Для евклидова пространства уравнения движения твердого тела с уравновешенным гиростатом, движущемся по инерции, были получены Н. Е. Жуковским [63] и проинтегрированы В. Вольтерра [333] в эллиптических функциях. В искривленном пространстве уравнения гиростата в общем случае не являются интегрируемыми.

1. Свободное движение тела в $S^{3}$. Рассмотрим сначала уравнения свободного движения твердого тела на трехмерной сфере $S^{3}$. Заметим, что положение двумерного твердого тела на поверхности обычной двумерной сферы $S^{2}$ может быть охарактеризовано с помощью элемента группы $S O(3)$, который указывает положение тела на сфере и его ориентацию по отношению к неподвижным осям. Эта наглядная иллюстрация оказывается полезной для понимания взаимосвязи движения свободного твердого тела на $S^{3}$ и вращением четырехмерного твердого тела вокруг неподвижной точки (уравнения Эйлера на $S O(4)$ ).

Трехмерную сферу будем представлять себе как поверхность в $\mathbb{R}^{4}$ : $q_{0}^{2}+\mathbf{q}^{2}=1$. Положение и ориентация тела по отношению к координатам $q_{\mu}$ задается элементом группы $S O(4)$, тем самым задача о свободном движении твердого тела в $S^{3}$ сводится к задаче о движении четырехмерного твердого тела с закрепленной точкой в плоском пространстве $\mathbb{R}^{4}$.

Уравнения свободного вращения четырехмерного твердого тела запишем в виде уравнений Эйлера на алгебре Ли $s o(4)$ следующим образом. Введем систему отсчета, жестко связанную с телом. Координаты $x_{\mu}$ в ней связаны с координатами неподвижного пространства $q_{\mu}$ по формулам
\[
q_{\mu}=B_{\mu
u} x_{
u},
\]

где $B_{\mu
u}$ компоненты ортогональной матрицы из группы $S O(4)$.
Функция Лагранжа свободного твердого тела $L$ равна сумме кинетических энергий точек составляющих тело $T$
\[
L=\frac{1}{2} \sum_{T} m \dot{B}_{\mu
u} \dot{B}_{\mu \sigma} x_{
u} x_{\sigma} .
\]

Она может быть представлена как функция квазискоростей $\omega_{\mu
u}[18]$ :
\[
L=\frac{1}{2} J_{\mu
u} \omega_{\mu \sigma} \omega_{
u \sigma},
\]

где $\omega_{\mu
u}=-\omega_{
u \mu}=B_{\mu \sigma}{ }^{-1} \dot{B}_{\sigma
u}$ являются элементами алгебры $s o(4)$ и $J_{\mu
u}=\sum_{T} m x_{\mu} x_{
u}$ проекции тензора моментов инерции на оси жестко связанные с телом. Записывая уравнения Пуанкаре- Четаева на группе $S O(4)$ ( $\S 6$, гл. 1 ), получим следующие коммутационные уравнения
\[
\dot{\mathbf{M}}=[\mathbf{M}, \boldsymbol{\omega}],
\]

здесь $[\cdot, \cdot]$ матричный коммутатор, а элементы матрицы момента $M$ определяются формулой:
\[
M_{\mu
u}=\frac{1}{2} \frac{\partial L}{\partial \omega_{
u \mu}}, \quad \mathbf{M}=\frac{1}{2}(\mathbf{J} \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\omega} \mathbf{J}) .
\]

Запишем систему с помощью векторов $\mathbf{L}, \boldsymbol{\pi}$, компоненты которых связаны с компонентами матрицы кинетического момента $\mathbf{M}$ по формулам
\[
L_{i}=\frac{1}{2} \varepsilon_{i j k} M_{j k}, \quad \pi_{i}=M_{0 i}, \quad i, j, k=1,2,3 .
\]

В векторном виде
\[
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{L}} & =\mathbf{L} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}}+\pi \times \frac{\partial H}{\partial \pi} \\
\dot{\pi} & =\pi \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}}+\mathbf{L} \times \frac{\partial H}{\partial \pi} .
\end{aligned}
\]

Уравнения (8.5) являются уравнениями Гамильтона на алгебре $s o(4)$ в стандартном матричном представлении (см. §1 гл. 2). При выборе системы координат, связанной с телом, в которой $\mathbf{J}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right)$, функция Гамильтона свободного твердого тела в переменных $\mathbf{L}, \boldsymbol{\pi}$ может быть записана в виде
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{L}, \mathbf{A L})+\frac{1}{2}(\pi, \mathbf{B} \pi),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{\lambda_{2}+\lambda_{3}}, \frac{1}{\lambda_{1}+\lambda_{3}}, \frac{1}{\lambda_{1}+\lambda_{2}}\right), \\
\mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(\frac{1}{\lambda_{0}+\lambda_{1}}, \frac{1}{\lambda_{0}+\lambda_{2}}, \frac{1}{\lambda_{0}+\lambda_{3}}\right) .
\end{array}
\]

Эти уравнения были изучены и проинтегрированы в прошлом веке В. Фрамом и Ф. Шоттки (см. § 1 гл. 2).

Необходимо отметить, что в отличие от свободного движения твердого тела в евклидовом пространстве (задача Эйлера-Пуансо), случай интегрируемости инерционного движения на $S^{3}$ и $L^{3}$, является существенно более сложным как с точки зрения процедуры интегрирования, так и качественного (топологического) анализа движения [134].

С некоторой долей неточности можно сказать, что отличие от плоского пространства заключается в том, что движение тела по сфере $S^{3}$ и его вращение теперь не разделяются, поэтому вращение тела оказывает влияние на движение системы как целого. (Этот эффект для $L^{2}$ был отмечен еще Н. Е. ЖКуковским [62].)

2. Движение связки двух тел. Уравновешенный гиростат. Рассмотрим уравновешенный гиростат в $S^{3}$ – механическую систему, состоящую из двух тел: «несущего» $T_{1}$ и «несомого» $T_{2}$, скрепленных так, что распределение масс системы не меняется со временем.

Свяжем с каждым из тел свою систему координат. Пусть $\mathbf{B}, \mathbf{Q}$ матрицы перехода от абсолютной системы координат ( $q$ ) к системе «несу-

щего» тела $(x)$, и от системы «несущего» тела к системе «несомого» $(y)$ соответственно
\[
q_{\mu}=B_{\mu
u} x_{
u}, \quad x_{i}=Q_{\mu
u} y_{
u} .
\]

Введем следующие обозначения:
$J_{\mu
u}=\sum_{T_{1}+T_{2}} m x_{\mu} x_{
u}$ – компоненты матрицы моментов инерции всей системы в системе координат несущего тела (здесь $\sum_{T_{1}+T_{2}}$ обозначает суммирование по элементам первого и второго тела);
\[
\left(\widetilde{J}_{2}\right)_{\mu
u}=\sum_{T_{2}} m y_{\mu} y_{
u}-\text { моменты инерции несомого тела в связанной }
\]

с ним системе осей;
\[
\left(J_{1}\right)_{\mu
u}=\sum_{T_{1}} m x_{\mu} x_{
u} \text { и }\left(J_{2}\right)_{\mu
u}=\sum_{T_{2}} m x_{\mu} x_{
u}-\text { моменты инерции несу- }
\]

щего и несомого тела в системе, жестко связанной с несущим телом; $\widetilde{\boldsymbol{\omega}}_{2}=\mathbf{Q}^{-1} \dot{\mathbf{Q}}$ – матрица угловых скоростей несомого тела в связанной с ним системе координат;
$\boldsymbol{\omega}=\mathbf{B}^{-1} \dot{\mathbf{B}}, \boldsymbol{\omega}_{2}=\mathbf{Q} \widetilde{\boldsymbol{\omega}}_{2} \mathbf{Q}^{-1}=\dot{\mathbf{Q}} \mathbf{Q}^{-1}$ – угловые скорости в системе отсчета несущего тела.

Условие постоянства распределения масс $J_{\mu
u}=\sum_{T_{1}+T_{2}} m x_{\mu} x_{
u}=$ $=$ const, (то есть $\dot{J}_{\mu
u}=0$ ) эквивалентно равенству
\[
\widetilde{\boldsymbol{\omega}}_{2} \widetilde{\mathbf{J}}_{2}=\widetilde{\mathbf{J}}_{2} \widetilde{\boldsymbol{\omega}}_{2} .
\]

Учитывая, что «несомое» тело имеет закрепленную ось в «несущем», найдем решения уравнения (8.8) в виде:
\[
\widetilde{\boldsymbol{\omega}}_{2}=\left(\begin{array}{cccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & a \\
0 & 0 & -a & 0
\end{array}\right), \quad \widetilde{\mathbf{J}}_{2}=\left(\begin{array}{cccc}
\lambda_{0} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{1} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & \lambda_{2}
\end{array}\right) .
\]

В дальнейшем будем полагать, что $a=a(t)$ заданная функция времени. Это условие приводит к тому, что не появляется дополнительных степеней свободы, обусловленных несомым телом.

Функция Лагранжа системы равна сумме кинетических энергий обоих тел. С учетом соотношений (8.9) ее можно представить в виде
\[
L=\frac{1}{2} \omega_{\mu \sigma} \omega_{
u \sigma}\left(\left(J_{1}\right)_{\mu
u}+\left(J_{2}\right)_{\mu
u}\right)+\omega_{\mu \sigma} K_{\sigma
u},
\]

где $\boldsymbol{\omega}$ – введенные выше угловые скорости несущего тела, а коэффициенты матрицы кинетического момента несомого тела $\mathbf{K}=\mathbf{J}_{2} \boldsymbol{\omega}_{2}+\boldsymbol{\omega}_{2} \mathbf{J}_{2}$ являются заданными функциями времени. В отличие от плоского пространства $\mathbf{K}$ зависит не только от направления оси вращения но и от точки скрепления тел.

Уравнения движения имеют вид (8.3), но теперь $M_{\mu
u}=\partial L / \partial \omega_{\mu
u}=$ $=J_{\mu \sigma} \omega_{\sigma
u}+\omega_{\mu \sigma} J_{\sigma
u}+K_{\mu
u}, J_{\mu \sigma}=\left(J_{1}\right)_{\mu \sigma}+\left(J_{2}\right)_{\mu \sigma}$. При $K(t)=$ const, $(a(t)=$ const $)$ получается задача об уравновешенном гиростате.

Уравнения движения могут быть записаны также в форме уравнений Гамильтона на алгебре $s o(4)$ в векторном виде (8.5). При этом гамильтониан для уравновешенного гиростата можно представить в форме
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{L}-\mathbf{P}, \mathbf{A}(\mathbf{L}-\mathbf{P}))+\frac{1}{2}(\pi-\mathbf{S}, \mathbf{B}(\pi-\mathbf{S})),
\]

где компоненты векторов $\mathbf{P}, \mathbf{S}$ выражаются через матрицу гиростатического момента по формулам
\[
P_{i}=\frac{1}{2} \varepsilon_{i j k} K_{j k}, \quad S_{i}=K_{0 i}, \quad i, j, k=1,2,3 .
\]

По-видимому, система (8.5) с гамильтонианом (8.11) при произвольных значениях параметров не является интегрируемой в отличие от плоского пространства. По крайней мере, для нее не существует общего дополнительного квадратичного интеграла и поведение может быть стохастическим при определенном выборе параметров. Интересной задачей является нахождение интегрируемых случаев этой системы (и аналогичных уравнений для $L^{3}$ ) при дополнительных ограничениях на параметры функции Гамильтона.

3. Уравнения Кирхгофа на $S^{3}, L^{3}$. Если в уравнениях (8.5) считать гамильтониан произвольной (положительно определенной) квадратичной формой переменных $\mathbf{L}, \boldsymbol{\pi}$, то получаются уравнения Кирхгофа, описывающие движение по инерции твердого тела в безграничном объеме безвихревой идеальной жидкости в $S^{3}\left(L^{3}\right)$. Они совпадают с уравнениями Эйлера на алгебре $s o(4)(s o(3,1))$, обзор случаев интегрируемости которых содержится в $\S 1$ гл. 2.

Относительно физической значимости этих уравнений приведем высказывание Гаррета Биркгофа из его замечательной книги [12]:
«Предшествующие формулы имеют очевидные аналоги для движений воображаемых твердых тел в идеальной жидкости в неевклидовых

пространствах. Конечно, сомнительно, чтобы эти аналоги классических формул имели даже ограниченное физическое значение … Тем не менее, может быть было бы интересно установить некоторые из аналогов этих (классических – aвm.) формул, с тем чтобы проиллюстрировать влияние кривизны пространства (если оно существует) на величину реакции безгранично простирающейся идеальной жидкости на тело при установившемся движении».

Замечание 1. Анализ движения двумерной площадки на сфере $S^{3}$ под действием потенциальных сил выполнен в [39], где указан аналог случая Лагранжа, возникающий при динамической симметрии тела.

Замечание 2. Приведем без вывода уравнения движения свободного тела в пространстве Лобачевского $L^{3}$ (см. также [62]).

Обозначим координаты в системе, жестко связанной с телом $x^{\sigma}$, а в абсолютной системе $q^{\mu}$. Связь между ними определяется соотношением $q^{\mu}=$ $=B_{\sigma}^{\mu}(t) x^{\sigma}$, где матрица $\mathbf{B}=\left\|B_{\sigma}^{\mu}\right\|$ принадлежит группе $S O(1,3)$. Перейдем к квазискоростям $\boldsymbol{\omega} \in s o(1,3)$ и квазиимпульсам $\mathbf{M}(\mathbf{L}, \pi)$ по формулам:
\[
\boldsymbol{\omega}=\mathbf{B}^{-1} \dot{\mathbf{B}},\left(\text { в компонентах } \omega_{\tau}^{\sigma}=\left(B^{-1}\right)_{\mu}^{\sigma} \dot{B}_{\tau}^{\mu}\right),
\]
\[
\mathbf{M}=\frac{\partial L}{\partial \boldsymbol{\omega}}=\mathbf{g} \mathbf{J} \boldsymbol{\omega}+\boldsymbol{\omega} \mathbf{g},
\]
\[
L^{i}=-\frac{1}{2} \varepsilon^{i j k} g^{j l} M_{l}^{k}, \quad \pi^{i}=-M_{0}^{i}, \quad i, j, \ldots=1,2,3,
\]

где $\mathbf{g}=\operatorname{diag}(-1,1,1,1)$ – метрический тензор пространства Минковского $\mathbb{M}^{4}$, а $J^{\sigma \tau}=\sum_{m} m x^{\sigma} x^{\tau}$ – тензор моментов инерции в системе, связанной с телом.
Уравнения движения в переменных $\mathbf{L}, \boldsymbol{\pi}$ имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{L} \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}}+\pi \times \frac{\partial H}{\partial \pi}, \\
\dot{\boldsymbol{\pi}}=\pi \times \frac{\partial H}{\partial \mathbf{L}}-\mathbf{L} \times \frac{\partial H}{\partial \pi}
\end{array}
\]

и представляют собой гамильтонову систему на алгебре $s o(3,1)$ в стандартном матричном представлении. Функция Гамильтона в переменных $\mathbf{L}, \pi$ может быть записана в виде
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{L}, \mathbf{A L})+\frac{1}{2}(\pi, \mathbf{B} \pi),
\]

где
\[
\mathbf{J}=\operatorname{diag}\left(\lambda_{0}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right) .
\]

При этом в силу того, что в пространстве Лобачевского выполнено соотношение $\left(x^{0}\right)^{2}-\left(x^{1}\right)^{2}-\left(x^{2}\right)^{2}-\left(x^{3}\right)^{2}=R^{2}$, справедливо неравенство $\left(x^{0}\right)^{2}>\left(x^{i}\right)^{2}$, $i=1,2,3$ и поэтому $\lambda_{0}>\lambda_{i} i=1,2,3$. Система (8.13) является интегрируемой – дополнительный квадратичный интеграл можно найти в книге [18].

4. Частные решения. Перманентные вращения. Рассмотрим частные решения свободного твердого тела в $S^{3}$ (без гиростата). В евклидовом пространстве соответствующие уравнения, определяемые скобкой алгебры Ли $e(3)$
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} M_{k}, \quad\left\{M_{i}, p_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} p_{k}, \quad\left\{p_{i}, p_{j}\right\}=0
\]

с гамильтонианом
\[
H=\frac{1}{2}(\mathbf{p}, \mathbf{p})+\frac{1}{2}(\mathbf{A M}, \mathbf{M})
\]

имеют (в общем случае $a_{1}
eq a_{2}
eq a_{3}
eq a_{1}$ ) четырехпараметрические семейства частных решений
\[
p_{i}=p_{i}^{0}, \quad(i=1,2,3), \quad M_{1}=M_{2}=0, \quad M_{3}=M_{3}^{0} .
\]

Эти решения определяют перманентные вращения задачи ЭйлераПуансо вокруг главных осей эллипсоида инерции, дополненные общим равномерным прямолинейным поступательным движением. Вращения вокруг малой и большой осей устойчивы, а вокруг средней – неустойчивы.

Уравнения движения свободного тела на $S^{3}$ допускают два различных семейства двухпараметрических решений:
\[
L_{1}=\pi_{1}=L_{2}=\pi_{2}=0, \quad L_{3}=L_{3}^{0}, \quad \pi_{3}=\pi_{3}^{0},
\]

и
\[
\begin{array}{c}
L_{1}=\pi_{1}=0, \quad \pi_{2}=\pi_{2}^{0}, \quad \pi_{3}=\pi_{3}^{0}, \\
L_{3}^{0}= \pm \frac{\lambda_{1}+\lambda_{2}}{\lambda_{0}+\lambda_{3}} \pi_{3}^{0}, \quad L_{2}^{0}= \pm \frac{\lambda_{1}+\lambda_{3}}{\lambda_{0}+\lambda_{2}} \pi_{2}^{0} .
\end{array}
\]

В пространстве Лобачевского второй класс решений отсутствует. Это обусловлено большей симметрией группы $S O(4) \approx S O(3) \otimes S O(3)$ по сравнению с $S O(3,1)$. Отметим также, что если на $S^{3}$ векторы $\pi$ и $\mathbf{L}$ равноправны, то в пространстве Лобачевского вектору $\pi$ можно придать смысл суммарного импульса, а вектору $\mathbf{L}$ – смысл суммарного момента.

Анализ устойчивости решений (8.14), (8.15), даже в линейном приближении, представляет собой достаточно трудоемкую задачу. Приведем несколько простейших соображений относительно устойчивости более частных, чем (8.14), (8.15) решений, существующих на инвариантных многообразиях
\[
\mathbf{L}= \pm \boldsymbol{\pi} \quad \text { и } \quad \boldsymbol{\pi}=0 .
\]

На инвариантном многообразии $\mathbf{L}= \pm \pi$ (для $S^{3}$ ) получается система Эйлера
\[
\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{L} \times(\mathbf{A} \pm \mathbf{B}) \mathbf{L}
\]

причем матрица $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ является положительно определенной и существуют два устойчивых и одно неустойчивое перманентное вращение. Матрица $\mathbf{A}-\mathbf{B}$, вообще говоря, не является положительно определенной и число неустойчивых вращений может возрасти.

На инвариантных многообразиях $\pi=0$ или $\mathbf{L}=0$ снова получаются уравнения Эйлера $\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{L} \times \mathbf{A L}$ или $\dot{\pi}=\pi \times \mathbf{B} \pi$ с положительно определенными матрицами $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$.

В пространстве Лобачевского инвариантное многообразие $\boldsymbol{\pi}=\mathbf{0}$ (твердое тело не совершает «поступательного» движения) также определяет систему перманентных вращений задачи Эйлера-Пуансо $\dot{\mathbf{L}}=\mathbf{L} \times \mathbf{A L}$. Сами «поступательные движения», определяемые вектором $\pi$, при отсутствии момента вращения $\mathbf{L}=0$, должны удовлетворять уравнению
\[
\left(\lambda_{3}-\lambda_{2}\right)\left(\lambda_{0}-\lambda_{1}\right) \pi_{1}^{-1}+\left(\lambda_{1}-\lambda_{3}\right)\left(\lambda_{0}-\lambda_{2}\right) \pi_{2}^{-1}+\left(\lambda_{2}-\lambda_{1}\right)\left(\lambda_{0}-\lambda_{3}\right) \pi_{3}^{-1}=0 .
\]

5. Заключительные замечания. Рассмотренные в этой главе задачи динамики искривленного пространства подчеркивают различия между природой интегрируемости соответствующих задач в евклидовом пространстве. Интегрируемость одной части задач была существенно связана с группой Галилея, относительно которой инвариантны уравнения динамики $\mathbb{R}^{3}$. Она пропала при переходе к искривленному пространству (гиростат, задача двух тел). Интегрируемость другой части сохранилась (свободное твердое тело, задача двух центров и пр.). Однако, даже во втором случае, например, для свободного движения твердого тела отсутствие группы преобразования Галилея привело

к существенному усложнению топологического слоения фазового пространства на торы Лиувилля.

Дальнейшее развитие небесной механики в искривленном пространстве сталкивается с большими сложностями. Непосредственное обобщение теоремы Якоби, теоремы Вейерштрасса об устойчивости, теории Зундмана [4] и др. на случай $S^{3}$ и $L^{3}$ вряд ли возможно, все эти результаты существенным образом связаны с существованием барицентрической системы координат.