1. Абсолютное движение. Канонические уравнения. Рассмотрим задачу, родственную предыдущей, постановка которой также восходит к прошлому веку. В работе [56] И. С. Громека (1885 г.) пытался вывести уравнения движения точечных вихрей на сфере из основных принципов гидродинамики с использованием картографических преобразований. Однако он не смог найти в явном виде функцию тока, обобщающую плоскую ситуацию. В дальнейшем этой задачей занимался Э. Цермело [341], в книге [68] отмечена важная роль модели точечных вихрей и вихреисточников для целей динамической метеорологии.

Общая гамильтонова форма уравнений движения $N$-точечных вихрей и интегрируемость системы трех вихрей на сфере была указана
B. А. Богомоловым в работах $[14,15]$. В работе [264] уравнения Богомолова проанализированы с точки зрения отображения момента, в работах $[6,193]$ доказана неинтегрируемость ограниченной задачи четырех вихрей.

Замечание 1. Потенциальные течения идеальной жидкости на искривленных поверхностнх рассматривались Бельтрами, Хиллом и Умовым (работы последнего относятся к области классической электродинамики – вследствие существования хорошо известной аналогии). В работе [56] Громека рассмотрел уравнения движения точечных вихрей на поверхностях сферы и цилиндра, а также даже более общую задачу о движении вихрей в области на этих поверхностях ограниченной замкнутым неподвижным контуром.

Как пишет сам Громека [56], – «Задача о движении вихрей на сфере была мне указана профессором В. В. Преображенским, по мнению которого решение этого вопроса должно представлять большой интерес для целей физической географии». В работе [15] разобраны некоторые варианты вихревого движения на вращающей сфере.

Мы покажем [205] как уравнения движения $N$ вихрей на сфере радиуса $R$ можно представить в гамильтоновой форме с вырожденной пуассоновой структурой, задаваемой нелинейной алгеброй Якоби [55]. Более формальные вопросы обсуждаются в $§ 6$ гл. 4 .

Для вывода уравнений движения точечных вихрей рассмотрим движение идеальной несжимаемой жидкости между двумя твердыми концентрическими сферами в отсутствие внешних сил. Данная модель в некотором приближении описывает атмосферу Земли.

Прежде всего уточним понятие точечного вихря на сфере. В пределе, когда толщина сферического слоя жидкости стремится к нулю, используя теорему Вейса [118] и гармоническую сопряженность потенциала и функции тока течения на сфере, можно показать, что эквивалентным представлением точечного вихря на $S^{2}$ является полубесконечная вихревая нить в $\mathbb{R}^{3}$ постоянной плотности, исходящая из центра сферы.

Определим поле скоростей жидкости в пространстве, задаваемое $N$ вихревыми полунитями. В отсутствие источников и стоков из разложения Гельмгольца получим
\[
\mathbf{V}=\operatorname{rot} \mathbf{A}, \quad \Delta \mathbf{A}=-\boldsymbol{\omega},
\]

где
\[
\boldsymbol{\omega}(r, \theta, \varphi)=\frac{\mathbf{r}}{r} \frac{1}{r^{2} \sin \theta} \sum_{i=1}^{N} \Gamma_{i} \delta\left(\theta-\theta_{i}, \varphi-\varphi_{i}\right)
\]

задает распределение завихренности $N$ полунитей, $\mathbf{V}$ – скорость жидкости, $\mathbf{A}$ – векторный потенциал, $\theta_{i}, \varphi_{i}$ – угловые координаты вихрей на сфере, $\Gamma_{i}$ – их интенсивности.
Решение (2.1) с помощью функции Грина в $\mathbb{E}^{3}$ запишется в виде
\[
\begin{array}{c}
A_{\theta}=0, \quad A_{\varphi}=0 \\
A_{r}=\frac{1}{4 \pi} \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \omega\left(r^{\prime}, \theta^{\prime}, \varphi^{\prime}\right) \frac{r^{\prime 2} \sin \theta^{\prime} d r^{\prime} d \theta^{\prime} d \varphi^{\prime}}{\left[r^{2}+{r^{\prime}}^{2}-2 r r^{\prime} b\left(\theta, \varphi, \theta^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)\right]^{1 / 2}},
\end{array}
\]

где $b\left(\theta, \varphi, \theta^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)=\sin \theta \sin \theta^{\prime} \cos \left(\varphi-\varphi^{\prime}\right)+\cos \theta \cos \theta^{\prime}$ – косинус угла между векторами $(r, \theta, \varphi)$ и ( $r, \theta^{\prime}, \varphi^{\prime}$ ). Интеграл (2.3) имеет несобственную логарифмическую расходимость по радиусу. Для выделения регулярной части интеграла выразим составляющие скорости $V_{\theta}, V_{\varphi}$ из (2.1) в сферической системе координат
\[
V_{r}=0, \quad V_{\theta}=\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial A_{r}}{\partial \varphi}, \quad V_{\varphi}=-\frac{1}{r} \frac{\partial A_{r}}{\partial \theta} .
\]

Интегралы в правых частях (2.4) сходятся. Вычислив их, получим поле скоростей от системы вихревых полунитей в $\mathbb{E}^{3}$
\[
\begin{array}{c}
V_{\theta}=-\frac{1}{4 \pi r} \sum_{i} \Gamma_{i} \frac{\alpha_{i}}{1-b_{i}}, \quad V_{\varphi}=-\frac{1}{4 \pi r} \sum_{i} \Gamma_{i} \frac{\beta_{i}}{1-b_{i}}, \\
\alpha\left(\varphi, \theta^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)=\sin \theta^{\prime} \sin \left(\varphi-\varphi^{\prime}\right), \\
\beta\left(\theta, \varphi, \theta^{\prime}, \varphi^{\prime}\right)=\cos \theta \sin \theta^{\prime} \cos \left(\varphi-\varphi^{\prime}\right)-\sin \theta \cos \theta^{\prime}, \\
b_{i}=b\left(\theta, \varphi, \theta_{i}, \varphi_{i}\right), \quad \alpha_{i}=\alpha\left(\varphi, \theta_{i}, \varphi_{i}\right), \quad \beta_{i}=\beta\left(\theta, \varphi, \theta_{i}, \varphi_{i}\right) .
\end{array}
\]

Интегрируя по углам выражения (2.4) с учетом (2.5) и исключив таким образом бесконечное постоянное слагаемое в (2.3), находим потенциал
\[
A_{r}=-\frac{1}{4 \pi} \sum_{i} \Gamma_{i} \ln \left(1-b_{i}\right) .
\]

В отличие от плоского случая (а также аналога ньютоновского потенциала в небесной механике $\S 2$ гл. 3 на $S^{2}$ ) полученный потенциал

удовлетворяет уравнению, которое отличается от уравнения ЛапласаБельтрами дополнительной постоянной, равной сумме интенсивностей всех вихрей:
\[
\frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial A}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{\sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} A}{\partial \varphi^{2}}=-\frac{1}{\sin \theta} \sum_{i} \Gamma_{i} \delta\left(\theta-\theta_{i}, \varphi-\varphi_{i}\right)+\sum_{i} \Gamma_{i} .
\]

Данную модель вихря на сфере можно также интерпретировать [265] как точечный источник завихренности плюс общая завихренность сферы с противоположным знаком.

Заменив теперь в (2.5) $r, \theta, \varphi$ на $R, \theta_{k}, \varphi_{k}$ и опуская члены с $i=k$, получим искомые уравнения движения $N$ вихрей на сфере
\[
\begin{array}{c}
\dot{\theta}_{k}=-\frac{1}{4 \pi R^{2}} \sum_{i}^{\prime} \Gamma_{i} \frac{\sin \theta_{i} \sin \left(\varphi_{k}-\varphi_{i}\right)}{1-b_{i k}}, \\
\sin \theta_{k} \dot{\varphi}_{k}=-\frac{1}{4 \pi R^{2}} \sum_{i}^{\prime} \Gamma_{i} \frac{\cos \theta_{k} \sin \theta_{i} \cos \left(\varphi_{k}-\varphi_{i}\right)-\sin \theta_{k} \cos \theta_{i}}{1-\cos \gamma_{i k}}, \\
\cos \gamma_{i k}=\cos \theta_{i} \cos \theta_{k}+\sin \theta_{i} \sin \theta_{k} \cos \left(\varphi_{i}-\varphi_{k}\right), i, k=1,2, \ldots, N,
\end{array}
\]

где $\gamma_{i k}$ – угол между радиус-векторами, соединяющими центр сферы с точечными вихрями $i$ и $k$. Эти уравнения гамильтоновы со скобкой Пуассона
\[
\left\{\varphi_{i}, \cos \theta_{k}\right\}=\frac{\delta_{i k}}{R^{2} \Gamma_{i}}
\]

и гамильтонианом
\[
H=-\frac{1}{8 \pi} \sum_{i, k=1}^{N} \Gamma_{i} \Gamma_{k} \ln \left(4 R^{2} \sin ^{2} \frac{\gamma_{i k}}{2}\right) .
\]

Система (2.7) всегда имеет четыре интеграла движения
\[
\begin{array}{c}
H=c_{0}, \quad F_{1}=R \sum_{i=1}^{N} \Gamma_{i} \sin \theta_{i} \cos \varphi_{i}=c_{1}, \\
F_{2}=R \sum_{i=1}^{N} \Gamma_{i} \sin \theta_{i} \sin \varphi_{i}=c_{2}, \quad F_{3}=R \sum_{i=1}^{N} \Gamma_{i} \cos \theta_{i}=c_{3},
\end{array}
\]

которые, однако, не находятся в инволюции. Можно показать, что интегралы $F_{1}, F_{2}, F_{3}$ коммутируют как компоненты вектора момента:
\[
\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=\frac{1}{R} \varepsilon_{i j k} F_{k} .
\]

Замечание 2. Декартовы координаты вихрей $x, y, z$ при вложении сферы в трехмерное пространство коммутируют каю образующие алгебр so(3) (аналогично компонентам моментов для волчков)
\[
\left\{x_{i, \alpha}, x_{j \beta}\right\}=\frac{\delta_{i j}}{\Gamma_{i}} \varepsilon_{\alpha \beta \gamma} x_{j \beta},
\]

где $i, j$ – номера вихрей, $\alpha, \beta, \gamma$ номера компонент.

2. Алгебраическое представление. В качестве новых переменных, аналогично соотРис. 29 ветствующим величинам в динамике вихрей на плоскости, примем:
\[
M_{i j}=4 R^{2} \sin ^{2} \frac{\gamma_{i j}}{2},
\]

являющиеся квадратами длин хорд между соответствующими вихрями [205]. Гамильтониан (2.9) зависит только от относительных переменных:
\[
H=-\frac{1}{8 \pi} \sum_{i, k=1}^{N}{ }^{\prime} \Gamma_{i} \Gamma_{k} \ln M_{i k} .
\]

Из соотношений между каноническими координатами (2.11) можно найти коммутаторы между величинами $M_{i k}$ :
\[
\left\{M_{i j}, M_{k l}\right\}=4\left(\frac{1}{\Gamma_{i}} \delta_{i k}-\frac{1}{\Gamma_{j}} \delta_{j k}\right) \Delta_{i j l}+4\left(\frac{1}{\Gamma_{i}} \delta_{i l}-\frac{1}{\Gamma_{j}} \delta_{j l}\right) \Delta_{i j k},
\]

где введены обозначения:
\[
\Delta_{i j k}=\frac{1}{R} \mathbf{r}_{i} \wedge \mathbf{r}_{j} \wedge \mathbf{r}_{k} .
\]

скобка Пуассона между величинами $M_{i k}$ пропорциональна объему параллелепипеда, натянутого на радиус-векторы тройки вихрей на сфере

(см. рис. 29). Мы обозначаем соответствующие характеристики задач о вихрях на плоскости и сфере одинаковыми символами.

Полный набор функций $M_{i k}$ и $\Delta_{i j k}$ замкнут относительно скобки (2.11)
\[
\begin{array}{l}
\left\{M_{i j}, \Delta_{k l m}\right\}=\left(\frac{1}{\Gamma_{i}} \delta_{i k}-\frac{1}{\Gamma_{j}} \delta_{j k}\right)\left(M_{l i}-M_{i m}+M_{m j}-M_{j l}\right)+ \\
+\left(\frac{1}{\Gamma_{i}} \delta_{i l}-\frac{1}{\Gamma_{j}} \delta_{j l}\right)\left(M_{m i}-M_{i k}+M_{k j}-M_{j m}\right)+ \\
+\left(\frac{1}{\Gamma_{i}} \delta_{i m}-\frac{1}{\Gamma_{j}} \delta_{j m}\right)\left(M_{k i}-M_{i l}+M_{l j}-M_{j k}\right)+ \\
+\frac{1}{2 R^{2}}\left(\frac{1}{\Gamma_{i}} \delta_{i k}-\frac{1}{\Gamma_{j}} \delta_{j k}\right)\left(M_{j l} M_{i m}-M_{m j} M_{i l}\right)+ \\
+\frac{1}{2 R^{2}}\left(\frac{1}{\Gamma_{i}} \delta_{i l}-\frac{1}{\Gamma_{j}} \delta_{j l}\right)\left(M_{j m} M_{i k}-M_{j k} M_{i m}\right)+ \\
+\frac{1}{2 R^{2}}\left(\frac{1}{\Gamma_{i}} \delta_{i m}-\frac{1}{\Gamma_{j}} \delta_{j m}\right)\left(M_{j k} M_{i l}-M_{i k} M_{j l}\right), \quad(2.16) \\
\left\{\Delta_{i j k}, \Delta_{l m n}\right\}= \frac{\delta_{i l}}{\Gamma_{i}}\left(\Delta_{j k n}-\Delta_{j k m}+\frac{1}{2 R^{2}}\left(M_{i n} \Delta_{j k m}-M_{i m} \Delta_{j k n}\right)\right)+ \\
+\frac{\delta_{i m}}{\Gamma_{i}}\left(\Delta_{j k l}-\Delta_{j k n}+\frac{1}{2 R^{2}}\left(M_{i l} \Delta_{j k n}-M_{i n} \Delta_{j k l}\right)\right)+ \\
+\frac{\delta_{i n}}{\Gamma_{i}}\left(\Delta_{j k m}-\Delta_{j k l}+\frac{1}{2 R^{2}}\left(M_{i m} \Delta_{j k l}-M_{i l} \Delta_{j k m}\right)\right)+ \\
+\frac{\delta_{j l}}{\Gamma_{j}}\left(\Delta_{i k m}-\Delta_{i k n}+\frac{1}{2 R^{2}}\left(M_{j m} \Delta_{i k n}-M_{j n} \Delta_{i k m}\right)\right)+ \\
+\frac{\delta_{j m}}{\Gamma_{j}}\left(\Delta_{i k n}-\Delta_{i k l}+\frac{1}{2 R^{2}}\left(M_{j n} \Delta_{i k l}-M_{j l} \Delta_{i k n}\right)\right)+ \\
+\frac{\delta_{j n}}{\Gamma_{j}}\left(\Delta_{i k l}-\Delta_{i k m}+\frac{1}{2 R^{2}}\left(M_{j l} \Delta_{i k m}-M_{j m} \Delta_{i k l}\right)\right)+ \\
+\frac{\delta_{k l}}{\Gamma_{k}}\left(\Delta_{i j n}-\Delta_{i j m}+\frac{1}{2 R^{2}}\left(M_{k n} \Delta_{i j m}-M_{k m} \Delta_{i j n}\right)\right)+ \\
+\frac{\delta_{k m}}{\Gamma_{k}}\left(\Delta_{i j l}-\Delta_{i j n}+\frac{1}{2 R^{2}}\left(M_{k l} \Delta_{i j n}-M_{k n} \Delta_{i j l}\right)\right)+ \\
+\frac{\delta_{k n}}{\Gamma_{k}}\left(\Delta_{i j m}-\Delta_{i j l}+\frac{1}{2 R^{2}}\left(M_{k m} \Delta_{i j l}-M_{k l} \Delta_{i j m}\right)\right) . \\
\\
\end{array}
\]

Квадратичная неоднородная алгебра вихрей на сфере принадлежит к классу нелинейных алгебр Якоби $[55,205]$, плоский случай (1.10) ее линейная аппроксимация. Интересно, что возмущение по параметру $1 / R^{2}$ вносится в алгебраической форме в скобку, а не в гамильтониан. Естественным алгебраическим преобразованием перенести его в гамильтониан нельзя.

Соотношения между избыточными переменными на сфере аналогичны плоскому случаю (1.11), (1.12):
\[
\begin{aligned}
F_{i j k l}= & 4\left(\Delta_{i j k}+\Delta_{i k l}-\Delta_{l i j}-\Delta_{l j k}\right)^{2}- \\
& -\frac{1}{R^{2}}\left(M_{i l} M_{j l} M_{j k}-M_{i j} M_{i k} M_{j k}+M_{i l} M_{k l} M_{j k}+M_{i l} M_{k l} M_{i j}+\right. \\
& +M_{i l} M_{i k} M_{j l}-M_{i l} M_{i k} M_{k l}+M_{i l} M_{i k} M_{j k}+M_{j l} M_{k l} M_{i j}- \\
& -M_{j l} M_{k l} M_{j k}+M_{j l} M_{i k} M_{k l}+M_{j l} M_{i k} M_{j k}-M_{i j} M_{i l} M_{j l}+ \\
& +M_{i j} M_{i l} M_{j k}+M_{i j} M_{k l} M_{j k}+M_{i j} M_{i k} M_{j l}+M_{i j} M_{i k} M_{k l}- \\
& -M_{i k}^{2} M_{j l}-M_{i l} M_{j k}^{2}-M_{i l}^{2} M_{j k}-M_{i k} M_{j l}^{2}- \\
& \left.-M_{k l} M_{i j}^{2}-M_{i j} M_{k l}^{2}\right)=0, \\
F_{i j k}= & 2 \Delta_{i j k}^{2}+\left(M_{i j}^{2}+M_{i k}^{2}+M_{j k}^{2}\right)- \\
& -2\left(M_{i j} M_{j k}+M_{i k} M_{j k}+M_{i j} M_{i k}\right) \\
& +\frac{1}{R^{2}} M_{i j} M_{j k} M_{k i}=0 .
\end{aligned}
\]

Алгебра вихрей на плоскости (1.10) и соответствующие инвариантные соотношения получаются предельным переходом из скобки (2.16) и функций $(2.17),(2.18)$ при $R \rightarrow \infty$.

В отличие от скобки (1.10) в динамике вихрей на плоскости, скобка $(2.14),(2.16)$ удовлетворяет тождеству Якоби лишь на многообразии определенном всеми соотношениями (2.17) (2.18) (ср. с §1). При этом ненулевые элементы тензора Якоби – $J_{i j k}=\left\{\left\{x_{i}, x_{j}\right\}, x_{k}\right\}+$ $+\left\{\left\{x_{j}, x_{k}\right\}, x_{i}\right\}+\left\{\left\{x_{k}, x_{i}\right\}, x_{j}\right\}$ представляют собой тождества между хордами (2.12) и ориентированными объемами (2.15) при произвольном расположении точек на сфере (см. также §1). Приведем для примера со-

отношения для четырех вихрей, которые нам понадобятся ниже
\[
\begin{aligned}
\Delta_{1}+\Delta_{2}+\Delta_{3}+\Delta_{4} & =\frac{1}{4 R^{2}}\left(\Delta_{2} M_{12}+\Delta_{3} M_{13}+\Delta_{4} M_{14}\right)= \\
& =\frac{1}{4 R^{2}}\left(\Delta_{1} M_{12}+\Delta_{3} M_{23}+\Delta_{4} M_{24}\right)= \\
& =\frac{1}{4 R^{2}}\left(\Delta_{1} M_{13}+\Delta_{2} M_{23}+\Delta_{4} M_{34}\right)= \\
& =\frac{1}{4 R^{2}}\left(\Delta_{1} M_{14}+\Delta_{2} M_{24}+\Delta_{3} M_{34}\right),
\end{aligned}
\]

здесь $\Delta_{1}=\Delta_{234}, \Delta_{2}=\Delta_{314}, \Delta_{3}=\Delta_{124}, \Delta_{4}=\Delta_{213}$. Доказательство этих геометрических соотношений методами сферической геометрии весьма громоздко, а сами соотношения неочевидны. Пуассоновы структуры дают, таким образом, некоторый алгоритм их получения. Для плоскости при $R \rightarrow \infty$ получается обычное соотношение для ориентированных площадей в четырехугольнике.

Скобка $(2.14),(2.16)$ допускает также линейную функцию Казимиpa (1.13), которая связана с интегралами (2.10) соотношениями
\[
\frac{D}{2}=\left(R \sum_{i=1}^{N} \Gamma_{i}\right)^{2}-F_{1}^{2}-F_{2}^{2}-F_{3}^{2} .
\]

Неравенства треугольников $\sqrt{M_{i j}}+\sqrt{M_{j k}} \geqslant \sqrt{M_{i k}}$ также остаются в силе для задачи о вихрях на сфере. Здесь треугольники образованы соответствующими хордами, соединяющими точечные вихри.

3. Проблема интегрируемости. Переход от уравнений движения (1.1) и (2.7) к гамильтоновой системе со скобкой (1.10) и (2.16), описывающей эволюцию взаимного расположения вихрей, соответствует редукции в алгебраической форме. Введение канонических (симплектических) координат для приведенной системы в предложенном подходе представляет собой уже проблему алгебры, а не механики (см. §5). Размерность симплектического листа (в общем случае сингулярного) приведенной системы (определяется соотношениями (2.17) и (2.18) и линейным интегралом (2.20)) равна $2 N-4$. По теореме Лиувилля ( $\S 2$ гл. 1) для ее интегрируемости необходимо $N-3$ дополнительных инволютивных интеграла. Следовательно, система трех вихрей интегрируема при произвольных гамильтонианах (инвариантных относительно

группы движения сферы). Для интегрируемости задачи четырех вихрей не хватает лишь одного интеграла.

Ограниченные задачи динамики вихрей сводятся, как правило, к исследованию движения одного вихря очень малой интенсивности под влиянием остальных вихрей, движущихся независимо. Его движение связано с решением задачи адвекции – то есть определения течения жидкости при заданном движении вихрей. Очевидно, что эта задача сводится к исследованию интегрируемости гамильтоновой системы с полутора степенями свободы (одностепенной системе, содержащей явно время).