1. Приведение к трем взаимоортогональным полям. Рассмотрим твердое тело с неподвижной точкой, на которое действует несколько однородных силовых полей различной природы (например, электростатическое и гравитационное). В этом случае потенциальная энергия может быть представлена в форме
\[
U=\sum_{i}\left(\mathbf{F}_{i}, \mathbf{r}_{i}\right),
\]

где $\mathbf{F}_{i}$ – вектор суммарной силы, действующий на тело со стороны $i$-того поля с постоянными компонентами в неподвижной системе координат), $\mathbf{r}_{i}$ – радиус-вектор точки приложения поля с компонентами, постоянными в системе отсчета, связанной с телом).
Разложим вектор $\mathbf{F}_{i}$ по ортам неподвижного базиса $\alpha, \beta, \gamma$
\[
\mathbf{F}_{i}=F_{i \alpha} \alpha+F_{i \beta} \beta+F_{i \gamma} \gamma,
\]

при этом коэффициенты $F_{i \alpha}, F_{i \beta}, F_{i \gamma}$ являются константами. Подставив в (3.1) и приведя подобные, получим для потенциальной энергии (3.1) выражение
\[
U=\left(\mathbf{r}_{1}, \alpha\right)+\left(\mathbf{r}_{2}, \beta\right)+\left(\mathbf{r}_{3}, \gamma\right),
\]

где $\mathbf{r}_{1}, \mathbf{r}_{2}, \mathbf{r}_{3}$ – некоторые постоянные векторы в жестко связанной с телом системе координат. Таким образом, произвольная система однородных полей (не обязательно ортогональных!) приведена к трем взаимно ортогональным однородным полям со своими центрами приложения.

При наличии одного поля этот центр приложения один и совпадает с центром тяжести. Рассмотрим как преобразуется выражение (3.2) при изменении базисных ортов неподвияного пространства. Для этого его представим в виде
\[
U=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{R}^{\mathbf{T}} \mathbf{Q}\right),
\]

где $\mathbf{Q}$ – матрица проекций ортов неподвижного базиса на оси, связан-

ные с телом (1.2), а $\mathbf{R}$ – матрица проекций радиус-векторов центров приложения на те же оси
\[
\mathbf{R}=\left(\begin{array}{ccc}
r_{1}^{1} & r_{2}^{1} & r_{3}^{1} \\
r_{1}^{2} & r_{2}^{2} & r_{3}^{2} \\
r_{1}^{3} & r_{2}^{3} & r_{3}^{3}
\end{array}\right)
\]
(При этом матрица $\mathbf{R}$ является постоянной, а матрица $\mathbf{Q}(t)$ – зависит от времени.)

Изменение ортов неподвижного пространства приводит к преобразованию матрицы $\mathbf{Q}$ по формуле $\mathbf{Q}=\widetilde{\mathbf{Q}}(t) \mathbf{S}$, где $\mathbf{S}-$ некоторая постоянная ортогональная матрица. Подставив это преобразование в (3.3) получим
\[
U=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{R}^{T} \widetilde{\mathbf{Q}}(t) \mathbf{S}\right)=\operatorname{Tr}\left(\mathbf{S R}^{T} \widetilde{\mathbf{Q}}(t)\right)=\operatorname{Tr}\left(\widetilde{\mathbf{R}}^{T} \widetilde{\mathbf{Q}}(t)\right) .
\]

Таким образом, мы привели одну систему взаимно перпендикулярных однородных полей, направленных вдоль векторов $\alpha, \beta, \gamma$, с центрами приложения, определяемыми матрицей $\mathbf{R}^{T}$, к другой системе перпендикулярных полей, направленых вдоль векторов $\widetilde{\alpha}, \widetilde{\beta}, \widetilde{\gamma}$, и матрицей центров приложения
\[
\widetilde{\mathbf{R}}^{T}=\mathbf{S R}^{T} .
\]

2. Особые случаи. Разберем некоторые частные случаи, при которых преобразование (3.5) может привести к упрощению вида потенциальной энергии (3.2).

1. Центры приложения трех взаимно перпендикулярных полей лежат на одной оси. Для этого случая матрица центров приложения имеет вид
\[
\mathbf{R}^{T}=\left(\begin{array}{lll}
a & 0 & 0 \\
b & 0 & 0 \\
c & 0 & 0
\end{array}\right) .
\]

Легко видеть, что ортогональным преобразованием $\mathbf{S}$ (3.5) она может быть приведена к виду $\tilde{\mathbf{R}}^{T}=\operatorname{diag}\left(\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}, 0,0\right)$, а потенциальная энергия $-U=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \widetilde{\alpha}_{1}=\left(\mathbf{r}_{1}, \widetilde{\alpha}\right)$. То есть данный случай может быть сведен к случаю одного однородного поля, направление которого определяется вектором $\widetilde{\alpha}$, а центр приложений лежит на той же оси.

2. Центры приложения трех перпендикулярных полей лежат в одной плоскости, то есть $r_{i}^{3}=0, i=1,2,3$. При этом
\[
\mathbf{R}^{T}=\left(\begin{array}{lll}
a_{1} & a_{2} & 0 \\
b_{1} & b_{2} & 0 \\
c_{1} & c_{2} & 0
\end{array}\right) .
\]

С помощью преобразования (3.5) матрица $\mathbf{R}^{T}$ и потенциальная энергия $U$ приводятся, соответственно, к виду
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{R}^{T}=\left(\begin{array}{ccc}
u & v & 0 \\
0 & w & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right), \\
U=u \widetilde{\alpha}_{1}+v \widetilde{\alpha}_{2}+w \widetilde{\beta}_{2}=\left(\mathbf{r}_{1}, \widetilde{\alpha}\right)+\left(\mathbf{r}_{2}, \widetilde{\beta}\right) .
\end{array}
\]

Например, можно выполнить поворот $\mathbf{S}$ так, чтобы направление нового базисного вектора $\widetilde{\alpha}$ совпало с направлением вектора ( $a_{1}, b_{1}, c_{1}$ ), а вектор $\left(a_{2}, b_{2}, c_{2}\right)$ располагался бы при этом в плоскости ортов $\widetilde{\alpha}, \widetilde{\beta}$. При этом
\[
u=\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}}, \quad v=\frac{a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}}{u}, \quad w=\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}-v^{2}} .
\]

Поэтому в рассматриваемом случае система сил может быть приведена к двум взаимно ортогональным полям, радиус-векторы центров приложения которых в общем случае неортогональны. Если сделать ортогональными радиус-векторы центров, тогда станут неортогональными поля (в этом случае $U=a \widetilde{\alpha}_{1}+b \widetilde{\beta}_{2}$, но $(\widetilde{\alpha}, \widetilde{\beta})
eq 0$ ).
3. Если тензор моментов инерции шаровой, то дополняя преобразования $\mathbf{S}$ преобразованиями осей, жестко связанных с твердым телом, которые в этом случае не меняют вида кинетической энергии, можно привести $U$ к диагональному виду
\[
U=a \widetilde{\alpha}_{1}+b \widetilde{\beta}_{2}+c \widetilde{\gamma}_{3} .
\]

Так как компоненты $\alpha, \beta, \gamma$ квадратичным образом (2.6) выражаются через кватернионы, то выражение (3.2) может быть представлено как произвольная квадратичная форма переменных $\lambda_{\mu}$
\[
U=\frac{1}{2} \sum_{\mu,
u=0}^{3} c_{\mu
u} \lambda_{\mu} \lambda_{
u} .
\]

В случае (3.6) все недиагональные члены в (3.7) равны нулю $\left(c_{i j}=\mathbf{0}\right.$, при любых $i
eq j$ ).