1. Процедуры ограничения и скобка Дирака. В §1 была рассмотрена возможность ограничения пуассоновой структуры $(M, J)$ на некоторое подмногообразие $N_{c} \subset M$ заданной, например, совместным уровнем функций $f_{i}(\mathbf{x})=c_{i}, c_{i}=\mathrm{const}, i=1, \ldots, s$. Оказалось, что для этого оно должно быть пуассоновым, то есть для любой функции $F(\mathbf{x})$ должно быть выполнено
\[
\left.\left\{f_{i}(\mathbf{x}), F(\mathbf{x})\right\}\right|_{N_{c}}=0, \quad i=1, \ldots, s .
\]

Геометрический смысл условия (9.1) состоит в том, что все гамильтоновы векторные поля касаются $N_{c}$ и поэтому корректно на него ограничиваются.

Рассмотрим, в некотором смысле, противоположную ситуацию, когда для функций $f_{i}$, определяющих подмногообразие $N_{c}$, матрица $\left\|f_{i j}\right\|=\left\|\left\{f_{i}, f_{j}\right\}\right\|$ невырождена
\[
\operatorname{det}\left\|f_{i j}\right\|
eq 0 .
\]

Если многообразие $M$ является симплектическим, то условие (9.2), выполненное на всем $N_{c}$, является необходимым и достаточным условием его симплектичности. Замкнутая форма, задающая на нем симплектическую структуру, получается из исходной $\omega$ (заданной на всем $M$ при помощи обычной операции ограничения $\left.\omega\right|_{N_{c}}[2,152]$. Приведенная далее процедура может рассматриваться как обобщение операции ограничения симплектической формы. При этом функции $f_{i}$, задающие подмногообразия, в смысле условия (9.2) максимально некоммутируют.

В этом случае произвольное гамильтоново векторное поле на $M$ допускает единственную проекцию на касательное пространство к подмногообразию $N_{c}$. Возникающее при этом векторное поле также является гамильтоновым относительно новой пуассоновой структуры $\dot{x}_{i}=\left\{x_{i}, H\right\}_{D}$, определяемой по формуле
\[
\{g, h\}_{D}=\{g, h\}+\sum_{i j}\left\{g, f_{i}\right\} c_{i j}\left\{h, f_{j}\right\},
\]

где $\left\|c_{i j}\right\|=\left\|\left\{f_{i}, f_{j}\right\}\right\|^{-1}$.
Скобка (9.3) называется скобкой Дирака $[57,227]$ и может рассматриваться во всем фазовом пространстве $M$ (в сильном смысле по Дираку), так как замечательным образом удовлетворяют на нем тождеству Якоби (а не только на $N_{c}$ ). Она корректно определена также при условии вырожденности первоначальной пуассоновой структуры на $M$. Функции $f_{i}(\mathbf{x})$ являются центральным для скобки (9.3). В вырожденном случае они пополняют уже существующий набор центральных функций. В структуре Дирака эти функции находятся в инволюции $\left\{f_{i}, f_{j}\right\}_{D}=0$.

Пусть $L(f)$ – линейная оболочка векторных полей $X_{f_{i}}=\left\{\mathbf{x}, f_{i}\right\}$, а $H M$ – пространство гамильтоновых полей. Условие (9.2) означает, что все поля $X_{f_{i}}$ трансверсальны к касательному расслоению $T N_{c}$ и независимы. Таким образом, определено расслоение $H M=T N_{c} \oplus L(f)$, позволяющее проектировать векторное поле $X_{H}$ на $T N_{c}$ вдоль $L(f)$. В симплектическом случае поля $X_{H}$ и $X_{H}-X_{H}^{D}$, где $X_{H}^{D}=\{\mathbf{x}, H\}_{D}$ ортогональны относительно симплекической формы: $\omega\left(X_{H}, X_{H}-X_{H}^{D}\right)=0$, т. е. $X_{H}^{D}$ представляет собой косоортогональную проекцию поля $X_{H}$ на $T N_{c}$. Гамильтоново поле $X_{H}$ совпадает с $X_{H}^{D}$ на $N_{c}$ тогда и только тогда, когда $X_{H}$ касается подмногообразия. В этом случае функции $f_{i}$, определяющие $N_{c}$, задают систему инвариантных соотношений гамильтонова потока $X_{H}$.

Замечание 1. Поле $\left.X_{H}^{D}\right|_{N_{C}}$ может быть также получено без явного вычисления скобки (9.3), методом неопределенных множителей Лагранжа [57]. Для этого рассмотрим гамильтониан
\[
H^{*}=H(x)+\sum_{i} \lambda_{i}\left(f_{i}-c_{i}\right),
\]

совпадающий с $H(x)$ на $N_{c}$. Условия касания поля $X_{H^{*}}$ подмногообразия $N_{c}$ принимают вид
\[
\left\{f_{i}, H\right\}+\sum_{k} \lambda_{k}\left\{f_{i}, f_{k}\right\}=0, \quad i=1, \ldots, s .
\]

В силу (9.2) система (9.5) допускает единственное решение относительно $\lambda_{i}(x)$.
Несложно проверить также, что поля $X_{H^{*}} X_{H}^{D}$ совпадают на $N_{c}$.

Замечание 2. Метод неопределенных множителей, указанный в предыдущем замечании, позволяет конструктивно получить систему инвариантных соотношений в динамических проблемах. Для этого необходимо задать первоначальную форму одного из предполагаемых инвариантных состояний с неопределенными коэффициентами, а затем проделать несколько шагов (9.4), (9.5) до тех пор, пока система инвариантных соотношений не будет однозначно разрешима относительно неопределенных коэффициентов и множителей $\lambda_{I}$. Такой последовательный метод, не учитывающий, однако, гамильтоновой формы уравнений движения, был, по существу, использован классиками (Чаплыгин, Стеклов, Ляпунов) при поиске инвариантных соотношений и частных решений в динамике твердого тела [5].

2. Редукция Дирака. Так как для поля $X_{H}^{D}$ ранг пуассоновой структуры (9.3) упал на $\frac{s}{2}$ единиц, то в случае $\S 8$ мы произвели $p e$ дукиию первоначальной гамильтоновой системы $X_{H}$. С алгебраической точки зрения, редуцированная структура, возможно, приобретает дополнительные дробно-рациональные слагаемые, определяемые формулой (9.3). Рассмотрим процедуру редукции в более общей форме.

Пусть $\operatorname{det}\left\|f_{i j}\right\|=0$. Тогда $H M
eq T N_{c} \oplus L(f)$, то есть касательное пространство к $N_{c}$ и поля $X_{f_{i}}$ не порождают базис в пространстве гамильтоновых векторных полей и $L(f) \cap T N_{c}
eq \varnothing$, т. е. часть векторных полей $X_{f_{i}}$ касается $N_{c}$.
Подходящим выбором функций $f_{i}(x)$ в каждой точке $N_{c}$ матри-

ца $\left\|f_{i j}\right\|$ может быть приведена к виду
\[
\left\|f_{i j}\right\|={ }_{2 k}^{l}\left(\begin{array}{c|c}
l & 2 k \\
0 & 0 \\
\hline 0 & *
\end{array}\right) .
\]

Допустим, что ранг $\left\|f_{i j}\right\|, i, j=l+1, \ldots, l+2 k$ равен $2 k$. Тогда возможно корректно определить проекцию гамильтонова поля $X_{H}$ на подмногообразие $N_{c}^{*}=\left\{\mathbf{x}: f_{i}(\mathbf{x})=c_{i}, i=l+1, \ldots, l+2 k\right\}$. При этом $H M=L^{*}(f) \oplus T N_{c}^{*}$, где $L^{*}(f)$ – линейная оболочка полей $X_{f_{i}} i=l+1, \ldots, l+2 k$ на $N_{c}^{*}$. Полученное в результате проекции векторное поле $X_{H}^{*}$, являющееся гамильтоновым относительно скобки (9.3) на $N_{c}^{*}$, имеет инволютивный набор интегралов движения $F_{i}(\mathbf{x})=\left.f_{i}(\mathbf{x})\right|_{N_{c}^{*}} i=1, \ldots, l$. Следовательно, возможна дальнейшая редукция по симметриям, описанная в предыдущем параграфе, которая приводит к понижению ранга на $2 l$.

Описанная общая конструкция для вырожденной матрицы $\left\|f_{i j}\right\|$ была также известна Дираку [227]. Игнорируя традиционный математический формализм (например, не используя теорему Фробениуса), он доказал интегрируемость полей $X_{f_{i}} i=1, \ldots, l$ на $N_{c}^{*}$. Функции $f_{i}(\mathbf{x}), i=1, \ldots, l$ Дирак называл величинами первого рода, а $f_{i}(\mathbf{x}) i=l+1, \ldots, l+2 k$ – величинами второго рода, придавая им различный физический смысл.

Замечание 3. Приведенная схема редукции может быть использована в теории некоммутативного интегрирования. Предположим, что гамильтонова система на симплектическом многообразии $\left(M^{2 n}, \omega\right)$ допускает инвариантное подмногообразие, задаваемое $n+k$ функциями $N_{c}=\left\{x \mid f_{i}(x)=c_{i}\right.$, $i=1, \ldots, n+k\}\left.\left\{f_{i}(x), H\right\}\right|_{N_{c}}=0$, такими, что $\operatorname{rank}\left\|\left\{f_{i}, f_{j}\right\}\right\|=2 k$. Разбивая функции на два соответствующих класса и ограничивая по Дираку систему на $2 n-2 k$-мерное симплектическое многобразие $N_{c}^{*}$, получим гамильтонову систему, обладающую $n-k$ инволютивными первыми интегралами. Она уже является интегрируемой по Лиувиллю в обычном смысле, а траектории являются квазипериодическими обмотками $n-k$-мерных торов.

Замечание 4. В общем случае для гамильтоновой системы на $M^{n}$, обладающей инволютивным набором интегралов
\[
\left\{f_{i}(x), H\right\}=0, \quad i=1, \ldots, s,
\]

ограничение поля $X_{H}$ на поверхность уровня этих интегралов $N_{c}$ определяет векторное поле, не являющееся гамильтоновым по отношению какой-либо пуассоновой структуры на $N_{c}$ (в частности, относительно структуры Дирака). Примером может служить невырожденная вполне интегрируемая гамильтонова система в шестимерном фазовом пространстве. Ее поток на трехмерном инвариантном многообразии не является гамильтоновым относительно любой пуассоновой структуры на нем.

3. Трансверсальная структура и сингулярные орбиты. Согласно обобщению теоремы Дарбу [334] пуассоново многообразие вблизи любой точки $x_{0} \in M$ допускает разложение $M \approx S \times N$ – на симплектический лист $S$ и трансверсальное к нему дополнение $N$, которое задается как многообразие уровня функций $f_{i}(\mathbf{x})=c_{i}$ с невырожденной матрицей $\left\|\left\{f_{i}, f_{j}\right\}\right\|$. Оба многообразия $S$ и $N$ пуассоновы; на $S$ пуассонова (симплектическая) структура получается обычным ограничением исходной скобки, а на $N$ – может быть получена по формуле Дирака (9.3). Говорят, что на $N$ определена трансверсальная пуассонова структура [2, 334].

Вблизи регулярной точки $x_{0} \in M$ через $x_{0}$ проходит симплектический лист $S$ максимальной размерности, а скобка Пуассона на $N$ тождественно равна нулю. Нетривиальная пуассонова структура на $N$ возникает вблизи сингулярной точки $x_{0} \in M$, через которую проходит симплектический лист меньшей размерности. В этом случае точка $x_{0}$ является также особой точкой пуассоновой структуры на $N$, где ее ранг падает до нуля.

Трансверсальная пуассонова структура использована в работе [297] для изучения согласованной скобки в цепочках Тоды на полупростых алгебрах $B_{n}$. Возникающая в этом случае скобка, полученная из квадратичной, оказалась дробно-рациональной.

Вопрос о возможности приведения трансверсальной пуассоновой структуры к наиболее простому виду вблизи особой точки (в частности линеаризация) рассматривался в работах $[335,224]$. В [335] приведены примеры нелинеаризуемых пуассоновых структур вблизи сингулярных орбит алгебры Ли. В [297] указаны условия на алгебру Ли и ее сингулярные орбиты, при которы трансверсальная пуассонова структура может быть приведена к неоднородному квадратичному виду.

4. Вырожденнье лагранжианы и гамильтонов формализм со связями. Введение рассмотренных дифференциально-геометрических конструкций в динамику может быть мотивировано проблемой пе-

рехода от лагранжева формализма к гамильтонову в случае вырожденности лагранжиана по скоростям. Именно, из этой постановки исходил П. Дирак, развивая обобщенную гамильтонову механику для целей последующего квантования $[57,319]$.
Пусть задана лагранжева система
\[
\frac{d}{d t}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_{i}}=0, \quad i=1, \ldots, n,
\]

с вырожденной по скоростям функцией Лагранжа, т. е.
\[
\operatorname{det}\left\|\frac{\partial^{2} L}{\partial \dot{q}_{i} \partial \dot{q}_{j}}\right\|=0 .
\]

В этом случае уравнения (9.7) не могут быть разрешены относительно старших производных, а стало быть, вопрос о нахождении решений при произвольных начальных условиях не является вполне корректным. Оказывается, что более естественным является рассмотрение системы (9.7) в канонических переменных. Рецепт их введения, обобщающий преобразование Лежандра в невырожденном случае, также был предложен Дираком.
Если обычным образом ввести канонические импульсы
\[
p_{i}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{i}}, \quad i=1, \ldots, n,
\]

то вследствие (9.8) при обращении (9.9) можно выразить лишь часть скоростей
\[
\dot{q}_{i}=v_{i}\left(p, q, p_{1}, \ldots, q_{s}\right), \quad i=s+1, \ldots, n .
\]

Оставшиеся уравнения задают соотношения между $\mathbf{p}, \mathbf{q}$, определяющие подмногообразие
\[
N=\left\{\mathbf{p}, \mathbf{q}: \varphi_{j}(\mathbf{p}, \mathbf{q})=0, \quad j=1, \ldots, s,\right\}
\]
(первичные связи по Дираку).
Функция Гамильтона
\[
H=\mathbf{p} \dot{\mathbf{q}}-L
\]

при учете (9.10) и (9.11) зависит только от координат и импульсов [319]. С учетом того, что вариации $\delta p$ и $\delta q$ подчиняются условию (9.11) и пользуясь вариационным принципом Гамильтона, уравнения движения можно представить в виде
\[
\begin{array}{c}
\dot{p}_{i}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}}-\sum_{j} \lambda_{j} \frac{\partial \varphi_{j}}{\partial q_{i}} \quad \dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}+\sum_{j} \lambda_{j} \frac{\partial \varphi_{j}}{\partial p_{i}}, \\
i=1, \ldots, n, \quad j=1, \ldots, s .
\end{array}
\]

Неопределенные множители $\lambda_{i}$ находятся из условия сохранения связей (9.11) потоком системы (9.13):
\[
\dot{\varphi}_{j}=\left\{\varphi_{j}, H\right\}+\sum_{j} \lambda_{j}\left\{\varphi_{j}, \varphi_{j}\right\}=0, \quad j=1, \ldots, s .
\]

Правые части (9.13) могут быть более просто записаны с использованием скобки Дирака
\[
\dot{p}_{i}=\left\{p_{i}, H\right\}_{D}, \quad \dot{q}_{i}=\left\{q_{i}, H\right\} .
\]

В зависимости от заданного лагранжиана $L$ при решении уравнений (9.14) могут встретиться различные ситуации.

1) Система $(9.13)$, (9.14) несовместна в любой точке фазового пространства (p, q). В этом случае уравнения (9.13) не допускают решения при произвольных начальных условиях. В качестве примера можно рассмотреть систему с лагранжианом $L=q$.
2) Система (9.14) имеет единственное решение ( $\operatorname{det}\left\|\left\{\varphi_{i}, \varphi_{j}\right\}\right\|
eq 0$ ) (достаточно единственности на подмногобразии $N$ ). При этом подмногообразия $N$ является пуассоновым относительно скобки Дирака, а система (9.13) гамильтонова $\dot{x}=\{x, H\}_{D}$ с функцией гамильтона (9.12). Для всякой начальной точки на $N$ система (9.15) допускает решение $p(t), q(t)$, причем $q(t)$ удовлетворяет также уравнениям Лагранжа (9.7).
3) Система (9.14) допускает бесконечно много решений $\lambda_{k}(p, q)$. Это возможно лишь при условии $\operatorname{det}\left\|\left\{\varphi_{i}, \varphi_{j}\right\}\right\|=0$. В данном случае, гамильтоново описание векторного поля, определяемое системой (9.7) на совместной поверхности уровня (9.11), невозможно. Среди связей необходимо выбрать $\varphi_{i}(x), i=1, \ldots, 2 k$, для
которых матрица скобок Пуассона невырождена, а коэффициенты $\lambda_{i}(p, q) i=1, \ldots, 2 k$ определяются однозначно. Остальные связи $\varphi_{j}(x) j=2 k, \ldots, s$ будут являться интегралами движения получившегося поля, значения которых однозначно находятся из системы (9.9). Решения полученной системы $\mathbf{p}(t), \mathbf{q}(t)$ при подстановке $\mathbf{q}(t)$ также удовлетворяет исходной лагранжевой системе (9.7).
4) Система (9.14) непротиворечива на некотором подмногообразии меньшей размерности, чем на многообразии (9.11). В этом случае появляются дополнительные связи (вторичные связи по Дираку). Рассматривая уже полный набор связей, приходим к одной из ситуаций 2) или 3). В связи с тем, что вторичные связи появляютея как условия разрешимости системы (9.14), они не приведут к дополнительным неопределенным множителям $\lambda_{i}$ и не сказываются на уравнениях движения (9.13).
5. Голономные связи. Сравнение с классическим описанием. Описанная выше процедура, отличается от классического гамильтонова формализма для системы с голономными связями в избыточных переменных [4]. Покажем, что обе эти конструкции приводят к одним и тем же уравнениям движения для позиционных переменных. Выбор того или иного описания различных задач определяется, как правило, дополнительными соображениями.
Рассмотрим лагранжеву систему в $\mathbb{R}^{3}$
\[
L=\frac{1}{2} \dot{\mathbf{q}}^{2}-U(\mathbf{q})
\]

со связью $f(\mathbf{q})=0$. (Все результаты могут быть перенесены на случай $\mathbb{R}^{n}$ и нескольких связей).
Уравнения движения (9.16) можно представить в форме
\[
\ddot{\mathbf{q}}=-\frac{\partial U}{\partial \mathbf{q}}-\lambda \frac{\partial f}{\partial \mathbf{q}} .
\]

В классической схеме избыточного гамильтонова формализма [4] система (9.17) описывается уравнениями Гамильтона
\[
\dot{\mathbf{p}}=-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}, \quad \dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}
\]

с гамильтонианом $H=\frac{1}{2}(\mathbf{p} \times \mathbf{n})^{2}+U(\mathbf{q})$, где $\mathbf{n}=\frac{f_{\mathbf{q}}^{\prime}}{\left|f_{\mathbf{q}}^{\prime}\right|}$ – единичный вектор нормали к поверхности $f(\mathbf{q})=0$. Функция $f(\mathbf{q})$ является первым интегралом уравнений $\{f, H\}=0$. Канонические импульсы р не касаются поверхности $f(\mathbf{q})$, тем не менее скорости, определяемые соотношениями (9.18) $\dot{\mathbf{q}}=\mathbf{p}-(\mathbf{p}, \mathbf{n}) \mathbf{n}$, направлены по касательной. Дифференцированием $\dot{\mathbf{q}}$ уравнения (9.18) могут быть приведены к виду (9.17).

Выполним теперь преобразование Лежандра к каноническим переменным $\mathbf{p}, \mathbf{q}$ без учета связи
\[
H=\frac{1}{2} \mathbf{p}^{2}+U(\mathbf{q}) .
\]

Действуя по методу Дирака, дополним связь $f(\mathbf{q})=0$, условием ее сохранения
\[
\dot{f}=\{f, H\}=g(\mathbf{p}, \mathbf{q})=\left(\mathbf{p}, \frac{\partial f}{\partial \mathbf{q}}\right)=\mathbf{0} .
\]

Для функций $f, g$ всегда выполнено
\[
\{f, g\}=\left(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{q}}, \frac{\partial f}{\partial \mathbf{q}}\right)
eq 0 .
\]

Чтобы избежать вычисления скобки Дирака, векторное поле на поверхности $f=0, g=0$ найдем с помощью неопределенных множителей $\mu,
u$
\[
\begin{array}{l}
\dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}+\mu \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}}+
u \frac{\partial g}{\partial \mathbf{p}}=\mathbf{p}+
u \frac{\partial f}{\partial \mathbf{q}} \\
\dot{\mathbf{p}}=-\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}-\mu \frac{\partial f}{\partial \mathbf{q}}-
u \frac{\partial g}{\partial \mathbf{q}}=-\frac{\partial U}{\partial \mathbf{q}}-\mu \frac{\partial f}{\partial \mathbf{q}}-
u B \mathbf{p},
\end{array}
\]

где $B=\left\|\frac{\partial f}{\partial q_{i} \partial q_{j}}\right\|$.
Из условий равенства нулю производных $\dot{f}, \dot{g}$ вдоль решений (9.20) находим $
u=0$. Полагая $\mu=\lambda$, находим, что система (9.20) также эквивалентна (9.17).

Таким образом, в классическом варианте гамильтонова формализма скобка остается канонической и меняется функция Гамильтона. В подходе Дирака, наоборот, меняется скобка, так что связи становятся
функциями Казимира, а гамильтониан остается прежним (без учета связи).

6. Динамика малых масс. В предыдущем разделе была показана возможность применения процедуры Дирака для описания лагранжевых (или гамильтоновых) динамических систем с голономными связями. С физической точки зрения системы со связями могут рассматриваться как предельные задачи для свободных систем. Различные способы задания предельных переходов связаны с различным способам $p e$ ализации связей [4].

Так голономная механика получается при надлежащем переходе в потенциальной функции, неголономная механика – в силах вязкого трения (функция Релея). Механика Дирака на физическом уровне может быть интерпретирована как механика малых масс, когда предельный переход происходит в кинетической энергии – некоторые из инерционных характеристик стремятся к нулю. При этом он не затрагивает потенциала и в этом смысле механика Дирака является механикой малых масс. Более подробное обсуждение содержится в §12 гл. 2, здесь мы ограничимся одним примером.

Рассмотрим систему двух частиц в трехмерном пространстве с функцией Лагранжа
\[
L=\frac{1}{2}\left(\dot{q}_{1}^{2}+\varepsilon \dot{q}_{2}^{2}\right)+\left(A\left(q_{2}\right), \dot{q}_{2}\right)-U\left(q_{1}, q_{2}\right) .
\]

Уравнения движения имеют вид
\[
\begin{aligned}
\ddot{q}_{1} & =-\frac{\partial U}{\partial q_{1}}, \\
\varepsilon \ddot{q}_{2} & =B\left(q_{2}\right) \times \dot{q}_{2}-\frac{\partial U}{\partial q_{2}}, \quad B=\operatorname{rot} A .
\end{aligned}
\]

Если масса второй частицы стремится к нулю ( $\varepsilon \rightarrow 0$ ), то функция Лагранжа оказывается вырожденной по $\dot{q}_{2}$, а в уравнениях движения пропадает ускорение $\ddot{q}_{2}$. Уравнения (9.22) при $\varepsilon=0$ разрешимы лишь при условии
\[
\varphi_{0}(q)=\left(B\left(q_{2}\right), \frac{\partial U}{\partial q_{2}}\right)=0 .
\]

Определяя канонические импульсы $\mathbf{p}=\frac{\partial L}{\partial \dot{\mathbf{q}}}$
\[
p_{1}=\dot{q}_{1}, \quad p_{2}=A\left(q_{2}\right),
\]

получим, что условия разрешимости относительно $\dot{q}_{2}$ эквивалентны связям:
\[
\varphi_{i}(\mathbf{p}, \mathbf{q})=p_{2 i}-A_{i}\left(q_{2}\right), \quad i=1,2,3 .
\]

Функция Гамильтона не зависит от $p_{2}$ :
\[
H=\frac{1}{2} p_{1}^{2}+U\left(q_{1}, q_{2}\right)
\]

а уравнения движения с неопределенными множителями примут вид
\[
\begin{array}{ll}
\dot{q}_{1}=p_{1}, & \dot{p}_{1}=-\frac{\partial U}{\partial q_{2}} \\
\dot{q}_{2}=\lambda, & \dot{p}_{2}=-\frac{\partial U}{\partial q_{2}}+\sum_{j=1}^{3} \lambda_{j} \frac{\partial A_{j}}{\partial q_{2}} .
\end{array}
\]

Условие сохранения связи может быть представлено в виде
\[
B\left(q_{2}\right) \times \lambda-\frac{\partial U}{\partial q_{2}}=0 .
\]

Условие его разрешимости (вторичная связь) совпадает с (9.23). В общем случае матрица $\left\|\left\{\varphi_{i}, \varphi_{j}\right\}\right\|$ невырождена, поэтому с помощью скобки Дирака (9.22) на поверхности уровня $\varphi_{i}=0 i=0, \ldots, 3$ получим непротиворечивые уравнения движения, допускающие единственное решение $p(t), q(t)(q(t)$ удовлетворяет также уравнению (9.22) при $\varepsilon=0$ ).

Замечание 5. Уравнения (9.28) допускают произвол в определении $\lambda: \lambda^{\prime}=\lambda+f(\mathbf{p}, \mathbf{q}) B\left(q_{2}\right)$, который тем не менее не сказывается на векторном поле (9.27), определенном на поверхности уровня связей $\varphi_{i}(\mathbf{p}, \mathbf{q})=0$, $i=0, \ldots, 3$.
Если магнитное поле постоянно
\[
\mathbf{B}=\operatorname{rot} \mathbf{A}=\text { const },
\]

и энергия взаимодействия зависит лишь от взаимного расстояния $r=\left|q_{1}-q_{2}\right|$, то уравнения (9.22) при $\varepsilon=0$ допускают гамильтоново описание с невырожденной скобкой.

Выберем ось $O Z$ вдоль поля, из (9.22) находим $z_{1}(t)=z_{2}(t)=$ $=a t+b, a, b=$ const. Проекция движения частиц на плоскость $X Y$ описывается уравнениями
\[
\left\{\begin{array}{ll}
\ddot{x}_{1}=\frac{\partial U(s)}{\partial x_{1}} & \ddot{y}_{1}=-\frac{\partial U(s)}{\partial y_{1}} \\
\dot{x}_{2}=-\frac{\partial U(s)}{\partial y_{2}} & \dot{y}_{2}=\frac{1}{B} \frac{\partial U(s)}{\partial x_{2}}
\end{array}, \quad s=\sqrt{\left(x_{1}-x_{2}\right)^{2}+\left(y_{1}-y_{2}\right)^{2}} .\right.
\]

Уравнения (9.29) гамильтоновы относительно скобки Пуассона
\[
\begin{array}{l}
\left\{x_{1}, p_{x}\right\}=\left\{y_{1}, p_{y}\right\}=1, \\
\left\{y_{2}, x_{2}\right\}=\frac{1}{B},
\end{array}
\]

с функцией Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}\right)+U(s), \quad p_{x}=\dot{x}_{1}, \quad p_{y}=\dot{y}_{1},
\]

Замчеание 6. Переход от гамильтоновой системы со связями к эквивалентной (вырожденной) лагранжевой системе возможен в случае разрешимости системы
\[
\begin{array}{l}
\dot{q}_{i}=\frac{\partial H}{\partial p_{i}}+\sum_{j} \lambda_{j} \frac{\partial f_{j}}{\partial p_{i}} \\
f_{i}(\mathbf{p}, \mathbf{q})=0, \quad i=1, \ldots, n, j=1, \ldots, s,
\end{array}
\]

относительно неизвестных $p, \lambda$. При этом функция Лагранжа находится обычным преобразованием Лежандра $-L=\mathbf{p} \dot{\mathbf{q}}-H$. Несложно проверить, что для указанного примера двух частиц это преобразование приводит к исходному лагранжиану (9.21). В общем случае система (9.30) не допускает решения (аналогично случаю неголономных систем, не допускающих гамильтонова представления).

К сожалению, возможность лагранжева описания гамильтоновых систем со связями, его механический и геометрический смысл, почти совсем не изучены $[227]$.

7. Дополнительные возможности.

1. Приведем специальный случай редукции Дирака, использованный Мозером $[120,294]$ для получения новых интегрируемых случаев из уже известных.

Допустим, что связи (9.30) могут быть разбиты на две группы $f_{1}(x), \ldots, f_{k}(x), g_{1}(x), \ldots, g_{k}(x)$, так что $f_{1}(x), \ldots, f_{k}(x)$ и гамильтониан $H(x)$ входят в инволютивный набор функций на многообразии $G$. Несложно проверить, что любая функция из $G$ также является интегралом движения для векторного поля, полученного из исходного с помощью редукции Дирака. Эти интегралы находятся в инволюции также и относительно скобки Дирака (9.3).

Таким образом, было получено $n$-мерное обобщение (на $S^{n}$ ) классической интегрируемой задачи Неймана из интегрируемого потока в евклидовом пространстве $E^{n}[120,294]$.

2. Редукция по симметриям ( $\S 8$ ) также может быть интерпретирована в терминах редукции Дирака. Действительно, пусть нам удалось проинтегрировать векторные поля, соответствующие первым интегралам системы
\[
X_{i}=\left\{x, F_{i}\right\}, \quad i=1, \ldots, k,
\]

которое для простоты будем считать инволютивным $\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=\mathbf{0}$. Координаты вдоль соответствующих потоков обозначим $\tau_{i}$. Выбирая в качестве связей функции $F_{1}(x), \ldots, F_{k}(x), \tau_{1}(x), \ldots, \tau_{k}(x)$, с помощью скобки Дирака получим редуцированную систему (ранг которой упал на $2 k$ ) в точности эквивалентную приведенной системе при стандартной редукции по симметриям (редукции по моменту см. §8).