Первые интегралы гамильтоновой системы могут рассматриваться как функции на «пространстве орбит» этой системы. На этом пространстве возникает естественная пуассонова структура, введенная еще К. Якоби ([170], гл. 1). Действительно, скобка Пуассона двух первых интегралов есть снова первый интеграл [2, 154]. Следовательно, исходная пуассонова (например, симплектическая) структура на фазовом пространстве определяет пуассонову структуру на пространстве орбит. По методу Якоби необходимо выбрать пару первых интегралов системы и каждый раз добавлять их скобки Пуассона к предыдущим интегралам. На некотором шаге получаются функционально зависимые интегралы. Из этого набора интегралов следует выбрать максимальное множество функционально независимых интегралов, определяющих координаты на пространстве орбит. Все остальные интегралы (и их скобки Пуассона) будут являться функциями выбранных. В качестве примера Якоби рассмотрел скобки Пуассона первых интегралов, образую-

щих алгебру Ли группы вращений ( $s o(3))$ и группы движений евклидова пространства ( $e(3))$.

В этом разделе мы приведем наиболее известные результаты о связи между существованием достаточно большого числа первых интегралов гамильтоновых систем и ее интегрируемостью в квадратурах. Более полное представление о механизмах интегрируемости гамильтоновых систем можно получить в $[91,152,156]$.

Теорема 2 ([76]). Пусть $\mathbb{R}^{2 n}$ – фазовое пространство гамильтоновой системы со стандартной симплектической структурой и гамильтонианом $H(\mathbf{p}, \mathbf{q})$. Предположим, что эта система имеет $n$ интегралов движения $F_{1}, \ldots, F_{n}$, таких, что
\[
\left\{F_{i}, F_{j}\right\}=c_{i j}^{k} F_{k}, \quad c_{i j}^{k}=\text { const. }
\]

Если
1. на множестве
\[
M_{a}=\left\{(\mathbf{p}, \mathbf{q}) \in \mathbb{R}^{2 n}: F_{i}(\mathbf{p}, \mathbf{q})=a_{i}\right\}
\]

функции $F_{1}, \ldots, F_{n}$ независимы;
2. алгебра Ли со структурными константами $c_{i j}^{k}$ разрешима;
3. $c_{i j}^{k} a_{k}=0$ для всех $i, j,=1, \ldots, n$,

то решения уравнений Гамильтона, лежащие на $M_{a}$, можно найти в квадратурах.

Более точную информацию об устройстве интегрируемых систем дает геометрический вариант теоремы Лиувилля (ЛиувилляАрнольда) [2]. Мы здесь сформулируем более общий результат справедливый также для задач гамильтоновой механики, в которых количество известных интегралов превосходит число степеней свободы, однако не все интегралы коммутируют друг с другом. Условия интегрируемости таких систем с «избыточным» набором интегралов указаны в работах $[119,124]$. Справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Предположим, что гамильтонова система на симплектическом многообразии $M^{2 n}$ имеет $n+k$ интегралов $F_{1}, F_{2}, \ldots, F_{n+k}$, причем на поверхности $M_{c}=\left\{\mathbf{x} \in M^{2 n}: F_{i}(x)=c_{i}, 1 \leqslant i \leqslant n+k\right\}$

эти функции независимы, а в ее окрестности постоянен ранг матрицы скобок Іуассона $\left\|\left\{F_{i}, F_{j}\right\}\right\|$. Тогда, если поверхность $M_{c}$ связна и компактна и ранг матрицы скобок Пуассона не превосходит $2 k$, то поверхность $M_{c}$ диффеоморфна ( $n-k$ )-мерному тору и на ней можно выбрать угловые переменные $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n-k} \bmod 2 \pi$ так, чтобы уравнения Гамильтона приняли вид $\dot{\varphi}_{s}=\omega_{s}=$ const, $(1 \leqslant s \leqslant n-k)$.

Из этой теоремы при $k=0$ и при условии инволютивности интегралов $F_{1}, \ldots F_{n}$ получается обычная теорема Лиувилля-Арнольда, при этом фазовое пространство в компактном и связном случаях расслоено на $n$-мерные торы, несущие квазипериодические потоки, а в их окрестности существует такая каноническая система переменных $I_{1}, \ldots, I_{n}$, $\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}$ (переменные действие – угол), в которых гамильтонова система имеет вид
\[
\dot{I}_{i}=0, \quad \dot{\varphi}_{i}=\omega\left(I_{1}, \ldots, I_{n}\right), \quad i=1, \ldots, n .
\]

При $k=n-2$ получается геометрический вариант теоремы ЭйлераЯкоби – сохранение инвариантной меры следует из теоремы Лиувилля для гамильтоновых систем $[4,79]$ (см. также приложение В).

Обобщение этих теорем на случай вырожденных скобок Пуассона очевидно – надо только рассматривать ограничение системы на симплектический лист и использовать приведенные выше утверждения. В дальнейшем нами будут приведены примеры гамильтоновых систем, обладающих как коммутативным, так и некоммутативным полным набором интегралов, а также системы – алгебра скобок Пуассона интегралов которых нелинейна.

Вопросы, связанные с конструктивным введением переменных действие-угол для интегрируемых систем, затронуты в приложении С.