В следующих двух параграфах мы рассмотрим ряд систем, обобщающих классические интегрируемые случаи динамики твердого тела,

для которых решение вопроса о связи бигамильтоновости с представлением Лакса-Гейзенберга можно практически довести до конца (см. §5 гл. 1). Изучаемые конструкции являются не только методом доказательства интегрируемости этих систем, но и способом их построения.

Как заметили первый автор и А.В.Болсинов [20], для бигамильтоновых систем на алгебрах Ли в ряде случаев имеется естественный способ построения представления Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром. Справедливо, например, следующее утверждение.
Предложение 2. Пусть $\{\cdot, \cdot\}_{\lambda}$ – семейство скобок Пуассона на векторном линейном пространстве. Пусть почти все эти скобки Пуассона отвечают полупростым алгебрам Ли (т. е. являются скобками Ли- Пуассона для полупростых алгебр Ли). Предположим, что система $\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{v}(\mathbf{x})$ является гамильтоновой относительно всех скобок из этого семейства, т. е. допускает представление в виде
\[
\mathbf{v}(\mathbf{x})=\left\{\mathbf{x}, H_{\lambda}(\mathbf{x})\right\}_{\lambda},
\]

где $H_{\lambda}$ – гамильтониан, отвечающий скобке $\{\cdot, \cdot\}_{\lambda}$. Тогда для $\mathbf{v}$ существует представление Лакса-Гейзенберга с параметром $\lambda$ (зависимость от которого может оказаться не рациональной, а более сложной).
Доказательство.
Если система $\mathbf{v}$ гамильтонова относительно скобки Ли-Пуассона, отвечающей полупростой алгебре Ли, то отождествляя двойственное пространство алгебры с самой алгеброй, мы получаем в точности представление Лакса-Гейзенберга для v (без параметра). Поскольку в рассматриваемом случае мы имеем дело с семейством $\{\cdot, \cdot\}_{\lambda}$ полупростых скобок, то в результате отождествления (которое зависит от $\lambda$ ) мы получим семейство представлений Лакса-Гейзенберга, зависящее от $\lambda$, что и требовалось.

1. Многомерное обобщение волчка Эйлера. Продемонстрируем доказанное утверждение на примере многомерного волчка Эйлера. Рассмотрим пространство кососимметрических матриц $L$, отождествляемое с алгеброй Ли $s o(n)$. Вводя естественное инвариантное скалярное произведение $(\mathbf{X}, \mathbf{Y})=-\operatorname{Tr} \mathbf{X} \mathbf{Y}$, мы отождествим $L$ с $L^{*}$. Далее рассмотрим на $L$ семейство алгебр Ли – лиев пучок, коммутаторы которых задаются так (см. §5 гл. 1)
\[
[\mathbf{X}, \mathbf{Y}]_{\mathbf{C}}=\mathbf{X C Y}-\mathbf{Y C X},
\]

где $\mathbf{C}$ – произвольная симметрическая матрица. На двойственном пространстве $L^{*}=L$ эти алгебры порождают семейство скобок Ли-Пуассона $\{\cdot, \cdot\}_{\mathbf{C}}$. Гамильтоновость системы $\mathbf{v}$ относительно скобки $\{\cdot, \cdot\}_{\mathbf{C}}$ означает, что
\[
\mathbf{v}(\mathbf{X})=\mathbf{X} d H(\mathbf{X}) \mathbf{C}-\mathbf{C} d H(\mathbf{X}) \mathbf{X}
\]

для некоторой гладкой функции $H(\mathbf{X}): L \rightarrow \mathbb{R}$.
Отметим, что

1) все эти скобки согласованы между собой,
2) скобка $\{\cdot, \cdot\}_{\mathbf{C}}$ полупроста тогда и только тогда, когда матрица $\mathbf{C}$ невырождена.

Из второго свойства, в частности, следует, что в случае невырожденной матрицы $\mathbf{C}$, выписанное выше уравнение может быть представлено в форме Лакса – Гейзенберга (т. е. в виде обычного коммутатора). Для этого нужно сделать следующую замену:
\[
\mathbf{X} \rightarrow \mathbf{C}^{1 / 2} \mathbf{L} \mathbf{C}^{1 / 2}, \quad d H(\mathbf{X}) \rightarrow \mathbf{C}^{-1 / 2} \mathbf{A C}^{-1 / 2} .
\]

Подставляя, мы получим $\mathbf{C}^{1 / 2} \dot{\mathbf{L}} \mathbf{C}^{1 / 2}=\mathbf{C}^{1 / 2}(\mathbf{L A}-\mathbf{A L}) \mathbf{C}^{1 / 2}$, или, что то же самое, $\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]$.

Рассмотрим теперь уравнения Эйлера движения многомерного твердого тела. Одно из представлений Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром в этом случае хорошо известно (С.В.Манаков [115]). Укажем еще одно представление, связанное с описанным выше семейством скобок.

Пусть $\mathbf{B}=\operatorname{diag}\left(b_{1}, \ldots, b_{n}\right), \mathbf{E}=\operatorname{diag}(1,1, \ldots, 1)$ диагональные невырожденные матрицы. На пространстве $L$ рассмотрим двумерный пучок $\left([\cdot, \cdot]_{\mathbf{A}}\right)_{\mathbf{A} \in J}, J=\left\{\lambda \mathbf{E}+\mu \mathbf{B}^{2}\right\}$.

Уравнения Эйлера динамики $n$-мерного твердого тела, которые следует представить себе заданными на пространстве $L^{*}$ кососимметрических матриц, отождествленным с $L$ при помощи формы $\operatorname{Tr} \mathbf{X Y}$, имеют вид $[152,156,157]$ :
\[
\begin{array}{c}
\dot{\mathbf{X}}=\mathbf{X} \Omega-\Omega \mathbf{X}, \\
\mathbf{X}=\mathbf{B} \Omega+\Omega \mathbf{B}, \quad \mathbf{X}, \Omega \in L .
\end{array}
\]

Несложно показать непосредственными вычислениями, что уравнения (9.1) гамильтоновы относительно каждой из скобок пучка $\{\cdot, \cdot\}_{\mathbf{A}}$, где $\mathbf{A} \in J \backslash\{0\}[19]$.

Используя это обстоятельство, и тот факт, что эта скобка полупроста почти для всех $\lambda$, мы можем переписать уравнения для каждой алгебры Ли $[\cdot, \cdot]_{\mathbf{B}^{2}+\lambda E}$ в форме Лакса – Гейзенберга. Приведем конечный результат.

Предложение 3. Система уравнений (9.1) может быть записана в следующем эквивалентном виде
\[
\frac{d \mathbf{L}(\lambda)}{d t}=[\mathbf{L}(\lambda), \mathbf{A}(\lambda)]
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{L}(\lambda)=\left(\mathbf{B}^{2}+\lambda \mathbf{E}\right)^{-1 / 2} \mathbf{X}\left(\mathbf{B}^{2}+\lambda \mathbf{E}\right)^{-1 / 2}, \\
\mathbf{A}(\lambda)=\left(\mathbf{B}^{2}+\lambda \mathbf{E}\right)^{-1 / 2}(\lambda \Omega-\mathbf{B} \Omega \mathbf{B})\left(\mathbf{B}^{2}+\lambda \mathbf{E}\right)^{-1 / 2} .
\end{array}
\]

Доказательство.
Эквивалентность этого представления системе (9.1) легко проверяется прямым вычислением. Здесь, впрочем, интересна связь представления с семейством скобок. Остановимся на ней более подробно. Поскольку система (9.1) гамильтонова относительно скобки $\{\cdot, \cdot\}_{\mathbf{B}^{2}+\lambda \mathrm{E}}$, то мы можем представить $\dot{\mathbf{X}}$ в виде
\[
\left.\dot{\mathbf{X}}=\mathbf{X} d H_{\lambda}(\mathbf{X})\left(\mathbf{B}^{2}+\lambda \mathbf{E}\right)-\left(\mathbf{B}^{2}+\lambda \mathbf{E}\right) d H_{\lambda}(\mathbf{X}) \mathbf{X}\right) .
\]

Несложно проверить, что здесь
\[
d H_{\lambda}(\mathbf{X})=\left(\mathbf{B}^{2}+\lambda \mathbf{E}\right)^{-1}(\lambda \Omega-\mathbf{B} \Omega \mathbf{B})\left(\mathbf{B}^{2}+\lambda \mathbf{E}\right)^{-1} .
\]

Чтобы теперь из этого выражения получить представление с обычным коммутатором нужно сделать замену, которая уже была указана выше:
\[
\begin{aligned}
\mathbf{X} & =\left(\mathbf{B}^{2}+\lambda \mathbf{E}\right)^{1 / 2} \mathbf{L}(\lambda)\left(\mathbf{B}^{2}+\lambda \mathbf{E}\right)^{1 / 2}, \\
d H_{\lambda} \mathbf{X} & =\left(\mathbf{B}^{2}+\lambda \mathbf{E}\right)^{-1 / 2} \mathbf{A}(\lambda)\left(\mathbf{B}^{2}+\lambda \mathbf{E}\right)^{-1 / 2},
\end{aligned}
\]

что сразу приводит нас к доказываемому результату.
Представления Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром, входящим в матрицы $\mathbf{L}$ и $\mathbf{A}$ в виде (9.3), называются гиперэллиптическими. Они изучаются в книге [235] (см. также [155]). Отметим также,

что представление Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром, входящим в (9.2) нерациональным образом, было использовано в неявном виде Кеттером (F.Kötter) при интегрировании случая ЛяпуноваСтеклова в уравнениях Кирхгофа [267].

2. Многомерное обобщение случая Клебша. Другой содержательный пример связан с рассмотрением на пространстве кососимметрических матриц еще одного двумерного лиева пучка $\left([\cdot, \cdot]_{\mathbf{A}}\right)_{\mathbf{A} \in J^{\prime}}$. Положим
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{D}=\operatorname{diag}\left(d_{1}, \ldots, d_{n-1}, 1\right) \quad \mathbf{E}_{0}=\operatorname{diag}(1,1, \ldots, 1,0), \\
J^{\prime}=\left\{\lambda \mathbf{E}_{0}+\mu \mathbf{D}\right\} .
\end{array}
\]

Алгебра Ли $L_{\mathbf{E}_{0}}$, задаваемая на пространстве кососимметрических матриц коммутатором $[\cdot, \cdot]_{E_{0}}$, изоморфна алгебре Ли $e(n-1)$ группы движений евклидова пространства. Поэтому уравнения Эйлера на $L^{*}$ в смысле скобки $\{\cdot, \cdot\}_{\mathbf{E}_{0}}$ с положительно определенным квадратичным гамильтонианом являются уравнениями Кирхгофа и описывают движение многомерного твердого тела в безграничном объеме идеальной безвихревой жидкости. Если пространство $L^{*}$ отождествлено с $L$ при помощи формы $\operatorname{Tr} \mathbf{X Y}$, то эти уравнения могут быть записаны в виде
\[
\dot{\mathbf{X}}=\mathbf{E}_{0} \Omega \mathbf{X}-\mathbf{X} \Omega \mathbf{E}_{0},
\]

где $\mathbf{X} \in L, \Omega=\Omega(\mathbf{X}) \in L$ – дифференциал квадратичного гамильтониана $H(\mathbf{X})=\frac{1}{2} \operatorname{Tr} \mathbf{X} \Omega$.
А.М.Переломов в [135] обнаружил интегрируемый случай этих уравнений, являющийся многомерным обобщением случая Клебша. Гамильтониан $H(\mathbf{x})$ в этом случае имеет вид
\[
H(\mathbf{x})=\frac{1}{2} \sum_{1 \leqslant i<j \leqslant n-1} a_{i j} x_{i j}^{2}+\frac{1}{2} \sum_{1 \leqslant i \leqslant n-1} b_{i} x_{i n}^{2},
\]

где $\mathbf{X}=\left(x_{i j}\right)$ и коэффициенты удовлетворяют соотношениям
\[
\left(b_{i}-b_{j}\right) a_{i j}^{-1}+\left(b_{j}-b_{k}\right) a_{j k}^{-1}+\left(b_{k}-b_{i}\right) a_{i k}^{-1}=0
\]

для любых $1 \leqslant i<j<k \leqslant n-1$.
Произведя несложные вычисления, можно установить [19], что уравнения многомерного случая Клебша гамильтоновы на пространстве $L \approx L^{*}$ относительно каждой из скобок пучка $\{\cdot, \cdot\}_{\mathbf{A}}, \mathbf{A} \in J^{\prime} \backslash 0$, где

$J^{\prime}=\left\{\lambda \mathbf{D}+\mu \mathbf{E}_{0}\right\}$ и элементы $d_{i}$ диагональной матрицы $\mathbf{D}$ определяются из соотношений
\[
d_{i}-d_{j}=\left(b_{i}-b_{j}\right) a_{i j}^{-1}, \quad 1 \leqslant i<j \leqslant n-1 .
\]

Полнота интегралов также следует из теоремы $4 \S 5$ гл. 1.
Можно заметить, что лиевы пучки ( $[\cdot, \cdot]_{\mathbf{A} \in J}$ ) и ( $[\cdot, \cdot]_{\mathbf{A} \in J^{\prime}}$ ) изоморфны при $\mathbf{B}=\mathbf{E}_{0} \mathbf{D}^{-1}$. Отсюда сразу вытекает обобщение результата А. И. Бобенко для $n=4$ [13], установленное А. В. Болсиновым [19].

Теорема. Существует линейная замена переменных, переводящая уравнения Эйлера динамики п-мерного твердого тела в уравнения ( $n-1$ )-мерного случая Клебиа.

3. Система Жуковского-Вольтерра. Указанная конструкция допускает некоторые модификации. Рассмотрим на $\mathbb{R}^{3}$ скобку Пуассона вида
\[
\left\{M_{i}, M_{j}\right\}=-\varepsilon_{i j k} c_{k} M_{k},
\]

при $c_{i}>0$ изоморфную алгебре $s o(3)$. Уравнения Гамильтона со структурой (9.6) могут быть представлены в виде $\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]$ с матрицами
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{L}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & \lambda_{3} M_{3} & -\lambda_{2} M_{2} \\
-\lambda_{3} M_{3} & 0 & \lambda_{1} M_{1} \\
\lambda_{2} M_{2} & -\lambda_{1} M_{1} & 0
\end{array}\right), \\
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & \frac{1}{\lambda_{3}} \frac{\partial H}{\partial M_{3}} & -\frac{1}{\lambda_{2}} \frac{\partial H}{\partial M_{2}} \\
-\frac{1}{\lambda_{3}} \frac{\partial H}{\partial M_{3}} & 0 & \frac{1}{\lambda_{1}} \frac{\partial H}{\partial M_{1}} \\
\frac{1}{\lambda_{2}} \frac{\partial H}{\partial M_{2}} & -\frac{1}{\lambda_{1}} \frac{\partial H}{\partial M_{1}} & 0
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где $\lambda_{i}=\frac{1}{\sqrt{c_{j} c_{k}}}$.
При выборе функции Гамильтона в виде $H=\frac{1}{2}(\mathbf{A M}, \mathbf{M})-(\mathbf{g}, \mathbf{M})$, где $\mathbf{A}=\operatorname{diag}\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right), \mathbf{g}=\left(g_{1}, g_{2}, g_{3}\right), a_{i}, g_{j} \in \mathbb{R}$ и структуры (9.6) при $c_{i}=1$ получим классическую интегрируемую систему ЖуковскогоВольтерра, описывающую инерционное движение уравновешенного ги-

ростата $[63,333]$. По теореме $4 \S 5$ гл. 1 ее можно записать на однопараметрическом пучке пуассоновых структур
\[
J^{i j}(s)=-\varepsilon_{i j k}\left(s M_{k}+\left(a_{k} M_{k}-g_{k}\right)\right)=-\varepsilon_{i j k}\left(s+a_{k}\right) M_{k}+\varepsilon_{i j k} g_{k}
\]

с соответствующим семейством интегралов
\[
H(s)=\frac{1}{1+s^{2}}\left(s H-H_{1}\right), \quad H_{1}=\frac{1}{2}(\mathbf{M}, \mathbf{M}) .
\]

При помощи сдвига $\mathbf{M} \rightarrow \mathbf{M}+g_{k} / c_{k}, c_{k} \mapsto a_{k}+s$ скобка (9.6) приводится к виду (9.8), а соответствующая $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пара (9.7) имеет форму
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{L}=\left(\begin{array}{ccc}
0 & \frac{M_{3}-g_{3} /\left(s+a_{3}\right)}{\sqrt{\left(s+a_{1}\right)\left(s+a_{2}\right)}} & -\frac{M_{2}-g_{2} /\left(s+a_{2}\right)}{\sqrt{\left(s+a_{1}\right)\left(s+a_{3}\right)}} \\
-\frac{M_{3}-g_{3} /\left(s+a_{3}\right)}{\sqrt{\left(s+a_{1}\right)\left(s+a_{2}\right)}} & 0 & \frac{M_{1}-g_{1} /\left(s+a_{1}\right)}{\sqrt{\left(s+a_{3}\right)\left(s+a_{2}\right)}} \\
\frac{M_{2}-g_{2} /\left(s+a_{2}\right)}{\sqrt{\left(s+a_{1}\right)\left(s+a_{3}\right)}} & -\frac{M_{1}-g_{1} /\left(s+a_{1}\right)}{\sqrt{\left(s+a_{3}\right)\left(s+a_{2}\right)}} & 0
\end{array}\right), \\
\mathbf{A}=\frac{1}{1+s^{2}}\left(\begin{array}{ccc}
0 & -a_{3} & a_{2} \\
a_{3} & 0 & -a_{1} \\
-a_{2} & a_{1} & 0
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
a_{1}=\sqrt{\left(s+a_{2}\right)\left(s+a_{3}\right)}\left(\left(s a_{1}-1\right) M_{1}-s g_{1}\right), \\
a_{2}=\sqrt{\left(s+a_{1}\right)\left(s+a_{3}\right)}\left(\left(s a_{2}-1\right) M_{2}-s g_{2}\right), \\
a_{3}=\sqrt{\left(s+a_{1}\right)\left(s+a_{2}\right)}\left(\left(s a_{3}-1\right) M_{3}-s g_{3}\right) .
\end{array}
\]

Замечиние 1. Несколько другое представление Лакса-Гейзенберга было дано в [155]. Его можно получить из только что рассмотренного при помощи преобразования
\[
\begin{aligned}
\mathbf{L} & \rightarrow \sqrt{\left(s+a_{1}\right)\left(s+a_{2}\right)\left(s+a_{3}\right)} \mathbf{L}, \\
\mathbf{A} & \rightarrow \mathbf{A}-s\left(s+a_{1}\right)\left(s+a_{2}\right)\left(s+a_{3}\right) \mathbf{L},
\end{aligned}
\]

не меняющего формы уравнений $\dot{\mathbf{L}}=[\mathbf{L}, \mathbf{A}]$.

Как показано в $[241,309]$, представление уравнений движения в форме Лакса-Гейзенберга влечет за собой не только полную интегрируемость (которая также может быть установлена из соображений бигамильтоновости, $\S 5$ гл. 1), но и принципиальную возможность (без явного указания разделяющихся переменных, линеаризующих систему) выразить решения в тэта-функциях. Они определены на многообразии Якоби $\operatorname{Jac}(C)$ алгебраической спектральной кривой $C$
\[
C=\{P(\lambda, \mu)=\operatorname{det}(L(\lambda)-\mu E)=0\}
\]

или на некотором абелевом его подмногообразии – многообразии Прима $\operatorname{Prym}(C) \subset \operatorname{Jac}(C)$.

Как показано в [246], при рациональном вхождении спектрального параметра в $\mathbf{L}-\mathbf{A}$-пару возможно, что через тэта-функции, ассоциированые со спектральной кривой $C$ однозначно выражаются квадраты фазовых переменных, но не сами эти переменные. Такая ситуация имеет место для системы Манакова [115] и случая Переломова [135].

Как правило, при гиперэллиптическом представлении фазовые переменные однозначно выражаются через тэта-функции. Кроме того, для систем типа Жуковского-Вольтерра, представления ЛаксаГейзенберга с рациональным спектральным параметром до сих пор не обнаружено и, видимо, не существует. Многомерные интегрируемые обобщения этих уравнений также не найдены и в общем случае (уже для $s o(4)$, см. § 7 гл. 3) $n$-мерный свободный гиростат обладает неинтегрируемой динамикой.

4. Обобщение. Нестандартный матричный коммутатор. Здесь мы приведем еще один пример, связанный с многомерным обобщением интегрируемого случая Ляпунова-Стеклова [20]. Используемая при этом конструкция обобщает изложенную выше и связана с приводимыми лиевыми пучками. Классификация таких пучков, в отличие от неприводимых, рассмотренных в [70], в литературе, видимо, отсутствует. Как будет показано далее, каждый такой пучок на полупростой алгебре Ли определяет семейство интегрируемых систем и сответствующих им представлений Лакса-Гейзенберга со спектральным параметром. Многомерное обобщение случая Ляпунова-Стеклова было впервые получено в [22] без использования обсуждаемой конструкции, что не позволило заметить изоморфизм интегрируемых случаев на различных алгебрах и выяснить действительное происхождение $\mathbf{L}$ – A-

пары, которая была указана Кеттером еще в 1900 году (для классического случая на $e(3)$ ) [267].

Прежде сформулируем некоторые следствия предложения 2 для матричных алгебр.

Пусть $L$ – матричная алгебра Ли со стандартным матричным коммутатором $[\cdot, \cdot]$, на которой задана еще одна нестандартная структура алгебры Ли $[\cdot, \cdot]_{\lambda}$. Пусть $\varphi: L \rightarrow L$ – отображение, устанавливающее изоморфизм между $[\cdot, \cdot]_{\lambda}$ и $[\cdot, \cdot]$, т. е.
\[
\varphi[X, Y]_{\lambda}=[\varphi(X), \varphi(Y)] .
\]

Пусть $L^{*}$ – двойственное пространство. Рассмотрим уравнения Эйлера на $L^{*}$ с некоторым гамильтонианом $H_{\lambda}$, отвечающие алгебре Ли $[\cdot, \cdot]_{\lambda}$ :
\[
\dot{x}=\left(\operatorname{ad}_{\lambda}\right)_{d H_{\lambda}(x)}^{*} x .
\]

Ясно, что эти уравнения с помощью линейной замены приводятся к уравнениям, отвечающим стандартному коммутатору. В частности, если $L$ – полупроста, то к уравнениям в форме Лакса-Гейзенберга. Соответствующая замена имеет следующий вид:
\[
x=\varphi^{*}(y),
\]

где $\varphi^{*}: L^{*} \rightarrow L^{*}$ – оператор, сопряженный $\varphi$. А именно, после такой замены уравнение приобретает вид
\[
\dot{y}=\operatorname{ad}_{d H(y)}^{*} y,
\]

причем новый гамильтониан $H: L^{*} \rightarrow \mathbb{R}$ связан со старым гамильтонианом $H_{\lambda}: L^{*} \rightarrow \mathbb{R}$ естественным образом:
\[
H(y)=H_{\lambda}\left(\varphi^{*}(y)\right) .
\]

Если алгебра $L$ – полупроста, то мы получаем после замены уравнение вида
\[
\dot{y}=[y, d H(y)] .
\]

Укажем также связь между функциями Казимира $f$ и $f_{\lambda}$ скобок $\{\cdot, \cdot\}$ и $\{\cdot, \cdot\}_{\lambda}$ соответственно:
\[
f_{\lambda}(x)=f\left(\varphi^{*-1}(x)\right) .
\]

Это полезно для нахождения функций Казимира нестандартной скобки.

Рассмотрим теперь лиев пучок на прямой сумме пространств кососимметрических матриц $L=s o(n)+s o(n)$. Элементы этого пространства будем записывать в виде пары $(X, Y), X \in s o(n), Y \in s o(n)$. Пара коммутаторов, порождающих пучок имеет вид:
\[
\begin{array}{l}
{\left[\left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right)\right]_{0}=\left(\left[X_{1}, X_{2}\right],\left[X_{1}, Y_{2}\right]+\left[Y_{1}, X_{2}\right]-\left[X_{1}, X_{2}\right]_{B}\right),} \\
{\left[\left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right)\right]_{1}=\left(\left[X_{1}, X_{2}\right]_{B},\left[Y_{1}, Y_{2}\right]\right) .}
\end{array}
\]

Здесь через $[\cdot, \cdot]_{B}$ обозначен коммутатор вида $\left[X_{1}, X_{2}\right]_{B}=X_{1} B X_{2}-$ $-X_{2} B X_{1}$, где $B$ – симметричная матрица. В нашем случае мы считаем ее диагональной.

Несложно проверить, что данные коммутаторы согласованы, т. е. любая их линейная комбинация удовлетворяет тождеству Якоби и задает, следовательно, на пространстве $s o(n)+s o(n)$ структуру алгебры Ли.

С помощью явной проверки устанавливается изоморфизм алгебр Ли из рассматриваемого пучка $[\cdot, \cdot]_{0+\lambda \cdot 1}=[\cdot, \cdot]_{0}+\lambda[\cdot, \cdot]_{1}$.

Лемма 1. Если $\lambda
eq 0$ и $\operatorname{det}(E+\lambda B)
eq 0$, то алгебра Ли $[\cdot, \cdot]_{0+\lambda \cdot 1}$ изоморфна so $(n)+\operatorname{so}(n)$ со стандартным матричным коммутатором. При этом изоморфизм $\varphi$ задается следующими явными формулами:
\[
\varphi(X, Y)=\left((E+\lambda B)^{1 / 2} X(E+\lambda B)^{1 / 2}, \lambda Y+X\right) .
\]

Из этого утверждения легко вытекает вид инвариантов коприсоединенного представления на $L^{*}$. Как обычно можно отождествить $L=$ $=s o(n)+s o(n)$ и $L^{*}=(s o(n)+s o(n))^{*}$ при помощи скалярного произведения $\langle(X, Y),(Z, P)\rangle=\operatorname{Tr}(X Z+Y P)$. Операторы $\varphi^{*}: L^{*} \rightarrow L^{*}$ и $\varphi^{*-1}: L^{*} \rightarrow L^{*}$ имеют тогда следующий вид
\[
\begin{aligned}
\varphi^{*}(Z, P) & =\left((E+\lambda B)^{1 / 2} Z(E+\lambda B)^{1 / 2}+P, \lambda P\right), \\
\varphi^{*-1}(Z, P) & =\left((E+\lambda B)^{-1 / 2}\left(Z-\lambda^{-1} P(E+\lambda B)^{-1 / 2}, \lambda^{-1} P\right) .\right.
\end{aligned}
\]

Инварианты прямой суммы $L=s o(n)+s o(n)$ при стандартном представлении хорошо известны. Это функции вида
$\operatorname{Tr} Z^{2 k}, \quad \operatorname{Tr} P^{2 k}$.

Используя (9.11) и явный вид оператора $\varphi^{*-1}$ получаем явный вид функций Казимира скобки $\{\cdot, \cdot\}_{0+\lambda \cdot 1}$ :
\[
\operatorname{Tr}\left(\left(Z-\lambda^{-1} P\right)(E+\lambda B)^{-1}\right)^{2 k}, \quad \operatorname{Tr} P^{2 k} .
\]

При $\lambda=0$ эта формула не определена. Чтобы получить приемлимую асимптотику в нуле нужно вместо первого инварианта рассмотреть следующий:
\[
\begin{array}{c}
\frac{1}{\lambda}\left(\operatorname{Tr}\left((\lambda Z-P)(E+\lambda B)^{-1}\right)^{2 k}-\operatorname{Tr} P^{2 k}\right)= \\
=\frac{1}{\lambda}\left(\operatorname{Tr}\left((\lambda Z-P)\left(E-\lambda B+\lambda^{2} B^{2}+\lambda^{3} B^{3}-\ldots\right)\right)^{2 k}-\operatorname{Tr} P^{2 k}\right) .
\end{array}
\]

Полученное выражение является степенным рядом по $\lambda$, причем первый (свободный) член этого ряда имеет вид
\[
\operatorname{Tr}(Z+P B) P^{2 k-1} .
\]

и является функцией Казимира скобки $\{\cdot, \cdot\}_{0}$. Вместе с функциями вида $\operatorname{Tr} P^{2 k}$ они образуют полный инволютивный набор.

Оказывается, что структура алгебры Ли с коммутатором $[\cdot, \cdot]_{0}$ изоморфна полупрямой сумме алгебры $s o(n)$ и коммутативного идеала $\mathbb{R}^{[n(n-1) / 2]}$ по присоединенному представлению. Стандартный коммутатор для этой полупрямой суммы задается на пространстве $L$ естественным способом:
\[
\left[\left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right)\right]^{\sim}=\left(\left[X_{1}, X_{2}\right],\left[X_{1}, Y_{2}\right]+\left[Y_{1}, X_{2}\right]\right) .
\]

Изоморфизм между этим стандартным коммутатором и «деформированным» $[\cdot, \cdot]_{0}$ определяется отображением
\[
\psi(X, Y)=\left(X, Y-\frac{1}{2}(B X+X B)\right),
\]

удовлетворяющим соотношениям
\[
\psi\left[\left(X_{1}, Y_{1}\right),\left(X_{2}, Y_{2}\right)\right]_{0}=\left[\psi\left(X_{1}, Y_{1}\right), \psi\left(X_{2}, Y_{2}\right)\right]^{\sim} .
\]

Сопряженный оператор имеет вид
\[
\psi^{*}(Z, P)=\left(Z-\frac{1}{2}(B P+P B), P\right) .
\]

Таким образом, уравнения Эйлера в смысле скобки $\{\cdot, \cdot\}_{0}$ приводятся к стандартным уравнениям в смысле скобки, отвечающей полупрямой сумме $s o(n)+\mathbb{R}^{[n(n-1) / 2]}$ при помощи замены вида $(Z, P) \rightarrow(M, P)$.
\[
\left\{\begin{array}{l}
Z=M-\frac{1}{2}(B P+P B), \\
P=P .
\end{array}\right.
\]

5. Многомерные обобщения системы Ляпунова-Стеклова. Опишем теперь семейство гамильтонианов, порождающих системы, являющиеся гамильтоновыми относительно каждой скобки из нашего семейства. Легко видеть, что такому свойству удовлетворяют функции Казимира скобок $\{\cdot, \cdot\}_{0}+\lambda\{\cdot, \cdot\}_{1}$ максимального ранга. Так как для уравнений Кирхгофа гамильтониан является квадратичным, то рассмотрим семейство функций, являющихся линейными комбинациями, указанных выше квадратичных функций Казимира. Можно проверить, что функции из этого семейства имеют следующий общий вид:
\[
\begin{aligned}
H(Z, P)= & \sum_{i, j} \frac{c_{i}-c_{j}}{b_{i}-b_{j}} Z_{i j}^{2}+2 \sum_{i, j} \frac{b_{i} c_{i}-b_{j} c_{j}}{b_{i}-b_{j}} Z_{i j} P_{i j}+ \\
& +\sum_{i, j} \frac{b_{i}^{2} c_{i}-b_{j}^{2} c_{j}}{b_{i}-b_{j}} P_{i j}^{2}+C \sum_{i, j} P_{i j}^{2}, \quad C=\text { const. }
\end{aligned}
\]

Последнее слагаемое в этой сумме не существенно, поскольку является функцией Казимира для каждой из скобок.

Предложение 4. Пусть гамильтониан $Н$ имеет вид (9.12). Тогда он порождает бигамильтонову систему, т. е. существует функция $\widetilde{H}$ такал, что справедливо тождество:
\[
\{x, H\}_{1}=\{x, \tilde{H}\}_{0} .
\]

При этом гамильтониан $\widetilde{H}$ может быть взят в виде
\[
\widetilde{H}(Z, P)=\sum_{i, j} \frac{b_{i} c_{i}-b_{j} c_{j}}{b_{i}-b_{j}} Z_{i j}^{2}+2 \sum_{i, j} \frac{b_{i}^{2} c_{i}-b_{j}^{2} c_{j}}{b_{i}-b_{j}} Z_{i j} P_{i j}+\sum_{i, j} \frac{b_{i}^{3} c_{i}-b_{j}^{3} c_{j}}{b_{i}-b_{j}} P_{i j}^{2} .
\]

Отметим, что гамильтониан $\tilde{H}$ определен неоднозначно. К нему всегда можно добавить произвольную функцию Казимира скобки $\{\cdot, \cdot\}_{0}$.

Равенство (9.13) может быть интерпретировано как изоморфизм между системой на полупрямой сумме $s o(n) \oplus_{s} \mathbb{R}^{[n(n-1) / 2]}$ и системой на прямой сумме $s o(n) \oplus s o(n)$. Однако, здесь обе скобки имеют не совсем стандартный вид, чтобы привести их к стандартной форме нужно произвести некоторые замены (которые были описаны выше). В результате можно получить следующий результат.

Предложение 5. Рассмотрим на пространстве $G=s o(n) \oplus s o(n)$ со стандартной скобкой гамильтониан следующего вида:
\[
\begin{aligned}
H_{G}(X, Y)= & \sum_{i, j} \frac{c_{i}-c_{j}}{b_{i}-b_{j}} b_{i} b_{j} X_{i j}^{2}+ \\
& +2 \sum_{i, j} \frac{b_{i} c_{i}-b_{j} c_{j}}{b_{i}-b_{j}} \sqrt{b_{i} b_{j}} X_{i j} Y_{i j}+\sum_{i, j} \frac{b_{i}^{2} c_{i}-b_{j}^{2} c_{j}}{b_{i}-b_{j}} Y_{i j}^{2},
\end{aligned}
\]

и на пространстве $F=\left(\operatorname{so}(n) \oplus_{s} \mathbb{R}^{[n(n-1) / 2]}\right)^{*}$ со стандартной скобкой Пуассона гамильтониан вида
\[
\begin{array}{l}
H_{F}(M, P)=\sum_{i, j} \frac{b_{i} c_{i}-b_{j} c_{j}}{b_{i}-b_{j}}\left(M_{i j}-\frac{1}{2}\left(b_{i}+b_{j}\right) P_{i j}\right)^{2}+ \\
+2 \sum_{i, j} \frac{b_{i}^{2} c_{i}-b_{j}^{2} c_{j}}{b_{i}-b_{j}}\left(M_{i j}-\frac{1}{2}\left(b_{i}+b_{j}\right) P_{i j}\right) P_{i j}+\sum_{i, j} \frac{b_{i}^{3} c_{i}-b_{j}^{3} c_{j}}{b_{i}-b_{j}} P_{i j}^{2} .
\end{array}
\]

Тогда соответствующие этим гамильтонианом системы сводятся друг к другу при помощи следующей линейной замены переменных:
\[
M=B^{1 / 2} X B^{1 / 2}+\frac{1}{2}(B Y+Y B), \quad P=Y .
\]

Чтобы получить представление Лакса со спектральным параметром для гамильтонианов из описанного семейства, рассмотрим бигамильтоново векторное поле
\[
\{x, H\}_{1}=\{x, \widetilde{H}\}_{0} .
\]

Оно, следуя разбранному методу, может быть представлено как гамильтоново векторное поле относительно линейной комбинации $\{\cdot, \cdot\}_{0}+$ $+\lambda\{\cdot, \cdot\}_{1}$ :
\[
v=\left\{x, H_{0+\lambda E}\right\}_{0+\lambda E} .
\]

Гамильтониан при этом имеет следующий явный вид:
\[
H_{0+\lambda \cdot 1}=\sum_{i, j} \frac{a_{i}-a_{j}}{b_{i}-b_{j}} Z_{i j}^{2}+2 \sum_{i, j} \frac{b_{i} a_{i}-b_{j} a_{j}}{b_{i}-b_{j}} Z_{i j} P_{i j}+\sum_{i, j} \frac{b_{i}^{2} a_{i}-b_{j}^{2} a_{j}}{b_{i}-b_{j}} P_{i j}^{2},
\]

где $a_{i}=c_{i} b_{i}\left(1+\lambda b_{i}\right)^{-1}$ и является естественным обобщением классического семейства Ляпунова- Стеклова (§1).

Можно переписать уравнение (9.16) в форме L – A-пары, пользуясь соображениями, описанными выше (см. соотношения (9.9), (9.10), (9.11). В нашем случае $L=\varphi^{*-1}(Z, P)$, т. е.
\[
L=\left(\begin{array}{cc}
(E+\lambda B)^{-1 / 2}\left(Z-\lambda^{-1} P\right)(E+\lambda B)^{-1 / 2} & 0 \\
0 & \lambda^{-1} P
\end{array}\right)
\]

и
\[
A=\varphi\left(d H_{0+\lambda \cdot 1}(Z, P)\right) .
\]

Замечание 2. Используя указанную конструкцию, несложно получить многомерное обобщение случая Рубановского, для которого в гамильтониане (9.15) появляются линейные слагаемые $[235,142]$.

Замечание 3. Изучение лиевых пучков является важным не только для нахождения новых интегрируемых случаев, но и для проблем классификации динамических характеристик системы. В главе 4 будет разобран лиев пучок, определяющий вихревую алгебру, которая несет важную информацию о взаимодействии точечных вихрей.

В следующем параграфе будет рассмотрена отличная от изложенной конструкция, связанная с использованием картановского разложения алгебр Ли и приводящая к представлению Лакса-Гейзенберга с рациональным спектральным параметром.