§ 7. Ограниченная задача трёх тел в искривленном пространстве

Перейдем к случаю произвольных интенсивностей $\Gamma_{1}, \ldots, \Gamma_{n}$. Рассмотрим лиев пучок на алгебре косоэрмитовых $N \times N$-матриц, порожденный коммутаторами вида
\[
[X, Y]_{\Gamma^{-1}}=X \Gamma^{-1} Y-Y \Gamma^{-1} X,
\]

где $\Gamma^{-1}$ – вещественная диагональная матрица вида
\[
\Gamma^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
\frac{1}{\Gamma_{1}} & & & \\
& \frac{1}{\Gamma_{2}} & & \\
& & \ddots & \\
& & & \frac{1}{\Gamma_{N}}
\end{array}\right) .
\]

Замечательным является тот факт, что подалгебра $L$ является замкнутой относительно коммутатора $[\cdot, \cdot]_{\Gamma^{-1}}$ и, следовательно, семейство коммутаторов порождает некоторый лиев пучок на $L$. Более того, ограничивая на $L$ коммутатор $[\cdot, \cdot]_{\Gamma^{-1}}$, мы получаем алгебру Ли, изоморфную «вихревой алгебре» $L_{\Gamma}$, отвечающей интенсивностям $\Gamma_{1}, \ldots, \Gamma_{n}$. Таким образом, можно установить симметричный изоморфизм между семейством вихревых алгебр и несложным лиевым пучком. Пользуясь этой конструкцией, опишем свойства вихревых алгебр.

Предложение 3. При положительных $\Gamma_{i}$ вихревая алгебра изоморфна $u(n-1)$.

Доказательство.

Соответствующий изоморфизм строится следующим образом. Пусть все интенсивности равны единице. Все матрицы (6.2) являются косоэрмитовыми, удовлетворяют следующему свойству $A \mathrm{z}_{0}=0$, где $\mathbf{z}_{0}$ – вектор с координатами $(1,1, \ldots, 1)$. Другими словами, этот вектор инвариантен под действием вихревой алгебры. Следовательно, инвариантно и его ортогональное дополнение, то есть гиперплоскость $V_{1}=\left\{\mathbf{z} \mid \sum z_{i}=0\right\}$. Рассмотрим все косоэрмитовы матрицы, обладающие этим свойством (то есть зануляющие фиксированные вектор) – они образуют подалгебру $u(n-1)$. Таким образом, вихревая подалгебра вкладываетея в $u(n-1)$. Но их размерности совпадают, поэтому совпадают и сами алгебры.

Более явно это можно показать, перейдя к другому базису в пространстве $\mathbb{C}^{n}$. Рассмотрим базис $e_{1}, e_{2}, \ldots, e_{n}$ следующего вида: $e_{1}, \ldots, e_{n-1}$ – ортонормированный базис в гиперплоскости $V_{1}$, а $e_{n}=$

пространстве Минковского $\mathbb{M}^{3}$. Потенциальная энергия $U(\mathbf{q})$ соответствует задаче двух центров ( $\S 3$ гл. 1 ).
\[
\begin{array}{ll}
U=\gamma m_{1} \operatorname{ctg} \theta_{-}+\gamma m_{2} \operatorname{ctg} \theta_{+}, & \text {на } S^{2}, \\
U=\gamma m_{1} \operatorname{cth} \theta_{-}+\gamma m_{2} \operatorname{cth} \theta_{+}, & \text {на } L^{2},
\end{array}
\]

где $m_{1}, m_{2}$ – массы «тяжелых» частиц, а $\theta_{-}, \theta_{+}$- «углы» между ними и легкой частицей.

Направим ось $O z$ вдоль угловой скорости $\omega$, а неподвижные центры поместим в точки
\[
\begin{array}{lll}
\mathbf{q}_{\mathbf{1}}\left(\sin \theta_{1}, 0, \sin \theta_{1}\right), & \mathbf{q}_{\mathbf{2}}\left(\sin \theta_{2}, 0, \sin \theta_{2}\right) & \text { на } S^{2}, \\
\mathbf{q}_{\mathbf{1}}\left(\operatorname{sh} \theta_{1}, 0, \operatorname{ch} \theta_{1}\right), & \mathbf{q}_{\mathbf{2}}\left(\operatorname{sh} \theta_{2}, 0, \operatorname{ch} \theta_{2}\right) & \text { на } L^{2} .
\end{array}
\]

Параметры $\theta_{1}, \theta_{2}, \boldsymbol{\omega}$ при фиксированном взаимном расстоянии $\alpha$ и массах точек $m_{1}, m_{2}$ могут быть определены из уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\sin 2 \theta_{1}=\frac{m_{2}}{m} \sin 2 \alpha, \quad \sin 2 \theta_{2}=\frac{m_{1}}{m} \sin 2 \alpha, \\
\omega^{2}=\frac{2 m \gamma}{R^{2} \sin ^{2} \alpha \sin 2 \alpha}, \quad m=\sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2 m_{1} m_{2} \cos 2 \alpha}
\end{array}
\]

для $S^{2}$, либо
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{sh} 2 \theta_{1}=\frac{m_{2}}{m} \operatorname{sh} 2 \alpha, \quad \operatorname{sh} 2 \theta_{2}=\frac{m_{1}}{m} \operatorname{sh} 2 \alpha, \\
\omega^{2}=\frac{2 m \gamma}{R^{2} \operatorname{sh}^{2} \alpha \operatorname{sh} 2 \alpha}, \quad m=\sqrt{m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2 m_{1} m_{2} \operatorname{ch} 2 \alpha}
\end{array}
\]

для $L^{2}$.
Положение равновесия легкой частицы во вращающей системе отсчета называются точками либрации. Из (7.1) следует, что они являются критическими точками приведенного потенциала
\[
U_{*}=U-\frac{1}{2}\langle\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{q}, \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{q}\rangle .
\]

В сферических (псевдосферических) координатах выражение (7.2) для приведенного потенциала принимает вид
\[
U_{*}=-\gamma \sum_{i} \frac{m_{i}\left(\cos \theta_{i} \cos \theta+\sin \theta_{i} \sin \theta \cos \varphi\right)}{\left(1-\left(\cos \theta_{i} \cos \theta+\sin \theta_{i} \sin \theta \cos \varphi\right)^{2}\right)^{1 / 2}}-\frac{1}{2} R^{2} \omega^{2} \sin ^{2} \theta
\]

на сфере $S^{2}$, и
\[
U_{*}=-\gamma \sum_{i} \frac{m_{i}\left(\operatorname{ch} \theta_{i} \operatorname{ch} \theta+\operatorname{sh} \theta_{i} \operatorname{sh} \theta \cos \varphi\right)}{\left(\left(\operatorname{ch} \theta_{i} \operatorname{ch} \theta+\operatorname{sh} \theta_{i} \operatorname{sh} \theta \cos \varphi\right)^{2}-1\right)^{1 / 2}}-\frac{1}{2} R^{2} \omega^{2} \operatorname{sh}^{2} \theta
\]

на плоскости Лобачевского.
В плоском случае существует пять точек либрации. Три из них, расположенные на одной прямой с неподвижными центрами (тяжелыми частицами), были открыты Эйлером, и называются коллинеарными. Две другие – треугольные, находятся на равных расстояниях от притягивающих центров и были найдены Лагранжем.

Замечание 1. Лагранж также указал частные решения в неограниченной задаче трех тел, при которых тела движутся по эллипсам, оставаясь все время в вершинах равностороннего треугольника. Нахождение и анализ подобных решений в искривленном пространстве является гораздо более сложной задачей и до сих пор не выполнены.

По аналогии с плоским пространством критические точки функций (7.3), (7.4) можно разделить на 2 типа:
a) Коллинеарные критические точки – обобщение эйлеровских точек либраций. Они расположены в плоскости двух неподвижных центров и вектора $\boldsymbol{\omega}$.
b) Неколлинеарные критические точки – обобщение лагранжевых точек либрации, которые в случае плоскости расположены на равных расстояниях от притягивающих центров.

2. Точки либрации на сфере $S^{2}$.

a) Коллинеарные точки либрации. Зафиксирусм пачало отсчета азимутального угла $\varphi$ от меридиана, расположенного в плоскости, проходящей через притягивающие центры. В этом случае для коллинеарных точек либрации $\varphi=0, \pi$. Из симметрии задачи следует, что $\left.\frac{\partial U_{*}}{\partial \varphi}\right|_{\varphi=0, \pi}$, поэтому для нахождения широты точек либрации необходимо найти критические точки функции
\[
f(\theta)=\left.U_{*}\right|_{\varphi=0, \pi}=-\sum_{i=1}^{2} \gamma m_{i} \operatorname{ctg}\left|\theta-\theta_{i}\right|-\frac{1}{2} R^{2} \omega^{2} \sin ^{2} \theta .
\]

Выполняя дифференцирование, находим, что критическим точкам соответствуют корни уравнения
\[
\frac{1}{2} R^{2} \omega^{2} \sin \theta \cos \theta=\gamma \sum_{i} m_{i} \frac{\sin \left(\theta-\theta_{i}\right)}{\left|\sin ^{3}\left(\theta-\theta_{i}\right)\right|},
\]

где $\theta \in(-\pi ; \pi)$.
Уравнение (7.5) может иметь 2,4 или 6 корней (в зависимости от параметров). Схематично их положение на сфере показано на рис. 15. Выбором масштаба, приняв длину дуги между «тяжелыми» телами за единицу, можно положить $R=\frac{1}{\alpha}$ ( $\alpha$ – угол между «тяжелыми» телами). Тем самым мы ограничиваем область изменения параметров до прямоугольника $\left\{m_{2} / m_{1} \in[0,1], \alpha \in[0, \pi]\right\}$. Рассмотрим отдельно случаи $\alpha<\pi / 2$ и $\alpha>\pi / 2$, которым (см. §6) соответствуют различные типы движений.
Рис. 15
\[
\alpha<\pi / 2 .
\]

При малых $\alpha$ существует шесть точек либрации $-L_{1}, L_{1}^{\prime}, L_{2}, L_{2}^{\prime}$, $L_{3}, L_{3}^{\prime}$. Причем при устремлении $\alpha$ к нулю $(R \rightarrow \infty)$, точки $L_{1}, L_{2}$ и $L_{3}$ стремятся к нулю как $\alpha$ и переходят в эйлеровские точки либрации. Точки $L_{2}^{\prime}$ и $L_{3}^{\prime}$ стремятся к экватору как $\pi / 2-\alpha^{3}$, а точка $L_{1}^{\prime}$ уходит на южный полюс как $\alpha$.
Рис, 16

На рис. 16 приведена зависимость положений точек либрации от $\alpha$ при $m_{2} / m_{1}=0.2$. Как видно из рисунка, 6 точек либрации существует в интервале $\alpha$ от 0 до $\alpha_{1}^{*}$.

При $\alpha=\alpha_{1}^{*}$ точки $L_{2}$ и $L_{2}^{\prime}$ сливаются и исчезают. Таким образом, в промежутке $\alpha \in\left(\alpha_{1}^{*}, \alpha_{2}^{*}\right)$ существует 4 точки либрации. В точке $\alpha_{2}^{*}$ происходит исчезновение второй пары точек либрации и при $\alpha \in\left(\alpha_{2}^{*}, \alpha_{3}^{*}\right)$ существуют только 2 эйлеровских точки либрации. В точке $\alpha_{3}^{*}$ вновь образуется пара точек $L_{3}, L_{3}^{\prime}$ и затем вплоть до $\alpha=\pi / 2$ существует 4 точки либрации. Зависимость критических точек $\alpha_{1}^{*}, \alpha_{2}^{*}$ и $\alpha_{3}^{*}$ от соотношения масс $m_{2} / m_{1}$ представлена на рис. 17 .
Здесь в области I существует 6 , в областях II, IV -4 , а в области III -2 точки либрации.
\[
\alpha>\pi / 2 .
\]

При $\alpha$ больше $\pi / 2$, но меньше чем некоторое критическое значение $\alpha_{4}^{*}\left(m_{2} / m_{1}\right)$ кроме двух центральных точек либрации в системе наблюдаются еще две точки либрации – пара точек, ближних к легкому телу. При $\alpha$ же больше чем $\alpha_{5}^{*}\left(m_{2} / m_{1}\right)$ возникает еще одна пара точек. Обе эти точки будут «полюсными» (т. е. вместе с точкой $L_{1}^{\prime}$ лежат в промежутке
Рис. 17 между отталкивающими частями потенциалов «тяжелых» тел (рис. 15)). Зависимость положений точек либрации от $\alpha$ в промежутке $(\pi / 2, \pi)$ показана на рис. 18 . Критическое значение $\alpha_{4}^{*}$ может быть, в зависимости от отношения масс, как меньше так и больше чем $\alpha_{5}^{*}$, что видно из рис. 19.

Кривые $\alpha_{4}^{*}\left(m_{2} / m_{1}\right)$ и $\alpha_{5}^{*}\left(m_{2} / m_{1}\right)$ на этом рисунке ограничивают области равного количества точек либрации. В областях II, IV существует 4 точки либрации, а в областях I, III – 2 и 6 соответственно.

Рис. 18

b) Неколлинеарные точки либрации.
\[
\alpha<\pi / 2 .
\]

Неколлинеарные точки либрации определяются системой уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\omega^{2} R^{2} \cos \theta=\gamma \sum_{i=1}^{2} m_{i} \frac{\cos \theta_{i}}{\sin ^{3} \alpha_{i}}, \\
\cos \theta=\frac{\sum_{i=1}^{2} m_{i} \frac{\sin \theta_{i}}{\sin ^{3} \alpha_{i}}=0,}{\sin \alpha},
\end{array}
\]

где $\alpha_{i}$ – угловое расстояние между легкой частицей и $i$-ым телом. При $m_{1}=m_{2}$ система (7.6) имеет решение, для которого $\alpha_{1}=\alpha_{2}$, однако в Рис. 19 отличие от плоского случая $\alpha_{i}
eq \alpha$ – расстоянию между центрами, и при $m_{1}
eq m_{2}$ соотношение $\alpha_{1}=\alpha_{2}$ не выполняется (т. е. точки лежат на разных расстояниях от центров).

Правая часть первого уравнения системы (7.6) всегда больше нуля. Отсюда следует, что все лагранжевы точки всегда лежат в верхней полуплоскости. Кроме того, в силу симметрии задачи каждой точке $L$ соответствует парная точка $L^{\prime}$ симметричная ей относительно плоскости,

в которой лежат массивные тела и ось вращения. Поэтому ограничимся рассмотрением лишь одной полусферы $\varphi \in[0, \pi]$.

Рис. 20

На рис. 20 изображены кривые на развертке сферы, по которым движутся точки либрации при увеличении $\alpha$. Точками с одинаковыми цифрами показаны положения, соответствующие одинаковым значениям $\alpha$.

При малых значениях $\alpha$ существует одна точка либрации близкая к северному полюсу. Затем при увеличении $\alpha$ в точке 2 рождается две точки либрации, одна из которых сразу уходит на главный меридиан и сливается с эйлеровской точкой либрации, меняя при этом ее характер с седла функции $U$ на минимум. При некотором критическом значении отношения масс точка 2 пропадает, и лагранжева точка либрации рождается прямо из эйлеровской. После этого две оставшиеся лагранжевы точки либрации движутся по кривой I и при некотором критическом значении $\alpha=\alpha^{*}$ сливаются и исчезают.

На рис. 21 показаны области равных количеств точек либрации. В области IV лагранжевых точек либрации нет, а в областях I, II и III 1,3 и 2 точки соответственно.
\[
\alpha>\pi / 2 .
\]

Значениям $\alpha>\pi / 2$ на рис. 20 отвечает кривая II. При некотором критическком значении $\alpha$ в системе рождается пара лагранжевых точек либрации. Одна из которых при увеличении $\alpha$ стремится к глав-

Рис. 21

ному меридиану и сливается с центральной эйлеровской точкой ${ }^{*}$ При дальнейшем увеличении $\alpha$ оставшаяся точка либрации двигается к экватору. Таким образом в области V (рис. 21) точек либрации нет, а в областях VI и VII – две и одна соответственно.

3. Точки либрации на плоскости Лобачевского. Для плоскости Лобачевского $L^{2}$ в уравнениях (7.5) и (7.6) следует заменить тригонометрические функции гиперболическими. Анализ полученых таким образом уравнений показывает, что при всех значениях параметров существует 3 эйлеровские и 2 лагранжевы точки либрации, которые при $R \rightarrow \infty$ переходят в классические точки либрации.

Наличие кривизны пространства в данном случае приводит лишь к смещению положений точек либрации относительно их положения на плоскости. Качественное же изменение картины в случае $S^{2}$ является результатом сочетания компактности пространства и его кривизны.

4. Лагранжевы точки либрации в случае равных масс. Рассмотрим отдельно случай, когда массы «тяжелых» частиц равны. При этом, в силу дополнительной симметрии, анализ поведения точек либрации можно провести аналитически.

Случай $S^{2}$. Положив в (7.6) $m_{1}=m_{2}$ и как следствие $\left|\theta_{1}\right|=\left|\theta_{2}\right|$ получим, что $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{0}$. Таким образом, система (7.6) сводится к уравнению от одной переменной
\[
\cos \alpha_{0} \sin ^{3} \alpha_{0}=C,
\]

где $C=\sin ^{3} \alpha \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}$, константа, зависящая от $\alpha$. Функция в левой

части уравнения (7.7) имеет максимум при $\alpha_{0}=\pi / 3$ со значением $C^{*}=\frac{3 \sqrt{3}}{16}$. Таким образом существует три возможности:

1. $C(\alpha)>C^{*}$ – лагранжевы точки отсутствуют;
2. $C(\alpha)=C^{*}$ — одна лагранжева точка;
3. $C(\alpha)<C^{*}$ – две лагранжевы точки (как и выше рассматриваем одну полусферу).

Очевидно, при достаточно малых $\alpha$ выполнено третье условие, и существует две точки Лагранжа. Устремляя в уравнении (7.7) $\alpha \rightarrow 0$ $(R \rightarrow \infty)$, для двух его решений получим
\[
\alpha_{0_{1}} \rightarrow \alpha, \quad \alpha_{0_{2}} \rightarrow \pi / 2 .
\]

Рис. 22

Таким образом, одна точка в пределе становится классической точкой Лагранжа, а вторая при этом стремится к экватору. На рис. 22 показана зависимость положения точек либрации от $\alpha$. При увеличении $\alpha$ от нуля до $\alpha_{1}^{*}$ две лагранжевы точки сближаются и в конце концов сливаются.
Решая уравнение
\[
\sin ^{3} \alpha \cos ^{2} \frac{\alpha}{2}=C^{*}
\]

получим два критических значения $\alpha_{1}^{*}$ и $\alpha_{2}^{*}$. При $\alpha=\alpha_{1}^{*}=0.81487 \ldots$ точки либрации сливаются и исчезают в точке $\left(\theta^{*}=\arccos \left(\frac{\cos \alpha_{0}}{\cos \alpha_{1}^{*} / 2}\right)=\right.$ $=0.9949 \approx 57^{\circ}, \varphi^{*}=\frac{\pi}{2}$ ), а при $\alpha=\alpha_{2}^{*}=1.8457 \ldots$ в точке $\left(\theta^{* *}=\arccos \left(\frac{\cos \alpha_{0}}{\cos \alpha_{2}^{*} / 2}\right)=0.5945 \approx 34^{\circ}, \varphi^{* *}=\frac{\pi}{2}\right)$ рождается новая пара точек либрации. Как видно на рис. 22 в промежутке $\alpha \in\left(\alpha_{1}^{*}, \alpha_{2}^{*}\right)$ лагранжевых точек либрации нет. При увеличении $\alpha$ после рождения пары точек при $\alpha=\alpha_{2}^{*}$ одна из точек уходит на северный полюс и при $\alpha=\alpha_{3}^{*}=\arccos \left(\frac{1}{\sqrt{2}}-1\right)=1.8680 \ldots$ сливается с эйлеровской точкой либрации. Заметим, что уравнение (7.7) при этом имеет два корня, однако для одного корня не выполнено условие существования точки $\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}\right)$ на сфере:
\[
\left|\alpha_{2}-\alpha\right|<\alpha_{1}<\left|\arccos \left(\cos \left(\alpha_{2}+\alpha\right)\right)\right| .
\]

При дальнейшем увеличении $\alpha$ до $\pi$ оставшаяся точка либрации стремится к экватору.

Рис. 23

Случай $L^{2}$. Для пространства $L^{2}$ в случае равенства масс аналог системы (7.6) сводится к уравнению аналогичному (7.7)
\[
\operatorname{ch} \alpha_{0} \operatorname{sh}^{3} \alpha_{0}=C,
\]

где $C=\operatorname{sh}^{3} \alpha \operatorname{ch}^{2} \frac{\alpha}{2}$, — константа, зависящая от $\alpha$. Однако в отличие от сферического случая уравнение (7.9) имеет при любых $\alpha$ лишь один корень, причем это решение $\alpha_{0}(\alpha)$ всегда меньше $\alpha$. При малых $\alpha \alpha_{0} \rightarrow \alpha$,

а при больших $\alpha_{0} \rightarrow \alpha-\frac{1}{4} \ln 2$. На рис. 23 показана зависимость $\left(\alpha-\alpha_{0}\right)$ от $\alpha$.

5. Малое отклонение от случая равных масс. Проследим асимптотическое поведение точек либрации при примерно равных масcax. То есть полагаем $m_{1}=m, \quad m_{2}=m+\delta m$.

Случай $S^{2}$. Можно показать, что при указанных выше условиях смещения положений равновесия двух тел задается системой
\[
\begin{array}{l}
\theta_{1}=\frac{\alpha}{2}+\delta \theta, \\
\theta_{2}=-\frac{\alpha}{2}+\delta \theta, \\
\delta \theta=\frac{\operatorname{tg} \alpha}{4} \frac{\delta m}{m} .
\end{array}
\]

Положим $\alpha_{i}=\alpha_{0}+\delta \alpha_{i}$. Подставив эти соотношения в систему (7.6) с учетом уравнений (7.7), в первом порядке по $\frac{\delta m}{m}$ получим
\[
\begin{aligned}
\alpha_{1} & =\alpha_{0}+\delta \alpha_{0}, \\
\alpha_{2} & =\alpha_{0}-\delta \alpha_{0}, \\
\delta \alpha_{0} & =\frac{\sin ^{2} \frac{\alpha}{2} \operatorname{tg} \alpha_{0}}{6 \cos \alpha} \frac{\delta m}{m} .
\end{aligned}
\]

При $\alpha<\pi / 2$, очевидно, $\delta \alpha_{0}>0$ для любого $\alpha_{0}$, так как при равенстве масс $\alpha_{0}<\pi / 2$. Следовательно, при увеличении массы одного из тел лагранжевы точки смещаются к более массивному телу.

При $\alpha>\pi / 2-\delta \alpha_{0}<0$ и лагранжевы точки смещаются к более легкому телу.

Используем формулы перехода от координат ( $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ ) к сферическим координатам $(\theta, \varphi)$
\[
\begin{aligned}
\cos \theta & =\frac{\cos \alpha_{2} \sin \theta_{1}-\cos \alpha_{1} \sin \theta_{2}}{\sin \alpha}, \\
\sin \theta \cos \varphi & =\frac{\cos \alpha_{1} \cos \theta_{2}-\cos \alpha_{2} \cos \theta_{1}}{\sin \alpha}
\end{aligned}
\]

для того, чтобы проследить изменение кривой по которой движутся точки либрации в зависимости от соотношения масс ( $\delta \alpha_{0}$ не дает полной

картины, так как сами тела при изменении масс тоже двигаются). В первом порядке по $\frac{\delta m}{m}$ получим
\[
\begin{aligned}
\delta \theta & =0, \\
\delta \varphi & =\frac{\cos \alpha_{0} \sin \frac{\alpha}{2}}{6 \cos \alpha \sin \theta_{0}}\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha_{0}-3\right) \frac{\delta m}{m} .
\end{aligned}
\]

Как видно, при $\alpha_{0}<\pi / 3\left(\theta<\theta^{*}\right)$ и $\alpha<\pi / 2$ выполнено неравенство $\delta \varphi<0$, то есть кривая сдвигается в сторону легкого тела. При $\alpha_{0}>\pi / 3$ $\left(\theta>\theta^{*}\right), \alpha<\pi / 2$ – в сторону тяжелого тела. А при $\alpha>\pi / 2$ наоборот, с точностью до замены $\theta^{*}$ на $\theta^{* *}$, что находится в полном соответствии с приведенными ранее результатами (рис. 20).

Случай $L^{2}$. Для $L^{2}$ выполним аналогичное разложение по $\frac{\delta m}{m}$, в результате получаем выражение для $\delta \alpha_{0}$
\[
\begin{aligned}
\alpha_{1} & =\alpha_{0}+\delta \alpha_{0}, \\
\alpha_{2} & =\alpha_{0}-\delta \alpha_{0} \\
\delta \alpha_{0} & =-\frac{\operatorname{sh}^{2} \frac{\alpha}{2} \operatorname{th} \alpha_{0}}{6 \operatorname{ch} \alpha} \frac{\delta m}{m} .
\end{aligned}
\]

В данном случае $\delta \alpha_{0}<0$ уже для любых параметров, то есть точка либрации всегда будет смещаться к более легкому телу. Точно так же вычислив $\delta \theta$ и $\delta \varphi$ получим
\[
\begin{array}{c}
\delta \theta=0, \\
\delta \varphi=\frac{\operatorname{ch} \alpha_{0} \operatorname{sh} \frac{\alpha}{2}}{6 \operatorname{ch} \alpha \operatorname{sh} \theta_{0}}\left(\operatorname{tg}^{2} \alpha_{0}+3\right) \frac{\delta m}{m} .
\end{array}
\]

Как мы видим $\delta \varphi$ всегда больше нуля, то есть точки либрации на плоскости $(\theta, \varphi)$ смещаются к более тяжелому телу.

6. Области Хилла. Во вращающей системе координат для ограниченной задачи трех тел на $S^{2}$ уравнения движения допускают интеграл Якоби
\[
\frac{v^{2}}{2}+U_{*}(q)=h=\mathrm{const},
\]

где $U_{*}$ – приведенный потенциал. При фиксированном значении $h$ движение частицы происходит в области $\left\{q \in S^{2} \mid h-U_{*}(q) \geqslant 0\right\}$, которая называется областью Хилла [4].

На рисунке 24 изображена полная бифуркационная диаграмма для точек либрации на $S^{2}$. В таблице 1 приведены количества коллинеарных и неколлинеарных точек либрации в каждой из областей диаграммы 24. Приведем здесь области Хилла лишь для некоторых областей диаграммы 24 , которые представляют наибольший интерес как случаи существования устойчивых точек либрации.

На рисунках 25, 26 и 27 представлены области Хилла на $S^{2}$ при значениях параметров, соответствующих областям I, III, IV на рис. 24 соответственно. Мелкие детали диаграмм вынесены на отдельные рисунки. Точки $1-5$ на всех рисунках являются обобщением классических точек Лагранжа и Эйлера. Точки 6,7 и 10 – новые коллинеарные точки, а 8 и 9 – новые лагранжевы точки. В области I (рис. 24) точка 6 является минимумом потенциальной энергии, точки 4 и 5 – ее максимумами, а все остальные точки – седлами. При переходе границы между областями I и II рождаются еще 2 пары лагранжевых точек либрации, что однако не сказывается на устойчивости остальных точек. При переходе через границу II-III одна из вновь образовавшихся пар лагранжевых точек сливается с эйлеровской точкой и меняет ее тип на минимум эффективного потенциала. Таким образом, в области III существует две устойчивые точки 6 и 7 . Далее при переходе границы III-IV эйлеровские точки 2 и 6 сливаются и исчезают, и в области IV остается одна устойчивая эйлеровская точка либрации.

Рис. 24

Таким образом, наличие кривизны приводит к тому, что появляются новые эйлеровские точки либрации, которые при определенных параметрах, в частности областях I, III и IV (рис. 24), являются устойчивыми.

Замечание 2. Для плоскости Лобачевского $L^{2}$, пользуясь аналогом однородного поля, приведенного в $\S 5$, можно получить уравнения Хилла в $L^{2}[4]$.

7. Частные решения неограниченной задачи $n$ тел. Для евклидова пространства в задаче $n$ тел, при произвольных массах, существуют конфигурации, которые равномерно вращаются без изменения расстояний между телами. В частности, при равных массах на плоскости $\mathbb{R}^{2}$ положениями относительного равновесия являются пра-

вильные многоугольники. Аналогичные конфигурации существуют и в искривленных пространствах.

В отличие от $E^{3}$ и $L^{3}$ топология $S^{3}$ обуславливает существование статических конфигураций в задаче $n$ тел. На двумерной сфере такие конфигурации для равных масс задаются вершинами правильных многогранников (платоновы тела). Вследствие существования антиподального центра разрешены не все платоновы тела, а только тетраэдр и додекаэдр. «Пространственные» равновесные конфигурации для равных масс связаны с классификацией правильных многогранников. Она бы-

ла получена Шлефли в 1850 г. (для $n$-мерного случая) и содержится в книге [47].

Вопрос об устойчивости указанных положений равновесия может быть решен с помощью обобщения теоремы Ирншоу на $S^{3}, L^{3}$. (Tеорема Ирншоу для евклидова пространства утверждает, что всякая равновесная конфигурация зарядов с кулоновским взаимодействием является неустойчивой.) Ее обобщение несложно извлечь из рассуждений работы [85], в которой даже доказано более сильное утверждение о неустойчивости для систем с гармоническим потенциалом. Для трехмерной сферы $S^{3}$ вывод о неустойчивости является в некотором смысле неожиданным, так как в силу компактности она обеспечивает финитность всех траекторий.

Заметим также, что существование равновесных (хотя и неустойчивых) конфигураций делает осмысленной постановку задачи $n$ центров на $S^{3}$ (движение «легкой» частицы в поле $n$ неподвижных ньютоновских центров – при $n=2$ см. $\S 3$ гл. 3 ), в отличие от небесной механики в плоском пространстве, где, вообще говоря, такая физическая модель малосодержательна. В общем необходимо отметить, что компактность трехмерной сферы обуславливает многие неожиданные эффекты, отсутствующие в евклидовом пространстве и пространстве Лобачевского, которое, в некотором смысле, ближе к евклидову пространству.

В этой книге мы не будем подробно останавливаться на изучении частных решений задачи $n$ тел для $S^{3}$ и $L^{3}$. Заметим, что даже для евклидовой небесной механики отыскание всех относительных равновесий (центральных конфигураций [4]) является пока нерешенной алгебраической задачей.

В случае $n=3$ для $S^{3}$ и $L^{3}$ существуют «коллинеарные» (эйлеровы) и «треугольные» (лагранжевы) частные решения. Как было показано в этом параграфе для ограниченной задачи трех тел на $S^{3}$ при малых кривизнах существуют три различные «коллинеарные» конфигурации. Эти решения остаются также в неограниченной задаче при малой массе одной из частиц, поэтому для $S^{3}$ не справедлива теорема Мультона [4], которая в случае евклидова пространства утверждает, что для любой нумерации масс точек существет единственная коллинеарная конфигурация, в которой точки в заданном порядке расположены на одной прямой – таких конфигураций $n ! / 2$.

Лагранжевы решения при неравных массах точек уже не будут образовывать (вращающийся) равносторонний треугольник.В случае рав-

ных масс легко показать, что для допустимых $n(n>2)$ существуют конфигурации, представляющие собой правильные многоугольники, равномерно вращающиеся относительно оси, перпендикулярной их плоскости. При этом угловая скорость вращения в зависимости от широты $\theta$ вычисляется по формуле (для $S^{3}$ )
\[
\omega^{2}=\frac{1}{R^{2}} \frac{\gamma m}{\sin 2 \theta \sin ^{2} \theta \sin ^{2} \frac{\pi}{n}\left(1-\sin ^{2} \theta \sin ^{2} \frac{\pi}{n}\right)} .
\]

Таким образом, угловая скорость стремится к бесконечности на полюсах и экваторе. Однако на экваторе существуют равновесные конфигурации – равносторонние правильные многоугольники, вращающиеся с произвольной угловой скоростью. Эти решения не могут быть получены предельным переходом в формуле (7.15) (они появляются вследствие того, что $S^{1}$ инвариантное многообразие на $S^{3}$, отсутсвующее на $L^{3}$ ). В гл. 4 будут указаны стационарные и статические конфигурации систем вихревой динамики. Они имеют много общего с соответствующими конфигурациями в задаче $n$ тел.