В этом параграфе рассмотрены аналоги основных интегрируемых задач классической небесной механики в пространствах постоянной кривизны $[270,113]$.

1. Обобщенная задача двух ньютоновских центров (задача Эйлера).

1.1. Случай трехмерной сферы $S^{3}$. Рассмотрим движение частицы на $S^{3}$, задаваемой уравнением $q_{0}{ }^{2}+\mathbf{q}^{2}=1$, в поле двух центров,

расположенных в точках $(\beta, \alpha, 0,0),(\beta,-\alpha, 0,0)$, причем $\alpha^{2}+\beta^{2}=1$. (Для случая $S^{2}$ интегрируемость этой задачи доказана в [270].)
Потенциальная энергия частицы в этом случае равна [270]
\[
U=\gamma_{1} \operatorname{ctg} \theta_{1}+\gamma_{2} \operatorname{ctg} \theta_{2},
\]

здесь $\theta_{i}$ угол между радиус-вектором частицы и радиус-вектором $i$-того центра.
Перейдем от переменных $q^{0}, \mathbf{q}$ к новым переменным по формулам
\[
q^{0}=y, \quad q^{1}=x, \quad q^{2}=z \cos \varphi, \quad q^{3}=z \sin \varphi .
\]

Нетрудно проверить, что координата $\varphi$ – циклическая. Исключение ее по методу Рауса приводит к задаче о движении частицы по двумерной сфере $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ в силовом поле с приведенным потенциалом.
Функция Рауса частицы имеет вид
\[
R=\frac{1}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)-U_{*},
\]

где приведенный потенциал
\[
U_{*}=-\gamma_{1} \operatorname{ctg} \theta_{1}-\gamma_{2} \operatorname{ctg} \theta_{2}+\frac{M^{2}}{2 z^{2}},
\]

здесь $M$ – обобщенный импульс (циклический интеграл), соответствующий координате $\varphi$.

Следуя $[270]$, введем сфероконические координаты $\xi, \eta$, как корни уравнения
\[
f(w)=\frac{x^{2}}{w-\alpha^{2}}+\frac{y^{2}}{w+\beta^{2}}+\frac{z^{2}}{w}=\frac{\left(w-\xi^{2}\right)\left(w+\eta^{2}\right)}{w\left(w-\alpha^{2}\right)\left(w+\beta^{2}\right)} .
\]

здесь $0<\xi^{2}<\alpha^{2}, 0<\eta<\beta^{2}$. Отсюда легко выразить $x, y$, $z$, находя вычеты функции $f(w)$ в точках $\alpha^{2},-\beta^{2}, 0$ и извлекая корни:
\[
\begin{array}{l}
x=\operatorname{sgn}(x) \frac{\sqrt{\left(\alpha^{2}-\xi^{2}\right)\left(\alpha^{2}+\eta^{2}\right)}}{\alpha}, \\
y=\operatorname{sgn}(y) \frac{\sqrt{\left(\beta^{2}+\xi^{2}\right)\left(\beta^{2}-\eta^{2}\right)}}{\beta}, \\
z=\frac{\xi \eta}{\alpha \beta} .
\end{array}
\]

Для учета знака $z$ полагаем $-\alpha<\xi<\alpha, 0<\eta<\beta$, а функция $\operatorname{sgn}$ используется для того, чтобы учесть знаки $x, y$ в каждой из четырех областей сферы $S^{2}:(x>0, y>0),(x<0, y>0),(x>0, y<0)$, $(x<0, y<0)$.
Функция Гамильтона в новых переменных
\[
H=\frac{1}{2}\left(\frac{\left(\alpha^{2}-\xi^{2}\right)\left(\beta^{2}+\xi^{2}\right)}{\xi^{2}+\eta^{2}} p_{\xi}{ }^{2}+\frac{\left(\alpha^{2}+\eta^{2}\right)\left(\beta^{2}-\eta^{2}\right)}{\xi^{2}+\eta^{2}}{p_{\eta}}^{2}\right)+U_{*} .
\]

Приведенный потенциал (3.2) можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
U_{*}=-\frac{\operatorname{sgn}(y)\left(\gamma_{1}+\gamma_{2}\right) \sqrt{\left(\alpha^{2}-\xi^{2}\right)\left(\beta^{2}+\xi^{2}\right)}}{\xi^{2}+\eta^{2}}- \\
-\frac{\operatorname{sgn}(x)\left(\gamma_{1}-\gamma_{2}\right) \sqrt{\left(\alpha^{2}+\eta^{2}\right)\left(\beta^{2}-\eta^{2}\right)}}{\xi^{2}+\eta^{2}}+\frac{M^{2} \alpha^{2} \beta^{2}\left(\xi^{-2}+\eta^{-2}\right)}{2\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)} .
\end{array}
\]

Таким образом, переменные разделяются, гамильтониан (3.5) принадлежит к лиувиллевому типу и, следовательно, задача интегрируема.
Замечание 1. Задача Эйлера на трехмерной сфере допускает также алгебраическое представление с нелинейной скобкой Пуассона (1.10) (§5 гл. 5). Чтобы показать это, представим потенциальную энергию (3.1) в виде
\[
U=U\left(q_{0}, \boldsymbol{q}_{1}\right)=-\gamma_{1} \frac{\beta q_{0}+\alpha q_{1}}{\left(1-\left(\beta q_{0}+\alpha q_{1}\right)^{2}\right)^{1 / 2}}-\gamma_{2} \frac{\beta q_{0}-\alpha q_{1}}{\left(1-\left(\beta q_{0}-\alpha q_{1}\right)^{2}\right)^{1 / 2}} .
\]

Отсюда следует, что с учетом замены ( $q \rightarrow \lambda$ ) система допускает интеграл (5.5) ( $\$ 5$ гл. 2), и, следовательно, может быть редуцирована на алгебpy $l(\mathbf{K}, \mathbf{s})(5.10)$ ( $\$ 5$ гл. 2).

1.2. Задача двух центров на $L^{3}$. Аналогично рассмотрим задачу о движении частицы в поле двух центров в пространстве Лобачевского $L^{3}$, которое зададим как верхнюю полу гиперболоида $\left(q^{0}\right)^{2}-\mathbf{q}^{2}=1$ в четырехмерном пространстве Минковского $\mathbb{M}^{4}$. Движением в $L^{3}$ можно добиться, чтобы притягивающие центры располагались в точках $r_{1}=$ $=(\beta, \alpha, 0,0), r_{2}=(\beta,-\alpha, 0,0)$, причем $\beta^{2}-\alpha^{2}=1$. Потенциальная энергия частицы имеет вид
\[
U=-\gamma_{1} \operatorname{cth} \theta_{1}-\gamma_{2} \operatorname{cth} \theta_{2} .
\]

«Углы» определяются следующим образом: $\operatorname{ch} \theta_{a}=\left\langle q, r_{a}\right\rangle=q^{0} q_{a}^{0}-$ – $\left(\mathbf{q}, \mathbf{r}_{a}\right)$, где $q, r_{a}$ радиус-векторы частицы и $a$-того центра соответственно, $\langle\cdot, \cdot\rangle$ – скалярное произведение в пространстве Минковского. Если ввести координаты $(x, y, z, \varphi)$ по формулам
\[
q^{0}=y, \quad q^{1}=x, \quad q^{2}=z \cos \varphi, \quad q^{3}=z \sin \varphi .
\]

то координата $\varphi$ будет циклической. Исключая ее, получим задачу о движении частицы по плоскости Лобачевского $L^{2}: y^{2}-x^{2}-z^{2}=1$, функция Рауса которой
\[
R=\frac{1}{2}\left(\dot{y}^{2}-\dot{x}^{2}-\dot{z}^{2}\right)-U_{*},
\]

а приведенный потенциал
\[
U_{*}=U+\frac{M^{2}}{2 z^{2}},
\]

где $M$ имеет тот же смысл, что и в задаче о сфере.
Псевдосферические координаты $\xi, \eta$ являются корнями уравнения
\[
f(w)=\frac{y^{2}}{w-\beta^{2}}-\frac{x^{2}}{w-\alpha^{2}}-\frac{z^{2}}{w}=\frac{\left(w-\xi^{2}\right)\left(w+\eta^{2}\right)}{w\left(w-\alpha^{2}\right)\left(w-\beta^{2}\right)} .
\]

Координатные линии $\xi$ = const, $\eta=$ const получаются пересечением поверхностей
\[
\begin{array}{c}
y^{2}-x^{2}-z^{2}=1, \\
\frac{x^{2}}{\alpha^{2}-\xi^{2}}=\frac{y^{2}}{\beta^{2}-\xi^{2}}+\frac{z^{2}}{\xi^{2}}, \\
\frac{y^{2}}{\beta^{2}+\eta^{2}}=\frac{x^{2}}{\alpha^{2}+\eta^{2}}+\frac{z^{2}}{\eta^{2}} .
\end{array}
\]

Находя вычеты функции $f(w)$ в точках $\alpha^{2}, \beta^{2}, 0$ из (3.10), и извлекая корни с учетом знаков, получаем
\[
\begin{array}{l}
x=\operatorname{sgn}(x) \frac{\sqrt{\left(\alpha^{2}-\xi^{2}\right)\left(\alpha^{2}+\eta^{2}\right)}}{\alpha}, \\
y=\frac{\sqrt{\left(\beta^{2}-\xi^{2}\right)\left(\beta^{2}+\eta^{2}\right)}}{\beta}, \\
z=\frac{\xi \eta}{\alpha \beta} .
\end{array}
\]

Здесь $-\alpha<\xi<\alpha, 0<\eta<\infty$.

Легко проверяется, что новые координаты ортогональны на псевдосфере (в смысле метрики Лобачевского), и гамильтониан имеет вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(\frac{\left(\alpha^{2}-\xi^{2}\right)\left(\beta^{2}-\xi^{2}\right)}{\xi^{2}+\eta^{2}} p_{\xi}{ }^{2}+\frac{\left(\alpha^{2}+\eta^{2}\right)\left(\beta^{2}+\eta^{2}\right)}{\xi^{2}+\eta^{2}}{p_{\eta}}^{2}\right)+U_{*} .
\]

Приведенный потенциал с учетом знаков в областях $x<0$ и $x>0$ представим в форме
\[
\begin{array}{c}
U_{*}=-\frac{\left(\gamma_{1}+\gamma_{2}\right) \sqrt{\left(\alpha^{2}+\eta^{2}\right)\left(\beta^{2}+\eta^{2}\right)}}{\xi^{2}+\eta^{2}}+ \\
+\frac{\operatorname{sgn}(x)\left(\gamma_{1}-\gamma_{2}\right) \sqrt{\left(\alpha^{2}-\xi^{2}\right)\left(\beta^{2}-\xi^{2}\right)}}{\xi^{2}+\eta^{2}}+\frac{M^{2} \alpha^{2} \beta^{2}\left(\xi^{-2}+\eta^{-2}\right)}{2\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)} .
\end{array}
\]

Также как и в предыдущем случае переменные разделяются и уравнения интегрируются в квадратурах.

2. Задача Лагранжа в пространстве Лобачевского. Известно, что задача Эйлера о двух неподвижных центрах в трехмерном пространстве имеет интегрируемый предельный случай, когда один из зарядов относится на бесконечность, при этом величина заряда также бесконечно увеличивается. В пределе частица движется в постоянном однородном поле и поле точечного заряда. Эта задача впервые рассматривалась Лагранжем. Ее анализ содержится в книге [36] в связи с исследованием классической модели движения электрона в атоме, помещенном в однородное электрическое поле (эффект Штарка).

Выполним аналогичный предельный переход для пространства Лобачевского (для сферы такого предельного случая не существует в силу ее компактности). Пусть два точечных заряда $\gamma_{1}, \gamma_{2}$ в пространстве Лобачевского $L^{3}$ расположены в точках $r_{1}=(1,0,0,0), r_{2}=(\operatorname{ch} \xi, \operatorname{sh} \xi, 0,0)$. Потенциальная энергия частицы имеет вид $U=U_{1}+U_{2}$. В данном случае
\[
\begin{array}{c}
U_{1}=-\gamma_{1} \operatorname{cth} \theta_{1}=-\gamma_{1} \frac{q^{0}}{\sqrt{\left(q^{0}\right)^{2}-1}} \\
U_{2}=-\gamma_{2} \operatorname{cth} \theta_{2}=-\gamma_{2} \frac{q^{0} \operatorname{ch} \xi-q^{1} \operatorname{sh} \xi}{\sqrt{\left(q^{0} \operatorname{ch} \xi-q^{1} \operatorname{sh} \xi\right)^{2}-1}} .
\end{array}
\]

Устремляя $\xi$ к бесконечности и переопределяя величину заряда по закону $2 \exp (-2 \varphi) \gamma_{2} \rightarrow \gamma_{2}$ получим следующий вид поля «бесконечно удаленного» заряда – аналог однородного поля в искривленном пространстве:
\[
U_{2}=-\gamma_{2} \frac{1}{\left(q^{0}-q^{1}\right)^{2}} .
\]

Введем в пространстве координаты по формулам (3.8). Переменная $\varphi$ является циклической. После редукции Рауса получим задачу о движении частицы по плоскости Лобачевского: $y^{2}-x^{2}-z^{2}=1$ в потенциальном поле
\[
U_{*}=-\gamma_{1} \frac{y}{\sqrt{y^{2}-1}}-\gamma_{2} \frac{1}{(y-x)^{2}}+\frac{M^{2}}{2 z^{2}} .
\]

Для нахождения системы координат, в которых переменные разделяются, выполним предельный переход для псевдосфероконических координат на плоскости Лобачевского, введенных ранее, как пересечение поверхностей (3.11). Новая система поверхностей имеет вид
\[
\begin{array}{c}
2 x(y-x)=\mu^{2}(y-x)^{2}-\frac{z^{2}}{\mu^{2}}, \\
2 x(y-x)=
u^{2}(y-x)^{2}+\frac{z^{2}}{
u^{2}}, \\
y^{2}-x^{2}-z^{2}=1,
\end{array}
\]

а соответствующие им координаты $\mu,
u$ изменяются в пределах $\mu \in(0, \infty),
u \in(-1,1)$. Координаты $x, y, z$ выражаются через $\mu,
u$ по формулам:
\[
\begin{array}{l}
x=\frac{1}{2} \frac{\mu^{2}-
u^{2}}{\sqrt{\left(1-
u^{2}\right)\left(1+\mu^{2}\right)}}, \\
z=\frac{1}{2} \frac{\mu
u}{\sqrt{\left(1-
u^{2}\right)\left(1+\mu^{2}\right)}}, \\
y-x=\frac{1}{\sqrt{\left(1-
u^{2}\right)\left(1+\mu^{2}\right)}} .
\end{array}
\]

Функция Гамильтона в новых переменных имеет вид
\[
\begin{array}{l}
H=\frac{\left(1-
u^{2}\right)\left(1+\mu^{2}\right)}{\mu^{2}+
u^{2}}\left[\frac{1}{2}\left(\left(1+\mu^{2}\right) p_{\mu}{ }^{2}+\left(1-
u^{2}\right) p_{
u}{ }^{2}\right)+\right. \\
\left.+\gamma_{1}\left(\frac{1}{1+\mu^{2}}+\frac{1}{1-
u^{2}}\right)+\gamma_{2}\left(\mu^{2}+
u^{2}\right)+\frac{M^{2}}{2}\left(\mu^{-2}+
u^{-2}\right)\right] .
\end{array}
\]

Чтобы разделить переменнные представим множитель стоящий перед скобками в виде
\[
\frac{\left(1-
u^{2}\right)\left(1+\mu^{2}\right)}{\mu^{2}+
u^{2}}=\left(\frac{1}{1-
u^{2}}-\frac{1}{1+\mu^{2}}\right)^{-1},
\]

и система снова приводится к лиувиллеву виду.

3. Движение заряженной частицы в поле магнитного монополя. В этом пункте показана интегрируемость задачи о движении частицы в поле магнитного монополя в искривленном пространстве. Модель магнитного монополя для евклидова пространства использовалась А.Пуанкаре для описания движения заряженных частиц вблизи магнитных полюсов Земли. Пуанкаре показал, что задача является интегрируемой, а траектории представляют собой геодезические на двумерном конусе. Заметим, что более сложная задача – о движении заряженной частицы в поле магнитного диполя (задача Штермера) уже не является интегрируемой как в случае плоского, так и для искривленного пространства.

Получим аналог поля магнитного монополя для пространств постоянной кривизны. Тензор электромагнитного поля в пустом пространстве удовлетворяет уравнениям Максвелла
\[
\begin{array}{c}
\partial_{\alpha} F_{\beta \gamma}+\partial_{\beta} F_{\gamma \alpha}+\partial_{\gamma} F_{\alpha \beta}=0, \\
\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_{\beta}\left(\sqrt{-g} F^{\alpha \beta}\right)=0, \quad\left(\partial_{\alpha}=\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}\right),
\end{array}
\]

где $\left\|g_{\alpha \beta}\right\|$ – метрика пространства-времени, $\alpha, \beta, \gamma=0, \ldots, 3, g$ определитель этой матрицы.

В пространстве постоянной положительной кривизны $\left(S^{3}\right)$ в некоторой системе отсчета метрика пространства-времени имеет вид
\[
d s^{2}=c^{2} d t^{2}-R^{2}\left(d \theta^{2}+\sin ^{2} \theta\left(d \varphi^{2}+\sin ^{2} \varphi d \psi^{2}\right)\right),
\]

а для пространства постоянной отрицательной кривизны $\left(L^{3}\right)$
\[
d s^{2}=c^{2} d t^{2}-R^{2}\left(d \theta^{2}+\operatorname{sh}^{2} \theta\left(d \varphi^{2}+\sin ^{2} \varphi d \psi^{2}\right)\right) .
\]

Как и выше ( $\$ 1$ гл. 3), латинские буквы соответствуют только пространственным индексам $-i, j, k, \ldots=1,2,3$, а $g_{*}$ обозначает пространственную часть метрики со знаком минус. Решение, соответствующее стационарному магнитному полю в таких пространствах будем искать в виде
\[
F_{0 i}=0, \quad \sqrt{g_{*}} F^{i j}=\varepsilon^{i j k} \partial_{k} f,
\]

здесь $\varepsilon^{i j k}$ – антисимметричный тензор Леви-Чевиты. Подставляя (3.20) в (3.18), находим уравнение для неизвестной функции $f(x)$
\[
\partial_{k}\left(\sqrt{g_{*}} g^{i k} \partial_{i} f\right)=0,
\]

которое совпадает с уравнением Лапласа-Бельтрами (см. §2). Магнитному монополю соответствует решение уравнения (3.22) с особенностью, зависящее только от $\theta$ :
\[
f=\gamma \operatorname{ctg} \theta+\alpha \text { для } S^{3},
\]

либо
\[
f=\gamma \operatorname{cth} \theta+\alpha \text { для } L^{3} .
\]

Для составления уравнений Лагранжа-Эйлера необходимо найти векторный потенциал из соотношения $F_{i j}=\partial_{i} A_{j}-\partial_{j} A_{i}$. Этому уравнению удовлетворяет потенциал вида
\[
A_{\theta}=0, \quad A_{\varphi}=0, \quad A_{\psi}=\gamma R \cos \varphi .
\]

Таким образом, функция Лагранжа системы для $S^{3}$ равна
\[
L=\frac{1}{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \theta\left(\dot{\varphi}^{2}+\sin ^{2} \varphi \dot{\psi}^{2}\right)\right)-\frac{e \gamma R}{c} \dot{\psi} \cos \varphi,
\]

а для $L^{3}-$
\[
L=\frac{1}{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\operatorname{sh}^{2} \theta\left(\dot{\varphi}^{2}+\sin ^{2} \varphi \dot{\psi}^{2}\right)\right)-\frac{e \gamma R}{c} \dot{\psi} \cos \varphi .
\]

Чтобы установить законы сохранения, удобно записать уравнения движения в избыточных координатах $q^{0}, \mathbf{q}=\left(q^{1}, q^{2}, q^{3}\right)$ (1.1). Представив в них функцию Лагранжа и обозначив через $\Lambda$ неопределенный множитель, учитывающий связь $\left(q^{0}\right)^{2} \pm(\mathbf{q}, \mathbf{q})=R^{2}$, получим уравнения движения
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\mathbf{q}}=-\frac{e \gamma R}{c} \dot{\mathbf{q}} \times \frac{\mathbf{q}}{|\mathbf{q}|^{3}}-\Lambda \mathbf{q}, \\
\ddot{q^{0}}=-\Lambda q^{0},
\end{array}
\]

здесь $|\mathbf{q}|^{2}=(\mathbf{q}, \mathbf{q})$.
Нетрудно проверить, что трехмерный вектор момента
\[
\mathbf{M}=\mathbf{q} \times \dot{\mathbf{q}}+\frac{e \gamma R}{c} \frac{\mathbf{q}}{|\mathbf{q}|}
\]

является векторным первым интегралом. Для его компонент справедливы стандартные коммутационные соотношения $\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=\varepsilon_{i j k} M_{k}$.

Из (3.29) следует, что траектория системы расположена на двумерной инвариантной поверхности, определяемой уравнением
\[
\left(\mathbf{M}, \frac{\mathbf{q}}{|\mathbf{q}|}\right)=\text { const. }
\]

При подходящем выборе сферических (псевдосферических) координат это уравнение приводится к виду $\varphi=\varphi_{0}=$ const. Рассматривая движение на такой инвариантной поверхности, получаем следующую функцию Лагранжа
\[
L=\frac{1}{2}\left(\dot{\theta}^{2}+\sin ^{2} \varphi_{0} \dot{\psi}^{2}\right)-\frac{e \gamma R}{c} \cos \varphi_{0} \dot{\psi} .
\]
(Для $L^{3}$ необходимо заменить в (3.30) $\sin ^{2}$ на $\operatorname{sh}^{2}$ ). Поскольку координата $\psi$ циклическая и энергия сохраняется, уравнения движения интегрируются в квадратурах.