \in V$. Явная формула для гамильтонова векторного поля, порождаемого функцией $f$ и скобкой $\{\cdot, \cdot\}_{\alpha \beta \gamma}$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
\{\cdot, d f\}_{\alpha \beta \gamma}= & \operatorname{sgrad}_{\alpha \beta \gamma} f(x)= \\
= & \alpha \operatorname{ad}_{\xi+\eta}^{*}(h+v)+\beta\left(\operatorname{ad}_{\theta}\right)_{\xi+\eta}^{*}(h+v)+\gamma \operatorname{ad}_{\xi+\eta}^{*} a= \\
= & \alpha([\xi, \eta]+[\xi, v]+[\eta, v]+[\eta, h])+ \\
& +\beta([\xi, h]+[\xi, v]+[\eta, v])++\gamma([\xi, a]+[\eta, a])= \\
= & \{(\alpha+\beta)([\xi, h]+[\eta, v])+\gamma[\eta, a]\}+ \\
& +\{(\alpha+\beta)[\xi, v]+\alpha[\eta, h]+\gamma[\xi, a]\} .
\end{aligned}
\]

Две последние фигурные скобки отражают разложение по $H$ и $V$. Справедливо следующее

Предложение 8. Если $\alpha+\beta
eq 0$, то скобка Пуассона $\{\cdot, \cdot\}_{\alpha \beta \gamma}$ эквивалентна (сводится линейной заменой) скобке $\{\cdot, \cdot\}$ (которая является полупростой), и любая система, допускающая гамильтонову запись относительно семейства скобок $\{\cdot, \cdot\}_{\alpha \beta \gamma}$ (и, стало быть, являющуюся бигамильтоновой), допускает представление Лакса-Гейзенберга с рациональным спектральным параметром.

В качестве доказательства укажем явно процесс сведения к $\mathbf{L}-\mathbf{A}$ паре. Используя разложение $x=h+v, d f=\xi+\eta(h, \xi \in H, v, \eta \in V)$, векторное поле $v_{f}=\{\cdot, d f\}_{\alpha \beta \gamma}$ можно представить в виде
\[
\begin{aligned}
\dot{h} & =(\alpha+\beta)([\xi, h]+[\eta, h])+\gamma[\eta, a] \\
\dot{v} & =(\alpha+\beta)[\xi, h]+\alpha[\eta, h]+\gamma[\xi, a] .
\end{aligned}
\]

Эквивалентным $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-представлением является
\[
\frac{d}{d t}(\lambda h+\mu v+
u a)=\left[\frac{\xi}{h}+\frac{\eta}{\mu}, \lambda h+\mu v+
u a\right],
\]

где $\lambda=\frac{1}{\alpha+\beta}, \frac{1}{\sqrt{\alpha(\alpha+\beta)}},
u=\frac{\gamma}{(\alpha+\beta) \sqrt{\alpha(\alpha+\beta)}}$. Формула (10.12) может также быть записана в виде
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left(\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}} h+v+\frac{\gamma}{\alpha+\beta} a\right)= \\
=(\alpha+\beta)\left[\xi+\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}} \eta, \sqrt{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}} h+v+\frac{\gamma}{\alpha+\beta} a\right]
\end{array}
\]

или форме $\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]$, где
\[
\mathbf{L}=\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha+\beta}} h+v+\frac{\gamma}{\alpha+\beta} a, \quad \mathbf{A}=(\alpha+\beta)\left(\xi+\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha+\beta} \eta}\right) .
\]

Рассмотрим в качестве следствия частный случай $\gamma=\alpha, \beta=1$ и соответствующее ему семейство скобок $\{\cdot, \cdot\}_{\theta}+\alpha\left(\{\cdot, \cdot\}+\{\cdot, \cdot\}_{a}\right)$. Бигамильтонова относительно этого семейства система допускает представление Лакса – Гейзенберга, где
\[
\mathbf{L}=\lambda h+v+\lambda^{2} a, \quad \mathbf{A}=(\alpha+1)(\xi+\lambda \eta) .
\]

При этом $\lambda=\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha+1}}$, а $\xi+\eta$ – дифференциал гамильтониана исходной системы с рассматриваемой скобкой. В этом случае также необходимо, чтобы $\alpha
eq-1$.

3. $\mathbf{L}$ – A-пара системы Бруна. В качестве примера рассмотрим получение $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары системы (10.7), которую запишем в виде
\[
\left\{\begin{aligned}
\dot{\mathbf{M}} & =[\mathbf{M}, \omega]-[u, I] \\
\dot{u} & =[u, \omega] .
\end{aligned}\right.
\]

В этом случае $G=g(3), H=s o(3), V$ – пространство симметрических матриц размера $3 \times 3$.

Для применения рассмотренной схемы необходимо ввести следующие переобозначения $\mathbf{M} \leftrightarrow h \in s o(3), u \leftrightarrow v \in \operatorname{Sym}$ (симметрическая алгебра $3 \times 3), B \leftrightarrow a \in \mathrm{Sym},-I \leftrightarrow \eta \in \mathrm{Sym}, \omega \leftrightarrow \xi \in s o(3)$. При этом для матриц $B$ и $\omega$ выполнены следующие соотношения
\[
[B, I]=0, \quad[B, \omega]=[\mathbf{M}, I] .
\]

В силу представления (10.8) система (10.13) является гамильтоновой относительно любой из скобок
\[
\{\cdot, \cdot\}_{0}+\alpha\left(\{\cdot, \cdot\}+\{\cdot, \cdot\}_{B}\right), \quad \alpha
eq-1 .
\]

Действительно, полагая как и выше $\lambda=\sqrt{\frac{\alpha}{\alpha+1}}$, рассмотрим гамильтониан вида
\[
H_{\alpha}=\frac{1}{\alpha+1}\left(\frac{1}{2}(\mathbf{M}, \omega)-(I, u)\right) .
\]

Непосредственной проверкой можно убедится в том, что гамильтонова система со скобкой (10.14) и гамильтонианом (10.15) совпадает c (10.13).

4. Волчок Ковалевской и его обобщения. Как было указано в § 1 гл. 2, наиболее естественное представление для обобщенного случая Ковалевской было указано в работах $[141,137]$. Получим его с помощью изложенного метода. В качестве алгебры $G$ рассмотрим алгебру $s o(3,2)$ матриц размера $5 \times 5$ таких, что $X^{\mathrm{T}}=-I X I, X \in s o(3,2)$, $X=\left(\begin{array}{cc}\pi_{1} & S \\ S^{\mathrm{T}} & \pi_{2}\end{array}\right), \pi_{1} \in s o(3), \pi_{2} \in s o(2) S-$ матрица размера $3 \times 2, I-$ некоторая постоянная $5 \times 5$ матрица вида $\left(\begin{array}{cc}0 & R \\ R^{T} & 0\end{array}\right)$. В разложении Картана подалгебра $H$ является прямой суммой $s o(3) \oplus s o(2), V$ состоит из матриц вида $\left(\begin{array}{cc}0 & S \\ S^{\mathrm{T}} & 0\end{array}\right)$.

В переменных $\mathbf{M}, \alpha, \beta$ уравнения движения обобщенного волчка Ковалевской в двух однородных полях задается гамильтонианом (см. $\S 4$ )
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)-\alpha_{1}-\beta_{2}
\]

и скобкой Пуассона, определяемой алгеброй $s o(3) \oplus \mathbb{R}^{6}$ (перед компонентами $\alpha, \beta$ в (10.16) произвольных констант $x, y$ можно не писать, в силу инвариантности структкры этой алгебры по отношению к преобразованиям подобия $\alpha \rightarrow x \alpha, \beta \rightarrow y \beta$, изменяющим только орбиту.

Представление Лакса-Гейзенберга системы (10.16) можно представить в виде
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{L}=\lambda h+v+\lambda^{2} I, \\
\mathbf{A}=\omega-\lambda I \text {. } \\
\end{array}
\]

$\mathbf{L}$ – A-пара волчка Ковалевской, найденная в [141], получается из (10.17) при помощи процедуры редукции, приведенной в §8 гл. 1 (раздел 4). Для этого необходимо исследовать интеграл $M_{4}+M_{3}=C$. Как несложно проверить, приведенные уравнения совпадают с обобщенным случаем Ковалевской ( $\$ 4$ гл. 2) на алгебре $s o(3) \oplus_{s} \mathbb{R}^{6}=\{M, \alpha, \beta\}$ и гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}-2 M_{3} C\right)-\alpha_{1}-\beta_{2} .
\]

Постоянную циклического интеграла $C$ можно интерпретировать как вектор гиростатического момента. L – A-пара этой интегрируемой системы получается, если заменить в матрице $\mathbf{L}$ переменную $M_{4}$ на $C-M_{3}$, а матрицу $\mathbf{A}$ представить как дифференциал (при этом $\frac{\partial H}{\partial M_{4}}=0$ ). Полный набор первых интегралов может быть получен при разложении $\operatorname{Tr} L^{k}$ по спектральному параметру.

Замечнние 1. Гамильтониан (4.9) случая Ковалевской является функцией Казимира для скобки
\[
\{\cdot, \cdot\}_{\theta}-\{\cdot, \cdot\}-\{\cdot, \cdot\}_{I}
\]

Отметим, что описанная процедура редукции проведенная для алгебры $(s o(3) \oplus s o(2)) \oplus_{s} \mathbb{R}^{6}$, входящей в пучок, не может быть проведено одновременно для всех скобок пучка, и соответственно, не может индуцировать новую (редуцированную) бигамильтонову структуру. Повидимому, волчок Ковалевской (в отличие от интегрируемых систем, рассматриваемых ранее), вообще не допускает бигамильтонова описания. Интересно было бы найти к этому алгебраические или даже аналитические (исследуя систему вблизи особой точки или цикла) препятствия.

Со своей стороны сделаем лишь одно замечание. Бигамильтоновость систем Ляпунова-Стеклова, Клебша, Манакова была обусловлена их определенной вырожденностью в том смысле, что соответствующие системы допускают интегрируемые обобщения на целом семействе алгебр Ли. Причем в этом семействе существовали две неизоморфные алгебры (например, $s o(n)$ и $e(n-1)$ ) для волчка Манакова), а соответствующие интегрируемые случаи переводились друг в друга контракцией или даже линейным преобразованием.

Указанный в $[18,104]$ аналог случая Ковалевской на алгебрах $s o(4)$, $s o(3,1)$ также контрагируется в классический случай. Для него несложно найти разделяющиеся переменные, однако вопрос о линейном изоморфизме этих случаев, видимо, не изучен. Интегрируемый случай Адлера и ван Мербеке [177], существующий на $s o(4)$, является примером, не выдерживающим контракции на $e(3)$.

5. Построение интегрируемых систем на римановых симметрических парах. Таким образом, общая схема получения интегрируемых систем на римановых симметрических парах $(G, H)$ может быть сформулирована следующим образом.

Для скобки (10.14) выписывается полная система функций Казимира, которые определяются параметрами элемента сдвига аргумента. Среди этих функций затем отбираются динамические системы на $H$ (или на $G$ ) имеющие реальное физическое обоснование – возможно, после редукции на линейные интегралы, которыми обладает первоначальная система.

Этот рецепт во многом аналогичен схеме Адлера-Костанта-Симca (Adler-Kostant-Symes (AKS)) [324], и обобщающему ее методу

$r$-матрицы $[132,311,146]$, в которой, однако, все рассуждения проводятся для систем в форме $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары и связаны с методом орбит в теории групп и алгебр Ли. В методе $r$-матрицы элементы операторов $\mathbf{L}, \mathbf{A}$ принадлежат, как правило, бесконечномерной алгебре петель.

Интегрируемые системы на римановых симметрических парах, указанные в работах $[139,140,310,311]$ (и связанные, например, с системами взаимодействующих волчков), также могут быть получены указанным выше способом.
Замечание 2. При указанном выше способе построения $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары, связаном с существованием согласованной пуассоновой структуры (как и для способа §9), полнота инволютивного семейства интегралов будет следовать из теоремы Болсинова ( $\$ 5$ гл. 1). Для $\mathbf{L}$ – А-пары со спектральными параметром, полученной иным способом, полноту инволютивного семейства интегралов надо доказывать, что может являться непростой комбинаторной проблемой [252]. Полнота инволютивного семейства, полученного с помощью формализма алгебры петель [309], хотя и следует из общей схемы этого метода, не является естественной. Она связана с возможностью линеаризации системы на многообразии Якоби.

Особенно отметим интегрируемую на so(4) систему (описывающую движение тела с полостями, имеющие вихревое жидкое заполнение – уравнения Пуанкаре – Жуковского), найденную Адлером, ванМербеке [177] и Рейманом, Семеновым-Тян-Шанским [310] различными способами. Первые авторы исходили из метода Ковалевской и нашли дополнительный первый интеграл, имеющий сложную алгебраическую структуру и до сих пор не поддающийся упрощению. Вторые рассмотрели риманову симметрическую пару $\left(G_{2}, s o(4)\right)$, и предъявили представление в виде $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары со спектральным параметром. Кроме того, как заметил А. В. Болсинов, до работ $[177,310]$ рассматриваемый случай был известен в общей конструкции сдвига аргумента (см. [152]). Однако эквивалентность этих систем так и не была отмечена [152]. Этот пример показывает также, что первые интегралы не всегда являются наиболее простыми и естественными тензорными инвариантами системы.

Формальные многомерные обобщения случая Ковалевской, связанные с системой двух взаимодействующих волчков на $s o(p)$ и $s o(q), p>q$ и парой $(s o(p, q), s o(p) \oplus s o(q))$ получены в работах [312].
ЗАмЕчАниЕ 3. Изложенным методом можно также получить представление Лакса-Гейзенберга для волчка Манакова на $s o(n)$ и случая Клебша на $e(n)$, отличное от указанного в §9.

Большинство разобранных в двух последних разделах примеров так или иначе связаны с динамикой твердого тела и используют конструкции лиевых пучков и римановых симметричных пар. Вопрос о применимости этих конструкций к другим задачам, например, многочастичным системам (гл. 5) остается открытым. Например, для цепочки Тоды известно как $\mathbf{L}$ – $\mathbf{A}$-представление, так и соответствующая бигамильтонова (даже тригамильтонова) структура, однако связь между ними не является такой же естественной. Возможно, что происхождение бигамильтоновой структуры (и соответствующих ей тензорных инвариантов) связано в таких системах с бигамильтоновостью соответствующих бесконечномерных аналогов (типа уравнений Кортевега-де Фриза). Хорошо известно, что многочастичные системы могут быть получены из них при помощи дискретизации [322]. Соображения такого сорта высказаны в $[180,181]$. Кроме того, представления Лакса-Гейзенберга для многих систем (например, для волчка Ковалевской) могут быть получены другими способами и не связаны непосредственно с групповой и алгебраической техникой. Приведенные в работах $[234,247,160,272]$ представления в виде $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары имеют алгебро-геометрическое происхождение и не наследуют естественной алгебраической (в смысле структуры Ли-Пуассона) структуры уравнений движения. Значение этих представлений динамики не совсем понятно. На этом пути возникают также возможные обобщения представлений Лакса-Гейзенберга вида $\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{L},[\mathbf{L}, \mathbf{A}]]$ или $\dot{\mathbf{L}}=$ $=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]+\mathbf{B}[195,302,330]$.

Несомненно, что как первоначальная форма $\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]$, так и ее обобщения требуют дополнительного изучения, как и проблема динамического значения семейства тензорных инвариантов системы.