Рассмотрим еще один, более сложный пример, когда уравнения движения можно записать в виде уравнений Гамильтона на алгебpe $e(3)$. Речь идет о движении всюду выпуклого твердого тела (а также тела, касающегося плоскости во время движения одной своей фиксированной точкой – острым концом) по гладкой горизонтальной плоскости (без трения). При этом тело скользит по плоскости одной своей точкой, а реакция плоскости ей перпендикулярна. Если предполагать, что такая система находится в осесимметричном потенциальном поле

сил, то можно показать [116], что уравнения движения записываются в каноническом гамильтоновом виде (например, взять за канонические координаты углы Эйлера и соответствующие им импульсы). Здесь мы приведем уравнения движения в квазикоординатах: проекциях кинетического момента $\mathbf{M}=\left(M_{1}, M_{2}, M_{3}\right)$ и единичного орта оси симметрии $\gamma=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \gamma_{3}\right)$ на оси связанной с телом системы координат. Предполагается, что орт $\gamma$ перпендикулярен горизонтальной плоскости, а потенциал имеет вид $V=V(\gamma)$.

Функция Лагранжа рассматриваемой системы в переменных Эйлера-Пуассона $(\boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\gamma})$ имеет вид [116]:
\[
L=\frac{1}{2}(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega})+\frac{1}{2} m \dot{f}^{2}-m g f,
\]

где $f$ обозначает расстояние от центра масс до горизонтальной плоскости. В виде (11.1) лагранжиан задачи можно представить в инерциальной системе координат, для которой центр масс не имеет горизонтального (равномерного и прямолинейного) движения. Существование такой системы обусловлено сохранением проекции импульса системы на горизонтальную плоскость. Если через r обозначить вектор, связывающий центр масс с точкой контакта (в проекциях на связанную с телом систему координат), то можно записать очевидные геометрические соотношения:
\[
f=(\mathbf{r}, \gamma), \quad \gamma=-\frac{\operatorname{grad} F(\mathbf{r})}{|\operatorname{grad} F(\mathbf{r})|},
\]

где через $F(\mathbf{r})=0$ обозначено уравнение, задающее поверхность. Если тело является всюду выпуклым, то второе соотношение в (11.2) однозначно разрешимо и позволяет найти $\mathbf{r}=\mathbf{r}(\gamma)$. Например, для эллипсоида, уравнение которого $F(\mathbf{r})=\sum x_{i}^{2} / \rho_{i}^{2}-1=0$, можно получить
\[
x_{i}=\frac{\rho_{i}^{2} \gamma_{i}}{f}, \quad f=\sqrt{\sum \rho_{i}^{2} \gamma_{i}^{2}}, \quad\left(\mathbf{r}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)\right) .
\]

Из кинематических соотношений легко показать, что
\[
\dot{f}=(\mathbf{r}, \boldsymbol{\gamma} \times \boldsymbol{\omega})=(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{r} \times \gamma)=(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{a}), \quad \mathbf{a}=\mathbf{r} \times \gamma .
\]

Уравнения движения с лагранжианом (11.1) имеют вид уравнений Пуанкаре на группе $S O(3)$
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}} \times \boldsymbol{\omega}+\frac{\partial L}{\partial \gamma} \times \gamma, \quad \dot{\gamma}=\gamma \times \boldsymbol{\omega} .
\]

Произведем преобразование Лежандра в квазиимпульсах
\[
\mathbf{M}=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}=\frac{\partial}{\partial \boldsymbol{\omega}}\left(\frac{1}{2}(\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}, \boldsymbol{\omega})+\frac{1}{2} m(\boldsymbol{\omega}, \mathbf{a})^{2}\right)=\mathbf{I} \boldsymbol{\omega}+m \mathbf{a}(\mathbf{a}, \boldsymbol{\omega})
\]

и, составляя функцию Гамильтона
\[
H=\left(\frac{\partial L}{\partial \omega}, \omega\right)-\left.L\right|_{\omega \rightarrow \mathrm{M}},
\]

получим выражение
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2}(\mathbf{I} \mathbf{A M}, \mathbf{A M})+\frac{1}{2} m(\mathbf{a}, \mathbf{A M})^{2}+m g(\mathbf{r}, \boldsymbol{\gamma}), \\
\mathbf{A}=(\mathbf{I}+m \mathbf{a} \otimes \mathbf{a})^{-1} .
\end{array}
\]

Уравнения движения твердого тела имеют вид (1.5) (§1), а скобка Пуассона определяется коммутационными соотношениями алгебры $e(3)$. Поэтому для интегрирования системы недостает еще одного дополнительного интеграла.

Тривиальным случаем интегрируемости является аналог случая Лагранжа. При этом $I_{1}=I_{2}, \mathbf{r}=(0,0, z)$, а само тело имеет осевую симметрию. Если тело является шаром, то гамильтониан (11.6) совпадает с гамильтонианом уравнений Эйлера-Пуассона, для которых имеются известные случаи интегрируемости. Необходимые условия интегрируемости, в случае, если тело ограничено трехосным эллипсоидом, были получены в работе [38]. Однако, как показал численный эксперимент, эти условия не являются достаточными и не обеспечивают существования дополнительного интеграла.

В работе [122] указана некоторая аналогия, родственная [78], которая существует между системой (11.6) на нулевом уровне интеграла площадей при $\mathbf{I}=\mathbf{E}$ и уравнениями движения точки по некоторой поверхности в определенном силовом поле. Однако, эта аналогия ( в отличие от [78]) связывает две неинтегрируемые задачи и поэтому является малосодержательной. Интересно было бы исследовать интегрируемость уравнений (1.5) с гамильтонианом (11.6) в случае отсутствия силового поля $\mathbf{g}=\mathbf{0}$.

Отметим, что такая простая форма записи уравнений скольжения твердого тела по плоскости уже невозможна для более сложной поверхности (например, сферы). Для плоскости это обстоятельство обусловлено сохранением проекций импульса системы на горизонтальную

плоскость и существованием соответствующих нетеровских интегралов. Интегрируемость уравнений движения скользящего твердого тела по сфере изучена в работе [259].