В этом параграфе рассмотрены аналоги основных интегрируемых задач классической небесной механики в пространствах постоянной кривизны $[270,113]$.

1. Обобщенная задача двух ньютоновских центров (задача Эйлера).

1.1. Случай трехмерной сферы $S^3$. Рассмотрим движение частицы на $S^3$, задаваемой уравнением $q_0{}^2+{\mathbf{q}}^2=1$, в поле двух центров,

расположенных в точках $(\beta ,\alpha ,0,0),(\beta ,-\alpha ,0,0)$, причем ${\alpha }^2+{\beta }^2=1$. (Для случая $S^2$ интегрируемость этой задачи доказана в [270].)
Потенциальная энергия частицы в этом случае равна [270]
$$U={\gamma }_1\mathrm{ctg}{\theta }_1+{\gamma }_2\mathrm{ctg}{\theta }_2,$$

здесь ${\theta }_i$ угол между радиус-вектором частицы и радиус-вектором $i$-того центра.
Перейдем от переменных $q^0,\mathbf{q}$ к новым переменным по формулам
$$q^0=y,q^1=x,q^2=z\cos \phi ,q^3=z\sin \phi .$$

Нетрудно проверить, что координата $\phi$ — циклическая. Исключение ее по методу Рауса приводит к задаче о движении частицы по двумерной сфере $x^2+y^2+z^2=1$ в силовом поле с приведенным потенциалом.
Функция Рауса частицы имеет вид
$$R=\frac{1}{2}({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)-U_{\ast },$$

где приведенный потенциал
$$U_{\ast }=-{\gamma }_1\mathrm{ctg}{\theta }_1-{\gamma }_2\mathrm{ctg}{\theta }_2+\frac{M^2}{2z^2},$$

здесь $M$ — обобщенный импульс (циклический интеграл), соответствующий координате $\phi$.

Следуя $[270]$, введем сфероконические координаты $\xi ,\eta$, как корни уравнения
$$f(w)=\frac{x^2}{w-{\alpha }^2}+\frac{y^2}{w+{\beta }^2}+\frac{z^2}{w}=\frac{(w-{\xi }^2)(w+{\eta }^2)}{w(w-{\alpha }^2)(w+{\beta }^2)}.$$

здесь $0<{\xi }^2<{\alpha }^2,0<\eta <{\beta }^2$. Отсюда легко выразить $x,y$, $z$, находя вычеты функции $f(w)$ в точках ${\alpha }^2,-{\beta }^2,0$ и извлекая корни:
$$\begin{array}{l}x=\mathrm{sgn}(x)\frac{\sqrt{({\alpha }^2-{\xi }^2)({\alpha }^2+{\eta }^2)}}{\alpha },\\ y=\mathrm{sgn}(y)\frac{\sqrt{({\beta }^2+{\xi }^2)({\beta }^2-{\eta }^2)}}{\beta },\\ z=\frac{\xi \eta }{\alpha \beta }.\end{array}$$

Для учета знака $z$ полагаем $-\alpha <\xi <\alpha ,0<\eta <\beta$, а функция $\mathrm{sgn}$ используется для того, чтобы учесть знаки $x,y$ в каждой из четырех областей сферы $S^2:(x>0,y>0),(x<0,y>0),(x>0,y<0)$, $(x<0,y<0)$.
Функция Гамильтона в новых переменных
$$H=\frac{1}{2}(\frac{({\alpha }^2-{\xi }^2)({\beta }^2+{\xi }^2)}{{\xi }^2+{\eta }^2}{p}_{\xi }{}^2+\frac{({\alpha }^2+{\eta }^2)({\beta }^2-{\eta }^2)}{{\xi }^2+{\eta }^2}{p_{\eta }}^2)+U_{\ast }.$$

Приведенный потенциал (3.2) можно представить в виде
$$\begin{array}{c}{U}_{\ast }=-\frac{\mathrm{sgn}(y)({\gamma }_1+{\gamma }_2)\sqrt{({\alpha }^2-{\xi }^2)({\beta }^2+{\xi }^2)}}{{\xi }^2+{\eta }^2}-\\ -\frac{\mathrm{sgn}(x)({\gamma }_1-{\gamma }_2)\sqrt{({\alpha }^2+{\eta }^2)({\beta }^2-{\eta }^2)}}{{\xi }^2+{\eta }^2}+\frac{M^2{\alpha }^2{\beta }^2({\xi }^{-2}+{\eta }^{-2})}{2({\xi }^2+{\eta }^2)}.\end{array}$$

Таким образом, переменные разделяются, гамильтониан (3.5) принадлежит к лиувиллевому типу и, следовательно, задача интегрируема.
Замечание 1. Задача Эйлера на трехмерной сфере допускает также алгебраическое представление с нелинейной скобкой Пуассона (1.10) (§5 гл. 5). Чтобы показать это, представим потенциальную энергию (3.1) в виде
$$U=U(q_0,{\mathit{q}}_1)=-{\gamma }_1\frac{\beta q_0+\alpha q_1}{{(1-{(\beta q_0+\alpha q_1)}^2)}^{1/2}}-{\gamma }_2\frac{\beta q_0-\alpha q_1}{{(1-{(\beta q_0-\alpha q_1)}^2)}^{1/2}}.$$

Отсюда следует, что с учетом замены ( $q\to \lambda$ ) система допускает интеграл (5.5) ( $\mathrm{\$}5$ гл. 2), и, следовательно, может быть редуцирована на алгебpy $l(\mathbf{K},\mathbf{s})(5.10)$ ( $\mathrm{\$}5$ гл. 2).

1.2. Задача двух центров на $L^3$. Аналогично рассмотрим задачу о движении частицы в поле двух центров в пространстве Лобачевского $L^3$, которое зададим как верхнюю полу гиперболоида ${\left(q^0\right)}^2-{\mathbf{q}}^2=1$ в четырехмерном пространстве Минковского ${\mathbb{M}}^4$. Движением в $L^3$ можно добиться, чтобы притягивающие центры располагались в точках $r_1=$ $=(\beta ,\alpha ,0,0),r_2=(\beta ,-\alpha ,0,0)$, причем ${\beta }^2-{\alpha }^2=1$. Потенциальная энергия частицы имеет вид
$$U=-{\gamma }_1\mathrm{cth}{\theta }_1-{\gamma }_2\mathrm{cth}{\theta }_2.$$

«Углы» определяются следующим образом: $\mathrm{ch}{\theta }_a=⟨q,r_a⟩=q^0{q}_a^0-$ — $(\mathbf{q},{\mathbf{r}}_a)$, где $q,r_a$ радиус-векторы частицы и $a$-того центра соответственно, $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ — скалярное произведение в пространстве Минковского. Если ввести координаты $(x,y,z,\phi )$ по формулам
$$q^0=y,q^1=x,q^2=z\cos \phi ,q^3=z\sin \phi .$$

то координата $\phi$ будет циклической. Исключая ее, получим задачу о движении частицы по плоскости Лобачевского $L^2:y^2-x^2-z^2=1$, функция Рауса которой
$$R=\frac{1}{2}({\dot{y}}^2-{\dot{x}}^2-{\dot{z}}^2)-U_{\ast },$$

а приведенный потенциал
$$U_{\ast }=U+\frac{M^2}{2z^2},$$

где $M$ имеет тот же смысл, что и в задаче о сфере.
Псевдосферические координаты $\xi ,\eta$ являются корнями уравнения
$$f(w)=\frac{y^2}{w-{\beta }^2}-\frac{x^2}{w-{\alpha }^2}-\frac{z^2}{w}=\frac{(w-{\xi }^2)(w+{\eta }^2)}{w(w-{\alpha }^2)(w-{\beta }^2)}.$$

Координатные линии $\xi$ = const, $\eta =$ const получаются пересечением поверхностей
$$\begin{array}{c}{y}^2-x^2-z^2=1,\\ \frac{x^2}{{\alpha }^2-{\xi }^2}=\frac{y^2}{{\beta }^2-{\xi }^2}+\frac{z^2}{{\xi }^2},\\ \frac{y^2}{{\beta }^2+{\eta }^2}=\frac{x^2}{{\alpha }^2+{\eta }^2}+\frac{z^2}{{\eta }^2}.\end{array}$$

Находя вычеты функции $f(w)$ в точках ${\alpha }^2,{\beta }^2,0$ из (3.10), и извлекая корни с учетом знаков, получаем
$$\begin{array}{l}x=\mathrm{sgn}(x)\frac{\sqrt{({\alpha }^2-{\xi }^2)({\alpha }^2+{\eta }^2)}}{\alpha },\\ y=\frac{\sqrt{({\beta }^2-{\xi }^2)({\beta }^2+{\eta }^2)}}{\beta },\\ z=\frac{\xi \eta }{\alpha \beta }.\end{array}$$

Здесь $-\alpha <\xi <\alpha ,0<\eta <\mathrm{\infty }$.

Легко проверяется, что новые координаты ортогональны на псевдосфере (в смысле метрики Лобачевского), и гамильтониан имеет вид
$$H=\frac{1}{2}(\frac{({\alpha }^2-{\xi }^2)({\beta }^2-{\xi }^2)}{{\xi }^2+{\eta }^2}{p}_{\xi }{}^2+\frac{({\alpha }^2+{\eta }^2)({\beta }^2+{\eta }^2)}{{\xi }^2+{\eta }^2}{p_{\eta }}^2)+U_{\ast }.$$

Приведенный потенциал с учетом знаков в областях $x<0$ и $x>0$ представим в форме
$$\begin{array}{c}{U}_{\ast }=-\frac{({\gamma }_1+{\gamma }_2)\sqrt{({\alpha }^2+{\eta }^2)({\beta }^2+{\eta }^2)}}{{\xi }^2+{\eta }^2}+\\ +\frac{\mathrm{sgn}(x)({\gamma }_1-{\gamma }_2)\sqrt{({\alpha }^2-{\xi }^2)({\beta }^2-{\xi }^2)}}{{\xi }^2+{\eta }^2}+\frac{M^2{\alpha }^2{\beta }^2({\xi }^{-2}+{\eta }^{-2})}{2({\xi }^2+{\eta }^2)}.\end{array}$$

Также как и в предыдущем случае переменные разделяются и уравнения интегрируются в квадратурах.

2. Задача Лагранжа в пространстве Лобачевского. Известно, что задача Эйлера о двух неподвижных центрах в трехмерном пространстве имеет интегрируемый предельный случай, когда один из зарядов относится на бесконечность, при этом величина заряда также бесконечно увеличивается. В пределе частица движется в постоянном однородном поле и поле точечного заряда. Эта задача впервые рассматривалась Лагранжем. Ее анализ содержится в книге [36] в связи с исследованием классической модели движения электрона в атоме, помещенном в однородное электрическое поле (эффект Штарка).

Выполним аналогичный предельный переход для пространства Лобачевского (для сферы такого предельного случая не существует в силу ее компактности). Пусть два точечных заряда ${\gamma }_1,{\gamma }_2$ в пространстве Лобачевского $L^3$ расположены в точках $r_1=(1,0,0,0),r_2=(\mathrm{ch}\xi ,\mathrm{sh}\xi ,0,0)$. Потенциальная энергия частицы имеет вид $U=U_1+U_2$. В данном случае
$$\begin{array}{c}{U}_1=-{\gamma }_1\mathrm{cth}{\theta }_1=-{\gamma }_1\frac{q^0}{\sqrt{{\left(q^0\right)}^2-1}}\\ U_2=-{\gamma }_2\mathrm{cth}{\theta }_2=-{\gamma }_2\frac{q^0\mathrm{ch}\xi -q^1\mathrm{sh}\xi }{\sqrt{{(q^0\mathrm{ch}\xi -q^1\mathrm{sh}\xi )}^2-1}}.\end{array}$$

Устремляя $\xi$ к бесконечности и переопределяя величину заряда по закону $2\exp (-2\phi ){\gamma }_2\to {\gamma }_2$ получим следующий вид поля «бесконечно удаленного» заряда — аналог однородного поля в искривленном пространстве:
$$U_2=-{\gamma }_2\frac{1}{{(q^0-q^1)}^2}.$$

Введем в пространстве координаты по формулам (3.8). Переменная $\phi$ является циклической. После редукции Рауса получим задачу о движении частицы по плоскости Лобачевского: $y^2-x^2-z^2=1$ в потенциальном поле
$$U_{\ast }=-{\gamma }_1\frac{y}{\sqrt{y^2-1}}-{\gamma }_2\frac{1}{(y-x{)}^2}+\frac{M^2}{2z^2}.$$

Для нахождения системы координат, в которых переменные разделяются, выполним предельный переход для псевдосфероконических координат на плоскости Лобачевского, введенных ранее, как пересечение поверхностей (3.11). Новая система поверхностей имеет вид
$$\begin{array}{c}2x(y-x)={\mu }^2(y-x{)}^2-\frac{z^2}{{\mu }^2},\\ 2x(y-x)=u^2(y-x{)}^2+\frac{z^2}{u^2},\\ y^2-x^2-z^2=1,\end{array}$$

а соответствующие им координаты $\mu ,u$ изменяются в пределах $\mu \in (0,\mathrm{\infty }),u\in (-1,1)$. Координаты $x,y,z$ выражаются через $\mu ,u$ по формулам:
$$\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\frac{{\mu }^2-u^2}{\sqrt{(1-u^2)(1+{\mu }^2)}},\\ z=\frac{1}{2}\frac{\mu u}{\sqrt{(1-u^2)(1+{\mu }^2)}},\\ y-x=\frac{1}{\sqrt{(1-u^2)(1+{\mu }^2)}}.\end{array}$$

Функция Гамильтона в новых переменных имеет вид
$$\begin{array}{l}H=\frac{(1-u^2)(1+{\mu }^2)}{{\mu }^2+u^2}[\frac{1}{2}((1+{\mu }^2)p_{\mu }{}^2+(1-u^2)p_u{}^2)+\\ +{\gamma }_1(\frac{1}{1+{\mu }^2}+\frac{1}{1-u^2})+{\gamma }_2({\mu }^2+u^2)+\frac{M^2}{2}({\mu }^{-2}+u^{-2})].\end{array}$$

Чтобы разделить переменнные представим множитель стоящий перед скобками в виде
$$\frac{(1-u^2)(1+{\mu }^2)}{{\mu }^2+u^2}={(\frac{1}{1-u^2}-\frac{1}{1+{\mu }^2})}^{-1},$$

и система снова приводится к лиувиллеву виду.

3. Движение заряженной частицы в поле магнитного монополя. В этом пункте показана интегрируемость задачи о движении частицы в поле магнитного монополя в искривленном пространстве. Модель магнитного монополя для евклидова пространства использовалась А.Пуанкаре для описания движения заряженных частиц вблизи магнитных полюсов Земли. Пуанкаре показал, что задача является интегрируемой, а траектории представляют собой геодезические на двумерном конусе. Заметим, что более сложная задача — о движении заряженной частицы в поле магнитного диполя (задача Штермера) уже не является интегрируемой как в случае плоского, так и для искривленного пространства.

Получим аналог поля магнитного монополя для пространств постоянной кривизны. Тензор электромагнитного поля в пустом пространстве удовлетворяет уравнениям Максвелла
$$\begin{array}{c}{\partial }_{\alpha }{F}_{\beta \gamma }+{\partial }_{\beta }{F}_{\gamma \alpha }+{\partial }_{\gamma }{F}_{\alpha \beta }=0,\\ \frac{1}{\sqrt{-g}}{\partial }_{\beta }\left(\sqrt{-g}{F}^{\alpha \beta }\right)=0,({\partial }_{\alpha }=\frac{\partial }{\partial x^{\alpha }}),\end{array}$$

где $\Vert g_{\alpha \beta }\Vert$ — метрика пространства-времени, $\alpha ,\beta ,\gamma =0,\dots ,3,g$ определитель этой матрицы.

В пространстве постоянной положительной кривизны $\left(S^3\right)$ в некоторой системе отсчета метрика пространства-времени имеет вид
$$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-R^2(d{\theta }^2+{\sin }^2\theta (d{\phi }^2+{\sin }^2\phi d{\psi }^2)),$$

а для пространства постоянной отрицательной кривизны $\left(L^3\right)$
$$d{s}^2=c^{2}d{t}^2-R^2(d{\theta }^2+{\mathrm{sh}}^2\theta (d{\phi }^2+{\sin }^2\phi d{\psi }^2)).$$

Как и выше ( $\mathrm{\$}1$ гл. 3), латинские буквы соответствуют только пространственным индексам $-i,j,k,\dots =1,2,3$, а $g_{\ast }$ обозначает пространственную часть метрики со знаком минус. Решение, соответствующее стационарному магнитному полю в таких пространствах будем искать в виде
$$F_{0i}=0,\sqrt{g_{\ast }}{F}^{ij}={\epsilon }^{ijk}{\partial }_{k}f,$$

здесь ${\epsilon }^{ijk}$ — антисимметричный тензор Леви-Чевиты. Подставляя (3.20) в (3.18), находим уравнение для неизвестной функции $f(x)$
$${\partial }_k\left(\sqrt{g_{\ast }}{g}^{ik}{\partial }_{i}f\right)=0,$$

которое совпадает с уравнением Лапласа-Бельтрами (см. §2). Магнитному монополю соответствует решение уравнения (3.22) с особенностью, зависящее только от $\theta$ :
$$f=\gamma \mathrm{ctg}\theta +\alpha \text{ для }{S}^3,$$

либо
$$f=\gamma \mathrm{cth}\theta +\alpha \text{ для }{L}^3.$$

Для составления уравнений Лагранжа-Эйлера необходимо найти векторный потенциал из соотношения $F_{ij}={\partial }_i{A}_j-{\partial }_j{A}_i$. Этому уравнению удовлетворяет потенциал вида
$$A_{\theta }=0,A_{\phi }=0,A_{\psi }=\gamma R\cos \phi .$$

Таким образом, функция Лагранжа системы для $S^3$ равна
$$L=\frac{1}{2}({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2\theta ({\dot{\phi }}^2+{\sin }^2\phi {\dot{\psi }}^2))-\frac{e\gamma R}{c}\dot{\psi }\cos \phi ,$$

а для $L^3-$
$$L=\frac{1}{2}({\dot{\theta }}^2+{\mathrm{sh}}^2\theta ({\dot{\phi }}^2+{\sin }^2\phi {\dot{\psi }}^2))-\frac{e\gamma R}{c}\dot{\psi }\cos \phi .$$

Чтобы установить законы сохранения, удобно записать уравнения движения в избыточных координатах $q^0,\mathbf{q}=(q^1,q^2,q^3)$ (1.1). Представив в них функцию Лагранжа и обозначив через $\mathrm{\Lambda }$ неопределенный множитель, учитывающий связь ${\left(q^0\right)}^2\pm (\mathbf{q},\mathbf{q})=R^2$, получим уравнения движения
$$\begin{array}{l}\ddot{\mathbf{q}}=-\frac{e\gamma R}{c}\dot{\mathbf{q}}\times \frac{\mathbf{q}}{|\mathbf{q}{|}^3}-\mathrm{\Lambda }\mathbf{q},\\ \ddot{q^0}=-\mathrm{\Lambda }{q}^0,\end{array}$$

здесь $|\mathbf{q}{|}^2=(\mathbf{q},\mathbf{q})$.
Нетрудно проверить, что трехмерный вектор момента
$$\mathbf{M}=\mathbf{q}\times \dot{\mathbf{q}}+\frac{e\gamma R}{c}\frac{\mathbf{q}}{|\mathbf{q}|}$$

является векторным первым интегралом. Для его компонент справедливы стандартные коммутационные соотношения $\{M_i,M_j\}={\epsilon }_{ijk}{M}_k$.

Из (3.29) следует, что траектория системы расположена на двумерной инвариантной поверхности, определяемой уравнением
$$(\mathbf{M},\frac{\mathbf{q}}{|\mathbf{q}|})=\text{ const. }$$

При подходящем выборе сферических (псевдосферических) координат это уравнение приводится к виду $\phi ={\phi }_0=$ const. Рассматривая движение на такой инвариантной поверхности, получаем следующую функцию Лагранжа
$$L=\frac{1}{2}({\dot{\theta }}^2+{\sin }^2{\phi }_0{\dot{\psi }}^2)-\frac{e\gamma R}{c}\cos {\phi }_0\dot{\psi }.$$
(Для $L^3$ необходимо заменить в (3.30) ${\sin }^2$ на ${\mathrm{sh}}^2$ ). Поскольку координата $\psi$ циклическая и энергия сохраняется, уравнения движения интегрируются в квадратурах.