Здесь мы рассмотрим ряд вопросов, связанных с теорией интегрирования уравнений неголономной механики. Эта теория развита не столь полно по сравнению с методами интегрирования гамильтоновой механики. На это имеется ряд причин.

Во-первых, уравнения движения неголономных систем имеют более сложный вид по сравнению с уравнениями Лагранжа и Гамильтона, описывающих динамику с интегрируемыми связями. Попытки распространения метода Гамильтона — Якоби на системы с голономными связями оказались неэффективными — с помощью обобщенного метода Гамильтона-Якоби можно найти в лучшем случае лишь частные решения уравнений движения [315]. Во вторых, уравнения неголономной механики в общем случае не имеют инвариантной меры [83]. В работах $[79,83]$ было показано, что уравнения неголономного качения твердого тела (типа кельтского камня — динамические параметры которого существенно отличаются от геометрических) по плоскости, уравнения задачи Суслова не имеют интегрального инварианта с положительной плотностью. В работе [26] доказано отсутствие инвариантной меры для уравнений качения трехосного эллипсоида по абсолютно шероховатой плоскости.

Отсутствие инвариантной меры — характерное свойство неголономных систем. Однако анизотропное трение в пределе совместно с сохранением полной энергии. На многообразиях уровней энергии могут возникать асимтотически устойчивые положения равновесия или предельные циклы, что препятствует существованию дополнительных «регулярных»интегралов движения.

Явное интегрирование уравнений неголономной механики во многих случаях основано на теории приводящего множителя С. А. Чаплыгина [161]. При этом ищется замена времени (разная вдоль разных траекторий), с помощью которой уравнения движения приводятся к уравнениям Лагранжа или Гамильтона.

С.А.Чаплыгин привел ряд систем неголономной механики, среди которых особое место занимает задача о качении динамически несимметричного уравновешенного шара (шара Чаплыгина) по горизонтальной плоскости [162], интегрируемость которой связана с наличием инвариантной меры. Приведем современную формулировку теоремы Эйлера-Якоби [4], определяющей условия интегрируемости таких систем.

1. Теорема Эйлера-Якоби. Пусть дифференциальное уравнение
\[
\dot{x}=f(x),
\]

определяющее фазовый поток $g^{t}$, обладает интегральным инвариантом с некоторой гладкой плотностью $M(x)$, то есть для любой измеримой области $D \subset \mathbb{R}^{n}$ и для всех $t$ выполнено равенство
\[
\int_{g^{t}(D)} M(x) d x=\int_{D} M(x) d x .
\]

Согласно теореме Лиувилля гладкая функция $M: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ является плотностью интегрального инварианта $\int M(x) d x$ тогда и только тогда, когда $\operatorname{div}(M f)=0$. Если $M(x)>0$ для всех $x$, то формула (В.2) определяет меру в $\mathbb{R}^{n}$, инвариантную относительно действия $g^{t}$. Еще Эйлером было показано, что при $n=2$ и наличии инвариантной меры (интегрирующего множителя) система интегрируется в квадратурах. Используя классические результаты Эйлера и Якоби (теория интегрирующего множителя) и теорему А. Н. Колмогорова о приводимости дифференциальных уравнений на торе с гладкой инвариантной мерой [102], можно сформулировать следующий результат [4]
Теорема. Предположим, что система уравнений (B.1) с инвариантной мерой (B.2) имеет $n-2$ первых интеграла $F_{1}, \ldots, F_{2}$. Пусть на общем уровне первых интегралов $E_{c}=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}: F_{s}(x)=C_{s}\right\}, 1 \leqslant s \leqslant n-2$ функции $F_{1}, \ldots, F_{n-2}$ независимы. Тогда
1. решения уравнения (В.1) лежащие на $E_{c}$ находятся в квдратуpax;
2. если $L_{c}$ — связная компактная компонента множества уровня $E_{c}$ $u f(x)
eq 0$ на $L_{c}$, то $L_{c}$ — гладкая поверхность, диффеоморфная двумерному тору;

3. на $L_{c}$ можно подобрать угловые координаты $(x, y) \bmod 2 \pi$ так, что в этих переменных уравнение (B.1) на $L_{c}$ приняло бы следующий вид:
\[
\dot{x}=\frac{\lambda}{\Phi(x, y)}, \quad \dot{y}=\frac{\mu}{\Phi(x, y)},
\]

где $\lambda, \mu=$ const, $\lambda^{2}+\mu^{2}
eq 0, a \Phi(x, y)$ — гладкая положительная функция, $2 \pi$-периодическая по х и у.
Уравнения (В.3) имеют инвариантную меру $\iint \Phi(x, y) d x d y$ и усредняя правые части (В.3) по этой мере, получим дифференциальные уравнения
\[
\dot{u}=\frac{\lambda}{
u}, \quad \dot{v}=\frac{\mu}{
u}, \quad
u=\frac{1}{4 \pi^{2}} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} \Phi(x, y) d x d y .
\]

Из результатов [102] следует, что если $\Phi: \mathbb{T}^{2} \rightarrow \mathbb{R}$ гладкая (аналитическая) функция, то почти для всех пар $\lambda, \mu \in \mathbb{R}^{2}$ существует гладкая (аналитическая) замена угловых переменных $x, y \rightarrow u, v$, приводящая систему (В.3) к системе (В.4). Приводимость системы (В.3) к системе (В.4) зависит от арифметических свойств отношения $\omega=\frac{\lambda}{\mu}$, которое называется числом вращения касательного векторного поля на торе $\mathbb{T}^{2}=\{(x, y) \bmod 2 \pi\}$. В частности приводимость обеспечена при выполнении диофантова условия сильной несоизмеримости: существуют такие $c>0$ и $h>0$, что при любых целых $m>0$ и $n>0$ справедливо неравенство $|m-n \omega| \geqslant c h^{n}$, которое выполняется для всех $\omega$, кроме множества лебеговой меры нуль.

Можно сформулировать простое необходимое условие приводимости $[77,79]$. Пусть $\Phi(x, y)=\sum \phi_{m, n} \exp [i(m x+n y)], \phi_{m, n}=\bar{\phi}_{-m,-n}$. Если дифференцируемой заменой угловых переменных систему (В.3) можно привести к виду (В.4), то ряд
\[
\sum_{|m|+|n|
eq 0}\left|\frac{\phi_{m, n}}{m \lambda+n \mu}\right|^{2}<\infty
\]

сходится.
При резонансном $\omega$ тор $\mathbb{T}^{2}$ расслоен на семейство замкнутых траекторий. В этом случае условие приводимости эквивалентно равенству периодов обращения по различным замкнутым траекториям.

В общем случае, когда разложение Фурье функции $\Phi$ содержит ненулевые гармоники, точки $(\lambda, \mu) \in \mathbb{R}^{2}$ с рационально независимыми $(\lambda,
u)$ для которых ряд (В.5) расходится, всюду плотны в $\mathbb{R}^{2}$.

2. Задача Чаплыгина. В качестве примера рассмотрим задачу о качении неголономного шара Чаплыгина по горизонтальной плоскости $[162]$. Уравнения движения шара в проекциях угловой скорости $\omega \in \mathbb{R}^{3}$ и орта вертикали $\gamma \in \mathbb{R}^{3}$ на главные центральные оси, жестко связанные с шаром имеют вид
\[
\begin{array}{l}
\dot{M}=M \times \omega, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \omega, \\
M=I \omega+D \gamma \times(\omega \times \gamma), \quad D=m a^{2},
\end{array}
\]

где $I$ — тензор инерции шара относительно его центра, $m$ — масса шара, $a$ — его радиус. Уравнения (В.6) имеют инвариантную меру с плотностью
\[
M=\frac{1}{\sqrt{1-D(A \gamma, \gamma)}}, \quad A=(I+D E)^{-1} .
\]

Четыре первых интеграла $F_{1}=(M, \omega), F_{2}=(M \gamma), F_{3}=(\gamma, \gamma)=1$, $F_{4}=(M, M)$ обеспечивают интегрируемость системы (В.6) в квадратурах.

Наиболее просто уравнения (В.6) интегрируются в случае, когда постоянная интеграла площадей $F_{2}=(M, \gamma)$ равна нулю. В эллиптических координатах $\xi,
u$ на сфере Пуассона $(\gamma, \gamma)=1$ уравнения движения на общем уровне первых интегралов имеют вид $[79,162]$
\[
\begin{array}{c}
\dot{\xi}=\frac{\sqrt{P_{5}(\xi)}}{\xi\left(\xi^{-1}-
u^{-1}\right) \Phi(\xi,
u)}, \quad \dot{\eta}=\frac{\sqrt{P_{5}(
u)}}{\eta\left(\xi^{-1}-
u^{-1}\right) \Phi(\xi,
u)} \\
\Phi=\sqrt{(\alpha-\xi)(\alpha-
u)} .
\end{array}
\]

Коэффициенты многочлена $P_{5}\left(\operatorname{deg} P_{5}=5\right)$ и постоянная $\alpha$ зависят от параметров задачи и констант первых интегралов, а переменные $\xi,
u$ изменяются в различных замкнутых интервалах $a_{1} \leqslant \xi \leqslant a_{2}$, $b_{1} \leqslant
u \leqslant b_{2}$, где полином $P_{5}$ принимает неотрицательные значения.

Замена переменных
\[
\begin{array}{ll}
x=\lambda \int_{a_{1}}^{\xi} \frac{z d z}{\sqrt{P_{5}(z)}}, & \lambda^{-1}=\frac{1}{\pi} \int_{a_{1}}^{a_{2}} \frac{z d z}{\sqrt{P_{5}(z)}}, \\
y=\mu \int_{b_{1}}^{\eta} \frac{z d z}{\sqrt{P_{5}(z)}}, & \mu^{-1}=\frac{1}{\pi} \int_{b_{1}}^{b_{2}} \frac{z d z}{\sqrt{P_{5}(z)}}
\end{array}
\]

вводит угловые координаты $x, y \bmod 2 \pi$ на $E_{c}$, в которых уравнения движения приобретают вид (B.3)
\[
\begin{array}{c}
\dot{x}=\frac{\lambda}{\Phi(x, y)}, \quad \dot{y}=\frac{\mu}{\Phi(x, y)} \\
\Phi=\left[\xi^{-1}(x)-
u^{-1}(x)\right] \sqrt{(\alpha-\xi(x))(\alpha-
u(y))}
\end{array}
\]

где $\xi(x), \eta(y)-2 \pi$-периодические функции от $x$ и $y$, получающиеся из обращения абелевых интегралов (В.9). При этом, число вращения касательного векторного поля на двумерных инвариантных торах задачи Чаплыгина равно отношению вещественных периодов абелева интеграла
\[
\int \frac{z d z}{\sqrt{P_{5}(z)}} .
\]

Приводимость системы (В.10) к виду (В.6) и сходимость ряда (В.5) может иметь место не для всех инвариантных торов. Отметим, что в гамильтоновом случае по теореме Лиувилля и в силу существования переменных действие-угол приводимость к виду (В.6) всегда обеспечена. Таким образом, неприводимость уравнений (В.5), (В.10) к (В.6) может рассматриваться как препятствие к гамильтоновости этих уравнений. Вопрос о гамильтоновости уравнений (В.6) был поставлен в [82], но до сих пор не является решенным. Один из возможных вариантов решения этого вопроса состоит в исследовании сходимости ряда (B.5). Отметим, что если приводимость возможна не для всех нерезонансных торов, то на этих торах в отличие от гамильтоновой ситуации происходит «слабое» перемешивание (которое влечет за собой «слабый» хаос). При этом спектр динамической системы на таких торах может быть непрерывным [102], тем не менее, все другие характеристики «настоящего» хаоса (максимальный показатель Ляпунова, энтропия и др.) равны нулю.

Замечание 1. Уравнения (В.6) могут быть записаны в виде, близком к гамильтоновым уравнениям на алгебре so(4) [34]
\[
\left\{\begin{array}{c}
\dot{M}=M \times \frac{\partial H}{\partial M} \\
\dot{\gamma}=g^{-1} \gamma \times \frac{\partial H}{\partial \gamma}
\end{array}\right.
\]

где «гамильтониан» $H$ определяется формулой
\[
H=\frac{1}{2}(A M, M)+\frac{1}{2} g(A M, \gamma), \quad g=\frac{D(A M, \gamma)}{1-D(A \gamma, \gamma)}
\]

Уравнения (В.6) могут быть также записаны в форме, близкой к уравнениям Гамильтона на алгебре $e(3)$ [34]:
\[
\left\{\begin{array}{l}
\dot{M}=(M-g \gamma) \times \frac{\partial H}{\partial M}+\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \gamma} \\
\dot{\gamma}=\gamma \times \frac{\partial H}{\partial \gamma} .
\end{array}\right.
\]

Системы (В.11), (В.13) могут быть записаны в скобочном виде $\dot{z}=\{z, H\}$, однако получающаяся скобка не удовлетворяет тождеству Якоби.

Замечание 2. В статье [122] приведен ряд систем неголономной механики, связанных с качением динамически симметричных тел, которые допускают запись в гамильтоновой форме. Это представление возможно в силу существования первых интегралов, линейных по скоростям.

Замечание 3. Как показал Ю.Н.Федоров [235] после замены времени на нулевой постоянной площадей уравнения (В.6) изоморфны интегрируемому случаю Клебша в задаче Кирхгофа (которая является гамильтоновой).

Замечание 4. В дополнении к книге [72] указано одно из возможных обобщений теоремы Якоби, с помощью которой можно проинтегрировать, например, задачу о движении неголономного шара Чаплыгина в суперпозиции линейных силовых полей (типа поля Бруна) [17]. При этом движение в компактном случае будет происходить по торам (фиксируемыми общими уровнями первых интегралов) размерности $m>2$, но существует $m-2$ независимых коммутирующих полей симметрий $u_{3}, \ldots, u_{m}$ и инвариантная $m$-форма $\Omega$ такая, что
\[
L_{u_{k}} \Omega=0, \quad 3 \leqslant k \leqslant n .
\]

Эти условия являются достаточными для интегрируемости в квадратурах.