Изоморфизмы вполне интегрируемых систем в динамике хорошо известны. Многие из них были обнаружены еще классиками (В.А.Стеклов [320], Г.Минковский [291]). Другие неожиданные изоморфизмы найдены недавно. Например, в [247] указано дробно-рациональное преобразование, связывающее уравнения задачи Ковалевской и задачи Клебша, а в [194] найден аналогичный изоморфизм волчка Горячева-Чаплыгина и трехчастичной цепочки Тоды. Результаты последних работ основаны на глубоких свойствах алгебраически вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Еще одна аналогия, относящаяся к задаче трех вихрей и системе Лотки-Вольтерра, указана в работе [34] и в гл. 4.

В этом параграфе для нахождения аналогии между различными интегрируемыми задачами используется гамильтонова форма уравнений движения со скобкой Пуассона, определяемой некоторой алгеброй Ли (скобка Ли-Пуассона) или нелинейным структурным тензором.

1. Изоморфизм между обобщенным случаем Ковалевской и случаем Чаплыгина для уравнений Кирхгофа. Как было показано в предыдущем параграфе, (при совпадении двух главных моментов инерции) общие кватернионные уравнения (2.9) с потенциалом (4.1) допускают циклический интеграл (5.4) и могут быть редуцированы к гамильтоновой системе на нелинейной алгебре (5.10) с функцией Гамильтона
\[
\left.H=\frac{1}{2}\left(K_{1}^{2}+K_{2}^{2}+a K_{3}^{2}\right)+\frac{1}{2}\left(c_{1} s_{1}^{2}+c_{2} s_{2}^{2}\right)\right) .
\]

При этом уравнения движения имеют вид (5.11) и во многом аналогичны уравнениям Кирхгофа, описывающим движение твердого тела в безграничном объеме идеальной несжимаемой жидкости.

При условиях типа Ковалевской (см. §4): $a=2$, и силовые центры всего двух взаимно перпендикулярных силовых полей лежат на равных расстояниях до точки закрепления ( $U=c\left(\alpha_{1}+\beta_{2}\right)$ ) дополнительный интеграл был найден в работе [171]. В этом случае гамильтониан можно записать в форме
\[
H=\frac{1}{2}\left(K_{1}^{2}+K_{2}^{2}+2 K_{3}^{2}\right)+\frac{c}{2}\left(s_{2}^{2}-s_{1}^{2}\right),
\]

а дополнительный интеграл дается выражением
\[
K=\left(K_{1}^{2}-K_{2}^{2}-c s_{3}^{2}\right)^{2}+4 K_{1}^{2} K_{2}^{2} .
\]

В [171] указана также возможность добавления в систему гиростата, ось которого совпадает с осью симметрии тела.

При $F_{2}=0$ интегрируемый случай (6.1),(6.2) переходит в интегрируемый случай Чаплыгина для уравнений Кирхгофа [163]. Интересно также заметить, что если добавить к уравнениям Кирхгофа на $e(3)$ дополнительный член (см. (5.11)), то частный случай интегрируемости Чаплыгина становится общим случаем интегрируемости, но не на алгебре $e(3)$, а на нелинейной алгебре определяемой скобкой (5.10).

Замечание 1. Указанная аналогия сохранится при добавлении в (6.1) гиростатического параметра [171].

Замечание 2. Можно показать, что аналогично частному случаю интегрируемости Чаплыгина можно «поднять» на ненулевую константу площадей и частный случай Горячева-Чаплыгина для уравнений Эйлера-Пуассона, если вместо алгебры е(3) рассматривать алгебру (5.10). Действительно, для уравнений (5.11) и гамильтониана
\[
H=\frac{1}{2}\left(K_{1}^{2}+K_{2}^{2}+4 K_{3}^{2}\right)+a s_{1},
\]

при любых $F_{1}, F_{2}$ существует дополнительный интеграл
\[
G=K_{3}\left(K_{1}^{2}+K_{2}^{2}\right)-a K_{1} s_{3} .
\]

Однако потенциалу $U=a s_{1}$ трудно дать естественную механическую интерпретацию.

ЗамЕчаниЕ 3. Интересно, что для уравнений (5.11) классический случай Ковалевской с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}\left(K_{1}^{2}+K_{2}^{2}+2 K_{3}^{2}\right)+s_{1}
\]

и интегралом
\[
K=\left(\frac{K_{1}^{2}}{2}-\frac{K_{2}^{2}}{2}-s_{1}\right)^{2}+\left(K_{1} K_{2}-s_{1}\right)^{2}
\]

становится лишь случаем частной интегрируемости при $F_{2}=0$.
Замечание 4. Можно указать еще одну связь между обобщенным случаем Ковалевской при движении (в трех силовых полях, §4) и случаем Чаплыгина (для уравнений Кирхгофа на $e(3)$ ). Случай Ковалевской представляет собой случай частной интегрируемости уравнений Кирхгофа на $e(4)$ на сингулярной орбите $W^{2}=0$, а случай Чаплыгина является частным случаем интегрируемости уравнений Кирхгофа на $e(3)$ на орбите $(\gamma, \gamma)=1,(\mathbf{M}, \gamma)=0$.
ЗамечаниЕ 5. Спустя пятнадцать лет после открытия Чаплыгиным случая частной интегрируемости в уравнениях Кирхгофа, Д. Н. Горячевым было найдено новое обобщение случая частной интегрируемости $((\mathbf{M}, \gamma)=0$ ) при условиях Ковалевской [54]. Он исходит из решения обратной задачи динамики и странным образом не ссылается на Чаплыгина. Полученный им общий гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+2 M_{3}^{2}\right)+\frac{a}{\gamma_{3}^{2}}+2 b_{1} \gamma_{1} \gamma_{2}+b_{2}\left(\gamma_{2}^{2}-\gamma_{1}^{2}\right)+c_{1} \gamma_{1}+c_{2} \gamma_{2},
\]

отличается от случая Чаплыгина [163] дополнительным сингулярным слагаемым $\frac{a}{\gamma_{3}^{2}}$. Объяснение его алгебраической природы дают преобразования (5.14) алгебры (5.10) на нулевую орбиту $e(3)$. Вследствие того, что случай

Чаплыгина на (5.10) является случаем общей интегрируемости, в гамильтониане на $e(3)$ появляются дополнительные параметры, соответствующие симплектическим листам исходной скобки. Однако (5.16) содержит наряду со слагаемым $\frac{a}{\gamma_{3}^{2}}$ также гиростатические добавки, которых нет в (6.5).

По-видимому, частная интегрируемость для (6.5) сохранится при добавлении постоянного гироскопического момента с вектором $\mathrm{K}=(0,0, K)$. В случае $K=a$ ( $a$ – константа из (6.5)) это выполняется вследствие уравнения (5.18).

При алгебраических преобразованиях (5.18) в гамильтониане также появляются дополнительные слагаемые, аналогичные (6.5):
\[
H^{\prime}=H+\frac{C^{2}+2 C C^{\prime}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}-\frac{2 C \gamma_{3}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}} M_{3}
\]

где $C=\mathrm{const}, C^{\prime}=(\mathrm{M}, \gamma)$. Наличие двух постоянных $C, C^{\prime}$ указывает на сохранение интегрируемости (в том числе общей) при добавлении непостоянного гиростатического момента $\mathbf{K}=\left(0,0, \alpha \frac{\gamma_{3}}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}\right)$, или потенциала $\frac{\beta}{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}$.

Аналогичное объяснение получают гиростатический и сингулярные члены в обобщении случая интегрируемости Горячева-Чаплыгина (для уравнений Эйлера – Пуассона), найденные Сретенским [150] и Горячевым [53].

Яхьей в [337] указан также интегрируемый (при условии $(\mathbf{M}, \gamma)=0$ ) потенциал для волчка Ковалевской вида
\[
U=c_{1} \gamma_{1}+c_{2} \gamma_{2}+\frac{a}{\sqrt{1-\gamma_{3}^{2}}} .
\]

Преобразования вида $\omega \rightarrow \omega+f(\omega, \gamma) \gamma$, также предложенные Яхьей в [337], в общем случае не сохраняют гамильтоновость. Получающиеся в этом случае уравнения и соответствующие случаи интегрируемости не приводят к новым случаям интегрируемости уравнений Эйлера-Пуассона.

2. Задача Якоби на трехмерном эллипсоиде и система Клебша-Переломова. Рассмотрим трехмерный эллипсоид в $\mathbb{R}^{4}$, заданный уравнением: $\sum_{\mu=0}^{3} \frac{x_{\mu}^{2}}{a_{\mu}^{2}}=1$. В координатах $q_{\mu}=\frac{x_{\mu}}{a_{\mu}}$ эллипсоид приводится к сфере $S^{3}: \sum_{\mu=0}^{3} q_{\mu}^{2}=1$. Лагранжиан движения материальной точки по эллипсоиду в потенциальном поле $U(q)$ можно записать в

виде:
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{\mu=0}^{3} a_{\mu}^{2} \dot{q}_{\mu}^{2}-U(q) .
\]

Вводя избыточные канонические импульсы по формулам $p_{\mu}=$ $=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{\mu}}-\Lambda q_{\mu}[4]$, после преобразования Лежандра получим функцию Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2} \frac{(\mathbf{B} p, \mathbf{B} p)(\mathbf{B} q, \mathbf{B} q)-(\mathbf{B} p, \mathbf{B} q)^{2}}{(\mathbf{B} q, \mathbf{B} q)^{2}}+U(q),
\]

где $\mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(a_{0}^{-1}, a_{1}^{-1}, a_{2}^{-1}, a_{3}^{-1}\right)=\operatorname{diag}\left(b_{0}, b_{1}, b_{2}, b_{3}\right)$.
Введем новые, более избыточные, компоненты обобщенных импульсов (моментов импульсов)
\[
\begin{array}{l}
\pi=q_{0} \mathbf{p}-p_{0} \mathbf{q}, \\
\mathbf{L}=\mathbf{q} \times \mathbf{p} .
\end{array}
\]

Как несложно видеть, между $\pi, \mathbf{L}, \mathbf{q}, q_{0}$ справедливы коммутационные соотношения алгебры $e(4)$ и инвариантные соотношения (2.11) (необходимо положить $\lambda=\mathbf{q}, \lambda_{0}=q_{0}$ ).
Если воспользоваться формулой
\[
(\mathbf{B} p, \mathbf{B} p)(\mathbf{B} q, \mathbf{B} q)-(\mathbf{B} p, \mathbf{B} q)^{2}=\widehat{\pi}^{2}+\widehat{\mathbf{L}}^{2},
\]

где
\[
\widehat{\pi}=b_{0} \mathbf{B} \pi, \quad \widehat{\mathbf{L}}=\mathbf{B q} \times \mathbf{B} \mathbf{p},
\]

то легко показать, что
\[
H=\frac{1}{2} \frac{b_{0}^{2} b_{1}^{2} \pi_{1}^{2}+b_{0}^{2} b_{2}^{2} \pi_{2}^{2}+b_{0}^{2} b_{3}^{2} \pi_{3}^{2}+b_{2}^{2} b_{3}^{2} L_{1}^{2}+b_{1}^{2} b_{3}^{2} L_{2}^{2}+b_{1}^{2} b_{2}^{2} L_{3}^{2}}{(\mathbf{B} q, \mathbf{B} q)^{2}}+U(q) .
\]

В случае сферы $a_{\mu}=1, \mu=0, \ldots, 3$ получим
\[
H=\frac{1}{2}\left(\pi^{2}+\mathbf{L}^{2}\right)+U(q) .
\]

На сингулярной орбите, задаваемой инвариантными соотношениями (2.11), выполняется равенство $\pi^{2}+\mathbf{L}^{2}=4 \mathbf{M}^{2}$, которое позволяет записать уравнения движения частицы на подалгебре (2.7) в виде (2.9) с гамильтонианом
\[
H=2 \mathbf{M}^{2}+U(q) .
\]

Таким образом, задача о движении точки по трехмерной сфере с потенциалом $U(q)$ является частным случаем движения в том же потенциале $U(q)=U(\lambda)$ (физическое происхождение которого может быть иным) твердого тела вокруг неподвижной точки с шаровым тензором инерции $[17,81]$.
Докажем, следуя [32]

Предложение 1. Гамильтонова система (6.10) при $U(q) \equiv 0$ (задача $Я_{\text {коби }}$ на трехмерном эллипсоиде [120]) на многообразии постоянной энергии $H=1$ траекторно эквивалентна системе с гамильтонианом
\[
\begin{aligned}
H^{\prime}= & \frac{1}{2}\left(b_{0}^{2} b_{1}^{2} \pi_{1}^{2}+b_{0}^{2} b_{2}^{2} \pi_{2}^{2}+b_{0}^{2} b_{3}^{2} \pi_{3}^{2}+b_{2}^{2} b_{3}^{2} L_{1}^{2}+\right. \\
& \left.+b_{1}^{2} b_{3}^{2} L_{2}^{2}+b_{1}^{2} b_{2}^{2} L_{3}^{2}\right)-(\mathbf{B} q, \mathbf{B} q)
\end{aligned}
\]

при нулевой постоянной энергии $H^{\prime}=0$.
Доказательство.
Представим гамильтонианы $(6.11),(6.13)$ в виде
\[
H=\frac{F(\pi, \mathbf{L})}{G(q)} \quad H^{\prime}=F(\pi, \mathbf{L})-G(q) .
\]

Пользуясь коммутационными соотношениями алгебры $e(4)$ запишем уравнения движения обеих систем
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{L}} & =\frac{1}{G}\left(\frac{\partial F}{\partial \mathbf{L}} \times \mathbf{L}+\frac{\partial F}{\partial \pi} \times \pi\right)-\frac{F}{G^{2}} \frac{\partial G}{\partial \mathbf{q}} \times \mathbf{q}, \\
\dot{\pi} & =\frac{1}{G}\left(\frac{\partial F}{\partial \mathbf{L}} \times \pi+\frac{\partial F}{\partial \pi} \times \mathbf{L}\right)-\frac{F}{G^{2}}\left(\frac{\partial G}{\partial q_{0}} \mathbf{q}-\frac{\partial G}{\partial \mathbf{q}} q_{0}\right), \\
\dot{q}_{0} & =-\frac{1}{G}\left(\mathbf{q}, \frac{\partial F}{\partial \pi}\right), \quad \dot{\mathbf{q}}=\frac{1}{G}\left(\frac{\partial F}{\partial \mathbf{L}} \times \mathbf{q}+q_{0} \frac{\partial F}{\partial \pi}\right),
\end{aligned}
\]

и
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{L}} & =\frac{\partial F}{\partial \mathbf{L}} \times \mathbf{L}+\frac{\partial F}{\partial \pi} \times \pi-\frac{\partial G}{\partial \mathbf{q}} \times \mathbf{q}, \\
\dot{\pi} & =\frac{\partial F}{\partial \mathbf{L}} \times \pi+\frac{\partial F}{\partial \pi} \times \mathbf{L}-\frac{\partial G}{\partial q_{0}} \mathbf{q}+\frac{\partial G}{\partial \mathbf{q}} q_{0}, \\
\dot{q}_{0} & =-\left(\mathbf{q}, \frac{\partial F}{\partial \pi}\right), \quad \dot{\mathbf{q}}=\frac{\partial F}{\partial \mathbf{L}} \times \mathbf{q}+q_{0} \frac{\partial F}{\partial \pi} .
\end{aligned}
\]

Произведя замену времени $d \tau=\frac{1}{G} d t$ и учитывая, что на выбранном уровне $H=1$ справедливо уравнение $F=G$, из первой системы получим вторую.

Распространим аналогию, замеченную в $[78,291]$ для двумерного эллипсоида и случая Клебша уравнений Кирхгофа на $e(3)$ на случай трехмерного эллипсоида. В работе Переломова [135] приведено обобщение случая Клебша для произвольной алгебры $e(n)$. Для гамильтониана
\[
H=\frac{1}{2} \sum_{i, j} a_{i j} M_{i j}^{2}+\sum_{j} c_{j} p_{j}^{2},
\]

где $M_{i j}$ генераторы $s o(n)$, а $p_{j}$ генераторы $\mathbb{R}^{n}$ в стандартном представлении, аналог условий Клебша имеет вид (при $j
eq k, k
eq m,
eq j$ )
\[
a_{j k}^{-1}\left(c_{j}-c_{k}\right)+a_{k m}^{-1}\left(c_{k}-c_{m}\right)+a_{m j}^{-1}\left(c_{m}-c_{j}\right)=0 .
\]

Несложно проверить, что гамильтониан (6.13) удовлетворяет условиям Клебша (6.14). Таким образом, геодезический поток на трехмерном эллипсоиде на каждом уровне энергии является траекторно эквивалентным гамильтоновой системе (6.13) на нулевом уровне энергии.
Замечание 6. В [21] указано, что если геодезический поток имеет частный интеграл $f(\mathbf{x}, \mathbf{p})$ при одном из значений энергии, то он имеет и полный интеграл, который равен
\[
F(\mathbf{x}, \mathbf{p})=f\left(\mathbf{x}, \frac{\mathbf{p}}{|\mathbf{p}|}\right),
\]

где $|\mathbf{p}|=\sqrt{g^{i j} p_{i} p_{j}}$ и гамильтониан $H=g^{i j}(\mathbf{x}) p_{i} p_{j}$.

Замечание 7. Задача Неймана на $S^{3}$, которая описывается гамильтонианом (6.11) с произвольным квадратичным потенциалом $U=\sum c_{i} q_{i}^{2}$, задает

поток, трансверсальный потоку случая Клебша (при $a_{i j}
eq a_{k l}$ ). Траекторную эквивалентность этих потоков можно установить, используя теорему Кноррера об изоморфизме задачи Неймана и Якоби [266] и ее обобщения, полученного А. І. Веселовым [332]. Изоморфизм задается гауссовой проекцией эллипсоида, при которой геодезические переходят в траектории задачи Неймана (см. также [23]).

Замечание 8. Записав гамильтониан задачи Якоби для двумерного эллипсоида в переменных алгебры $e(3) \mathbf{M}, \gamma$, получим интегрируемую систему на алгебре e(3) при произвольных значениях постояной площадей $(\mathbf{M}, \gamma)=c$ (поднятие задачи Якоби с сингулярной орбиты на всю $e(3)$ ).

Замечание 9. Аналогичные результаты о траекторном изоморфизме справедливы для $n$-мерной задачи Якоби и многомерной системы КлебшаПереломова [135] (уравнения Кирхгофа на $e(n)$ ). То, что на $e(n)$ существуют сингулярные орбиты коприсоединенного представления, гомеоморфные $T^{*} S^{n-1}$, является хорошо известным фактом (см. приложение 4).

3. Аналогия между волчком Лагранжа и системой Леггетта. Рассмотрим систему Леггетта (5.21) без магнитного поля $[239,283,129]$; этом случае гамильтониан в кватернионных переменных $\mathbf{M}, \lambda, \lambda_{0}$ можно записать в виде:
\[
H=\frac{1}{2} \mathbf{M}^{2}+U\left(\lambda_{0}\right) .
\]

Сравнивая с (6.12), нетрудно заметить, что задача Леггетта эквивалентна задаче о движении материальной точки по $S^{3}$. В силу того, что потенциал $U$ зависит лишь от $\lambda_{0}$, можно считать, что материальная точка движется в поле неподвижного центра, помещенного в северный (южный) полюс, а сила взаимодействия зависит лишь от расстояния до него (аналог задачи о движении в центральном поле для $\mathbb{R}^{3}$ ). Как и в плоском случае сохраняется вектор кинетического момента частицы:
\[
\mathbf{L}=\frac{1}{2}(\mathbf{N}-\mathbf{M})=\text { const },
\]

где $\mathbf{N}=\lambda \mathbf{M} \lambda^{-1}$.
Однако интегралы (6.16) не инволютивны, из них можно составить только два интеграла, находящихся в инволюции, например: $L_{3}, L^{2}$.

Так как интеграл $L_{3}=(\mathbf{M}, \gamma)-M_{3}$ совпадает с (5.4), выполнив с помощью него редукцию, мы можем записать систему (6.15) на алгебре (5.10), понизив при этом ранг скобки Пуассона. Поскольку интеграл $L^{2}$ находится в инволюции с $L_{3}$, его также можно записать в

переменных алгебры (5.10):
\[
\begin{aligned}
L^{2}= & 2\left(K_{1}^{2}\left(1-s_{1}^{2}+s_{2}^{2}+s_{3}^{2}\right)+\right. \\
& \left.+K_{2}^{2}\left(1-s_{1}^{2}+s_{2}^{2}-s_{3}^{2}\right)+K_{3}^{2}\left(1+s_{1}^{2}+s_{2}^{2}-s_{3}^{2}\right)\right) .
\end{aligned}
\]

Выбрав интегралы потока, порожденного (6.17), снова можем понизить ранг скобки (5.10) еще на две единицы. (В силу того, что интеграл (6.17) нелинеен по импульсам, уравнения, связанные с конфигурационными переменными, не отделяются.)

Эту же процедуру можно провести непосредственно (см. §8 гл. 1), если выбрать совместные интегралы потоков, порожденных гамильтонианами (6.16). Поскольку из трех функций (6.16) можно составить лишь две инволютивные, ранг скобки (2.7) упадет на четыре единицы (вместо шести). Можно проверить, что с $L_{i}$ коммутируют величины
\[
\begin{array}{c}
p_{1}=\sqrt{(\mathbf{M} \times \lambda)^{2}} / \sqrt{\lambda^{2}}, \quad p_{2}=(\mathbf{M}, \lambda) / \sqrt{\lambda^{2}}, \\
\sigma_{1}=\sqrt{\lambda^{2}}, \quad \sigma_{2}=\lambda_{0}, \quad \lambda^{2}=\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2} .
\end{array}
\]

Они образуют нелинейную алгебру:
\[
\begin{array}{ll}
\left\{p_{2}, p_{1}\right\}=p_{1} \sigma_{2} / 2 \sigma_{1}, & \left\{p_{2}, \sigma_{1}\right\}=-\sigma_{2} / 2, \\
\left\{p_{2}, \sigma_{2}\right\}=\sigma_{1} / 2, & \left\{p_{1}, \sigma_{1}\right\}=\left\{p_{1}, \sigma_{2}\right\}=0
\end{array}
\]

с функциями Казимира $F_{1}=\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}=1, F_{2}=p_{1} \sigma_{1}=$ const.
Ранг скобки (6.18) равен двум, и поэтому любая система на этой алгебре интегрируема. Гамильтониан (6.15), записанный в новых переменных, приобретает вид
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{1}^{2}+p_{2}^{2}\right)+U\left(\sigma_{2}\right) .
\]

Следовательно система Леггетта без магнитного поля может быть записана на алгебре (6.18).

Обобщенный (имеется в виду наличие произвольного потенциала $U\left(\gamma_{3}\right)$ ) волчок Лагранжа на алгебре $e(3)$ имеет гамильтониан
\[
H=\frac{1}{2}\left(M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+a M_{3}^{2}\right)+U\left(\gamma_{3}\right) .
\]

Система (6.20) допускает два инволютивных интеграла
\[
F_{1}=M_{3}, \quad F_{2}=(\mathbf{M}, \gamma) .
\]

Это позволяет записать уравнения движения на алгебре, составленной из совместных интегралов потоков, порожденных интегралами $F_{1}, F_{2}$ :
\[
\begin{array}{c}
p_{1}=\frac{M_{1} \gamma_{1}+M_{2} \gamma_{2}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}}, \quad p_{2}=\frac{M_{2} \gamma_{1}-M_{1} \gamma_{2}}{\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}}, \quad p_{3}=M_{3}, \\
\sigma_{1}=\sqrt{\gamma_{1}^{2}+\gamma_{2}^{2}}, \quad \sigma_{2}=\gamma_{3} .
\end{array}
\]

Коммутационные соотношения для них имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\left\{p_{2}, p_{1}\right\}=-p_{3}+p_{1} \sigma_{2} / \sigma_{1}, \quad\left\{p_{2}, p_{3}\right\}=\left\{p_{1}, p_{3}\right\}=0, \\
\left\{p_{2}, \sigma_{1}\right\}=-\sigma_{2}, \quad\left\{p_{2}, \sigma_{2}\right\}=\sigma_{1}, \\
\left\{p_{1}, \sigma_{1}\right\}=\left\{p_{1}, \sigma_{2}\right\}=\left\{p_{3}, \sigma_{1}\right\}=\left\{p_{3}, \sigma_{2}\right\}=0 .
\end{array}
\]

Функции Казимира алгебры (6.21):
\[
F_{1}=\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}=1, \quad F_{2}=p_{1} \sigma_{1}+p_{3} \sigma_{2}, \quad F_{3}=p_{3} .
\]

Ранг скобки (6.21) равен двум.
Если положить $p_{3}=0$ (то есть зафиксировать однопараметрическое семейство симплектических листов), то величины $p_{1}, p_{2}, \sigma_{1}, \sigma_{2}$ образуют четырехмерную подалгебру, изоморфную (6.18). При этом гамильтониан (6.20) совпадает с (6.19).

Это означает, что систему Леггетта без магнитного поля можно рассматривать как частный случай «обобщенного» волчка Лагранжа на нулевой константе интеграла Лагранжа $M_{3}=p_{3}=0$.

Замечание 10. При ином выборе образующих в алгебрах (6.18) получаются однородные квадратичные алгебры ранга два.
Замечание 11. Можно также установить аналогию волчка Лагранжа с системой Леггетта, пользуясь образующими вида
\[
s_{1}=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}, s_{2}=\gamma_{3}, s_{3}=\left\{s_{1}, s_{2}\right\}
\]

I
\[
s_{1}=M_{1}^{2}+M_{2}^{2}+M_{3}^{2}, s_{2}=\lambda_{0}, s_{3}=\left\{s_{1}, s_{2}\right\}
\]

соответственно. При этом получается неоднородная квадратичная алгебра Якоби [55].
Замечание 12. В рассмотренном приведенном фазовом пространстве волчок Лагранжа и интегрируемая система Леггетта являются тригамильтоновыми системами в силу теоремы $4 \S 5$ гл. 1 .