Задача о движении двух вихрей на плоскости была полностью изучена Г.Гельмгольцем $[74,117]$, который установил, что в общем случае два вихря совершают равномерное вращательное движение вокруг центра завихренности
\[
\mathbf{r}=\frac{\Gamma_{1} \mathbf{r}_{1}+\Gamma_{2} \mathbf{r}_{2}}{\Gamma_{1}+\Gamma_{2}},
\]

с частотой
\[
\Omega=\frac{\Gamma_{1}+\Gamma_{2}}{2 \pi M},
\]

где $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}$ – радиус-векторы первого и второго вихрей, $\Gamma_{k}$ – интенсивности точечных вихрей, $M$ – квадрат взаимного расстояния. Центр завихренности при этом движется равномерно и прямолинейно. При условии $\Gamma_{1}=-\Gamma_{2}$ центр завихренности находится на бесконечности, а два вихря движутся поступательно.

Динамика двух вихрей на сфере вполне аналогична плоскому случаю. Здесь общей ситуацией является вращение вокруг оси, проходящей через центр сферы и аналог центра завихренности (точка, расположенная на хорде, соединяющей два вихря с радиус-вектором (3.1)).

Как и в плоском случае, расстояние между вихрями остается постоянным. Угловая скорость такого вращения
\[
\Omega=\frac{1}{2 \pi M} \sqrt{\left(\Gamma_{1}+\Gamma_{2}\right)^{2}-\frac{\Gamma_{1} \Gamma_{2} M}{R^{2}}},
\]

где $R$ – радиус кривизны сферы, $M$ – квадрат расстояния (хорды) между вихрями. При условии $\Gamma_{1}=-\Gamma_{2}$, два вихря движутся по сфере по двум одинаковым параллелям, расположенным по разные стороны от экватора, что было отмечено Громекой [56].

Первой нетривиальной интегрируемой системой вихревого движения на плоскости является задача о трех вихрях. Несмотря на многочисленные работы, первыми из которых являются диссертация В. Грёбли 1877 г. [243] и исследования Гринхилла [242], достаточно полной и наглядной классификации движения не существует до сих пор. С точки зрения проблем интегрируемости на эту задачу обратил внимание Пуанкаре в трактате по теории вихрей [306]. Им был явно выписан полный набор некоммутативных интегралов. Замечательный исторический обзор результатов классиков, полученных для задачи трех вихрей, содержится в работе [189].

В современный период задача движения трех вихрей на плоскости изучалась в работах $[325,126,184,327,313]$, с точки зрения топологического анализа – в $[145,173]$. К сожалению, эти работы мало что прибавили к достижениям классиков как в наглядности, так и в полноте описания движения. Их основное содержание сводится либо к громоздкой геометрической интерпретации движения и компьютерному моделированию отдельных траекторий, либо к некоторым общим топологическим конструкциям, не увязанным с физическим поведением системы [145]. Отчасти это связано с тем, что задача трех вихрей на плоскости не принадлежит к тем интегрируемым системам, полный анализ которых возможен в классе достаточно простых (например, эллиптических) специальных функций (из-за логарифмических слагаемых в гамильтониане, общее решение имеет бесконечно-листное ветвление на комплексной плоскости времени). Исключение составляют некоторые частные случаи, например, случай равных интенсивности вихрей, достаточно подробно исследованные. По сравнению с задачей трех вихрей на плоскости, движение трех вихрей на сфере, также являющееся интегрируемым, практически не изучено.

Замечание. Задача трех вихрей является интегрируемой и на плоскости Лобачевского. На ней мы не останавливаемся вследствие отсутствия реальной физической интерпретации. Отметим только, что в этом случае динамика вихрей утрачивает многие интересные особенности, присущие движению вихрей на сфере. Как и в небесной механике, эта система более родственна плоской ситуации.
Мы даем здесь новый анализ [206], основанный на алгебро-

геометрическом исследовании приведенной системы (1.9), (2.13) а затем и абсолютного движения, без использования явных квадратур. Такой подход, опирающийся на представление уравнений движения на алгебре [206], позволяет установить некоторые аналогии между задачей трех вихрей и случаем Эйлера-Пуансо в динамике твердого тела, а также получить более наглядное описание движений системы при помощи аналогии с системой Лотки-Вольтерра [49].

1. Аналогия между системой трех вихрей и системой Вольтерра. Рассмотрим подробней алгебру скобок (2.16) задачи трех вихрей на сфере (случай плоскости получается предельным переходом $R \rightarrow \infty$ ).
\[
\begin{array}{c}
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-4 a_{k} \Delta, \\
\left\{M_{i}, \Delta\right\}=\left(a_{j}-a_{k}\right) M_{i}+\left(a_{j}+a_{k}\right)\left(M_{j}-M_{k}\right)+\frac{M_{i}}{2 R^{2}}\left(a_{k} M_{k}-a_{j} M_{j}\right), \\
\left\{M_{1}, M_{2}\right\}=-\frac{4}{\Gamma_{3}} \Delta, \quad\left\{M_{3}, M_{1}\right\}=-\frac{4}{\Gamma_{2}} \Delta, \quad\left\{M_{2}, M_{3}\right\}=-\frac{4}{\Gamma_{1}} \Delta .
\end{array}
\]

Здесь $M_{k}=M_{i j}$ – квадраты расстояний между вихрями, $\Delta-$ удвоенная ориентированная площадь треугольника, натянутого на три вихря, $a_{k}=1 / \Gamma_{k}$ – обратные интенсивности. Здесь и далее будем полагать, что индексы $i, j, k$ принимают соответственно значения $1,2,3$ и их циклические перестановки. Эта скобка якобиева без всяких ограничений.

Ранг пуассоновой структуры (3.3) равен двум, и имеются две независимые центральные функции
\[
\begin{aligned}
D= & a_{1} M_{1}+a_{2} M_{2}+a_{3} M_{3}, \\
F= & (2 \Delta)^{2}+M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}- \\
& -2\left(M_{1} M_{2}+M_{1} M_{3}+M_{2} M_{3}\right)+\frac{1}{R^{2}} M_{1} M_{2} M_{3} .
\end{aligned}
\]

Гамильтониан задачи трех вихрей
\[
H=-\frac{1}{8 \pi}\left(\Gamma_{2} \Gamma_{3} \ln M_{1}+\Gamma_{1} \Gamma_{3} \ln M_{2}+\Gamma_{1} \Gamma_{2} \ln M_{3}\right)
\]

генерирует фазовый поток:
\[
\begin{aligned}
\dot{M}_{i}= & \left\{M_{i}, H\right\}=\frac{\Gamma_{i}}{2 \pi}\left(\frac{1}{M_{j}}-\frac{1}{M_{k}}\right) \Delta, \\
\dot{\Delta}= & \{\Delta, H\}=\frac{1}{8 \pi}\left(\frac{\Gamma_{2}+\Gamma_{3}}{M_{1}}\left(M_{2}-M_{3}\right)+\right. \\
& \left.+\frac{\Gamma_{1}+\Gamma_{3}}{M_{2}}\left(M_{3}-M_{1}\right)+\frac{\Gamma_{1}+\Gamma_{2}}{M_{3}}\left(M_{1}-M_{2}\right)\right)+ \\
& +\frac{1}{16 \pi R^{2}}\left(\left(\Gamma_{3}-\Gamma_{2}\right) M_{1}+\left(\Gamma_{1}-\Gamma_{3}\right) M_{2}+\left(\Gamma_{2}-\Gamma_{1}\right) M_{3}\right) .
\end{aligned}
\]

Уравнения (3.6) обладают стандартной инвариантной мерой $(\operatorname{div} \mathbf{v}=0)$. Кроме того, они обладают тремя независимыми интегралами, поэтому система (3.6) является тригамильтоновой (см. §5 гл. 1), для которой, как несложно проверить, две оставшиеся пуассоновы структуры являются дробно-рациональными.

Замечание 1. Вопрос о представлении уравнений движения трех вихрей в виде $\mathbf{L}-\mathbf{A}$ пары со спектральным параметром пока остается открытым. Для такого представления имеются некоторые препятствия, вызванные тем, что естественное представление Лакса-Гейзенберга с рациональным спектральным параметром тесно связано с интегрируемостью в $\theta$-функциях ([241]), тогда как общее решение уравнений (3.6), вообще говоря имеет логарифмическое ветвление на комплексной плоскости времени.

Укажем на интересную аналогию между задачей о трех вихрях (на плоскости и на сфере!) и системой Лоттки – Вольтерра, возникающей в математической биологии [34]. Для этого представим уравнения (3.6) в виде
\[
\dot{M}_{i}=-\frac{\Gamma_{i} \Delta}{2 \pi M_{1} M_{2} M_{3}} M_{i}\left(M_{j}-M_{k}\right),
\]

если ввести регуляризующее время $\tau$ :
\[
\frac{d \tau}{d t}=\frac{\Delta}{2 \pi M_{1} M_{2} M_{3}},
\]

то для $M_{i}$ получим уравнения типа Вольтерра ( $\$ 4$, гл. 5):
\[
\frac{d M_{i}}{d \tau}=-\Gamma_{i} M_{i}\left(M_{j}-M_{k}\right)
\]

При прохождении системой вихрей коллинеарного положения $(\Delta=0)$ знак в формуле (3.8) следует поменять, поэтому указанный траекторный изоморфизм является, вообще говоря, кусочным. Из этой аналогии, в частности, следует, что системы трех вихрей на плоскости и сфере траекторно кусочно-изоморфны.

2. Три вихря на плоскости.

Алгебраическая классификация. Скобка Пуассона задачи трех вихрей на плоскости может быть получена из (3.3) предельным переходом $R \rightarrow \infty$.

Получившаяся скобка Ли-Пуассона является вырожденной и обладает двумя центральными функциями. Одна из них (линейная) интеграл полного момента (3.4)
\[
D=\sum_{k} a_{k} M_{k},
\]

где $a_{k}=1 / \Gamma_{k}$.
Другая (квадратичная функция Казимира) возникает из геометрического соотношения Герона, связывающего площадь треугольника с его сторонами
\[
F=(2 \Delta)^{2}+M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}-2\left(M_{1} M_{2}+M_{1} M_{3}+M_{2} M_{3}\right) .
\]

Для реальных движений $F=0$.
ЗАмЕчание 2. Для алгебр $N$ вихрей ( $N>3$ ) формулы Герона определяют лишь инвариантнье соотношения, а не функции Казимира ( $§ 1$ ).

Вещественный тип алгебры скобок Ли-Пуассона (3.3) зависит от значений интенсивностей $\Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}$. Действительно, выберем новые образующие $D, e_{1}, e_{2}, e_{3}$ в виде
\[
\begin{aligned}
e_{1} & =\frac{\Delta}{2 \sqrt{A}}, \\
e_{2} & =\frac{\left(a_{2}-a_{3}\right) M_{1}+\left(a_{3}-a_{1}\right) M_{2}+\left(a_{1}-a_{2}\right) M_{3}}{2 \sqrt{2 A B}}, \\
e_{3} & =\frac{\left(a_{2} a_{3}-a_{1}^{2}\right) M_{1}+\left(a_{1} a_{3}-a_{2}^{2}\right) M_{2}+\left(a_{1} a_{2}-a_{3}^{2}\right) M_{3}}{4 A \sqrt{B}},
\end{aligned}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
A=\left|a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{1} a_{3}\right|, \\
B=\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2}+\left(a_{2}-a_{3}\right)^{2}+\left(a_{1}-a_{3}\right)^{2},
\end{array}
\]

а $D$ определено соотношением (3.10). При условии
\[
\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{1} a_{3}\right)>0
\]

получаем, что вихревая алгебра разлагается в прямую сумму $l(4) \approx$ $\approx \mathbb{R} \oplus s o(3):$
\[
\begin{array}{c}
\left\{D, e_{k}\right\}=0, \quad k=1,2,3, \\
\left\{e_{1}, e_{2}\right\}=e_{3}, \quad\left\{e_{2}, e_{3}\right\}=e_{1}, \quad\left\{e_{3}, e_{1}\right\}=e_{2},
\end{array}
\]

а при условии
\[
\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{1} a_{3}\right)<0
\]

в прямую сумму $l(4) \approx \mathbb{R} \oplus s o(2,1)$ :
\[
\begin{array}{c}
\left\{D, e_{k}\right\}=0, \quad k=1,2,3, \\
\left\{e_{1}, e_{2}\right\}=-e_{3}, \quad\left\{e_{2}, e_{3}\right\}=e_{1}, \quad\left\{e_{3}, e_{1}\right\}=e_{2} .
\end{array}
\]

Хотя для равных интенсивностей коэффициент $B=0$, с помощью предельного перехода нетрудно показать, что базис (3.12) может быть корректно определен и в этом случае.

Симплектический лист в вихревой алгебре $l(4)$ двумерный и является поверхностью уровня функций (3.10) и (3.11). В новых образующих (3.12) функции Казимира имеют вид
\[
\begin{aligned}
D & =\text { const }, \\
G^{2} & =e_{1}^{2}+e_{2}^{2}+e_{3}^{2} \text { при условии (3.13), } \\
G^{2} & =e_{3}^{2}-e_{2}^{2}-e_{1}^{2} \text { при условии (3.15). }
\end{aligned}
\]

В связи с тем, что для реальных движений в (3.11) $F=0$, константы $G, D$ связаны соотношением
\[
G^{2}=\frac{1}{16}\left(\frac{a_{1} a_{2} a_{3} D}{a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{1} a_{3}}\right)^{2} .
\]

Таким образом, относительная динамика вихрей эквивалентна движению некоторой «изображающей» точки на симплектическом листе, который является либо двумерной сферой, либо одной из полостей двуполостного гиперболоида, определяемых уравнениями (3.17) и (3.18).

В случае (3.13) движение изображающей точки (а стало быть трех вихрей в системе центра завихренности) при любых $D$ является финитным, поэтому этот случай будем в дальнейшем называть компактным, а случай (3.15), при котором могут существовать разбегающиеся траектории – некомпактным.

Движения, возникающие при условии
\[
\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{1} a_{3}\right)=0
\]

требуют отдельного рассмотрения. В базисе
\[
\begin{aligned}
D & =\frac{a_{1} M_{1}+a_{2} M_{2}+a_{3} M_{3}}{\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}}, \\
e_{1} & =\frac{\Delta}{\left(a_{1}+a_{2}\right)}, \\
e_{2} & =\frac{M_{3}}{2\left(a_{1}+a_{2}\right)}, \\
e_{3} & =\frac{\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right) M_{3}-\left(M_{1}+M_{2}\right)\left(a_{1}+a_{2}\right)}{2\left(a_{1}+a_{2}\right)^{2}},
\end{aligned}
\]

скобки Ли-Пуассона алгебры вихрей приводятся к форме
\[
\begin{array}{ll}
\left\{D, e_{k}\right\}=0, & \left\{e_{1}, e_{2}\right\}=e_{3}, \\
\left\{e_{3}, e_{1}\right\}=-D, & \left\{e_{2}, e_{3}\right\}=e_{1} .
\end{array}
\]

В этом случае алгебра вихрей не разлагается в прямую сумму одномерной и трехмерной алгебр, а является четырехмерной разрешимой алгеброй с максимальным разрешимым идеалом $N$
\[
N=\left\{D, e_{1}, e_{3}\right\} .
\]

Квадратичная функция Казимира, следующая из соотношения (3.11) имеет вид
\[
G^{2}=e_{1}^{2}+e_{3}^{2}-2 D e_{2} .
\]

Реальная динамика вихрей происходит на симплектическом листе, задаваемом соотношениями $G=0$ и $D=$ const, которые определяют параболоид, проходящий через начало координат. При $D=0$, являющимся необходимым условием коллапса (слияния вихрей), параболоид вырождается в прямую, совпадающую с осью $e_{3}$.

Бифуркационный анализ движения вихрей на плоскости. Опишем наиболее наглядную геометрическую интерпретацию движений, используемую в [327] и представленную на рис. 30. В пространстве $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ уровень линейного интеграла момента (3.10) задает плоскость. Неравенства $M_{k}>0$ выделяют на ней область, в которой происходит движение. Из этой области необходимо исключить нефизические значения расстояний, для которых невыполнено неравенство треугольника $\left(\Delta^{2}<0\right)$. Эта область показана на рисунке черным цветом. При подходе к ней относительные скорости вихрей $\dot{M}_{k}$ стремятся к нулю. Поэтому удобнее воспользоваться регуляризованными уравнениями (3.7). После достижения кривой $\Delta^{2}=0$ в уравнениях (3.7) происходит смена знака и движение происходит по той же траектории в обратном порядке. Для абсолютного движения это соответствует зеркальному отражению траектории при прохождении через коллинеарные конфигурации.

Замечание 3. Описанная геометрическая интерпретация не эквивалентна движению изображающей точки по симплектическому листу, а смены направлений движения есть следствие особенностей проекции из пространства $\Delta, M_{1}, M_{2}, M_{3}$ в пространство $M_{1}, M_{2}, M_{3}$.

Пусть выполнено условие (3.13), и скобка (3.3) определяет алгебру $\mathbb{R} \oplus s o(3)$. В этом случае симплектический лист компактен ( $\mathbb{S}^{2}$ ), а движение вихрей финитно. Предположим, сначала, что знаки всех интенсивностей одинаковы – в этом случае условие (3.13) заведомо выполнено. Первые интегралы движения вихрей на плоскости запишем в виде
\[
\begin{aligned}
D & =a_{1} M_{1}+a_{2} M_{2}+a_{3} M_{3}, \\
h & =M_{1}^{a_{1}} M_{2}^{a_{2}} M_{3}^{a_{3}},
\end{aligned}
\]
(интеграл энергии, из соображений удобства, представлен в экспоненциальной форме). Интегралы (3.24) являются зависимыми, т.е. матрица Якоби первых интегралов (3.24) вырождена
\[
\operatorname{rank}\left(\frac{\partial(D, h)}{\partial\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)}\right)<2
\]

только в одном случае: $M_{1}=M_{2}=M_{3}$ (в трехмерном пространстве $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ вихри образуют правильный треугольник). Решение в виде правильного треугольника появляется при касании поверхности $h$

и плоскости $D$ в одной точке. Они ограничивают по энергии сверху область возможных движений (ОВД) и им соответствует бифуркационная кривая вида
\[
h(D)=\left(\frac{D}{a_{1}+a_{2}+a_{3}}\right)^{\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)} .
\]

Кривые, получающиеся при пересечении уровней интегралов (3.24) при уменьшении $h$ аналогичны полодиям в динамике твердого тела (интерпретация Пуансо случая Эйлера) и являются, в компактном случае, овалами (рис. 30).

Рис. 30. Темная часть соответствует нефизической области на плоскости, задаваемой линейным интегралом $D=$ const и ограниченной условиями $M_{k}>0$, для компактного случая а) все интенсивности положительны; б) одна из интенсивностей отрицательна. Точка $A$ соответствует томсоновским решениям; $F$ – коллинеарным; $B, C, D$ – точки, при которых два вихря слиты в один.

Замечание 4. Частные решения, соответствующие данной кривой – три вихря в вершинах правильного треугольника, вращающегося как твердое тело вокруг центра завихренности, называются «томсоновскими» и являются устойчивыми при выполнении условия (3.13). Дж. Томсон указал их для произвольного числа вихрей равных интенсивностей и показал, что в линейном приближении такие конфигурации будут устойчивы для числа вихрей $N \leqslant 7$, а при $N>7$ – неустойчивы (теорема Томсона) [117]. Однако из-за наличия резонансов в системе, линейное приближение не является достаточным. Устойчивости в нелинейном приближении с использованием нормализации Биркгофа для $N \leqslant 6$ была доказана Хазиным в [158]. Случай $N=7$ требует отдельного исследования ввиду наличия дополнительных резонансов. Вопрос

об устойчивости томсоновских конфигураций при $N=7$ в нелинейном приближении остается открытым.

Другая смена типа движения происходит при касании линии пересечения уровней интегралов (3.25) с кривыми, определяемыми уравнением $\Delta\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)=0\left(\sqrt{M_{i}}+\sqrt{M_{j}}=\sqrt{M_{k}}\right)$, возникающими из неравенств треугольников и ограничивающих физически допустимую область значений (см. рис. 30).

Точкам касания отвечают коллинеарные конфигурации трех вихрей. Три вихря при этом располагаются на одной прямой и вращаются как единое целое вокруг центра завихренности.

Замечание 5. Коллинеарные и треугольные конфигурации в динамике трех вихрей имеют аналоги в классической небесной механике [4]. Им соответствуют эйлеровы и лагранжевы частные решения проблемы трех тел.

Коллинеарные конфигурации находятся из условий касания
\[
\Delta=0, \quad \dot{\Delta}=0,
\]

которые приводят к решениям, имеющим одну и ту же степенную функциональную зависимость, и в общем виде может быть представлена как
\[
h(D)=f\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right) D^{\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)},
\]

где $f\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)$ некоторая функция от параметров.
Переходя к однородным координатам $x, y$
\[
\begin{array}{l}
M_{1}=x M_{3}, \quad M_{2}=y M_{3}, \\
x=z^{2}, \quad y=(1+x)^{2} \\
\end{array}
\]

находим, что коллинеарным конфигурациям соответствуют положительные корни этих уравнений третьей степени
\[
\alpha_{1}(1 \pm z)(z \pm 2)+\alpha_{2}\left((1 \mp z) z-\alpha_{3}(1 \pm 2 z) z(1 \pm z)=0,\right.
\]

где
\[
\alpha_{1}=\Gamma_{2}+\Gamma_{3}, \quad \alpha_{2}=\Gamma_{1}+\Gamma_{3}, \quad \alpha_{3}=\Gamma_{1}+\Gamma_{2} .
\]

Траектории касаются границ области физически возможного движения $\Delta=0$ в пространстве переменных ( $\left.M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)$ при изменении интенсивностей различным образом (рис. 30). В зависимости от

этого количество бифуркационных кривых также будет различно. В частности, в случае, когда все интенсивности не равны друг другу $\Gamma_{1}
eq \Gamma_{2}
eq \Gamma_{3}
eq \Gamma_{1}$, будут существовать три ветви, соответствующие коллинеарным движениям (рис. 31, a). При равенстве двух из них, например, $a_{1}=a_{2}
eq a_{3}$ соответствующие две бифуркационные кривые сливаются. И, наконец, в случае равных интенсивностей $a_{1}=a_{2}=a_{3}$ все три кривые вырождаются в одну.

Рис. 31. Биффуркационные кривые на плоскости для случаев: а) трех различных положительных интенсивностей и b) одной отрицательной интенсивности.

Вычисление угловой скорости томсоновских и коллинеарных конфигураций относительно центра завихренности приведено, например в $[117]$
\[
\omega=\frac{\sum \Gamma_{i}}{2 \pi M}=\frac{\left(\sum \Gamma_{i}\right)\left(\sum a_{i}\right)}{2 \pi D}, \quad M_{i}=M, \quad i=1,2,3 .
\]

Она монотонно убывает при увеличении полного момента (3.10) системы вихрей.

В качестве меры устойчивости стационарных конфигураций можно принять квадрат нетривиального собственного значения $\lambda^{2}$ линеаризованной системы уравнений движения трех вихрей (устойчивость относительного движения!). Для томсоновских конфигураций несложно получить явную формулу
\[
\lambda^{2}=-3 a_{1} a_{2} a_{3} \frac{\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)^{3}}{D^{2}},
\]

которая показывает, что в случае положительных интенсивностей они устойчивы, в отличие от коллинеарных, которые (как видно из рис. 32, a) неустойчивы.

Рис. 32. Зависимость квадрата собственного значения, определяющего устойчивость в линейном приближении от интеграла полного момента для стационарных конфигураций в компактном случае а) при трех различных положительных интенсивностях; б) одной отрицательной интенсивности.

Вообще говоря, справедливо следующее утверждение, подтверждаемое геометрической интерпретацией на рис. 30: если томсоновское решение устойчиво, то соответствующий набор коллинеарных решений неустойчив, и наоборот.

Поэтому условие (3.32) определяет тип устойчивости не только томсоновских, но и коллинеарных конфигураций при заданном значении $D$.

Рассмотрим другой случай движения трех вихрей, при котором также выполнено условие (3.13). Предположим, что интенсивность одного из вихрей имеет противоположный знак по сравнению с двумя другими (например, $\Gamma_{1}=1 / a_{1}<0$ ). Условие (3.13) в этом случае означает, что $-\Gamma_{1}<\Gamma_{2}+\Gamma_{3}$, т. е. интенсивность выделенного вихря больше интенсивности двух оставшихся. Нетрудно видеть, что все остальные возможные случаи, при которых оно справедливо, сводятся к двум рассматриваемым (см. также $\S 6$ гл. 4).

Укажем только основные отличия этой задачи от предыдущей. Прежде всего из формулы (3.32) для томсоновских конфигураций следует, что они неустойчивы. Коллинеарная конфигурация, соответствующая точке $F$ (рис. 30, b) (их уже не три, а всего одна) при этом, наоборот, является устойчивой (рис. $32, \mathrm{~b}$ ). Бифуркационная кривая, соответствующая единственной коллинеарной конфигурации (см. рис. 31,b), находится над кривой, соответствующей томсоновской конфигурации (несложно показать, что при условии (3.13) полный момент всегда больше нуля), а область возможного движения совпадает со всем квадрантом $D>0, h>0$.

Симплектические координаты для вихрей на плоскости.
Чтобы получить более полное представление о рассмотренных движениях, изучим фазовый портрет системы трех вихрей на плоскости в симплектических координатах.

В случае (3.13) симплектические листы представляют собой двумерные сферы (3.17), в качестве канонических координат удобно использовать цилиндрические координаты $l, L$ (сохраним для них обозначения координат Андуайе-Депри, принятые в динамике твердого тела $[4,5])$ для алгебры $s o(3):$
\[
\begin{array}{l}
e_{1}=L, \\
e_{2}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \sin l, \\
e_{3}=\sqrt{G^{2}-L^{2}} \cos l .
\end{array}
\]

Выражения для переменных $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ в канонических координатах имеют вид
\[
\begin{aligned}
M_{i}= & \frac{a_{j}+a_{k}}{\sqrt{2}} \frac{D}{A}+2 F\left(a_{j}-a_{k}\right) F \sqrt{\frac{A}{B}} \sin l+ \\
& +\frac{4 F}{\sqrt{B}}\left(a_{j}\left(a_{j}-a_{i}\right)+a_{k}\left(a_{k}-a_{i}\right)\right) \cos l
\end{aligned}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
A=a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{3} a_{1}, \\
B=\left(a_{1}-a_{2}\right)^{2}+\left(a_{2}-a_{3}\right)^{2}+\left(a_{1}-a_{3}\right)^{2}, \\
F=\sqrt{G^{2}-L^{2}} .
\end{array}
\]

В частном случае равных интенсивностей из полученных выражений (3.34) следует выражение для гамильтониана, приведенное в $[188,258]$. В последней работе используется классический способ редукции к задаче с одной степенью свободы для произвольных интенсивностей (типа исключения узла по Якоби).

Рис. 33. Фазовая плоскость для случаев: а) положительных равных интенсивностей; b) случай $a_{1}=a_{2}

eq a_{3} ;$ c) трех положительных различных интенсивностей; d) одной отрицательной интенсивности.

Фазовый портрет в канонических координатах описывает движение изображающей точки ( $L, l$ ) по поверхности двумерной сферы. Импульс $L$ имеет смысл ориентированной площади параллелограмма, построенного на трех вихрях $(L=2 \Delta)$. Развертка фазового портрета представлена на рис. 33 , a-d для четырех различных конкретных случаев соотношения интенсивностей вихрей.

Приведенные рисунки иллюстрируют аналогию между движением трех вихрей и динамикой твердого тела. Сравнивая рис. 33, а (в случае равных интенсивностей) с фазовым портретом задачи Эйлера-Пуансо (см., например, $[5,28]$ ), можно связать коллинеарные конфигурации (лежащие на прямой $L=0$ ) с неустойчивыми перманентными движениями твердого тела вокруг средней оси эллипсоида инерции, томсоновские решения (при которых $L / G=1$ ) – с вращениями вокруг большой (малой) оси эллипсоида инерции. Периодические решения задачи двух вихрей (два из трех вихрей всегда находятся в одной точке, а их интенсивности складываются), лежащие на прямой $L=0$, можно связать с устойчивыми перманентными вращениями вокруг малой (большой) оси эллипсоида инерции. При прохождении системой коллинеарного поло-

Рис. 33. Фазовая плоскость для случаев: а) положительных равных интенсивностей; b) случай $a_{1}=a_{2}
eq a_{3}$; ) трех положительных различных интенсивностей; d) одной отрицательной интенсивности.

Фазовый портрет в канонических координатах описывает движение изображающей точки $(L, l)$ по поверхности двумерной сферы. Импульс $L$ имеет смысл ориентированной площади параллелограмма, построенного на трех вихрях $(L=2 \Delta)$. Развертка фазового портрета представлена на рис. 33 , a-d для четырех различных конкретных случаев соотношения интенсивностей вихрей.

Приведенные рисунки иллюстрируют аналогию между движением трех вихрей и динамикой твердого тела. Сравнивая рис. 33 , а (в случае равных интенсивностей) с фазовым портретом задачи Эйлера-Пуансо (см., например, $[5,28]$ ), можно связать коллинеарные конфигурации (лежащие на прямой $L=0$ ) с неустойчивыми перманентными движениями твердого тела вокруг средней оси эллипсоида инерции, томсоновские решения (при которых $L / G=1$ ) – с вращениями вокруг большой (малой) оси эллипсоида инерции. Периодические решения задачи двух вихрей (два из трех вихрей всегда находятся в одной точке, а их интенсивности складываются), лежащие на прямой $L=0$, можно связать с устойчивыми перманентными вращениями вокруг малой (большой) оси эллипсоида инерции. При прохождении системой коллинеарного поло-

Рис. 34. Бифуркационные диаграммы для случаев: а) различных положительных интенсивностей; b) положительных интенсивностей (две совпадают); c) равных положительных интенсивностей; d) одной отрицательной интенсивности. Обозначения кривых совпадают с рис. 31.

(кубичная) имеет вид
\[
\begin{aligned}
F= & (2 \Delta)^{2}+\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}\right)- \\
& -2\left(M_{1} M_{2}+M_{1} M_{3}+M_{2} M_{3}\right)+\frac{1}{R^{2}} M_{1} M_{2} M_{3}=0
\end{aligned}
\]

и гамильтонианом (3.5).
Геометрическая интерпретация для плоскости, представленная на рис. 30, может быть также перенесена на сферу. Любопытным фактом является то, что фазовые траектории в переменных $M_{1}, M_{2}, M_{3}$ для случая сферы и плоскости, при заданных интенсивностях, совпадают с фазовыми траекториями системы Лотки-Вольтерра (3.9). При этом основные эффекты в динамике вихрей определяются тем, какая часть фазовых траекторий системы Лотки-Вольтерра попадает в область $\Delta^{2}\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)>0$. Движение вихрей происходит только по этой части, поскольку при подходе траекторий границы области (и достижении вихрями коллинеарного состояния) в уравнениях (3.9) необходимо изменить знак времени. Вид этой области несколько различен для плоскости и сферы (формулы (3.11) и (3.36)) и представлен на рис. 35.

Рис. 35. Геометрическая картина изоморфизма задачи трех вихрей и задачи Лоттки-Вольтерра. Часть фазовой плоскости задачи Лоттки-Вольтерра, ограниченная контуром, соответствует физической области задачи трех вихрей: а) на плоскости; b) на сфере. Значения интенсивностей в обоих случаях одинаковы.

Замечание 6. Аналогия с системой Лотки-Вольтерра является очень полезной при изучении проблемы коллапса вихрей и родственна регуляризации Болина в задаче Кеплера [4] (с тем отличием, что не фиксируется постоянная уровня энергии). Вопросы регуляризации столкновения вихрей (коллапса), возникающие только в некомпактных случаях, будут разобраны в следующем параграфе.
Замечание 7. Вопрос сведения задачи трех вихрей на сфере к канонической гамильтоновой системе с одной степенью свободы является довольно сложным. Если пользоваться канонической формой записи (см. §2), то получается шестимерная гамильтонова система, имеющая в качестве интегралов функцию Гамильтона и некоммутативный набор интегралов момента, каждый из которых является нелинейной функцией фазовых переменных (в отличие от случая плоскости, рассмотренного в [258]).

Канонизация редуцированной системы в переменных $(M, \Delta$ ) равносильна введению координат Дарбу на двумерном симплектическом листе, определяемом общим уровнем функций Казимира. Опишем подробнее алгоритм построения таких координат для случая равных интенсивностей (см. также приложение $H$ ). Обобщение для различных интенсивностей не представляет принципиальных трудностей.

Наиболее простой вид скобка (3.3) имеет в случае трех равных интенсивностей на нулевом уровне линейной функции Казимира $D=0$. После пе-

рехода (для линеаризации скобки (2.16)) к каноническому базису (по классификации Бьянки [61]), скобку (2.16) можно представить в виде
\[
\begin{array}{l}
\left\{e_{1}, e_{2}\right\}=e_{3}+\frac{1}{2 R}\left(e_{3}^{2}-e_{2}^{2}\right), \\
\left\{e_{2}, e_{3}\right\}=e_{1}, \\
\left\{e_{3}, e_{1}\right\}=e_{2}-\frac{1}{R} e_{2} e_{3} .
\end{array}
\]

Любопытно отметить, что нелинейные слагаемые, входящие в скобку (3.37), аналогичны членам, возникающим в интеграле Ковалевской уравнений Эйлера-Пуассона.

Симплектические координаты для пуасссоновой структуры (3.37) построим следующим образом. Выберем в качестве переменной действия $L=e_{1}$. Из условия $\{l, L\}=1$ следует, что угловая переменная является параметром времени вдоль интегральной кривой гамильтонова векторного поля:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d e_{2}}{d l}=\left\{e_{2}, L\right\}=-e_{3}-\frac{1}{2 R}\left(e_{3}^{2}-e_{2}^{2}\right), \\
\frac{d e_{3}}{d l}=\left\{e_{3}, L\right\}=e_{2}-\frac{1}{R} e_{2} e_{3} .
\end{array}
\]

Рис. 36. Деформация сечения симплектического листа для линеаризованной алгебры вихрей на сфере в зависимости от изменения ее радиуса кривизны липтического интеграла (3.40) и при $R \rightarrow \infty$ переходят в обычные выражения (3.33).

Одно из главных сечений симплектического листа для случая $\Gamma_{1}=\Gamma_{2}=$ $=\Gamma_{3}$ показано на рис. 36 в зависимости от кривизны $k=1 / R$. При $k=0$,

симплектический лист определен алгеброй $s o(3)$ и является сферой. Изменение $k$ приводит к поверхности, связная компонента которой гомеоморфна сфере. Интересно было бы исследовать топологию симплектического листа при различных значениях интенсивностей и значениях интеграла момента $D$, который принимает значения в ограниченной области. Последнее соображение позволяет отбросить некомпактные компоненты симплектических листов, так как движение на сфере всегда финитно.

Замечание 8. Нелинейная алгебра скобок Пуассона (2.7) не может быть изучена столь же подробно, как в плоском случае. Линейная аппроксимация этой структуры способна сделать некоторые качественные выводы лишь для ситуации близкой к одновременному коллапсу (то есть когда расстояние между вихрями является малым по отношению к радиусу кривизны). Из этого, тем не менее можно сделать вывод о том, что необходимые условия одновременного коллапса вихрей на плоскости также справедливы и для случая сферы, так как влияние нелинейных членов вблизи коллапса пренебрежимо мало.

Общим приемом приведенной ниже классификации движений вихрей на сфере является продолжение по параметру полного момента стационарных конфигураций, известных вблизи $D=0$. В последнем случае влияние кривизны не значительно, что соответствует уже изученной плоской задаче (это также эквивалентно рассмотрению линейной аппроксимации структуры (2.16)).

Условия для томсоновских конфигураций на сфере аналогичны условиям на плоскости
\[
M_{1}=M_{2}=M_{3} .
\]

Условия существования коллинеарных конфигураций ( $\Delta=\dot{\Delta}=0$ ) в случае сферы сводятся к системе из трех алгебраических уравнений. Вводя константы
\[
\begin{array}{lll}
\alpha_{1}=\Gamma_{3}+\Gamma_{2}, & \alpha_{2}=\Gamma_{1}+\Gamma_{3}, & \alpha_{3}=\Gamma_{2}+\Gamma_{1}, \\
\beta_{1}=\Gamma_{3}-\Gamma_{2}, & \beta_{2}=\Gamma_{1}-\Gamma_{3}, & \beta_{3}=\Gamma_{2}-\Gamma_{1},
\end{array}
\]

запишем систему уравнений в виде
\[
\begin{array}{c}
2\left(M_{1} M_{2}+M_{1} M_{3}+M_{2} M_{3}\right)-\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}\right)-\frac{M_{1} M_{2} M_{3}}{R^{2}}=0 \\
a_{1} M_{1}+a_{2} M_{2}+a_{3} M_{3}-D=0 \\
2\left(\alpha_{1} \frac{\left(M_{3}-M_{2}\right)}{M_{1}}+\alpha_{2} \frac{\left(M_{1}-M_{3}\right)}{M_{2}}+\alpha_{3} \frac{\left(M_{2}-M_{1}\right)}{M_{3}}+\right. \\
\left(\beta_{1} M_{1}+\beta_{2} M_{2}+\beta_{3} M_{3}\right) \frac{1}{R^{2}}=0
\end{array}
\]

где $D$ – постоянная интеграла момента. Система (3.41) может быть решена численно. Результаты численного построения бифуркационных диаграмм для случаев различных соотношений интенсивностей представлены на рис. 34.

Замечание 9. Как и в случае плоскости нас интересуют только положительные корни уравнений (3.41). Кроме того, заметим, что область значений функций, определяемых интегралами энергии и момента ограничены сверху значениями $d_{m}$ и $E_{m}$
\[
\begin{array}{c}
d_{m}=4 R^{2} \frac{\left(a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+a_{1} a_{3}\right)^{2}}{a_{1} a_{2} a_{3}}, \\
E_{m}=\left(4 R^{2}\right)^{\sum a_{k}} \prod_{k}\left(\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}}{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{1} a_{2} a_{3} / a_{k}^{2}}\right)^{a_{k}} .
\end{array}
\]

В последнем случае соответствующее значение полного момента вычисляется по формуле
\[
d_{m}=\left(4 R^{2}\right)\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right) \sum_{k} \frac{a_{k}}{\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{1} a_{2} a_{3} / a_{k}^{2}\right)} .
\]

В качестве начального приближения для решений уравнений (3.41) при малых значениях полного момента выбирались корни уравнений (3.30). Продолжение бифуркационных кривых при возрастании момента (взаимных расстояний) производилось предиктор-корректорным методом с использованием итерационной процедуры Ньютона.

С помощью численных расчетов для каждого набора интенсивностей, при которых построены бифуркационные диаграммы, могут быть получены другие характеристики относительного и абсолютного движения (величина угловой скорости, угол наклона плоскости вихрей по отношению к оси вращения, квадрат собственного значения, определяющий устойчивость линеаризованной системы).

Замечательным эффектом сферического движения вихрей, отсутствующим в плоском случае, является рождение новых (и в рассматриваемом случае устойчивых) коллинеарных конфигураций из задачи двух вихрей. Так при увеличении $D$ происходит распад одного вихря суммарной интенсивности $\Gamma_{i}+\Gamma_{j}$ на два с интенсивностями $\Gamma_{i}$ и $\Gamma_{j}$. Как показано на рис. 37 , при дальнейшем увеличении $D$ эти конфигурации стремятся слиться с коллинеарными конфигурациями, получающимися при продолжении по параметру из плоской задачи (при малых $D / R^{2}$ ), а затем перестают существовать.

Рис. 37. Геометрическая картина рождения коллинеарных решений из задачи двух вихрей. Последовательные рисунки а), b), с) показывают изменение точек касания границы физически допустимой области при увеличении полного момента. Обозначения соответствуют рис. 30 .

Рассмотрим бифуркационную диаграмму для случая $\Gamma_{1}
eq \Gamma_{2}
eq$ $\Gamma_{3}
eq \Gamma_{1}$ (см. рис. 34, a). Томсоновские конфигурации (штрихпунктирная кривая) существуют лишь при энергиях $E \leqslant E_{T}$. При $D=d_{T}$, достигнув максимально возможного значения $E_{T}<E_{m}$, томсоновская конфигурация сливается (точка $A$ ) с коллинеарной конфигурацией, определяемой наиболее нижней из веток (рис. 31 , а бифуркационной диаграммы для плоскости). При этом все три вихря лежат в экваториальной плоскости, но расстояние между ними не равны друг другу. Проходя через максимум энергии $E_{m}$ при $D=d_{m}$, эта конфигурация в дальнейшем эволюционирует по мере увеличения $D$ к задаче двух вихрей (при $D=d_{3}$ ). Две другие коллинеарные конфигурации, соответствующие двум верхним сплошным кривым рис. 31 , а для плоскости, сливаются с коллинеарными конфигурациями, возникающими из задачи двух вихрей при значениях момента $d_{1}, d_{2}$ (распад одного вихря). Такие возникающие конфигурации отсутствуют в случае плоскости. Их появление становится понятным из рис. 37 , на котором показан отрыв физической области от границ $M_{k}=0$.

В случае, когда выполнено соотношение $\Gamma_{1}=\Gamma_{2}
eq \Gamma_{3}$, в точке $A$ происходит слияние не только томсоновской и коллинеарной веток, ана-

Рис. 38. Зависимость углов наклона нормали к плоскости вихрей по отношению к оси вращения для коллинеарных (сплошная линия) и томсоновских (штрихпунктирная) конфигураций в случае различных положительных интенсивностей

Рис. 39. Угловые скорости для случаев а) различных положительных интенсивностей; b) положительных интенсивностей (две совпадают); с) равных положительных интенсивностей; b) одной отрицательной интенсивности.

логичных случаю плоскости, но и коллинеарной конфигурации, возникающей при $D=d_{1}=d_{2}$ (см. рис. $34, \mathrm{~b}$ ).
Наконец для трех равных интенсивностей все возможные конфигурации сливаются вместе в точке $A$ при максимальном значении энергии $E=E_{m}=E_{T}$ и момента $D=d_{T}$.

В абсолютном движении при увеличении момента (взаимных расстояний) угловая скорость вращения томсоновских конфигураций монотонно уменьшается (см. рис. 39), а угол наклона нормали треугольника к оси вращения монотонно возрастает от нуля (как для плоскости) до значения $\pi / 2$ в момент слияния томсоновских и коллинеарных конфигураций (рис. 38) за исключением случая равных интенсивностей, когда наклон оси вообще не изменяется.

Замечание 10. Единственно возможными стационарными конфигурациями (то есть конфигурациями, при которых расстояние между вихрями не меняется) являются вращения вокруг некоторой неподвижной оси. Это – следствие представимости уравнений вихревой динамики в виде уравнений первого порядка относительно динамических переменных. При этом, если три вихря находятся в экваториальной плоскости, то вектор угловой скорости всегда лежит в этой плоскости.

В отличие от томсоновских конфигураций, ось вращения для коллинеарных конфигураций всегда лежит в плоскости вихрей и не меняется ни при каких значениях момента.

Поведение угловой скорости вращения коллинеарных конфигураций от момента $D$ является достаточно сложным (39). На монотонное спадание графиков, характерное для плоского случая, накладывается их слияние, что приводит к достаточно запутанным кривым. Стоит отметить большую величину угловой скорости, возникающую в момент рождения нового вихря из задачи двух вихрей. В рамках принятой модели это увеличение угловой скорости относится к разным траекториям, но если присутствует «слабая» диссипация и константы энергии и момента медленно эволюционируют, то их возможно наблюдать и для конкретного движения (при этом в системе происходит также скачки давления). Конечно, дополнительным условием наблюдаемости таких эффектов в физической ситуации является устойчивость соответствующих стационарных движений.

Увеличение угловой скорости можно объяснить тем, что при рождении пары вихрей из одного возникает коллинеарная конфигурация, вращающаяся вокруг оси, проходящей через третий вихрь. Этот вихрь практически не оказывает никакого влияния на это вращение, а зависимость угловой скорости от расстояния для пары вихрей дается формулой (3.31).

Рис. 40. Коэффициент устойчивости для случаев а) различных положительных интенсивностей; b) положительных интенсивностей (две совпадают); с) равных положительных интенсивностей; d) одной отрицательной интенсивности.

Как видно из рис. 40, коллинеарные конфигурации, происходящие из аналогичных конфигураций на плоскости, неустойчивы уже в линейном приближении. Однако коллинеарные конфигурации, появляющиеся из задачи двух вихрей, являются устойчивыми. Природа этой устойчивости хорошо видна из геометрической интерпретации, представленной на рис. 37. Возможно, что явления такого сорта, происходящие в атмосфере Земли (заведомо обладающей диссипацией), ответственны за возникновение различных катастрофических процессов (типа ураганов), сопровождающих резкие перестройки динамики вихревых образований. Обратный процесс, приводящий к коллапсу (слиянию) двух вихрей, невозможный для модели идеальной жидкости, в случае небольшой диссипации и уменьшения $D$ может приводить к образованию атмосферных вихрей с большой угловой скоростью вращения.

Томсоновские решения являются устойчивыми до момента прохождения через статическую конфигурацию. Аналогом формулы (3.32) для томсоновских конфигураций на сфере является выражение
\[
\lambda^{2}=\frac{D-3 R^{2}\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)}{9 D^{2}} a_{1} a_{2} a_{3}\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right),
\]

которое показывает, что томсоновская конфигурация неустойчива при значении момента
\[
D>3 R^{2}\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right),
\]

соответствующего максимальному значению момента для таких конфигураций. Интересно заметить, что формула (3.43) определяет также условия существования статических конфигураций на сфере. Для этого необходимо, чтобы $\Pi a_{i} \sum a_{i}>0$ (устойчивость конфигурации). Геометрическая интерпретация на рис. 37 иллюстрирует возможность достижения $M$ своего экстремального движения.

Вопрос об устойчивости статической конфигурации не может быть решен при помощи линейного приближения (как для относительного, так и абсолютного движения). Исследование статических конфигураций $N$ вихрей равной интенсивности, расположенных на экваторе, приведено в приложении $\mathrm{G}[29]$.

Заметим, что возможны также пространственные статические конфигурации, когда вихри расположены в вершинах платоновых тел (тетраэдр, куб и пр., см. также §5) [50, 47].

Для случая одной отрицательной интенсивности ( $\Gamma_{1}<0,-\Gamma_{1}>$ $>\Gamma_{2}+\Gamma_{3}$ ) бифуркационная диаграмма приведена на рис. 34 , d. В этом случае поведение бифургационных кривых при увеличении $D$ аналогично поведению в уже рассмотренных ситуациях. Существующие в случае плоскости томсоновская и коллинеарная конфигурация сливаются в точке $A$ (см. рис. $34, \mathrm{~d}$ ), а затем по мере увеличения $D$ исчезают, слившись с одной из коллинеарных веток, родившихся из задачи двух вихрей. Отличие от случая только положительных интенсивностей проявляется в существовании коллинеарных решений, не ограниченных по энергии сверху. Эти решения появляются также благодаря стационарным конфигурациям задачи двух вихрей. Все коллинеарные конфигурации в данном случае являются устойчивыми, в то время как томсоновская – неустойчива (рис. 40). Изменение параметров абсолютного движения вихрей качественно ничем не отличается от случая положительных интенсивностей.

В заключение параграфа явно выделим основные отличия сферического случая от плоского, возникающие при увеличении полного момента $D$ :

1. слияние томсоновских и коллинеарных конфигураций на сфере;
2. рождение устойчивых коллинеарных конфигураций из задачи двух вихрей, вращающихся с большой (бесконечной) угловой скоростью в момент появления;
3. наклон и эволюция плоскости томсоновских конфигураций;
4. существование статических конфигураций на сфере.