В §1 было приведено наивное описание динамики точечных вихрей на плоскости с помощью переменных расстояний и площадей, которые определяют структуру Ли-Пуассона. В этой главе мы рассмотрим более формальные построения [198].

Зададим координаты вихрей $x_{k}, y_{k}, k=1, \ldots, n$ комплексными числами $z_{k}=x_{k}+i y_{k}, k=1, \ldots, n$. Набор $\mathbf{z}=\left(z_{1}, \ldots, z_{n}\right)$ определяет вектор в комплексном линейном пространстве $\mathbb{C}^{n}$, в котором имеется эрмитова форма вида
\[
(\mathbf{z}, \mathbf{w})_{\Gamma}=\sum_{i=1}^{n} \Gamma_{i} z_{i} \bar{w}_{i}, \quad \Gamma_{i} \in \mathbb{R} .
\]

Мнимая часть (6.1) задает симплектическую форму, соответствующую скобке Пуассона (1.3) $\left\{x_{i}, y_{j}\right\}=\frac{\delta_{i j}}{\Gamma_{i}}$. Оказывается, что в переменных $M, \Delta$ получается скобка Ли-Пуассона (1.10), линейно зависящая от обратных интенсивностей.

1. Вихревая алгебра и лиевы пучки. Для определения вещественного типа соответствующей алгебры Ли укажем явный изоморфизм с некоторым лиевым пучком ( $\S 5$ гл. $1, \S 9$ гл. 2).

Рассмотрим пространство косоэрмитовых матриц размера $n \times n$ и подпространство $L$ в нем, порожденное матрицами следующего вида:

Приведем основные свойства этого подпространства, которые проверяются прямым вычислением.

Предложение 1.

1) Подпространство $L$ является подалгеброй Ли,
2) Эта подалгебра изоморфна $и(n-1)$,
3) Центром этой подалгебры является элемент вида $\sum_{m, l} M_{m l}$,
4) Элементы $\Delta_{l m n}$ порождают подалгебру в $L$ изоморфную $\operatorname{so}(n-1)$,
5) Имеет место следующее соотношение для любых $k, l, m, n$ :
\[
\Delta_{k l m}+\Delta_{k m n}+\Delta_{l k n}+\Delta_{m l n}=0,
\]
6) Коммутационные соотношения в алгебре $L$ совпадают с «вихревой скобкой» (1.10) для случал, когда все интенсивности равны между собой (и равны единице).
Следовательно, (6.2) задает $n$-мерное (унитарное) линейное представление алгебры Ли $u(n-1)$. Таких неприводимых представлений не существует, поэтому оно разлагается в сумму стандартного $n-1$ представления и одномерного тривиального представления. Это разложение устроено следующим образом.

Предложение 2. Пространство представления $V=\mathbb{C}^{n}$ разлагается в прямую сумму инвариантых подпространств $V=V_{1} \oplus V_{2}$, где $V_{1}=\mathbb{C}^{n-1}$ задается уравнением $z_{1}+z_{2}+\cdots+z_{n}=0$, а одномерное подпространство $V_{2}=\mathbb{C}$ натянуто на вектор $\mathbf{z}_{0}=(1,1, \ldots, 1)$.

Перейдем к случаю произвольных интенсивностей $\Gamma_{1}, \ldots, \Gamma_{n}$. Рассмотрим лиев пучок на алгебре косоэрмитовых $N \times N$-матриц, порожденный коммутаторами вида
\[
[X, Y]_{\Gamma^{-1}}=X \Gamma^{-1} Y-Y \Gamma^{-1} X,
\]

где $\Gamma^{-1}$ – вещественная диагональная матрица вида
\[
\Gamma^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
\frac{1}{\Gamma_{1}} & & & \\
& \frac{1}{\Gamma_{2}} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \frac{1}{\Gamma_{N}}
\end{array}\right) .
\]

Замечательным является тот факт, что подалгебра $L$ является замкнутой относительно коммутатора $[\cdot, \cdot]_{\Gamma^{-1}}$ и, следовательно, семейство коммутаторов порождает некоторый лиев пучок на $L$. Более того, ограничивая на $L$ коммутатор $[\cdot, \cdot]_{\Gamma^{-1}}$, мы получаем алгебру Ли, изоморфную «вихревой алгебре» $L_{\Gamma}$, отвечающей интенсивностям $\Gamma_{1}, \ldots, \Gamma_{n}$. Таким образом, можно установить симметричный изоморфизм между семейством вихревых алгебр и несложным лиевым пучком. Пользуясь этой конструкцией, опишем свойства вихревых алгебр.

Предложение 3. При положительных $\Gamma_{i}$ вихревая алгебра изоморфна $u(n-1)$.

Доказательство.
Соответствующий изоморфизм строится следующим образом. Пусть все интенсивности равны единице. Все матрицы (6.2) являются косоэрмитовыми, удовлетворяют следующему свойству $A \mathrm{z}_{0}=0$, где $\mathbf{z}_{0}$ – вектор с координатами $(1,1, \ldots, 1)$. Другими словами, этот вектор инвариантен под действием вихревой алгебры. Следовательно, инвариантно и его ортогональное дополнение, то есть гиперплоскость $V_{1}=\left\{\mathbf{z} \mid \sum z_{i}=0\right\}$. Рассмотрим все косоэрмитовы матрицы, обладающие этим свойством (то есть зануляющие фиксированные вектор) – они образуют подалгебру $u(n-1)$. Таким образом, вихревая подалгебра вкладываетея в $u(n-1)$. Но их размерности совпадают, поэтому совпадают и сами алгебры.

Более явно это можно показать, перейдя к другому базису в пространстве $\mathbb{C}^{n}$. Рассмотрим базис $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ следующего вида: $e_{1}, \ldots, e_{n-1}$ – ортонормированный базис в гиперплоскости $V_{1}$, а $e_{n}=$

$=(1 / \sqrt{n}, \ldots, 1 / \sqrt{n})$. Переписывая матрицы (6.2) из вихревой алгебры в этом новом базисе, мы видим, что они приобретают вид
\[
\left(\begin{array}{cccc}
& & & 0 \\
& A_{n-1} & & \vdots \\
& & & 0 \\
0 & \ldots & 0 & 0
\end{array}\right),
\]

где $A_{n-1}$ – косоэрмитова матрица размером $(n-1) \times(n-1)$. В этом базисе изоморфизм вихревой алгебры с $u(n-1)$ становится явным. Недостаток такого базиса в том, что его нельзя сделать симметричным относительно всех вихрей.

Обобщим эти рассуждения на случай произвольных интенсивностей.

Переход к новому базису в $\mathbb{C}^{n}$ задает сопряжение матриц в алгебpe (6.2) вида $A=C A^{\prime} C^{-1}$, где $C$ – матрица перехода. (В нашем случае ее можно считать вещественной и ортогональной $C^{-1}=C^{T}$ ). При такой замене коммутатор вихревой алгебры преобразуется к следующему виду:
\[
\begin{aligned}
A \Gamma^{-1} B-B \Gamma^{-1} A & =C A^{\prime} C^{-1} \Gamma^{-1} C B^{\prime} C^{-1}-C B^{\prime} C^{-1} \Gamma^{-1} C A^{\prime} C^{-1}= \\
& =C\left[A^{\prime}, B^{\prime}\right]_{\Gamma^{\prime}} C^{-1},
\end{aligned}
\]

где
\[
\Gamma^{\prime}=C^{-1} \Gamma^{-1} C=\left(\begin{array}{cccc}
& & & \gamma_{1 n} \\
& \Gamma_{n-1}^{\prime} & \vdots \\
& & & \gamma_{n-1, n} \\
\gamma_{1 n} & \ldots & \gamma_{n-1, n} & \gamma_{n, n}
\end{array}\right) .
\]

Здесь $\Gamma_{n-1}^{\prime}$ – симметричная ( $\left.n-1\right) \times(n-1)$-матрица, соответствующая ограничению формы $\Gamma^{-1}$ на гиперплоскость $V_{1}$. Это следует из соотношения $C^{-1}=C^{T}$.

Учитывая, что последние строка и столбец матриц $A$ и $B$ обращаются в нуль, находим, что вихревой коммутатор преобразуется к виду
\[
\left[A_{n-1}^{\prime}, B_{n-1}^{\prime}\right]_{\Gamma_{n-1}^{\prime}} .
\]

Отметим теперь, что матрица $\Gamma_{n-1}^{\prime}$ положительно определена и вещественна, следовательно, из нее можно извлечь корень $\left(\Gamma_{n-1}^{\prime}\right)^{\frac{1}{2}}$. Тогда замена
\[
A_{n-1}^{\prime}=\left(\Gamma_{n-1}^{\prime}\right)^{-\frac{1}{2}} A_{n-1}^{\prime \prime}\left(\Gamma_{n-1}^{\prime}\right)^{-\frac{1}{2}}
\]

приводит коммутатор $\left[A_{n-1}^{\prime}, B_{n-1}^{\prime}\right]_{\Gamma_{n-1}^{\prime}}$ к стандартному. При этом матрицы остаются косоэрмитовыми. Это рассуждение также показывает, что рассматриваемый нами вихревой пучок является подпучком стандартного пучка на пространстве косоэрмитовых матриц.

Главный вывод, вытекающий из этой конструкции следующий свойства вихревой алгебры Ли, отвечающей параметрам $\Gamma_{1}, \ldots, \Gamma_{n}$ полностью определяются свойствами билинейной формы $\Gamma_{n-1}^{\prime}$, которая является ограничением формы $\Gamma^{-1}$, на подпространство $V_{1}=\left\{z_{1}+\cdots+\right.$ $\left.z_{N}=0\right\}$ (попросту сигнатурой этого ограничения).

Найдем условия, при которых алгебра $L_{\Gamma}$ компактна, то есть изоморфной алгебре Ли $u(N-1)$. Необходимым и достаточным условием является знакоопределенность формы $\Gamma_{n-1}^{\prime}$. В этом случае имеются следующие возможности (мы предполагаем, что интенсивности конечны и отличны от нуля).

1) Форма $\Gamma^{-1}$ знакоопределенна, то есть все $\Gamma_{i}$ одновременно либо положительны, либо отрицательны.
2) Форма $\Gamma^{-1}$ имеет сигнатуру $(n-1,1)$ (то есть все $\Gamma_{i}$ положительны кроме одного). Действительно, для положительной определенности ограничения на $V_{1}$ требуется, чтобы на одномерном ортогональном, относительно $\Gamma$, дополнении к $V_{1}$ форма $\Gamma^{-1}$ была отрицательно определена. Это условие легко найти, если заметить, что ортогональным дополнением к $V_{1}$ в смысле формы (6.4) является одномерное подпространство, натянутое на вектор $v_{\Gamma}=\left(\Gamma_{1}, \ldots, \Gamma_{n}\right)$. Оно имеет вид
\[
\left(v_{\Gamma}, v_{\Gamma}\right)_{\Gamma^{-1}}=\sum \Gamma_{i}<0 .
\]
3) Аналогично, для случая сигнатуры $(1, n-1)$.
Окончательно получаем следующее

Предложение 4. Вихревая алгебра Ли $L_{\Gamma}$ является компактной в следующих и только в следующих случаях:

1) Все интенсивности имеют одинаковый знак.
2) Все интенсивности кроме одной положительны, и $\sum_{i=1}^{n} \Gamma_{i}<0$.

3) Все интенсивности кроме одной отрицательны, и $\sum_{i=1}^{n} \Gamma_{i}>0$.

Замечание 1. Это утверждение совпадает с тем, что уже было доказано в случае трех вихрей ( $\S 3$ гл. 4).

Аналогично определим условия, когда вихревая алгебра не будет «полупростой». Это случается тогда и только тогда, когда форма $\Gamma_{n-1}^{\prime}$ вырождена на $V_{1}$. Из линейной алгебры следует, что это условие эквивалентно тому, что ортогональное дополнение к $V_{1}$ лежит в $V_{1}$. Последнее в свою очередь означает, что $v_{\Gamma} \in V_{1}$, то есть
\[
\Gamma_{1}+\ldots+\Gamma_{n}=0 .
\]

Отметим еще одно обстоятельство. Подпространство $\Delta \subset L$, натянутое на векторы $\Delta_{l m n}$, является подалгеброй для любой алгебры из пучка. Условие ее компактности точно такие же, что и условия компактности для всей $L_{\Gamma}$ : форма $\Gamma_{n-1}^{\prime}$ должна быть положительно определенной. Поэтому вихревая алгебра $L_{\Gamma}$ компактна тогда и только тогда, когда компактна подалгебра $\Delta$.

2. Редукция по симметриям и сингулярные орбиты. Для объяснения происхождения лиевых пучков, связанных с вихревой алгеброй, и описания (сингулярных) симплектических листов, соответствующих действительным движениям, рассмотрим переход к относительным переменным с точки зрения редукции по симметриям ( $\S 8$ гл. 1).

Функция Гамильтона (1.2) и уравнения движения (1.1) вихрей инвариантны относительно действия группы $E(2)$, которое можно представить в виде
\[
g: \mathbf{z} \rightarrow e^{i \varphi} \mathbf{z}+a \mathbf{z}_{0}, \quad g \in E(2),
\]

где $\mathbf{z}_{0}=(1, \ldots, 1), a=a_{x}+i a_{y}$. Параметры $\varphi, a_{x}, a_{y}$ определяют трансляцию и поворот, соответствующие элементу $g \in E(2)$.

Действие (6.6) непуассоново [2]. Действительно, интегралы движения (1.4), соответствующие трансляциям $-P, Q$ и вращению $-I$, образуют пуассонову структуру, которая отличается от скобки ЛиПуассона алгебры $e(2)$ на постоянную величину – коцикл. Легко видеть, что этот коцикл являетея неустранимым [2] и стандартная редукция по моменту [286] невозможна. Для проведения редукции в алгебраической форме ( $\S 8$ гл. 1) воспользуемся отображением момента несколько иначе.

Рассмотрим действие линейных преобразований, сохраняющих форму $(\cdot, \cdot)_{\Gamma}(6.1)$. Соответствующие линейные операторы (матрицы) образуют группу изоморфную $U(p, q), p+q=n$ и удовлетворяют соотношением
\[
X \Gamma X^{+}=\Gamma, \quad \Gamma=\operatorname{diag}\left(\Gamma_{1}, \ldots, \Gamma_{n}\right),
\]

а операторы соответствующей алгебры Ли $A \in u(p, q)$ :
\[
A \Gamma+\Gamma A^{+}=0 .
\]

Учитывая, что $\Gamma^{+}=\Gamma$, из соотношения (6.7) следует, что матрица $A$ Г является косоэрмитовой. После такой замены $(\phi(A)=A \Gamma)$ стандартный коммутатор переходит в коммутатор $[\cdot, \cdot]_{\Gamma^{-1}}(6.3)$ :
\[
\phi([A, B])=[\phi(A), \phi(B)]_{\Gamma^{-1}} .
\]

Преимущество такого подхода состоит в том, что при любых $\Gamma_{i}$ алгебpa (6.7) представляется на одном и том же пространстве косоэрмитовых матриц. Однако вместо стандартного коммутатора необходимо использовать $[\cdot, \cdot]_{\Gamma^{-1}}$. На соответствующей коалгебре $u^{*}(p, q)$ в этом случае возникает пучок скобок Пуассона $\{\cdot, \cdot\}_{\Gamma-1}$.

Линейные векторные поля, соответствующие операторам (6.7) в комплексной форме, имеют вид
\[
V_{A}=A \mathbf{z}=\phi(A) \Gamma^{-1} \mathbf{z}
\]

и являются гамильтоновыми [3] с гамильтонианом
\[
H_{A}=\frac{i}{2}(A \mathbf{z}, \mathbf{z})_{\Gamma}=\frac{i}{2} \overline{\mathbf{z}}^{T} A \Gamma \mathbf{z}=\frac{i}{2}(\phi(A) \mathbf{z}, \mathbf{z})=\frac{i}{2} \overline{\mathbf{z}}^{T} \phi(A) \mathbf{z} .
\]

При этом коммутатору $[\cdot, \cdot]_{\Gamma^{-1}}$ соответствует скобка $\{\cdot, \cdot\}_{\Gamma^{-1}}$ функций Гамильтона:
\[
\left\{H_{\phi(A)}(\mathbf{z}), H_{\phi(B)}(\mathbf{z})\right\}_{\Gamma^{-1}}=\frac{i}{2}\left([\phi(A), \phi(B)]_{\Gamma^{-1} \mathbf{z}, \mathbf{z}} .\right.
\]

Делая стандартное отождествление $u(n)$ и $u^{*}(n)$ при помощи формы $\langle A, B\rangle=\operatorname{Tr} A B$, мы можем явно описать отображение момента $\mu(\mathbf{z})$
\[
\operatorname{Tr} \mu(\mathbf{z}) \phi(A)=\operatorname{Tr} \frac{i}{2} \overline{\mathbf{z}}^{T} \phi(A) \mathbf{z}=\operatorname{Tr}\left(\frac{i}{2} \mathbf{z}^{T}\right) \phi(A) .
\]

Отсюда
\[
\mu(\mathbf{z})=\frac{i}{2} \mathbf{z}^{T}=\frac{i}{2}\left(\begin{array}{ccc}
z_{1} \bar{z}_{1} & \cdots & z_{1} \bar{z}_{n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
z_{n} \bar{z}_{1} & \cdots & z_{n} \bar{z}_{n}
\end{array}\right) .
\]

Формула (6.10) определяет отображение на сингулярную симплектическую орбиту алгебры $u(p, q)$ (относительно скобки $[\cdot, \cdot]_{\Gamma-1}$ ). Интеграл (1.4) $I=\sum \Gamma_{i} z_{i} \bar{z}_{i}$ – является функцией Казимира, следовательно, выполнена редукция по нему. В случае всех положительных (отрицательных) интенсивностей орбита топологически гомеоморфна $\mathbb{C} P^{n-1}$, так как при отображении (6.10) склеиваются все точки вида $e^{i \varphi} \mathbf{z}-$ орбиты действия группы вращения (6.4).

На приведенном пространстве матриц (6.10) выполним редукцию по оставшимся интегралам $P, Q$ (1.4). Вследствие их некоммутативности возможна редукция лишь на одну степень свободы ( 88 гл. 1). Постоянное векторное поле, соответствущее трансляции в направлении $a=a_{x}+i a_{y}$ порождается линейным гамильтонианом вида
\[
H_{a}=\left(\mathbf{z}, \Gamma a \mathbf{z}_{0}\right)=\left(\mathbf{z}, a \mathbf{z}_{0}\right)_{\Gamma} .
\]

Несложно показать, что гамильтонианы (6.8), коммутирующие с $H_{a}$, порождаются матрицами, для которых
\[
A \Gamma \mathbf{z}_{0}=\phi(A) \mathbf{z}_{0}=0 .
\]

То есть $\phi(A)$ принадлежат подпространству $L$, определенному в предыдущем пункте (матрицы (6.10) этому пространству не принадлежат).

Теперь легко видеть, что квадраты взаимных расстояний и площадей также допускают естественное представление вида
\[
\begin{aligned}
M_{i j}(x, y) & =\left|z_{i}-z_{j}\right|^{2}=i\left(M_{i j} \mathbf{z}, \mathbf{z}\right), \\
\Delta_{i j k}(x, y) & =i\left(\Delta_{i j k} \mathbf{z}, \mathbf{z}\right),
\end{aligned}
\]

где $M_{i j}, \Delta_{i j k}$ матрицы (6.2). Отображение момента $\mu(\mathbf{z})$ в соответствующую алгебру $u\left(p^{\prime}, q^{\prime}\right), p^{\prime}+q^{\prime}=n-1$, имеет в этом случае вид
\[
\mu(\mathbf{z})=\frac{i}{2}\left(\mathbf{z}-\frac{\left(\mathbf{z}, \mathbf{z}_{0}\right) \Gamma \mathbf{z}_{0}}{\sum \Gamma_{i}}\right)\left(\overline{\mathbf{z}}-\frac{\left(\mathbf{z}, \mathbf{z}_{0}\right) \Gamma \overline{\mathbf{z}}_{0}}{\sum \Gamma_{i}}\right)^{T} .
\]

Матрицы (6.11) удовлетворяют соотношению $M(\mathbf{z}) \mathbf{z}_{0}=0$, т. е. принадлежат подпространству $L$, определенному в предыдущем пункте. В компактном случае соответствующая орбита гомеоморфна $\mathbb{C P}^{n-2}$ и соответствует приведенному фазовому пространству при редукции на две степени свободы.

Замечание 2. Устройство и условия компактности приведенного фазового пространства можно получить, исследуя (методами аналитической геометрии) совместную поверхность уровня первых интегралов (1.4). Интересно, что алгебраический подход позволяет решить и эту чисто геометрическую задачу.
Замечание 3. (Ко)алгебра $u(n)$ допускает линейную замену переменных $h_{i} \mapsto$ $\mapsto h_{i}+\lambda D, D=\sum_{i=1}^{n} h_{i}, \lambda=$ const, coхраняющую коммутационные соотношения. При этом орбиты, задаваемые матрицами $F \in u(n)$ ранга 1 , отображаются в орбиты, для которых единичный ранг имеет матрица $(A-\lambda D)$.

Орбита, задаваемая соотношениями Герона (§1) (в компактном случае), после перехода от переменных $M, \Delta$ к стандартным переменным алгебры $u(n-1)$ оказывается именно среди указанных выше орбит при некотором $\lambda$.

3. Симплектические координаты. Опишем алгоритм введения симплектических координат для приведенной системы $n$ вихрей в случае компактной алгебры ( $u(n-1)$ ). Выше был указан способ приведения вихревой алгебры (для этого случая) к стандартному представлению в виде косоэрмитовых $(n-1) \times(n-1)$-матриц с обычным матричным коммутатором:

Зададим пуассоново отображение $\mathbb{R}^{2(n-1)} \rightarrow u^{*}(n-1)$ на сингулярную орбиту $u^{*}(n-1)$, которую образуют матрицы ранга 1 (то есть любые их миноры $2 \times 2$ равны нулю):
\[
\begin{aligned}
h_{i} & =p_{i} \\
x_{i j} & =\sqrt{h_{i} h_{j}} \sin \left(\varphi_{i}-\varphi_{j}\right), \quad i, j=1, \ldots, n-1 . \\
y_{i j} & =\sqrt{h_{i} h_{j}} \cos \left(\varphi_{i}-\varphi_{j}\right),
\end{aligned}
\]

Каноническая скобка $\left\{\varphi_{i}, p_{j}\right\}=\delta_{i j}$ переходит в стандартную скобку Ли-Пуассона на $u^{*}(n-1)$. Орбита в переменных $p_{i}, \varphi_{i}$ задается соотношением
\[
p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n-1}=C=\text { const. }
\]

Для введения на ней симплектических координат, выполним каноническую замену
\[
\begin{aligned}
r_{0} & =p_{1}+p_{2}+\cdots+p_{n-1}, & s_{0} & =\varphi_{1}, \\
r_{1} & =p_{2}+\cdots+p_{n-1}, & s_{1} & =-\varphi_{1}+\varphi_{2}, \\
\vdots & & \vdots & \\
r_{n-2} & =p_{n-2}, & s_{n-2} & =-\varphi_{n-1}+\varphi_{n-2} .
\end{aligned}
\]

Легко видеть, что отображение (6.13) не зависит от $s_{0}$, следовательно $s_{1}, \ldots, s_{n-2}, r_{1}, \ldots, r_{n-2}$ задают симплектические кординаты на $2(n-2)$-мерной орбите.

4. Канонические координаты приведенной системы четыpex вихрей. Сечение Пуанкаре. При помощи описанного выше алгоритма укажем явно канонические координаты для задачи четырех вихрей равной интенсивности.

Координаты на алгебре $u(3)$, соответствующие матричному представлению вида (6.12)
\[
A_{3}=\left(\begin{array}{ccc}
i h_{1} & x_{3}+i y_{3} & -x-2+i y_{2} \\
-x_{3}+i y_{3} & i h_{2} & x_{1}+i y_{1} \\
x_{2}+i y_{2} & -x_{1}+i y_{1} & i h_{3}
\end{array}\right),
\]

согласно предыдущим рассуждениям, линейно выражаются через площади и квадраты расстояний
\[
x_{i}=\sum_{r} \delta_{\left(x_{i}\right)}^{r} \Delta_{r}(z), \quad y_{i}=\sum_{\substack{k<l \\ i=1, \ldots, 3 .}} m_{\left(y_{i}\right)}^{k l} M_{k l}(z), \quad h_{i}=\sum_{k<l} m_{\left(h_{i}\right)}^{k l} M_{k l}(z),
\]

Для определения коэффициентов $\delta_{\left(x_{i}\right)}^{k}, m_{\left(y_{i}\right)}^{k l}, m_{\left(h_{i}\right)}^{k l}$ воспользуемся предложением 3 и матричной реализацией (6.2) элементов $\Delta_{r}, M_{k l}$, где $\Delta_{1}=$ $=\Delta_{234}, \Delta_{2}=-\Delta_{134}, \Delta_{3}=\Delta_{124}, \Delta_{4}=-\Delta_{123}$. Выберем ортогональную

матрицу $C$, приводящую матрицы вихревой алгебры (6.16) с помощью преобразования $C^{T} A C$ к виду (6.5), в следующей форме:
\[
C=\left(\begin{array}{cccc}
-1 / 2 & -1 / 2 & -1 / 2 & 1 / 2 \\
1 / 2 & 1 / 2 & -1 / 2 & 1 / 2 \\
1 / 2 & -1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2 \\
-1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2 & 1 / 2
\end{array}\right) .
\]

Полагая затем одну из координат $h_{i}, x_{i}, y_{i}$ в получившейся матрице $A_{3}$ равной 1 , а остальные 0 , решая систему линейных уравнений, находим соответствующие коэффициенты $\delta_{\left(x_{i}\right)}^{k}, m_{\left(y_{i}\right)}^{k l}, m_{\left(h_{i}\right)}^{k l}$. В данном случае
\[
\begin{array}{ll}
x_{1}=\frac{1}{4}\left(-\Delta_{1}+\Delta_{2}+\Delta_{3}-\Delta_{4}\right), & x_{2}=\frac{1}{4}\left(-\Delta_{1}+\Delta_{2}-\Delta_{3}+\Delta_{4}\right), \\
x_{3}=\frac{1}{4}\left(-\Delta_{1}-\Delta_{2}+\Delta_{3}+\Delta_{4}\right), & y_{1}=\frac{1}{4}\left(M_{14}-M_{23}\right), \\
y_{2}=\frac{1}{4}\left(M_{13}-M_{24}\right), & y_{3}=\frac{1}{4}\left(M_{12}-M_{34}\right), \\
h_{1}=\frac{1}{4}\left(M_{12}+M_{34}+M_{13}+M_{24}-M_{14}-M_{23}\right), \\
h_{2}=\frac{1}{4}\left(M_{12}+M_{34}-M_{13}-M_{24}+M_{14}+M_{23}\right), \\
h_{3}=\frac{1}{4}\left(-M_{12}-M_{34}+M_{13}+M_{24}+M_{14}+M_{23}\right) .
\end{array}
\]

Канонические координаты (6.14), которые обозначим $(g, G, h, H$ ), задаются соотношениями
\[
\begin{array}{ll}
x_{1}=-\sqrt{(H-G) G} \sin g, & x_{2}=\sqrt{(D-H) G} \sin (h+g), \\
x_{3}=-\sqrt{(D-H)(H-G)} \sin h, & y_{1}=\sqrt{(H-G) G} \cos g, \\
y_{2}=\sqrt{(D-H) G} \cos (h+g), & y_{3}=\sqrt{(D-H)(H-G)} \cos h, \\
h_{1}=D-H, & h_{2}=H-G, \\
h_{3}=G, &
\end{array}
\]

где $D=\frac{1}{4} \sum_{k l} M_{k l}-$ константа функции Казимира $u(3)$, при этом $0<G<H<D$.

Гамильтониан в новых переменных может быть представлен в форме
\[
\begin{aligned}
\mathcal{H}= & \frac{1}{4 \pi}\left\{\ln \left((D-G)^{2}-4(D-H)(H-G) \cos ^{2} h\right)+\right. \\
& +\ln \left((D-H+G)^{2}-4(D-H) G \cos ^{2}(h+g)\right)+ \\
& \left.+\ln \left(H^{2}-4(H-G) \cos ^{2} g\right)\right\} .
\end{aligned}
\]

Построим отображение Пуанкаре на плоскости $(g, G)$ при различных значениях энергии $E=\mathcal{H}(h, H, g, G)$. Приведенные на рисунках 61-63 поверхности функции энергии при фиксированных $g=g_{0}$,

$G=G_{0}, \quad f(h, H)=\mathcal{H}(h, H, g, G)$ указывают на сложное устройство изоэнергетической поверхности.

Определим секущую плоскость уравнением $H=H_{*}$, значение $H_{*}$ необходимо выбрать таким образом, что $\forall g_{0}, G_{0}<H_{*}$ уравнение $f\left(h, H_{*}\right)=E$ имеет единственное решение с положительной (отрицательной) производной $\frac{d H}{d t}$. Как видно из приведенных рис. 61-63, это справедливо не для всех $H_{*}$ (аналогичные условия для секущей плоскости $h=h_{*}$ практически никогда не выполняются).
Томсоновской конфигурации при $D=1$ соответствует макси-

мально возможное значение энергии $E_{T}=-4 \ln 2 \simeq 2.77 \ldots$, при этом $H=G=1 / 2$; фазовый портрет на плоскости $(g, G)$ в этом случае состоит из единственной прямой $G=1 / 2$. Фазовые портреты при меньших энергиях ( $E<E_{T}$ ) приведены на рис. 64-69. Закрашенным областям на рис. 64-69 соответствуют области, где движение невозможно $\left(f\left(h, H_{*}\right)=E\right.$ не имеет решений). Хорошо видно, что при уменьшении энергии стохастический слой сначала увеличивается, занимая фактически всю плоскость (рис. 66,67), а затем уменьшается, сохраняясь лишь вблизи неустойчивых решений и сепаратрис рис. 68,69 . В пределе $E \rightarrow-\infty$ одна из пар вихрей сливается и получается интегрируемая задача – задача трех вихрей.

5. Представление Лакса-Гейзенберга. Как мы уже видели, в результате редукции уравнения могут быть записаны на орбите коприсоединенного представления алгебры Ли $u(n-1)$. Эта орбита сингулярна и состоит из матриц вида
\[
L=\frac{i}{2} z \bar{z}^{\mathbf{T}}
\]

где $\sum z_{i}=0$ (в системе, связанной с центром завихренности).
Согласно общему принципу (в силу полупростоты, $\S 9$ гл. 2) мы можем переписать уравнения в форме Лакса-Гейзенберга:
\[
\frac{d L}{d t}=[L, A]
\]

где $A=d H(L)$ – дифференциал гамильтониана, который имеет вид
\[
H(L)=\sum \Gamma_{i} \Gamma_{j} \log M_{i j}(L) .
\]

Здесь $M_{i j}$ интерпретируется как элемент алгебры $u(n-1)$, а $M_{i j}(L)$ – это стандартное спаривание между алгеброй и коалгеброй, т. е. при сделанном нами отождествлении $M_{i j}(L)= \pm \operatorname{Tr} M_{i j} L=$ $=\left|z_{i}-z_{j}\right|^{2}$.
Явная форма для дифференциала гамильтониана следующая:
\[
d H(L)=\sum \Gamma_{i} \Gamma_{j} \frac{1}{M_{i j}(L)} M_{i j},
\]

то есть $d H(L)$ – это линейная комбинация матриц $M_{i j}$. Поэтому выражение для матрицы $A$ имеет вид
\[
A=d H(L)=i\left(\begin{array}{cccc}
\sum_{j} \frac{\Gamma_{1} \Gamma_{j}}{\left|z_{1}-z_{j}\right|^{2}} & -\frac{\Gamma_{1} \Gamma_{2}}{\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}} & \ldots & -\frac{\Gamma_{1} \Gamma_{n}}{\left|z_{1}-z_{n}\right|^{2}} \\
-\frac{\Gamma_{2} \Gamma_{1}}{\left|z_{2}-z_{1}\right|^{2}} & \sum_{j} \frac{\Gamma_{2} \Gamma_{j}}{\left|z_{2}-z_{j}\right|^{2}} & \ldots & -\frac{\Gamma_{2} \Gamma_{n}}{\left|z_{2}-z_{n}\right|^{2}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-\frac{\Gamma_{n} \Gamma_{1}}{\left|z_{n}-z_{1}\right|^{2}} & \cdots & -\frac{\Gamma_{n} \Gamma_{n-1}}{\left|z_{n}-z_{n-1}\right|^{2}} & \sum_{j} \frac{\Gamma_{n} \Gamma_{j}}{\left|z_{2}-z_{j}\right|^{2}}
\end{array}\right) .
\]

Если все интенсивности совпадают между собой и равны единице, то матрица $A$ упрощается:
\[
A=i\left(\begin{array}{cccc}
\sum_{j} \frac{1}{\left|z_{1}-z_{j}\right|^{2}} & -\frac{1}{\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}} & \cdots & -\frac{1}{\left|z_{1}-z_{n}\right|^{2}} \\
-\frac{1}{\left|z_{2}-z_{1}\right|^{2}} & \sum_{j} \frac{1}{\left|z_{2}-z_{j}\right|^{2}} & \cdots & -\frac{1}{\left|z_{2}-z_{n}\right|^{2}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-\frac{1}{\left|z_{n}-z_{1}\right|^{2}} & \cdots & -\frac{1}{\left|z_{n}-z_{n-1}\right|^{2}} & \sum_{j} \frac{1}{\left|z_{2}-z_{j}\right|^{2}}
\end{array}\right) .
\]

В случае, когда интенсивности различны требуется дополнительная процедура, приводящая коммутатор к стандартному виду.

6. Стационарные конфигурации. В терминах $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пары стационарные конфигурации описывается естественным образом. Условие стационарности эквивалентно коммутируемости матриц $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}$ : $[\mathbf{L}, \mathbf{A}]=0$. В нашем случае это означает, что
\[
\frac{i}{2} A z \bar{z}^{\mathrm{T}}=\frac{i}{2} z \bar{z}^{\mathrm{T}} A=-\frac{i}{2} z(\bar{A} z)^{\mathrm{T}} .
\]

Обозначая $b=A z$, имеем $b \bar{z}^{\mathrm{T}}=-z \bar{b}^{\mathrm{T}}$. Можно показать, что это возможно лишь при условии $b=i \lambda z, \lambda \in \mathbb{R}$. В свою очередь это эквивалентно тому, что $z$ является собственным вектором матрицы $A$ (с чисто мнимым собственным значением).
В результате получаем довольно естественный набор соотношений:
\[
\left(\begin{array}{cccc}
\sum_{j} \frac{1}{\left|z_{1}-z_{j}\right|^{2}} & -\frac{1}{\left|z_{1}-z_{2}\right|^{2}} & \cdots & -\frac{1}{\left|z_{1}-z_{n}\right|^{2}} \\
-\frac{1}{\left|z_{2}-z_{1}\right|^{2}} & \sum_{j} \frac{1}{\left|z_{2}-z_{j}\right|^{2}} & \cdots & -\frac{1}{\left|z_{2}-z_{n}\right|^{2}} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
-\frac{1}{\left|z_{n}-z_{1}\right|^{2}} & \cdots & -\frac{1}{\left|z_{n}-z_{n-1}\right|^{2}} & \sum_{j} \frac{1}{\left|z_{2}-z_{j}\right|^{2}}
\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}
z_{1} \\
z_{2} \\
\vdots \\
z_{n}
\end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{c}
z_{1} \\
z_{2} \\
\vdots \\
z_{n}
\end{array}\right),
\]

который переписывается в более простой форме:
\[
\sum_{j} \frac{1}{z_{k}-z_{j}}=\lambda \bar{z}_{k} \quad \text { где } k=1, \ldots, n .
\]

Уравнения (6.21) могут быть получены и непосредственно из уравнений (1.6) и условия, что каждая точка вращается вокруг начала координат с одинаковой скоростью $\lambda$.

Стационарные конфигурации изучались в нескольких работах (см. $[185,216,117]$ ). По-видимому, новые результаты могут быть получены с использованием следующих соображений:

1. Стационарные конфигурации могут быть интерпретированы как собственные векторы матрицы $A$,

2. Стационарные конфигурации могут быть интерпретированы как особые точки гамильтониана на орбите (т. е. на $\mathbb{C P}^{n-1}$ ). В качестве гамильтониана можно взять функцию $\widetilde{H}=\prod_{k

eq j}\left|z_{k}-z_{j}\right|^{2}$. Это положительная функция, которая обращается в нуль на подмногообразии «коллапса».
С помощью этих соображений, а также исследованием условия коммутации $[\mathbf{L}, \mathbf{A}]=0$, интересно было бы дать теоретическое объяснение конфигураций из «Лос-Аламосского» каталога, для которых устойчивые состояния вращения реализуются на нескольких концентрических окружностях («атомных оболочках» по Кельвину) (см. рис. 70, где для системы 11 вихрей указаны две возможности $11=2+9$, или

Рис. 70

$11=3+8$ ) [183]. Эти конфигурации обладают, как правило, некоторым типом симметрии (вращательной, или имеют плоскость симметрии). Совсем недавно в короткой заметке в «Nature» [191] были указаны несимметрические стационарные конфигурации для системы вихрей равной интенсивности.

Теоретически наиболее простой является задача о количестве колинеарных конфигураций в зависимости от соотношений интенсивностей. В небесной механике (при положительных массах $m_{i}$ ) ответ дается теоремой Мультона, согласно которой всякой перестановке масс $m_{1}, \ldots, m_{n}\left(m_{i}>0\right)$ соответствует единственная (вращающаяся) коллинеарная конфигурация (доказательство этой теоремы имеется в [149]). Для системы трех вихрей количество коллинеарных конфигураций зависит от типа алгебры, определяемой скобками Пуассона $(\S 3,4)$. По-видимому, такая связь имеется и в общем случае (для системы $n$ вихрей).