В этом параграфе мы вкратце остановимся на некоторых задачах вихревой динамики, анализ которых также может быть проведен с помощью изложенного выше формализма. Рассмотрим вначале задачу о движении вихрей Кирхгофа, уравнения движения которых в абсолютных координатах уже не имеют канонической формы и представляют собой гамильтонову систему с нелинейными скобками Пуассона.

1. Движение вихрей Кирхгофа. Моментная модель второго порядка [289] является следующим по сложности приближением к описанию гидродинамической завихренности, по сравнению с моделью точечных вихрей, и часто используется в задачах адвекции [106]. В рамках этой модели рассматриваются вихревые пятна с заданной величи-

ной завихренности, движущиеся в двумерной идеальной несжимаемой безграничной среде. Такие вихревые пятна могут быть описаны эллиптическими вихрями Кирхгофа [110], для которых во время движения сохраняется эллиптическая форма и площадь, а завихренность распределена равномерно (отношение полуосей эллипса $\lambda$ при этом может эволюционировать). В безграничной среде и в отсутствие внешних потоков единственный вихрь Кирхгофа вращается вокруг оси, проходящей через его центр завихренности, с постоянной угловой скоростью. При этом его форма не меняется и вихрь движется как твердое тело [110].

В основу моментной теории второго порядка, описывающей взаимодействие вихрей Кирхгофа, положены два основных предположения:

1. в процессе эволюции расстояние между вихрями существенно превышает размер вихрей, поэтому вихри не испытывают деформации;

2. в разложении гамильтониана пренебрегаются моментами выше второго порядка.

Соответствующая модель может быть представлена в гамильтоновом виде с нелинейной по $\lambda$ скобкой Пуассона [289]
\[
\begin{array}{c}
\Gamma_{k} \dot{x}_{k}=\frac{\partial H}{\partial y_{k}}, \quad \Gamma_{k} \dot{y}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial x_{k}} \\
\frac{\Gamma_{k} S_{k}}{8 \pi} \frac{1-\lambda_{k}^{2}}{\lambda_{k}^{2}} \dot{\varphi}_{k}=\frac{\partial H}{\partial \lambda_{k}}, \quad \frac{\Gamma_{k} S_{k}}{8 \pi} \frac{1-\lambda_{k}^{2}}{\lambda_{k}^{2}} \dot{\lambda}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial \varphi_{k}}
\end{array}
\]

с гамильтонианом
\[
H=H_{1}+H_{2}+H_{3},
\]

где

\[
\begin{array}{c}
H_{1}=-\frac{1}{8 \pi} \sum_{k=1}^{N} \Gamma_{k}^{2} \ln \frac{\left(1+\lambda_{k}\right)^{2}}{4 \lambda_{k}}, \\
H_{2}=-\frac{1}{8 \pi} \sum_{k, p}^{\prime} \Gamma_{k} \Gamma_{p} \ln M_{k p}, \\
H_{3}=-\frac{1}{32 \pi^{2}} \sum_{k, p}^{\prime} \frac{\Gamma_{k} \Gamma_{p}}{M_{k p}}\left(S_{p} \frac{1-\lambda_{p}^{2}}{\lambda_{p}} \cos \left(2\left(\theta_{k p}-\varphi_{p}\right)\right)+\right. \\
\left.+S_{k} \frac{1-\lambda_{k}^{2}}{\lambda_{k}} \cos \left(2\left(\theta_{k p}-\varphi_{p}\right)\right)\right),
\end{array}
\]

где $\Gamma_{k}, S_{k}$ – интенсивность и площадь эллиптического вихря с номером $k ; M_{k p}$ – квадрат расстояния между центрами завихренности $k$-го и $p$-го вихрей; $\varphi_{k}$ – угол наклона $k$-го эллипса к оси $x ; \theta_{k p}$ – угол по отношению к оси $x$, под которым из центра $k$-го эллипса виден центр p-го эллипса (см. рис. 71).
Рис. 71
Полный гамильтониан представляет из себя:
1. $H_{1}$ – собственную энергию эллиптического вихря;
2. $H_{2}$ – энергию системы эквивалентных точечных вихрей;

3. $H_{3}$ – энергию взаимодействия различных вихрей, обусловленную порядком модели.
Выражения для функции тока в безграничной среде вне области завихренности для моментной модели второго порядка могут быть найдены в $[289,106]$.

Уравнения (7.1), кроме гамильтониана $H$ обладают первыми интегралами
\[
Q=\sum_{k}^{N} \Gamma_{k} x_{k}, \quad P=\sum_{k}^{N} \Gamma_{k} y_{k}, \quad I=\sum_{k}^{N} \Gamma_{k}\left[x_{k}^{2}+y_{k}^{2}+\frac{S_{k}}{4 \pi} \frac{1+\lambda_{k}^{2}}{\lambda_{k}}\right],
\]

выражающими трансляционную и вращательную инвариантность системы в абсолютном пространстве.

Кроме интегралов (7.2), (7.4), в рамках модели сохраняется площадь каждого эллипса – это следствие теоремы Кельвина о сохранении циркуляции в идеальной среде [106].

Интегралы $Q, P$ коммутируют согласно (1.5) (см. §1), поэтому их не хватает для интегрирования системы даже двух вихрей Кирхгофа. Однако модель взаимодействия одного вихря Кирхгофа и точечного вихря (система с тремя степенями свободы) уже является интегрируемой.

Следуя общему рецепту ( $\S \$ 1,2$ ), выделим относительную составляющую движения. Получающаяся при этом пуассонова структура может быть приведена к линейной.

2. Взаимодействие вихря Кирхгофа с точечным вихрем. В качестве относительных координат примем
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=\frac{1}{2}\left(\Delta x^{2}-\Delta y^{2}\right) \cos (2 \varphi)+\Delta x \Delta y \sin (2 \varphi), \\
p_{2}=\frac{1}{2}\left(\Delta x^{2}-\Delta y^{2}\right) \sin (2 \varphi)-\Delta x \Delta y \cos (2 \varphi),
\end{array}
\]

где $\Delta x=x_{2}-x_{1}, \Delta y=y_{2}-y_{1} ; x_{k}, y_{k}$ – положения центров эллиптического и точечного вихря. Угол $\varphi$ соответствует наклону эллиптического вихря к оси $x$. Геометрически переменные $p_{1}, p_{2}$ представляют собой квадраты проекций на главные оси эллипса вектора, соединяю-

щего центры вихрей
\[
\begin{array}{l}
p_{1}=M \cos (2(\theta-\varphi)), \\
p_{2}=-\frac{M}{2} \cos (2(\theta-\varphi)) .
\end{array}
\]

Используя дополнительные переменные
\[
\begin{aligned}
M & =\Delta x^{2}+\Delta y^{2}, \\
q & =(\lambda+1 / \lambda) C / 2,
\end{aligned}
\]

где $C=\frac{S \Gamma_{1}}{8 \pi}$, получим замкнутую алгебру скобок
\[
\begin{aligned}
\left\{M, p_{1}\right\} & =4\left(a_{1}+a_{2}\right) p_{2},\left\{M, p_{2}\right\} & =-4\left(a_{1}+a_{2}\right) p_{1},\left\{p_{2}, p_{1}\right\} & =\left(a_{1}+a_{2}\right) M, \\
\{M, q\} & =0, \quad\left\{q, p_{1}\right\} & =-p_{2}, \quad\left\{q, p_{2}\right\} & =p_{1},
\end{aligned}
\]

здесь $a_{k}=1 / \Gamma_{k}$. Структура Ли-Пуассона (7.8) имеет две центральные функции

1. линейную $-C_{1}=M+4\left(a_{1}+a_{2}\right) q$;
2. квадратичную $-C_{2}=p_{1}^{2}+p_{2}^{2}-\frac{1}{4} M^{2}$, причем $C_{2}=0$ для реальных движений.

Первая из них представляет (относительный) интеграл момента, вторая отражает геометрическое соотношение между переменными (7.5) и (7.6).
В относительных переменных гамильтониан системы имеет вид
\[
H=-\frac{1}{8 \pi} \Gamma_{1}^{2} \ln \left(q^{2}\left(q+\sqrt{q^{2}-C^{2}}\right)\right)-\frac{1}{8 \pi} \Gamma_{1} \Gamma_{2} \ln M+\frac{\Gamma_{2}}{2 \pi} \frac{\sqrt{q^{2}-C^{2}}}{M^{2}} p_{1} .
\]

Приводя полученную алгебру скобок Ли-Пуассона к каноническому виду, получим, что при условии ( $\left.a_{1}+a_{2}\right)
eq 0$ она сводится к прямой сумме алгебр $\mathbb{R} \oplus s o(2,1)$. Действительно, выбирая базисные векторы в виде
\[
e_{1}=\frac{p_{1}}{2\left(a_{1}+a_{2}\right)}, \quad e_{2}=\frac{p_{2}}{2\left(a_{1}+a_{2}\right)}, \quad e_{3}=\frac{M}{4\left(a_{1}+a_{2}\right)}, \quad e_{0}=e_{3}+q,
\]

получим следующие скобки Ли-Пуассона
\[
\left\{e_{0}, e_{k}\right\}=0, \quad\left\{e_{1}, e_{2}\right\}=-e_{3}, \quad\left\{e_{2}, e_{3}\right\}=e_{1}, \quad\left\{e_{3}, e_{1}\right\}=e_{2}
\]

с квадратичной функцией Казимира
\[
C_{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2}-e_{3}^{2}=0 .
\]

При выполнении условия $a_{1}+a_{2}=0$, алгебра (7.8) сводится к прямой сумме алгебры $\mathbb{R}$, соответствующей базисному вектору $e_{3}=M$, и алгебры $e(2)$, образованной векторами
\[
e_{1}=p_{1}, \quad e_{2}=p_{2}, \quad e_{0}=q
\]

со скобками
\[
\left\{e_{3}, e_{k}\right\}=0, \quad\left\{e_{1}, e_{2}\right\}=-e_{3}, \quad\left\{e_{2}, e_{3}\right\}=0, \quad\left\{e_{3}, e_{1}\right\}=e_{2}
\]

и квадратичной функцией Казимира
\[
C_{2}=e_{1}^{2}+e_{2}^{2} .
\]

Уравнения движения в новых переменных позволяют изучить относительные равновесия рассматриваемой системы, устойчивость, построить соответствующие бифуркационные диаграммы. Задача о движении двух вихрей Кирхгофа в общем случае, видимо, не является интегрируемой, хотя это строго и не доказано.

3. Движение вихрей внутри круговой области. В работе [317] с помощью изложенного метода рассмотрена задача о движении точечных вихрей внутри круговой области. Уравнения этой задачи в абсолютных переменных были получены еще Э. Раусом [117]. Оказывается, что для получения уравнений относительного движения необходимо рассмотреть квадраты расстояний между вихрями, а также квадраты расстояний каждого вихря до центра круговой области. Если к этим переменным добавить соответствующую систему площадей треугольников, то образуемая ими пуассонова структура является линейной и ее анализ аналогичен $\S \S 3,6$. При этом задача о движении двух вихрей будет интегрируемой, ее качественный анализ выполнен в [317]. Задача

о движении трех вихрей в общем случае уже не является интегрируемой (Н.Н.Симаков [147]).

Используя указанные переменные, можно также рассмотреть задачу о движении точечных вихрей вне круговой области. Особенно интересна задача о движении вихрей при наличии постоянного сноса. Эта задача рассматривалась еще в прошлом веке Фепплем в связи с обтеканием цилиндра (при малых числах Рейнольдса $\mathrm{Re}=13 \div 41$ ) [147].

4. Движение вихрей на цилиндре. Аналогично движению вихрей на поверхности сферы можно расмотреть задачу о вихревом движении на цилиндре. Эта задача кажется несколько искусственной, однако легко видеть, что она эквивалентна задаче о движении вихрей на плоскости с периодическими граничными условиями. В такой постановке она изучалась еще Т. Карманом [256], который теоретически пытался объяснить возникновение и устойчивость вихревой дорожки (точнее, двух дорожек), возникающей за цилиндром, обтекаемым постоянным потоком жидкости (при числах Рейнольдса $\mathrm{Re}=105 \div 140$ ). Карман исследовал задачу об устойчивости в линейной постановке, более строгий анализ приведен в известном учебнике [107].

Этот анализ, тем не менее, не смог вполне прояснить причину возникновения устойчивых вихревых образований за цилиндром. С современным состоянием этих вопросов и соответствующей литературой можно познакомиться в [279].

Уравнения движения вихрей на цилиндре в комплексной форме имеют вид
\[
\frac{\bar{z}_{k}}{d t}=\frac{1}{2 i L} \sum_{m}^{\prime} \Gamma_{m} \operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{L}\left(z_{k}-z_{m}\right)\right),
\]

где $z_{k}=x_{k}+i y_{k}, L=2 \pi R$ – расстояние между вихрем в дорожке, $R$ – радиус цилиндра.

Гамильтонова система (7.16) является интегрируемой для случая двух вихрей. Задача о движении трех вихрей при произвольных интенсивностях, видимо, не интегрируема. Однако при дополнительном условии $\sum_{i=1}^{3} \Gamma_{i}=0$ существует необходимый дополнительный интеграл. Анализ движений, которые оказались довольно сложным, и наиболее типичные траектории в этом случае приведены в работе [190]. Возможность применения алгоритмов данной главы к этой задаче пока не изучена.