Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике (А.В. Борисов, И.С. Мамаев)

  

А.В. Борисов, И.С. Мамаев

Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике

Книга посвящена одному из актуальных направлений в современной теоретической физике — пуассоновым структурам и их приложениям к различным проблемам гамильтоновой механики. Эти задачи возникают в динамике твердого тела, небесной механике, теории вихрей, космологических моделях. Как правило, уравнения движения таких систем можно записать в удобной полиномиальной (алгебраической) форме. Эта форма тесно связана с возможностью представления уравнений движения в виде уравнений Гамильтона с линейной пуассоновой структурой, связанной с некоторой алгеброй Ли. Обсуждаются также нелинейные пуассоновы структуры, определяемые бесконечномерными алгебрами Ли, указаны наиболее типичные случаи их возникновения. Для исследования полученных уравнений применяется метод Пенлеве-Ковалевской. Указаны новые случаи интегрируемости уравнений динамики и изоморфизмы между различными интегрируемыми проблемами.
Для специалистов в области механики и математики, занимающихся теорией динамических систем, студентов и аспирантов университетов.

Редакционный совет серии:

В. В. Козлов (главный редактор)
А. В. Борисов (ответственный редактор)
Ю. А. Данилов (редактор-консультант)
Серия организована издательством «УРС» и редакцией журнала «Регулярная и хаотическая динамика» в 1998 году и выпускается совместно.

Борисов А.В., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. – Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. 464 с. ISBN 5-7029-0329-3

Рецензенты: чл.-корр. РАН В. В. Козлов, д. ф.-м. н. А. В. Болсинов.

Издательский дом «Удмуртский университет», 1999 год.


Оглавление

Введение
Глава 1. Скобки Пуассона и гамильтонов формализм
§ 1 Определение и примеры скобок Пуассона. Скобки Ли-Пуассона
§ 2. Тензорные инварианты динамических систем
§3. Теоремы об интегрируемости гамильтоновых систем. Алгебра интегралов
§4. Представление Лакса-Гейзенберга
§5. Бигамильтоновы системы
§6. Уравнения Пуанкаре-Четаева
§ 7. Показатели Ковалевской, интегрируемость и гамильтоновость
§8. Редукции пуассоновых структур
§9. Скобка и редукция Дирака
Глава 2. Скобки Пуассона в динамике твердого тела
§ 1. Классические формы уравнений динамики твердого тела
§2. Кватернионное представление уравнений движения
§3. Движение в суперпозиции однородных силовых полей. Приведение
§4. Метод Ковалевской-Ляпунова и интегрируемые случаи
§5. Редуцированная пуассонова структура и понижение порядка
§6. Изоморфизмы интегрируемых случаев
§7. Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере
§ 8. Ограничение пуассоновой структуры и канонические переменные
§9. L- А-пары и бигамильтоновость: лиевы пучки
§ 10. L- А-пары и бигамильтоновость: картановское разложение
§11. Движение твердого тела по гладкой плоскости
§ 12. Ограниченные задачи динамики твердого тела и механика Дирака
Глава 3. Гамильтонов формализм в небесной механике
§1. Движение нерелятивистской частицы в пространствах постоянной кривизны
§ 2. Задача Кеплера. Алгебра интегралов, регуляризация, переменные действие-угол.
§ 3. Интегрируемые проблемы в искривленном пространстве
§4. Кватернионная регуляризация Кустаанхеймо-Штифеля в небесной механике
§5. Задача двух тел в искривленном пространстве
§ 6. Смещение перигелия
§ 7. Ограниченная задача трёх тел в искривленном пространстве
§8. Движение твердого тела с гиростатом в искривленном пространстве. Стационарные движения
Глава 4.Гамильтонова динамика вихревых структур
§1. Динамика точечных вихрей на плоскости
§ 2. Динамика точечных вихрей на сфере
§3. Движение трех вихрей. Общий компактный случай
§4. Движение трех вихрей. Некомпактный случай. Проблема коллапса и рассеяния
§5. Разрешимые задачи динамики вихрей на плоскости и сфере
§6. Классификация и алгебраическая интерпретация системы $n$-вихрей на плоскости
§7. Родственные задачи динамики вихрей
Глава 5. Многочастичные системы
§ 1. Обобщенные цепочки Тоды и уравнения Эйлера-Пуанкаре на разрешимых алгебрах Ли
§2. L – А-пара и бигамильтоновость цепочек Тоды
§ 3. Системы Калоджеро-Мозера
§ 4. Гамильтонова динамика систем Вольтерра
Приложение А. Распознавание гамильтоновости динамических систем
Приложение В. Неголономные системы, приводимость и гамильтоновость
Приложение С. Алгебро-геометрические скобки Пуассона и их приложения
Приложение D. Сингулярные орбиты коприсоединенного представления групп $S O(n), E(n)$
Приложение Е. Неинтегрируемость системы Дайсона
Приложение F. Топологический анализ обобщенной задачи Чаплыгина
Приложение G. Устойчивость томсоновских конфигураций на сфере
Приложение H. Алгебраизация и приведение задачи трех тел
Литература
Предметный указатель
email@scask.ru